2014年1月14日

第14回

実験結果の例

初期値がわずかに違う２つの計算結果が大きく異なる挙動を示す

初期のわずかな誤差（0.001）が増幅

Sさん （CASIO fx-913ES）

x0 = 1.33

x0 = 1.331

実験結果

同じ初期値、同じ数値計算スキームであっても、電卓が違っただけで結果が異なる場合 →有限計算しか出来ないコンピュータの限界

Sさん （CASIO fx-913ES）

x0 = 1.33

Mくん （SHARP EL-509E）

Hくん （Canon F-718SA）

安定性－ノイマン法

差分点（xj = jΔx, tn = nΔt）における f の値 fj

n を

とおき、λ = An+1 / An の大きさを求めて以下のように判別する

全ての k について安定なら、無条件安定

)exp( xjkiAf nnj

不安定1

安定　1||

λ = λr＋ ｉ λi （ λr，λiは実数）

|λ|:

これから講義するのは：

・移流スキーム：リープフロッグ＋中央差分

・拡散スキーム：リープフロッグ

＋過去値を用いた中央差分

22|| ir

時間発展

(1) 陽解法（explicit scheme）

nステップの値からn+1ステップの値が直ちに求まる。解は必ずしも安定ではない

(2) 陰解法（implicit scheme）

n+1ステップの計算は複雑。解は安定

(3) リープ・フロッグ法（leap-frog scheme）

n-1、nステップの値が必要。解は中立

)3()()2/()(

)2()(/)(

)1()(/)(

11

11

1

nnn

nnn

nnn

fgtff

fgtff

fgtff

tn tn+1 tn-1 tn+2

Δt Δt Δt

t

(1) 線形移流方程式の差分近似 復習

線形移流方程式

を陽解法と中心差分で差分

近似すると、

整理すると、

0

x

fc

t

f

02

11

1

x

ffc

t

ff njn

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j fx

tcff

x

tcf 11

1

22

n

n+1

j–1 j+1 j

x

t c

⇒無条件不安定

(2) 拡散方程式の差分近似（復習）

拡散方程式

を陽解法と中心差分で

差分近似すると、

整理すると、

2

2

x

fa

t

f

211

1 2

x

fffa

t

ff njn

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j fx

taf

x

taf

x

taf 12212

1 21

n

n+1

j–1 j+1 j

x

t

⇒条件付安定

(3)移流方程式の安定性

リープフロッグ法、中心差分での移流方程式の差分形式

についての波数 k の振幅の式は

x

ffc

t

ff njn

j

n

j

n

j

22

11

11

nnn

Ax

xkic

t

AA

)sin(

2

11

x

fc

t

f

01)sin(22

xk

x

tci

(3) 移流方程式の安定性

振幅の大きさ λ は

となり、従って、リープフロッグ法、中心差分による移流方程式の差分解法は、条件付安定である

unstable

neutral

neutral

xkx

tc

xkx

tcxk

x

tci

1

1

1

)(sin

)(sin1)sin( 22

(3) 移流方程式の安定性 リープフロッグ法、中心差分による移流方程式の差分解法の安定条件：

クーラン数： C = cΔt / Δx

→ 情報伝達距離（cΔt）と格子幅（Δx）の比。

一般に、C ≤ 1 は計算安定性の必要条件。これは Δx / Δt ≥ c であり、「情報が伝播する速

さ」が「実際の現象の進む速さ」以上でなければならないことを示す。この条件をCFL（Courant-Friedrichs-Lewy）条件という

1

x

tc

(4) 拡散方程式の安定性

拡散方程式の差分形式:

リープフロッグ法、

現在値の拡散

についてフーリエ変換を適用し、安定性を調べる。波数 k の振幅の式は

211

11 2

2 x

fffa

t

ff njn

j

n

j

n

j

n

j

n

nn

Ax

xka

t

AA2

11 1)cos(2

2

01

2sin

8 22

2

xk

x

ta

2

cos1

2sin 2

2

2

x

fa

t

f

11

44

12

sin

12

sin4

2sin

4

22

2

2

2

2

2

x

ta

x

ta

xk

xk

x

taxk

x

ta

拡散スキームとして、リープフロッグに現在値を使うのは、数値的に不安定である。

(5) 拡散方程式の安定性

拡散項には過去値をもちいる

1

2

11 1)cos(2

2

nnn

Ax

xka

t

AA

2sin

810

2sin

81 2

2

2

2

2 xk

x

taxk

x

ta

01.0

0125.08

1.0

1.0,1.0

18

12

sin8

1

2

2

2

a

a

xt

x

ta

xk

x

ta

の値であれば拡散項に関しては安定である

02

2

x

fa

x

fc

t

f

0

2

22 2

1

1

11

111

11

x

fffa

x

ffc

t

ff njn

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

1111121111 2

2

nj

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j fffx

taff

x

tcff

・時間： 陽解法か、リープフロッグ法か ・移流項：陽解法＋中央差分⇒無条件不安定 リープフロッグ法＋中央差分⇒CFL条件を満たす条件付き安定 ・拡散項：リープフロッグ法＋現在値⇒無条件不安定 リープフロッグ法＋過去値⇒条件付き安定

まとめ

005.001.0

2.03.0

1.0,1.0

ora

orc

xt

1111121111 2

2

nj

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j fffx

taff

x

tcff

１次元線形移流拡散式_プログラム作成 (2) のエクセル参照

）（

）（

（○）

）（

）（

（◯）

01.0,,1.0,1.0)6(

01.0,5.1,1.0,1.0)5(

01.0,8.0,1.0,1.0)4(

01.0,2.0,1.0,0.1)3(

01.0,2.0,0.1,1.0)2(

01.0,2.0,1.0,1.0)1(

afcxt

acxt

acxt

acxt

acxt

acxt

n

j

1111121111 2

2

nj

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

n

j fffx

taff

x

tcff

宿題: (1)から(6)までの（ｘ、ｔ、振幅）の図を描け 2014年1月20日（月） 午後5時まで 3417室