Chapitre 2 :

RÉGIME SINUSOÏDALPERMANENT

TRIPHASÉ

1. INSTALLATION TRIPHASÉE – DÉFINITIONS

Le transport de l’énergie électrique en triphasé est le plus économique car il requiert une quantité minimale de câble métallique pour transporter une puissance donnée ; les moteurs triphasés sont simples et efficaces, le redressement est aisé.Une installation triphasée comporte trois fils de phases et, éventuellement, un fil neutre (Fig.1).

• Tensions simples – Tensions composées. Les tensions simples v1N, v2N et v3N sontprises entre une des phases et le neutre, et les tensions composées u12, u23 et u31 sont prises entre deux phases (voir Fig.1).

• Système triphasé équilibré. Trois grandeurs sinusoïdales de même fréquence,déphasées entre elles de (2π/3), et ayant même valeur efficace, forment un systèmetriphasé équilibré.

• Système direct – Système inverse. Le système triphasé (g1, g2, g3) est dit directsi g3 est en retard d’un angle (2π/3) sur g2 qui est en retard d’un angle (2π/3) sur g1.Autrement, le système est dit inverse.

• Réseau de distribution électrique. Il est basé sur un système triphasé de tensions.On peut généralement considérer que (v1N, v2N, v3N) est un système de tensions triphasé équilibré direct. Il en est de même pour (u12, u23, u31). On a :

Diagramme temporel des tensions simples : (Fig.2)

Remarques :− Dans ces conditions, si les trois récepteurs sont identiques, alors (i1, i2, i3)est un système de courants triphasé équilibré.− Dans ces conditions, si le neutre du récepteur est relié au neutre du générateur(v1N∗, v2N∗, v3N∗) est un système de tensions triphasé équilibré.

Exercice : Exprimer la tension composée u12.

Construction vectorielle de Fresnel : (Fig. 3)

À chaque tension, on associe un vecteur. Cela permet de construire graphiquement les vecteurs des tensions composées.

Relations pour un système triphasé équilibré∀t , v1N + v2N + v3N = 0 t , u∀ 12 + u23 + u31 = 0

Umax = √3 Vmax Ueff = √3 Veff

Remarque : Si, pour un réseau, on ne précise pas qu’il s’agit de tensions simples ou entre phases, il faut considérer qu’il s’agit des tensions composées. Ainsi un réseau 400 V triphasé 50 Hz est tel que Ueff = 400 V et Veff = 230 V.

Notation complexe usuelle. Pour simplifier écritures et calculs, on pose :

a = e j 2π/3 = e−j 4π/3 ⇒ a2 = e j 4π/3 = e−j 2π/3 et a3 = 1√a = e j π/3 1 − a = √3 e−j π/6 1 − a2 = √3 ej π/6

1 + a + a2 = 0 et a− a2 = +j√3

Exercice : Exprimer avec cette notation, V1N, V2N, V3N, U12, U23 et U31.

V1N = Vmax V2N = a2 Vmax et V3N = aVmax

U12 = V1N − V2N = (1 − a2) Vmax

U23 = V2N − V3N = (a2 − a) Vmax = a2(1 − a2) Vmax = a2U12

U31 = V3N − V1N = (a − 1)Vmax = a(1 − a2) Vmax = a U12

Ou encore :

U12 = (1 − a2 )V1N U23 = (1 − a2 )V2N U31 = (1 − a2 )V3N

2. COUPLAGES

2.1 Couplage en étoile

Dans un couplage en étoile, chaque dipôle est relié entre le neutre et une phase du réseau (Fig. 4).

Cas général avec neutre reliéLe point N* étant relié au neutre N du réseau, les tensions appliquées aux bornes des dipôles sont les tensions simples du réseau, et les courants en ligne sont les mêmes que les courants dans les récepteurs.

v1N∗ = v1N v2N ∗ = v2N v3N ∗ = v3N

iN = i1 + i2 + i3Soit, en complexe :

IN = I1 + I2 + I3 avec I1 = V1N / Z1 I2 = V2N / Z 2 I3 = V3N / Z3

où Z1, Z2 et Z3 sont respectivement les impédances des dipôles D1, D2 et D3.

Récepteur (ou charge) équilibré avec neutre reliéLe récepteur est équilibré si les dipôles sont identiques. Ce qui s’écrit : Z1 = Z2 = Z3

D’où : I1 = V1N / Z1 I2 = a2 V1N / Z2 = a2 I1 I3 = a V1N / Z3 = a I1

IN = I1 + I2 + I3 = I1 (1 + a2 + a) = 0

Remarque : Pour un récepteur équilibré couplé en étoile, le courant dans le neutre est nul.

Neutre non-reliéSi le point N* n’est pas relié au neutre N du réseau, les tensions aux bornes des dipôles dépendent des dits dipôles. Si les dipôles du récepteur ne sont pas identiques, certains dipôles seront en sous-tension et d’autres en sur-tension. Dans une installation, pour éviter un fonctionnement incorrect ou un risque de détérioration d’appareils, le neutre doit toujours être relié, même si la charge est a priori équilibrée car l’équilibre est précaire par nature, et un incident est toujours possible.

2.2 Couplage en triangle

Dans un couplage en triangle, chaque dipôle est relié entre deux phases du réseau (Fig.5). Le neutre est inutilisé.

Cas généralLes tensions appliquées aux bornes des dipôles sont les tensions composées duRéseau, et les courants en ligne sont différents des courants dans les récepteurs.

i1 = j1 − j3 ; i2 = j2 − j1 ; i3 = j3 − j2 et i1 + i2 + i3 = 0

Avec, en complexe :J1 = U12 / Z1 J2 = U23 / Z2 J3 = U31 / Z3

où Z1, Z2 et Z3 sont respectivement les impédances des dipôles D1, D2 et D3.

Récepteur (ou charge) équilibréLe récepteur est équilibré si les dipôles sont identiques. Ce qui s’écrit : Z1 = Z2 = Z3

D’où : J1 = U12 / Z1 J2 = a2 U12 / Z2 = a2 J1 J3 = a U12 / Z3 = a J1

J1 + J2 + J3 = J1( 1 + a2 + a) = 0

Exercice : Exprimer les courants dans les lignes I1, I2 et I3.I1 = J1 − J3 = (1 − a) J1

I2 = J2 − J1 = (a2 − 1)J1 = (1 − a) a2 J1 = (1 − a) J2

I3 = J3 − J2 = (a − a2)J1 = (1 − a) a J1 = (1 − a) J3

Remarque : Pour une charge équilibrée, on a les relations :

3. PUISSANCES – FACTEUR DE PUISSANCE

3.1 Cas généralLes formules (Fig. 6) se déduisent du régime sinusoïdal monophasé, notamment par application du théorème de Boucherot. Pour un couplage en étoile, les déphasages des tensions simples v1N, v2N et v3N par rapport aux courants i1, i2 et i3 sont respectivement notés φ1, φ2 et φ3. Pour un couplage en triangle, les déphasages des tensions composées u12, u23 et u31 par rapport aux courants j1, j2 et j3 sont respectivement notés Ψ1, Ψ2 et Ψ3.

3.2 Générateur et récepteur triphasés équilibrésLes formules (Fig. 7) se déduisent du cas général, sachant que pour un générateur et un récepteur triphasés équilibrés, on a :

VEff = V1N Eff = V2N Eff = V3N Eff UEff = U12 Eff = U23 Eff = U31 Eff

IEff = I1 Eff = I2 Eff = I3 Eff JEff = J1 Eff = J2 Eff = J3 Eff

φ = φ1 = φ2 = φ3 Ψ = Ψ1= Ψ2 = Ψ3

UEff = √3 Veff JEff = Ieff / √3

Exercice : Dans le cas d’un récepteur non équilibré et dont le neutre n’est pas relié, montrer à partir de la puissance apparente complexe que la mesure de la puissance active peut s’effectuer à l’aide de la méthode des deux wattmètres.

La puissance fournie par le générateur est :S = S1 + S2 + S3 = ½ (V1N I*1 + V2N I*2 + V3N I*3)

Comme le neutre n’est pas relié, on a : I1 + I2 + I3 = 0D’où : S = ½(V1N − V3N) I*1 + ½ (V2N − V3N) I*2 = ½ U13 I*1 + ½ U23 I*2

Finalement, la puissance active se mesure avec deux wattmètres car :P = Re(S) = Re(1/2 U13 I*1) + Re(1/2 U23 I*2) = U13 Eff I1 Eff Cos (θ1) + U23 Eff I2 Eff Cos (θ2) = Pu13 i1 + Pu23 i2

Remarque : En régime équilibré, la méthode des deux wattmètres permet aussi de mesurer la puissance réactive qui est donnée par :

Q = √3 (Pu13 i1 − Pu23 i2)

4. RELEVEMENT DU FACTEUR DE PUISSANCE.

En triphasé l’amélioration du facteur de puissance est réalisée par 3 condensateurs qui peuvent être couplés en étoile ou en triangle.

Couplage étoile. Lorsque le facteur de puissance augmente de cos initial à cos final le déphasage diminue et la puissance réactive diminue de :

Q1 = P tan 1 à Q2 = P tan 2.Cette différence Qc = Q1 - Q2 est fournie par trois condensateurs de capacités unitaires C, alimentés sous la tension V, donc de puissance réactive totale :

Qc = 3 V² C

C = P ( tan i - tan f ) 3 V²

C = P ( tan i - tan f ) U²

Couplage triangle:

Lorsque le facteur de puissance augmente de cosinitial à cosfinal le déphasage diminue et la puissance réactive diminue de :

Q1 = P tan1 à Q2 = P tan2.Cette différence Qc = Q1 - Q2 est fournie par trois condensateurs de capacités unitaires C, alimentés sous la tension U, donc de puissance réactive totale :

Qc = 3 U² C

C = P ( tan i - tan f ) 3 U²

Remarque :

Le couplage triangle des condensateurs est plus avantageux car leur capacité est trois fois plus petite qu’en couplage étoile.

3 x CΔ = C*