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© J.P. RICHARD 2011116
6) Equations Différentielles Fonctionnelles :
cas particulier des
systèmes à retards
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Retard : exemple classique
Modèles de type Strejć-Broïda pour la commande industrielle
§ usage fréquent en génie des procédés
§ approximation simple et générique
§ commande PID ? ... marche mal si T > t § prédicteur de Smith ou « GPID »
Exemple du GV LAGIS
T
chauffe
+
transfert thermique
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Retard : autre exemple classique
... un grand classique des TP d’automatique (Feedback)
T
PID ok
T
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Retard : un exemple un peu plus récent…
Pendule simulé, réseau réel Pendule réel, réseau réel
But : synchronisation d’un pendule
esclave (Nantes) sur un pendule maître
(Ensenada).yref supposée connue par les deux.
Stratégie :
1) buffers à 300ms = t2) commande tq écart m/e régi par :
à commande causale
© Estrada-Garcia 2008
PhD H.J. Estrada-Garcia 2008 (+Moog, Marquez-Martinez)
UDP
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2 2 2 2
PhD en cours (Feingesicht + Polyakov, Kerhervé, Richard + IEMN, LML, Onera, etc.)
Retard : un exemple en cours
estimation
algorithm
ePROCES
S sensors
modelling
errorsmeasurement
noises
actu
ato
rs
algorithm
sens
control
algorithm
Desired behavior
Modèles ?
- Navier Stokes...
- non linéaire + retard(s)
Contrôle? cf YouTube
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Bilinear, Delayed : vous trouvez ça compliqué ?
2 2 2 2
versus
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A pretty old topic?
• applied topic, ok
• already old one, sure (2 centuries)
• but contemporary, as well?
http://www.journals.elsevier.com/automatica/most-downloaded-articles
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Much a do about delay ?
• problème appliqué (biblio : cf. Niculescu 2001, Richard 2003, Fridman 2014)
(ingénierie, télécom., temps réel, aéronautique, biologie, populations, etc.)
retard
• problème toujours ouvert dans de nombreux cas(bouclage, retards variables, retards inconnus, identification, etc.)
• problème de dim. infinie «le plus simple» (équations fonctionnelles = cas particulier des EDP )
• problème à surprises(dégradation/amélioration par ajout de retard, modèle d’échantillonnage, etc.)
hh
t
x
h
t
x
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Plan de la partie SàR
- classification (et exemples)
- problème de Cauchy
- stabilité
- formalismes (modèles)
- commande (+ commandabilité) et prédiction
- petite bibliographie
- motivations
- 1er exemple (télé-op.) à notions de base (stabilité, état, dimension infinie)
- 2ème exemple : retard variable à contre-exemple
- 3ème exemple : échantillonnage asynchrone à intérêt
Particularités des SàR
Généralités mathématiques
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Particularités
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Un exemple simple
moteurtension u angle mesuré x
angle voulu
x = 0
+-
écart
e = 0 – x
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Exemple simple (suite)
moteur embarqué
(satellite)
u angle mesuré x(t)angle voulu
xc = 0
+-
ligne de com.à retard h/2
ligne de com.à retard h/2
angle transmis x(t-h/2)
el l
commande
transmise e(t-h/2)
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t
x
x0
0
?
?
Exemple simple (suite)
h?
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Exemple simple (suite)
à comparer avec (h=0) :
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Exemple simple (suite)
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(parenthèse...)
le retard peut aussi avoir un effet stabilisant
»
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Retour à l’exemple simple...
à notion d’ « état» ?variable f(t) générant une solutionunique à partir de l’instant t
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Exemple simple (suite)
à notion d’ «état» ?variable X(t) générant une solution
unique à partir de l’instant t
(notation de Shimanov, 1960)
fonction xt= état à l’instant t
vecteur x(t) = xt(0) solution à t
t
syst. dim. infinie
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Re(s)
Im(s)
Exemple simple (suite)
pôles?
syst. dim. infinieinf. pôles
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Re(s)
Im(s)
Exemple simple (suite)
critère
de
stabilité
?
Hurwitz ok« retardé »
≠ « neutre »Re(s)
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Exemple simple (suite)
comportement
fréquentiel ?
dim. infinie...phase -¥
déphasage à ¥
+- (BO)+-
h
t
x
h
t
x(Bode, boucle ouv.)
log w
gain
log wphase
j = -p/2-jhw
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Exemple simple (fin!)
Résumons-nous...retard Þ forte influence sur la stabilité
état fonctionnel
nombre de pôles infini (Hurwitz OK, Routh non)
déphasage important ( à -¥ )
et, jusqu’ici, c’est assez simpleretard constant
système linéaire « 1er ordre »
pareil pour retards variables h(t) ?un contre-exemple...
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(contre-)exemple à retard variable
1 p/2
et, pour h = cste Î [0,1] ssi (zone grise)
est asymptotiquement stable ssi (zone jaune) :
a
b
(T=1)
2
2
0
-2
-2
2
1
2
stable h(t)<1 - instable h=cte<1
instable h(t)<1 - stable h=cte<1
OK, mais ce type de h(t) est-il réaliste ? un autre exemple...
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Processus
ContinuCalcul
Convertisseur
A/N
Convertisseur
N/A + Bo
x(t) x(nT)
u(t)=u
3e exemple : asynchronous sampling
u*(nT)n
Processus
Continu
Calcul
déporté(ou non prioritaire)
Convertisseur
A/N
Convertisseur
N/A
x(t)
u(nT(t))
ligne de transmission
u(t) = g(x(nT(t)))T(t)T(t)T(t)T(t)T(t)
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© je
an-p
ierr
e.r
ichard
@ec-lill
e.f
rEx.3: Sampling via Delay / 2Time-varying sampling:
à any consequence?
[Zhang, Branicky, Phillips. - IEEE Ctrl.Syst.Mag. 2001]
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ichard
@ec-lill
e.f
rEx.3: Sampling via Delay / 3Time-varying sampling:
à any consequence?
[Gu, Kharitonov, Chen - Birkhauser 2003]
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rEx.3: Sampling via Delay / 4
Models for aperiodic sampling
Hybrid / Impulsive syst.Input-Output approach
Input delay systems
"Tutorial on Arbitrary and State-Dependent Sampling "
C. FITER, H. OMRAN, L. HETEL, J.P. RICHARD
European Control Conf., Strasbourg, France, 2014
"A robust stability framework for time-varying sampling"
C. FITER, L. HETEL, W. PERRUQUETTI, J.P. RICHARD
Automatica, 45: 56-64, 2015.
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r
Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst.
Models for aperiodic sampling
Ex.3: Sampling via Delay / 4
Input delay systems
Mikheev-Sobolev-Fridman AutRem.Ctrl 1988,
Nešić -Teel-Kokotović CDC1998,
Fridman-Seuret-Richard Aut 04, Fridman Aut 10, Seuret Aut 12,
Karafyllis-Krstić TAC 12,
Mazenc-Malisoff-Dinh Aut 13
+ stability techniques for TDS
x(tk) = x(t -[t - t
k] ) = x(t - h(t) )
Lyapunov-Krasovskii functionals
© jje
an
ppie
rre.r
ichard
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lille
.fr
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r
Thus… another statement of the packet loss problem
• maximum nb of successively lost packets à hmax
• piecewise-continuous delay with
delay
Sampling via Delay / 4
1 lost packet ¯
2 lost packets ¯ ¯
0 ≤ h(t) ≤ hmax
h(t) ≤ 1dt
d
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Généralités
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Classification
• systèmes de type retardé
• systèmes de type neutre
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exemple 5Classification
• système de type neutre :
ligne de transmission sans perte
+ conditions aux limites (x=0, L) :
transformation de d’Alembert (v,i) à(f,y) :
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exemple 6Classification
• système de type retardé :
équation de transport
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exemple 6 bisClassification
• système de type retardé :
équation de transport
u(t,l)
l
l
retard ponctuelretard distribué
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NB : la réalité est un peu plus compliquée...Classification
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Exemple 7 : macro-modèle de réseau
• modèle « par session » (ATM, TCP)[Mascolo 99] à contrôle de congestion par prédicteur de Smith
Classification
à système de type retardé
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• Notion de solution
• Condition de type Lipschitz
• Cas où le retard peut s’annuler
Problème de Cauchy(existence de solution pour un SàR)
direct
biblio
direct
formal.
direct
commd.
direct
Lyap..
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Cauchy pb.
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Cauchy pb.
(donc, généralement, non-unicité de la réversion de trajectoire)
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Cauchy pb.
(x (t) )
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Cauchy pb.
( xt
)
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Stabilité
![Page 43: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/43.jpg)
Stabilité
• Equilibre
• Définition(s)
• Théorèmes
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Stabilité : équilibre
![Page 45: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/45.jpg)
Stabilité : définitions
![Page 46: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/46.jpg)
Rudolf Otto Sigismund Lipschitz
(1832-1903) Allemand, professeur à l’Université de Bonn
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Stabilité : cas linéaire stationnaire
Instable (et « dégénéré »)
Exemple 1:
Exemple 2:
Re(s)
Im(s)
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Stabilité : cas linéaire stationnaire
Instable (et « dégénéré »)
Exemple 1:
Exemple 2:
Re(s)
Im(s)
![Page 49: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/49.jpg)
Stabilité : cas linéaire stationnaire
Instable (et « dégénéré »)
+
Exemple 1:
Exemple 2:
+
![Page 50: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/50.jpg)
Méthode de Walton et Marshall (1987)Extrait de Borne, Dauphin, Richard, Rotella, Zambettakis
Analyse et régulation des processus industriels - Régulation continue. 495 pages, Edt. Technip 1993
![Page 51: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/51.jpg)
![Page 52: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/52.jpg)
est instable ;
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![Page 54: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/54.jpg)
Stabilité : 1ère méthode de Liapounov
« approximation des petits mouvements »
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Stabilité : cas des retards faibles
« approximation des petits retards »
![Page 56: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/56.jpg)
Stabilité : cas mono-retard faible
quantification d’un retard « faible » admissible
![Page 57: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/57.jpg)
Un résultat de V.B. Kolmanovskii & Myshkis (1999)
Lyapunov for TDS
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Peut-on appliquer cette théorie « classique » des EDO ?
ODE :
Stabilité : méthode directe de Liapounov (1)
Cet exemple est un cas très particulier(BARAKA!)
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Suite : Méthode « directe » de Liapounov
è besoin de méthodes dédiées :
1) fonctions de Lyapunov-Razumikhin (pas ici)
2) fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii
(quadratique « usuelle »)
FDE :
termes croisés
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une illustration simple
de la méthode de Lyapunov-Krasovskii
(quad + intégrale)
Lyapunov for TDS
-2(
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Stabilité : méthode directe de Liapounov (1)
1) définitions
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Stabilité : méthode directe de Liapounov (2)
* « Fonctionnelle de Liapounov – Krasovskii »
*
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(rappel…)
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Stabilité : méthode directe de Liapounov (3)
Fonctionnelles de Liapounov – Krasovskii particulières
![Page 65: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/65.jpg)
Stabilité : méthode directe de Liapounov (4)
![Page 66: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/66.jpg)
2e généralisation :
(descripteur)
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![Page 68: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/68.jpg)
Cas des systèmes neutres (1)
![Page 69: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/69.jpg)
Cas (particulier) des systèmes neutres (2)
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• FDEs (déjà présenté)
• Semi-groupes (opérateurs en dim. infinie)
• Géométrique (sur anneaux)
• Algébrique
• 2D (systèmes neutres)
Formalismes
direct
biblio
direct
formal.
direct
commd.
direct
Lyap..
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Formalismes
4.0 FDEs(déja vu)
à très général (retards qcques, lin./non lin., ...)
à commande par méthodes de type Lyapunov
(en linéaire ou non lin. de type polytopique)
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Formalismes
![Page 73: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/73.jpg)
Formalismes
![Page 74: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/74.jpg)
Formalismes
![Page 75: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/75.jpg)
Formalismes
![Page 76: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/76.jpg)
Formalismes
![Page 77: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/77.jpg)
Formalismes
![Page 78: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/78.jpg)
Contrôle
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• Conditions structurelles (existence)
• Limite des méthodes « dim. finie »
• Prédicteur, le principe
• Quelques parallèles avec la prédiction...
• Conditions structurelles (existence)
• Limite des méthodes « dim. finie »
• Prédicteur, le principe
Commande
direct
biblio
direct
formal.
direct
commd.
direct
Lyap..
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Commande
![Page 81: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/81.jpg)
$? commande u faisant passer l’état x(t0)=x0 en x(tf)=xf ?
Syst. dim. finie : état x(t0)=x0 à x(tf)=xfEn linéaire-stationnaire (principe de superposition OK) :
- si $ u, indépendant de tf -t0 et : ce qui est possible en T l’est en T/100 (!)
- si passage possible de x0 à xf , alors possible de xf à x0
Ce n’est plus vrai non linéaire
Syst. dim. infinie : état = fonction xCe n’est plus vrai non plus, même en linéaire
tf
Exemple de propriété structurelle : COMMANDABILITE
Commande
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Commande
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OK, c’est de l’existence...
mais comment calculer cette commande ?
Commande
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Commande
![Page 85: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/85.jpg)
Commande
![Page 86: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/86.jpg)
Commande
![Page 87: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/87.jpg)
Commande
![Page 88: cas particulier des - Inriaresearchers.lille.inria.fr/~jrichard/pdfs/SMaRT-SystDyn... · 2017-11-07 · r Input-Output approach Hybrid / Impulsive syst. Models for aperiodic sampling](https://reader033.fdocuments.fr/reader033/viewer/2022050716/5e3b649efcf52217e77523ee/html5/thumbnails/88.jpg)
Commande
?
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Commande
è avec rétroaction
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Commande
à problème de la robustesse...
retard mal connu, non constant ?F mal connue, instable ? (cf. exemple suivant)
àMAIS...
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Commande
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Commande
à construire l’ « avance » par l’intermédiaire du modèle ?
à une autre façon de voir le prédicteur de Smith...
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Commande
à plusieurs méthodes s’inspirant de ce principe
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Commande
à par exemple (... transformation « d’Artstein »)
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Petite bibliographie
• Richard et al. (2009) ISBN : 978-9973-0-0852-7 (385 pages)
Mathématiques pour l'Ingénieur
• Kolmanovski-Nosov (1986), Academic Press.
Stability of functional differential equations.
• Niculescu (2001), Springer
Delay effects on stability. LNCIS Vol. 269.
• Richard (2003), Automatica 39 (10), 1667-1694
TDS: An overview of some recent advances and open problems"
• Mounier-Richard (2003) Special issue Int. J. Syst.Sc. 34 (10-11)
Time delay systems for communication networks
• Fridman-Seuret-Richard (2004) Automatica 40 (8)
Robust sampled data stabilization of lin. syst.: an input delay approach