Ch2 Modeles Pour Les SED Avec Supervision 2

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Systmes Dynamiques Evnements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________

SYSTMES DYNAMIQUES A VNEMENTS DISCRETS : DU MODLE LA COMMANDEJean-Louis FERRIER, Jean-Louis BOIMOND ISTIA - Universit d'Angers Laboratoire d'Ingnierie des Systmes Automatiss (LISA) 62 Avenue Notre-Dame du Lac, F-49000 ANGERSe-mail : ferrier@istia.univ-angers.fr web : http://www.istia.univ-angers.fr/LISA

Les Systmes Dynamiques Evnements Discrets sont une classe de systmes dynamiques, pour la plupart "man-made" et complexes. Par opposition aux systmes dynamiques "continus", ils satisfont gnralement les deux proprits suivantes : a) l'espace d'tat est dcrit par un ensemble discret b) les transitions d'tat apparaissent seulement en des instants discrets du temps ; ces transitions d'tat sont associes des vnements. De nouveaux outils et de nouvelles mthodologies doivent tre dvelopps afin de modliser, concevoir, analyser les performances et commander de tels systmes.

1. INTRODUCTION 2. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS 2.1. Un exemple de SED 2.2. Systmes continus, systmes vnements discrets 3. DIFFERENTS MODELES POUR LES SED 3.1. Rseaux de Petri 3.2. Algbre des diodes 3.3. Langages et Automates3.3.1. Langages 3.3.2. Automates

4. COMMANDE DES SED 4.1. Rseaux de Petri de commande 4.2. Suivi de trajectoires : squences de dates de tirs 4.3. Commande sous contraintes : un exemple 5. COMMANDE PAR SUPERVISION 6. CONCLUSION

____________________________________________________________________________________________1 Modles et Systmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04

Systmes Dynamiques Evnements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________

1. INTRODUCTIONLes systmes automatiss de production, l'initiative de l'Homme, sont caractriss par une forte complexit et flexibilit ; selon un certain point de vue, ils peuvent tre spcifis par des modles "vnements discrets". Les systmes de trafic (arien, ferroviaire,...), les systmes de communication, le gnie logiciel,... sont d'autres exemples de systmes dynamiques dont l'activit est due aux occurrences asynchrones d'vnements discrets, dont certaines sont provoques (appui sur une touche du clavier) et d'autres pas (panne spontane d'un quipement) [Ho 89] [Cassandras 93]. Dans la section 2 le concept de Systmes Dynamiques Evnements Discrets (SDED), qui sera par la suite abrg en Systmes Evnements Discrets (SED), sera illustr. Un parallle avec les systmes dynamiques "classiques" variables continues sera tent et les diffrences entre ces systmes1 seront mises en exergue. Si le cadre de modlisation des systmes linaires est bien tabli, il n'en est pas de mme pour les SED. Quelques exemples simples illustreront en section 3 les potentialits de modlisation et danalyse par les rseaux de Petri, par l'algbre (max,+), par les automates et les langages. Les notions de signal de commande et de loi de commande dans le cadre des SED seront abordes en section 4. En section 5 la commande par supervision, qui repose sur la thorie des langages et des automates, sera esquisse. Dans la conclusion, il sera tent de dgager quelques lments de rflexion sur cette classe de systmes "artificiels" dont le dveloppement depuis quelques dcades a t concomitant de celui de l'informatique.

2. SYSTEMES A EVENEMENTS DISCRETS2.1. Un exemple de SED Une souris se dplace de manire spontane (elle agit sans intervention extrieure) l'intrieur d'un labyrinthe.P1 S1 P2 S2 S0 P3 p2 A p1 B p2 C

Les salles S i communiquent par des portes unidirectionnelles P1 et P3 et bidirectionnelle P2. On note par "p i" l'vnement : "la souris passe par la porte Pi".

p3

fig. 1.a Soit l'ensemble des vnements : = {p 1, p 2, p 3}.

fig. 1.b

Le concept de systme est caractris par : - des "composants" en interaction - une "fonction" particulire qu'il est sens raliser, avec le respect d'un ensemble de contraintes. Quelques dfinitions de "systme" : * "Un systme est un objet complexe, form de composants distincts relis entre eux par un certain nombre de relations" - Encyclopaedia Universalis. * "An assemblage or combination of things or parts forming a complex or unitary whole" - Webster's Dictionary. * " A combination of components that act together to perform a function not possible with any of the individual parts" - IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms.

1

____________________________________________________________________________________________2 Modles et Systmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04

Systmes Dynamiques Evnements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________

On conoit que les situations (ou comportements) possibles sont : la souris est dans la salle S 0 la souris est dans la salle S 1 la souris est dans la salle S 2 ce qui dfinit trois tats diffrents, relatifs aux possibilits d'occupation des salles. Le passage de l'tat "souris en S 0" (tat A) "souris en S 1" (tat B) a lieu sur l'occurrence de lvnement p 1. On peut alors construire le diagramme des tats (fig. 1.b). L'espace d'tat s'crit X = {A, B, C}.

2.2. Systmes continus, systmes vnements discrets

Des grandeurs telles que la position, la vitesse, l'acclration, le niveau, la pression, la temprature, le dbit, la tension, le courant,... sont des variables continues, dans le sens qu'elles peuvent prendre n'importe quelle valeur dans R lorsque le temps, lui-mme "continu", volue. Les quations diffrentielle s (et aux diffrences) sont alors un outil de base appropri pour la modlisation, l'analyse et la commande des systmes physiques temps continu (et temps discret) correspondants, de mme que pour des systmes autres que physiques et/ou base de lois de la nature (i.e., dynamique des populations). Comme nous pouvons le constater sur l'exemple prsent au 2.1., notre environnement est fait aussi de systmes pour lesquels : - les grandeurs auxquelles nous avons affaire sont discrtes, telles que le nombre de produits dans un stock, le nombre de processeurs en activit, ... - l'volution est conditionne par l'occurrence d'vnements, "certains instants", tels que la fin d'excution d'une tche, le franchissement d'un seuil devant entraner une action, l'arrive d'un produit, d'un client, la dfaillance d'un dispositif, ... On sait que le comportement d'un systme continu l'instant t peut tre rsum par son tat qui reprsente la mmoire minimale du pass ncessaire la dtermination du futur 2. Pour les modles tat continu, l'espace d'tat est un continuum compos de tous les vecteurs n dimensions composantes dans R (fig. 2.a). Dans la description des systmes chantillonns avec une priode Te, gnralement constante, la variable relle t est remplace par la variable entire k. Ces systmes sont dcrits par des quations aux diffrences. Il est important de noter que la discrtisation du temps n'implique pas la discrtisation de l'espace d'tat. L'tat peut prendre n'importe quelle valeur dans l'ensemble des nombres rels, comme dans le cas continu. On ne distinguera donc pas fondamentalement dans la suite les systmes dcrits par des quations diffrentielles et par des quations aux diffrences : ils sont simplement temps continu ou temps discret et la variable temps est une variable naturelle indpendante qui apparat comme argument de toutes les fonctions d'entre, d'tat ou de sortie.

2

L'tat X(ti) d'un systme au temps ti est l'information ncessaire en ti telle que la sortie y(t), pour tout t ti, est uniquement dtermine partir de cette information X(ti) et de la connaissance du signal d'excitation u(t), pour t ti. L'espace d'tat d'un systme est l'ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre l'tat, cest ici un continuum. Un modle de systme s'crit dans l'espace d'tat sous la forme gnrale (cas contin u) :

X ( t ) = f(X(t), u(t), t) y(t) = g(X(t), u(t), t)

X(t0 ) = X0

Dans le cas des systmes linaires invariants dans le temps cette forme se rduit : temps continu temps discret

X ( t ) = AX(t) + Bu(t) y(t) = CX(t) + Du(t)

X(t0 ) = X0

X(k+1) = FX(k) + Gu(k) y(k) = CX(k) + Du(k)

X(k0 ) = X0

____________________________________________________________________________________________3 Modles et Systmes Jean-Louis Ferrier, Jean-Louis Boimond juin 04

Systmes Dynamiques Evnements Discrets _____________________________________________________________________________________________________________

Pour les modles vnements discrets (fig. 2.b), l'espace d'tat est un ensemble discret et l'tat change seulement certains instants du temps , de faon instantane. A chacune de ces transitions, on peut associer un vnement, d'o la dfinition informelle d'un SED. Un Systme Evnements Discrets est un systme espace d'tat discret dont les transitions entre tats sont associes loccurrence dvnements discrets asynchrones.Dans le jeu d'chec par exemple, chaque configuration dfinit un tat. L'espace d'tat rsultant est grand, mais discret.

tat(espace d'tat discret X)

tat X (t) =

x1 (t) x2 (t)

X2 X6 X4 X1x2

X5 X3

x1

te1 ti e2 tj e3 tk e4 tl e2 tm e5 tn e6 to e7 tpvnements

temps

X = { X1, X2, X3, X4, X5, X6 } ensemble (discret) dtats = espace dtats = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 } ensemble d'vnements discret

fig. 2.a

fig 2.b

fig. 2. Comparaison des trajectoires pour a) un modle tat continu (systme continu) b) un modle vnements discrets (SED) La trajectoire (constante par morceaux) saute d'un tat un autre avec l'occurrence d'un vnement Remarques : un mme vnement (e2) peut conduire des tats diffrents. des vnements diffrents (e1 et e5) peuvent conduire un mme tat