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Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en chambre réverbérante C. Lemoine, P. Besnier, M. Drissi JS 08 / CEM 08 / Paris / 20-23 mai 2008

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Caractérisation

statistique fine de

différents environnements

électromagnétiques

en chambre réverbérante

C. Lemoine, P. Besnier, M. Drissi

JS 08 / CEM 08 / Paris / 20-23 mai 2008

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Plan de la présentation

• Introduction

• Génération d’environnements électromagnétiques indépendants

• Lois de distribution en l’absence de trajet direct

• Caractérisation d’un canal de Rice en chambre réverbérante

• Conclusion

Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en CRBM – C. Lemoine

Emetteur

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Introduction

Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en CRBM – C. Lemoine

Parois métalliques (acier, aluminium)

Brasseur de modesCRBM de l’IETR : 93 m3

La chambre réverbérante à brassage de modes peut être considérée comme ungénérateur aléatoire de mesures de champ/puissance C’est un moyen d’essais pour diverses applications :

Essais CEM (immunité / émissivité)

Caractérisation d’antennesSimulation de canaux de propagation

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Génération d’environnements électromagnétiques indépendants

Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en CRBM – C. Lemoine

La propriété d’indépendance des mesures est capitale pour contrôler l’essai que l’onréalise en terme d’indépendance des mesures

Exemple : le résultat du théorème central limite (CLT) pour N’ mesures indépendantes :

Soit un échantillon indépendant de la variable aléatoire X de moyenne et de variance

1 ', , Nx xK xμ2xσ

Pour N’ grand, l’estimateur de la moyenne est distribué selon une loi Normale avec l’écart type suivant :

xμ'x

xNμσ

σ =

Appliqué aux mesures en CRBM, la distribution de X correspond par exemple au cas où chaque position de brasseur engendre une distribution de champ indépendante

La fonction d’autocorrélation r est la mesure communément admise de l’indépendance des mesures

( ) ( )( ) ( )

1 21 2

1 2

,,

Cov Y Yr Y Y

Var Y Var Y=

×avec : { }

{ }1 1 2 1

2 2 3 1

, ,..., ,

, ,..., ,N N

N

Y y y y y

Y y y y y−=

=[ ACF(1) ]

1;1r∈ −⎡ ⎤⎣ ⎦D’une manière généraleAbsence de corrélation si r = 0

La corrélation si |r|

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Génération d’environnements électromagnétiques indépendants

Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en CRBM – C. Lemoine

Les normes telles que IEC 61000-4-21 supposent l’indépendance statistique des conditions aux limites en CRBM entre 2 positions de brasseur successives si r < ρ0= 0,37

La distribution de l’ACF(1) est fonction de la taille N de l’échantillon

0,37Le seuil ρ0 devrait dépendre de N

En première approximation, on peut assimiler la PDFà une loi normale telle que :

Encadrement de ρ par un intervalle de confiance :

( ) ( )2 221 11 1N

NNσ ρ ρ−= − ≈ −

( )σρ ,Ν

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Génération d’environnements électromagnétiques indépendants

Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en CRBM – C. Lemoine

Nous nous attachons à respecter la condition suivante pour l’indépendance : avec N=1500 mesures, l’espérance de l’ACF(1) est dans l’intervalle [ r - 0.05 ; r + 0.05 ]

Concept de taille effective (*) d’un échantillon N’ (ESS):

Soit un échantillon corrélé de la variable aléatoire Y de moyenne et de variance1, , Ny yK yμ2yσ

Appliqué aux chambres réverbérantes, Y correspond au cas d’un brassage pour lequel les positions de brasseur sont corrélées, à cause d’une modification insuffisante des conditions aux limites

N’ est le nombre d’échantillons indépendants d’une série corrélée de taille N

D’où la détermination de l’intervalle de confiance à 95% :

1 21,96 et 1,96r rρ σ ρ σ= − = +

[ ]21 ; ρρtel que :

(*) Estimating the effective sample size to select independent measurements in a reverberation chamberC. Lemoine, P. Besnier, M. Drissi, IEEE Trans. on EMC, May 2008

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f (MHz) Φ11 (N) Φ11 (N')400 0.74 (300) 0.06 (52)700 0.41 (300) 0.11 (133)

1000 0.21 (300) 0.11 (220)

Génération d’environnements électromagnétiques indépendants

11 1t t ty y ε−= Φ × + 21 1 22 2t t t ty y y ε− −= Φ × + Φ × +

ty

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Détermination de la taille effective N ’ à l’aide d’un modèle de régression : 22

' 11(1)

11

11

yxAR

x yN N

μσμ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞− Φ ⎜ ⎟= × × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Φ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22' 21 22

(2)21 22

11

yxAR

x yN N

μσμ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞− Φ − Φ ⎜ ⎟= × × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Φ − Φ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La formulation générale d’un processus AR(k) exprime l’observation à la date t de la variable dépendante en fonction des observations précédentes et d’un résidu

- Ordre 1 - - Ordre 2 -

− − −K1 2, , ,t t t ky y y εt

1 1 2 2t k t k t kk t k ty y y y ε− − −= Φ + Φ + + Φ +K

Puissance reçue Résidu ou innovation

Corrélations partielles ACF partielAugmenter l’ordre k d’un modèle est nécessaire lorsqu’il reste suffisamment d’information qui

n’est pas exploitée dans le résidu

Pour la CRBM, nous considérons que les résidus sont indépendants lorsque l’ACF(1) |rε| des résidus est inférieur à 0.1 pour N=1500 échantillons

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Lois de distribution en l’absence de trajet direct (NLOS)

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3 cm

sonde

Distributions pour une cavité idéale (densité de modes infinie) :

Estimé par la méthode du maximum de vraisemblance

( ) 1x

f x e θθ

−=

1

1ˆN

ii

xN

θ=

= ∑Exponentielle (NLOS*)

( )Rayleigh (NLOS*)

2

2 θθ

−=

xxf x e 2

1

1θ̂=

= ∑N

ii

xN

1σμ=

Ratio écart type / moyenne

0.52σμ=

P , 2RE

, RP E

Volume: 93 m3

- Exemple de canal de Rayleigh -

74 cm

86 cm

Antenne large bande

50 100 150 200

0

- 10

- 20

- 30

- 40

- 50

- 600.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 20 40 60 80Measured value of Ex , Ey , Ez (V/m)

Prob

abili

ty d

ensi

ty fu

nctio

n.

Composante cartésienne de champ (dB)

Position du brasseur

*NLOS : Non Light-Of-Sight

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Lois de distribution en l’absence de trajet direct (NLOS)

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0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100Fréquence (MHz)

Test KS de la loi de RayleighTest KS de la loi de WeibullTest AD de la loi de RayleighTest AD de la loi de Weibull

Taux de rejet

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100Fréquence (MHz)

ExEyEz

P

Taux de rejet

|ACF(1)| < 0,10 pour chaque fréquence

Rejet de Rayleigh pour le champ

Acceptation de Rayleigh pour la puissance

Acceptation de Weibull pour le champ

( ) 1− −=bb axf x abx eLoi de Weibull :

Exponentielle11

ab

Résultats expérimentaux : tests d’ajustement de Kolmogorov-Smirnov et de Anderson-Darling

=⎧⎨ =⎩

Rayleigh4

2ab

π=⎧⎨ =⎩

pour 10 tests par fréquence (N = 150)

pour 10 tests par fréquence (N = 150)

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Lois de distribution en l’absence de trajet direct (NLOS)

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9 cm

• le canal est fonction du récepteur de mesures

• le résultat des tests d’ajustement est cohérentavec les propriétés suivantes de la distributionthéorique :

- Evolution du couple (a,b)

- Evolution du ratio écart type / moyenne

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Caractérisation d’un canal de Rice (LOS)

Caractérisation statistique fine de différents environnements électromagnétiques en CRBM – C. Lemoine

Un canal de Rice est caractéristique d’une propagation LOS (Line-Of-Sight)

( )2 2

02 2 2, exp2

x x v xvf x v Iσ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠Densité de probabilité de la distribution de Rice :

représente l’onde directereprésente la dispersion du signal due aux trajets multiples

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Caractérisation d’un canal de Rice (LOS)

rS21 iS21

221

22121 ir SSS +=

Soient X et Y deux v.a. distribuées selon des lois normales indépendantes et définies par :

Alors, on peut montrer que la v.a. suit une distribution de Rice de paramètres

Le canal peut être caractérisé par la distribution du module du paramètre en transmission :

Nouvelle méthode statistique d’estimation du canal de Rice :

Les paramètres complexes en transmission et sont distribués selon une loi normale.

A l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance on détermine :

A l’aide de tests d’ajustement adaptés à la loi normale (KS ou AD), on vérifie que etsont distribués selon les lois normales respectives et

( )( )⎩

⎨⎧

σασα

,sin~,cos~

vNYvNX

22 YXR +=

( )σ,v

rS21

iS21 ( )σα ,cosvN ( )σα ,sinvN

( )ZZN σμ , ∑=

=N

iiZ z

N 1

1μ̂ ( )∑=

−=N

iZiZ z

N 1

21ˆ μσ

( )σ,v

22222 sincoset vvv =+ αα

avec une distribution de la loi normale :

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0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40Mesures de S21

Expérimental

Théorique

Fonction de répartition

⎩⎨⎧

==

15,0ˆ03,0ˆ

σv

Brassage électronique :50 fréquences indépendantes

dans Δf = 20 MHz

Caractérisation d’un canal de Rice (LOS)

Exemple de distribution de Rice obtenue en CRBM et validée par les tests d’ajustement :

Paramètres de la loi de Riceestimés théoriquement :

Fréquence d’excitation :700 MHz

Brassage mécanique :30 positions de brasseur

indépendantes

Avantage : la loi de Rice est déterminée à partir d’outils statistiques.Son estimation est plus précise que par un ajustement visuel de ladistribution théorique à la distribution expérimentale.

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Variation du DSR (Direct-to-Scattered Ratio)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60Angle φ (°)

DSR (dB)

DSR 20log dBvσ

⎛ ⎞= ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

Trajet direct

Réflexions multiples

Caractérisation d’un canal de Rice (LOS)

60+Φ = °

Générateur Analyseur despectre

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Conclusion

22' 11

(1)11

11

yxAR

x yN N

μσμ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞− Φ ⎜ ⎟= × × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Φ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22' 21 22

(2)21 22

11

yxAR

x yN N

μσμ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞− Φ − Φ ⎜ ⎟= × × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ Φ − Φ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La chambre réverbérante à brassage de modes permet de simuler différents scénarios decanaux de propagation

C’est la diversité des champs créés par les différentes positions du brasseur qui engendreun champ statistiquement homogène et isotrope sur une rotation complète du brasseur

L’estimation de la loi de distribution sous-jacente des mesures n’est pertinente que si l’on analyse une série d’échantillons non corrélés

Simulation de canaux NLOS : Rayleigh, exponentielle, Weibull

Simulation de canaux LOS : Rice

Existence de tests d’ajustement adaptés

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Utilisation de tests d’ajustement sur les parties réelles et imaginaires de S21