METHODES SIMPLIFIEES DE CALCUL

Réalisé par :

-Cheikh Sidiya Yacoub

-Mohammed Benkhalyl

Encadré par :

Mr. ABIDI

I- Introduction

Les poutres et les planchers BA sont généralement des éléments continus reposant sur

plusieurs appuis donc hyperstatiques. La première méthode qui se présente afin de

déterminer les inconnues hyperstatiques, et donc les sollicitations, est la méthode des 3

Moments (formule de Clapeyron). Cependant, l'emploi de cette méthode, bien qu'autorisée

par le BAEL, est discutable car :

La détermination des inconnues hyperstatiques se fait en supposant le matériau

homogène et en supposant que la largeur de la table de compression reste constante

dans une travée. Or, suivant le BAEL, le calcul des sections se fait en matériau

hétérogène, de sorte que le moment quadratique dépend du ferraillage. Puisque la

table n'intervient pas sur appuis, on peut admettre qu'elle se constitue, peu à peu, au

fur et à mesure que l'on se rapproche des moments positifs.

De plus, les conditions d'exécution par phase qui conduisent à réaliser certaines

travées avant d'autres, font que les caractéristiques du béton sont différentes.

La recherche des courbes enveloppes des sollicitations par une méthode classique de

calcul des structures représente un travail non négligeable.

D'autre part, en raison du comportement du Matériau Béton Armé, il y a une

redistribution du moment fléchissant de long des éléments fléchis. Par exemple, si on

considère une poutre continue sur 3 appuis subissant une charge uniformément

répartie, à l'ELU l'acier des chapeaux (armatures supérieures sur appui) atteint sa

limite élastique et s'allonge sous chargement constant (1.35G+1.5Q). Il s'en suit une

fissuration sur appui, entraînant une diminution du moment quadratique et une

rotation différentielle des 2 travées au droit de l'appui. La courbe de moment

fléchissant est donc décalée vers les moments positifs.

Ainsi, pour ces différentes raisons, des méthodes simplifiées validées par l'expérience

sont généralement employées. Ces méthodes sont :

la méthode forfaitaire [BAEL Annexe E1]

la méthode de Caquot [BAEL Annexe E.2

II- MÉTHODE FORFAITAIRE DE CALCUL 1. DOMAINE DE VALIDITE

L'application de la méthode forfaitaire de calcul implique que les conditions suivantes

soient réunies :

- la charge d'exploitation Q est au plus égale à deux fois la charge permanente G et à 5

kN/m2

- l'épaisseur est la même dans les différentes travées,

- les portées successives sont dans un rapport compris entre 0,80 et 1,25,

- la fissuration ne compromet pas la tenue des cloisons ni celle des revêtements de

sol

Les combinaisons d'actions sont celles de l’ELU et l’ELS.

2. PRINCIPE DE LA METHODE

Le principe de la méthode est d’exprimer les moments maxi. en travées et sur appuis en

fonction de Mo (moment dans la travée isostatique de référence).

Soit pour une travée quelconque :

Mo la valeur du moment fléchissant de la travée indépendante de même portée

correspondant, suivant le cas envisagé, à l'ELU ou à l’ELS.

Mw et Me les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite de la

travée considérée.

Mt le moment maximal en travée admis en prenant en compte la continuité.

Soit encore ∝=𝑄

𝑄+𝐺 et k =

1.35𝐺+1.15𝑄

𝑄+𝐺

avec G charges permanentes.

Q charges d'exploitation.

On peut choisir arbitrairement les valeurs des moments Mt, Mw et Me mais de manière à

respecter conditions suivantes :

Mt + Mw+ Me

2 ≥ (1 + 0.3 ∝)* Mo et Mt +

Mw+ Me

2 ≥ 1.05* Mo

Mt ≥1+0.3∝

2∗ Mo si la travée est une travée intermédiaire.

Q ≤ 2*G

Q ≤ 5 kN/m2

Et Mt ≥1.2+0.3∝

2∗ Mo si la travée considérée est une travée de rive.

La valeur absolue de chaque moment sur appui intermédiaire (du côté de la travée

considérée) ne doit pas être choisie inférieure à :

-0,60 Mo s'il s'agit d'une poutre-dalle à deux travées,

-0,50 Mo sur appuis voisins des appuis de rive d'une poutre-dalle à plus de deux

travées,

-0,40 Mo pour les autres appuis s'il s'agit d'une poutre-dalle à plus de trois travées

Lorsque pour un appui, les valeurs des moments aux nus de gauche et de droite de

cet appui sont différentes, on retient pour le calcul des armatures sur appuis la plus

grande des valeurs absolues de ces deux moments. Suivant que Mo a été évalué par

l'ELU ou l’ELS, on obtient ainsi les valeurs de Mt, Mw et Me pour l’état limite

correspondant.

+ Etapes de Calcul

1ière Méthode : Moment sur Appui

Le calcul est généralement réalisé à ELU.

calculer á, k, Mou pour toutes les travées.

Fixer les moments sur appuis aux valeurs mini. réglementaires.

Déterminer les moments en travée, en vérifiant les différentes inégalités.

Calculer les valeurs du moment à ELS en multipliant les valeurs ELU par K

2ième Méthode : Moment en travée

idem ci-dessus

Fixer les moments en travées aux valeurs mini. réglementaires

Déterminer les moments sur appuis, en vérifiant les différentes inégalités

Vérifier les conditions réglementaires sur appuis

3. COURBES ENVELOPPES DE M(X) ET V(X)

a. Effort Tranchant

Les valeurs de l'effort tranchant enveloppe peuvent être déterminées ou

forfaitairement ou en tenant compte des moments de continuité, avec Voi : effort

tranchant dans la travée isostatique considérée.

b. Tracé de la Courbe Enveloppe de M(x)

Courbe des moments isostatiques :

Après avoir déterminé la valeur Mo du moment maximal à mi- portée, on porte

MoO' = OMo. Les droites O'W et O'E sont les tangentes en W et E. Un point M

quelconque de la parabole, à l'abscisse WM' = x s'obtient en prenant le milieu P' de

WM', le milieu Q' de M'E, en rappelant P' et Q' en P et Q sur les tangentes O'W et O'E

puis en joignant PQ qui coupe la verticale de M'au point M cherché. La figure

suivante montre qu'il n'est pas nécessaire de recommencer cette construction un

grand nombre de fois (2 ou 3 suffisent) pour avoir un tracé très acceptable de la

demi-parabole, et de son ensemble ensuite, par symétrie.

tracé de la courbe enveloppe

Pour obtenir la courbe-enveloppe des moments de flexion, on effectue une construction par

points homologues. On trace d’abord la courbe des moments isostatiques selon le procédé

décrit ci-dessus. On trace ensuite une droite ∆’ reliant les points W’ sur la verticale de W et

E’sur la verticale de E tels que WW’ = Mw et EE’ = Me. On trace également une deuxième

droite ∆ obtenue en décalant vers le haut tous les points de la droite ∆’ de la quantité

0,3*α*M0 (voir figure suivante).

La courbe-enveloppe, composée des arcs (Ct), (Cw) et (Ce), se déduit de la courbe des

moments isostatiques en portant :

- pour l’arc (Ct), en prenant pour base la droite ∆, des segments a’1a’2, ou b’ 1b’2, etc., tels

que a’1a’2=a1a2, b’1b’2=b1b2, etc.,

- pour les arcs (Cw) et (Ce), en prenant pour base la droite ∆’, des segments c’ 1c’2tels que

c’1c’2=c1c2, etc.

4. abaques (ϒw + ϒe) = f(ϒt)

Pour déterminer Mt, Mw et Me on peut poser :

-Mt= γt*Mo

-Mw= γw*Mo

-Me= γe*Mo

Les abaques ci-après donnent (γw+ γe) si l'on s'est fixé γt ou inversement.

III- MÉTHODE CAQUOT

1. condition

Doit être appliquée chaque fois que l'une quelconque des conditions de validité de la méthode

forfaitaire énoncées ci-dessus n'est pas remplie.

Dans certaines conditions, les moments sur appuis dus aux seules charges permanentes peuvent être

minorés. (BAEL B.6.2,210).

2. Principe du calcul

Les différentes valeurs du moment sur un appui sont déterminées en prenant seulement en compte

les travées adjacentes. La poutre continue est remplacée par une succession de poutres à deux

travées dont les moments sont nuls sur les appuis extrêmes (fig. suiv).

Dans ce schéma, les portées réelles sont remplacées par des portées fictives l’w et l’e avec

L’=l pour une travée de rive et l’= 0.80l pour une travée intermédiaire.

+ Lorsque les deux travées aboutissant à l'appui étudié ont le même moment d'inertie et que

les charges sont uniformément réparties, l'expression du moment sur l'appui considéré est :

𝑀 =𝑝𝑤 ∗ 𝑙′

𝑤3

+ 𝑝𝑒 ∗ 𝑙′𝑒3

8,5(𝑙′𝑤 + 𝑙′𝑒)

On commence par déterminer, pour chaque appui, les valeurs du moment de flexion (négatif)

correspondant aux cas de charge suivants :

-charges permanentes seules (régnant donc sur l’ensemble des travées) :

pw=pe=G ou pw=pe=1,35G

- charge variable sur la travée à gauche de l’appui considéré :

pw=Q, pe=0 ou pw=1,5Q, pe=0

- charge variable sur la travée à droite de l’appuiconsidéré :

pw=0, pe=Qou pw=0, pe=1,5Q

+ Le moment sur appui correspondant à une charge variable agissant simultanément sur les

deux travées encadrant l’appui considéré s’obtient en additionnant les valeurs des moments

de flexion pour chacun des deux cas précédents.

+ Pour un chargement ponctuelle :

on pose :

si l=cts on a :

+ L'effort tranchant et le moment fléchissant sont calculés en considérant les travées réelles

(de portée l et non l').La travée (i) est chargée. Soit ϴ(x) l'effort tranchant et µ(x) Moment

fléchissant dans la travée isostatique associée. Par superposition on obtient donc les

équations des éléments de réduction dans la poutre hyperstatique :

V(X)= ϴ(x)+ Mi−1 −Mi

𝐿𝑖

M(X)= µ(x)+𝑀𝑖 ∗𝑋

𝐿𝑙+ 𝑀𝑖−1 ∗ (1 −

𝑋

𝐿𝑖)

+ Exemple des différents cas de charges à envisager à l'ELU (G et Q uniquement)

+ Courbe enveloppe :

-Recherche des abscisses de Moments nuls (foyers) :

avec :

-Mo moment isostatique .

-Ma et Mb moments sur appuis en

valeur algébrique .

-XO : abscisse relatif à Mt

-X’ et X ‘’ : abscisse relatif au

moment nul.

.