Centrale PSI 1

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2015Mathmatiques 1

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4 heures Calculatrices autorises

Dans ce problme, nous tudions le processus de Galton-Watson qui permet entre autres de modliser le dve-

loppement dune population. Ce processus est par exemple utilis en biologie ou en physique nuclaire.Dans tout le problme, on se place dans un espace probabilis(,, ).Si est une variable alatoire entire et positive sur cet espace, on notera, srie entire de rayon deconvergence au moins 1, la fonction gnratrice de. On rappelle que la fonction gnratrice de est lasomme de la srie entire :

[1,1] () = () = =0

( = )La fonction gnratrice dune variable alatoire caractrise sa loi. Plus prcisment, si est une variable alatoire valeurs dans et si() est une suite de rels positifs tels que, pour tout [0, 1[,() = +

=0

, alors,pour tout ,= ( = ).On admettra le thorme suivant (lemme de Cesaro) : si() est une suite de nombres rels convergentevers et si on pose, pour ,=1(1+ + ), alors la suite()1 converge vers.I tude dune suite rcurrenteOn considre une fonction de classe2 sur[0, 1] valeurs dans[0, 1] telles que et soient valeurspositives. On suppose(1) = 1,(0) < 1 et(1) > 0.On considre de plus la suite rcurrente() dnie par0= 0et, pour tout ,+1= ().On pose = (1).I.A

I.A.1) Montrer que la suite() est croissante, puis quelle est convergente. On note sa limite.I.A.2) Montrer que lquation() = admet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la notera.I.A.3) Montrer que = .I.B On suppose > 1. Montrer que [0, 1[.I.C On suppose maintenant 1. Montrer que= 1 et que pour tout , 1.I.D Dans cette question, on suppose = 1.I.D.1) On pose, pour ,= 1 . Montrer que lim+1+1

1 =(1)2 .

I.D.2) En dduire que, quand tend vers linni,1 2

(1).

On pourra utiliser le lemme de Cesaro admis en prambule.I.E On suppose maintenant < 1 et on pose encore, pour ,= 1 .I.E.1) Montrer que la srie de terme gnral est absolument convergente et en dduire la convergence decelle de terme gnralln(+1)+1 .I.E.2) En dduire quil existe > 0 tel que, quand tend vers linni,1 .II Formule de WaldSoient() une suite de variables alatoires, mutuellement indpendantes, de mme loi valeurs dans, etune variable alatoire valeurs dansindpendante des prcdentes.(, ) est une famille de variablesalatoires mutuellement indpendantes.

On note la fonction gnratrice commune toutes les.Pour et , on pose() =

=1

() et0() = 0, puis,() = ()().
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II.A On souhaite dmontrer lgalit= .II.A.1) Montrer que, si et sont deux variables alatoires valeur dans indpendantes, alors += .II.A.2) En admettant que, pour tout , est indpendante de+1, prouver que, pour tout ,u = ().II.A.3) En admettant que, pour tout , et sont indpendantes, montrer que

[0, 1[, () = u=0

( = )() + =0

=u+1

( = )(= )

II.A.4) Pour et [0, 1[, on poseu= =0

=u+1

( = )(= ).Montrer que0 u 11

=u+1

( = ).II.A.5) Conclure.

II.B En dduire que, si et les sont desprance nie, alorsaussi et() = ()(1).II.C Lors dune ponte, un insecte pond un nombre alatoire dufs suivant la loi de Poisson de paramtre > 0. Ensuite, la probabilit quun uf donn devienne un nouvel insecte est ]0, 1[.II.C.1) Rappeler la fonction gnratrice dune variable alatoire suivant la loi de Poisson de paramtre.II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, dterminer la loi du nombre dinsectes issus de laponte.

III Processus de Galton-Watson

Soit une loi de probabilit caractrise par la suite() de nombre rels entre 0 et 1 telle que +=0

= 1.Dire quune variable alatoire sur(,, ) suit la loi signie que() et, pour tout ,( = ) = .On suppose que0+ 1< 1 (ce qui signie quil existe au moins un entier suprieur ou gal 2 tel que 0).On tudie un individu qui a un certain nombre de ls. Ces ls ont galement chacun (indpendamment les uns

des autres) un certain nombre de ls et ainsi de suite. An de modliser la situation, on se donne des variablesalatoires(,)(,) indpendantes qui suivent toutes la loi, on pose0 la variable certaine gale 1 et,pour et ,

+1() = 0 si() = 0+1() =

()=1

,() si() 0 reprsente le nombre dindividus la gnration.Sil ny a pas dindividu la gnration, il ny en a pas plus la gnration suivante et sinon, le nombre dels dume lment de la gnration est gal ,.On dit quil y a extinction lorsquil existe un entier

tel que

= 0.

On note la fonction gnratrice de la loi (et donc de chacune des variables,) et, pour , lafonction gnratrice de la variable alatoire.On a donc en particulier, pour [0, 1],0() = .On suppose que toute variable alatoire suivant la loi possde une esprance gale et une variance.III.A Probabilit dextinction

III.A.1)Montrer que, pour tout ,+1= .III.A.2) Exprimer, pour , lesprance de en fonction de et de.III.A.3)

a) Vrier que la probabilit dextinction est gale la limite de la suite(0)0.b) Vrier quon peut appliquer les rsultats de lapartie I la suite(0)0.III.A.4)Si 1, montrer que la probabilit dextinction est gale 1.


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On dnit alors le temps dextinction par : () = min{ | () = 0} sil existe tel que() = 0() = 1 sinon

On admettra que est une variable alatoire.III.B Cas sous-critique < 1On suppose dans cette question que < 1.III.B.1) Vrier que

admet une esprance.

III.B.2)

a) Montrer que, pour tout entier,( 1) .b) Montrer que() = +

=0

( > ).c) En dduire une majoration de( ).III.C tude de la ligne

Dans cette question, on suppose 1.On note, pour ,= 1 +

=1

et = 1 + +=1

.On admettra que est une variable alatoire dnie sur{= 0}.III.C.1)Montrer queest dnie sur un ensemble de probabilit 1.III.C.2)

a) Montrer que, pour tout ,( ) est une suite convergente. Dterminer sa limite.b) En dduire que, pour tout ,(= ) converge vers ( = ).c) Montrer que, pour tout [0, 1[, tout et ,

|()()| u=0

|(= ) ( = )| +u1 d) En dduire que la suite de fonctions() converge simplement vers sur[0, 1].III.C.3)

a) Exprimer1 en fonction de.b) On admet que, pour tout entier naturel suprieur ou gal 2 et pour tout [0, 1], () = (1()).En dduire que, pour tout [0, 1[,() = (()).c) Montrer queest desprance nie si et seulement si < 1. Calculer lesprance lorsque cest le cas.IV Un exemple

On suppose dans cette partie que, pour tout

,

= 12+1

.

IV.A Exprimer, pour [0, 1],() et calculer.IV.B Vrier que, pour tout [0, 1[,() 1.On peut donc poser,() = 1( )1 .IV.C Montrer que, pour [0, 1[, la suite() est arithmtique.IV.D En dduire que, pour [0, 1[et ,() = + (1 )1+ .IV.E Exprimer, pour(, ) 2,(= ) en fonction de et.IV.F Exprimer, en fonction de , la probabilit de lvnement > .La variable

admet-elle une esprance ?

IV.G Exprimer, pour [0, 1[,() en fonction de.En dduire la loi de.


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V Cas surcritiqueOn suppose dans cette partie > 1.On tudie un problme lgrement dirent : tant un entier strictement positif x, on suppose quil y aindividus la gnration 0 ; ensuite tout se passe comme prcdemment.

On note le nombre dindividus laime gnration et on dnit la probabilit que la suite()prenne la valeur pour la premire fois au rang:

= (

= )

1

=1(

)Pour et entiers naturels non nuls, on dnit de mme ()

comme la probabilit pour que la suite()prenne la valeur pour laime fois au rang.V.A Vrier que les sries

1

et1

() convergent quand [1,1].

On peut donc dnir, pour [1,1],() = +=1

et() = +=1

().

V.B

V.B.1) Montrer que(1> ) > 0.V.B.2) Montrer que la probabilit que la suite() ne prenne pas la valeur est non nulle ; on notecette probabilit.

On pourra tudier sparment les cas0= 0 et0> 0.V.C

V.C.1) Soit et un entier naturel suprieur ou gal 2. Montrer la relation ()= 1=1

(1)V.C.2) En dduire que, pour tout entier strictement positif,= ( dsigne fois).V.D

V.D.1) Montrer que la probabilit que la suite

(

) prenne la valeur

une innit de fois est nulle.

V.D.2) Montrer quil en est de mme pour la suite() .V.E Soit() une suite dvnements tous de probabilit 1.Montrer que

= 0. Quen dduit-on pour

?V.F Soit la probabilit quil y ait extinction et la probabilit que la suite() diverge vers linni.Montrer que + = 1.

FIN

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