Calculs Nautiques

Claude GRANAT

Ligue Maritime Belgewww.jacana.be

25 heures

2

Table des matières• Introduction• Planing• Trigonométrie• Rappel trigonométrie plane• Trigonométrie sphérique• Le triangle rectangle sphérique• Le triangle polaire• Ex. Triangle Sphérique Rectangle• Triangle sphérique quelconque• Ex. Triangles Sphériques quelconques• Trigonométrie sphérique appliquée• Rappel navigation estimée• Navigation orthodromique• Route composite• Exercices Orthodromie

• Navigation Astronomique• Ephémérides• La mesure du temps• Corriger la hauteur lue sur le sextant• Latitude par la Méridienne• Latitude par Polaris• L’amplitude (vérification variation)• Droite de hauteur• Canevas Mercator• Naviguer avec les tables nautiques• Traverse Tables (Loxodromie)• Meridional Parts (Mercator Sailing)• Utiliser les tables logarithmiques• Haversines (hc, dist. orthodromique)• Tables ABC (Azimut, angles de route) • Les tables en navigation

orthodromique• Les tables en navigation astronomique

• Rappels algèbre élémentaire

Calculs Nautiques

Notions de trigonométrie

Navigation Orthodromique

Navigation Astronomique

Utilisation des tables Nories

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Navigation Orthodromique

• Navigation selon un grand cercle � chemin le plus court, cap à modifier constamment

• Distance orthodromique• Angle de route au départ, à l’arrivée• Vertex : position, distance jusqu’au vertex• Longitude du nœud• Gain Orthodromie / navigation loxodromique

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Triangles sphériques de la navigation orthodromique

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Navigation Astronomique

• Méridienne � détermination de la latitude• Polaris � Détermination de la latitude

(hémisphère Nord seulement)• Amplitude : détermination de la variation du

compas (déclinaison + déviation)• Droite de hauteur (soleil, planètes, étoiles,

lune)

7

Triangles sphériques de la navigation astronomique

8

Comparaison triangles Ortho - Astro

9

Matériel souhaité

10

Planning

Révisions10

Tables Nories, calculs manuels9

Navigation Astro8

Navigation Astro7

Navigation Astro6

Navigation Astro5

Navigation Astro4

Navigation OrthoUtilisation Nautical Almanach, Corrections hauteurs sextantMéridienne, Polaris

3

Navigation Orthodromique2

Introduction trigonométrie1

MatièreSéance

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Utiliser les tables (Nories)

• Navigation Orthodromique• Distance orthodromique, Angle de route• Navigation loxodromique (Traverse Tables)• Navigation Mercator (Meridional parts)• Navigation Astronomique• Calcul de la hauteur hc• Calcul de l’Azimut (Tables ABC)• Tables Traverses (Intercept/Azimut � Point déterminatif)• Les formules à utiliser• Les formules Haversine• Calcul logarithmique (Multiplication � Addition de logarithmes)• Tables trigonométriques

TRIGONOMETRIE

Rappel Trigonométrie Plane

Notions de Trigonométrie Sphérique

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Notions de Trigonométrie

•La bonne réponse est …

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Notions de trigonométrie

• Rappel éléments trigonométrie plane• Trigonométrie sphérique :• Triangle sphérique rectangle � Règles de Napier• Triangle polaire : résolution triangle quadrantal• Triangle sphérique quelconque : • Règle des sinus, • Règle des cosinus des côtés• Règle des cosinus des Angles

Trigonométrie plane

Rappel éléments trigonométrie plane

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Cercle trigonométrique

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Relations trigonométriques du triangle

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Segments remarquables

• hauteur : segment qui passe par l’angle opposé et qui est perpendiculaire au côté ; leurs intersections déterminent l’orthocentre.

• Médiane : segment qui joint l’angle opposé et le milieu du côté ; leurs intersections déterminent le centre de gravité du triangle.

• Médiatrice : segment perpendiculaire au milieu d’un côté ; leurs intersections déterminent le centre du cercle circonscrit.

• Bissectrice d’un angle : segment qui divise un angle en deux angles adjacents de même amplitude ; leurs intersections

déterminent le centre du cercle inscrit dans le triangle.

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20

Applications de la trigonométrie plane

Trigonométrie sphérique

• Triangle sphérique rectangle � Règles de Napier• Triangle polaire : résolution triangle quadrantal• Triangle sphérique quelconque :

– Règle des sinus,

– Règle des cosinus des côtés

– Règle des cosinus des Angles

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Types de triangles sphériques

• Triangle sphérique rectangle � l’angle C est déjà connu (= 90°) � il suffit de connaître seulement 2 paramètres (côtés et/ou angle pour résoudre le triangle

• Triangle quadrantal (1 côté = 90°). Il pourra être résolu via son triangle polaire associé qui sera rectangle

• Triangle quelconque : résolu par la règle des sinus, la règle du cosinus des côtés ou la règle du cosinus des angles.

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Arc de grand cercle

24

Triangle sphérique

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Triangles sphériques : généralités

• La partie de la surface d'une sphère limitée les arcs de grands cercles de celle-ci est un triangle sphérique. Les arcs limites sont les côtés du triangle sphérique et les sommets des trois angles sont les sommets du triangle sphérique. Habituellement, les côtés sont désignés par a, b, c et les angles opposés par A, B, C.

• Pour les triangles sphériques dont chaque côté et ch aque angle est inférieur à 180°:

– La somme de deux côtés quelconque est supérieure au troisième côté.

– La somme des trois côtés est inférieure à 360°.– Si deux côtés sont égaux, les angles opposés correspondants

sont égaux et réciproquement.– Si deux côtés sont inégaux, les angles opposés sont inégaux et le

plus grand angle est opposé au plus grand côté.– La somme des trois angles est supérieure à 180°et infé rieure à

540°

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Mesure de l’angle sphérique

• La mesure d'un angle sphérique APB est donnée par la mesure de l'angle dièdre correspondant

AOB

• Cf différence de longitude �même valeur à l’équateur qu’au pôle

27

Triangle sphérique rectangle

• Comme C est connu, il suffit de connaître deux éléments pour le résoudre via la règle de Napier

• Calcul du vertex et latitude du nœud.

28

Règles de Napier

29

Règles de Napier

• Notion d’élément milieu, élément adjacent, élément opposé

• Si a est l’élément milieu alors• Co-B & b sont les éléments

adjacents• Co-c et Co-A sont les éléments

opposés.• Utiliser la fonction

complémentaire pour Co-B, Co-c, Co-A

• Fonctions complémentaires : • Sin � Cos• Cos � Sin• Tg � Cotg (ou 1/tg)

30

Règles de Napier

• Sin (é_milieu) = Π [Tg(é_Adjacents)]

• Sin (é_milieu) = Π [Cos(é_Opposés)]

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Napier : Règles des Quadrants

• A & a sont toujours dans le même quadrant. B & b sont toujours dans le même quadrant

• Si c < 90°alors les côtés a & b (et les angles A, B) sont dans le même quadrant.

• Si c>90°alors les côtés a & b (et les angles A, B) sont dans des quadrants différents.

< 90°> 90°> 90°> 90°

Alors

> 90°< 90°< 90°> 90°

> 90°> 90°> 90°<90 °

<90°<90°<90°<90°

B, baAc

SI

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33

34

Triangle Polaire• Soient A, B, C les sommets d’un

triangle sphérique. Construisons les 3 grands cercles ayant ces sommets pour pôle.

• Notons A’, B’, C’ les sommets de ce triangle polaire.

• Les côtés sont notés a ’, b’, c’.• Si A’B’C’ est le triangle polaire de

ABC, alors ABC est le triangle polaire de A’B’C’

• Pour chacun des triangles polaires, chaque angle de l’un des triangles est égal au supplémentaire du côtécorrespondant de l’autre triangle

• A’=180°-a B’= 180°-b• C’= 180°-c• A=180°-a’ B=180°-b’

• C=180°-c’

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Triangle polaire d’un triangle quadrantal

• Le triangle polaire d’un triangle quadrantal(c=90°) est donc un triangle sphérique rectangle

• Application : trouver la longitude du nœud d’une route orthodromique

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Triangles sphériques rectangles : exercices

• Résoudre les triangles sphériques rectangles ABC suivants :• a=125°24.8, b= 32°16.5’

A= 110°47.4’, B=37°46.4’, c= 119°20.2’• A=67°38.8’, B=155°12.6’

a=24°54.2’, b=169°0.0’, c=152°55,2’• A=33°50.5’, B=72°24.2’• A=29°23.1’, b=57°7.3’, c= 61°46.2’• Résoudre le triangle quadrantal A=32°53.6’, 115°24.9’

a= 35°36.3’, b=104°28.2’, C=68°52.7’• L’angle de route initial d’une route partant de Yokohama (N 35°37.0’, E 139°

39.0’) est de 30°40.0’. Trouver le point le plus proche du pôle NordN 58°0.7’, W 023°4.2’

• Un navire quitte A (N 36°50.0’, W 076°20.0’) en pa rcourant un arc de grand cercle et traverse l’équateur en W 050°0.0’. Donner l’a ngle de route initial et la distance parcourueAR(départ)=140°27.3’, distance=2,649.9 NM

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Résolution via triangle polaire

• Un navire quitte A (N 36°50.0’ - W 076°20.0’) en suiv ant une route orthodromique qui lui fait franchir l’équateur en W 050°. Donner son angle de route de départ et la distance parcourue.

• Voir dessin

• a est la colatitude de A (53°10’), B est la différence d e longitude (26°20’), c est la colatitude du point de passage à l’équateur (90°) ==> triangle QUADRANTAL à résoudre via le triangle polaire associé

• Sont connus a, B ==> (a’= 180°-53°10’ et b’= 180°- 26° 20’)

• Sont recherchés C et b ==> calculer c’ et B’ du triangle polaire associé

• c’ = 39°36.6’ ==> angle de route : 180°- 39°36.6’ = 140°27.3’• B’ = 135°50’ ==> distance parcourue : (180°- 135°50’) * 60 = 2,650 Nm

38

39

Triangles sphériques quelconques

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Résolution triangle sphérique quelconque

• Règle des sinussin a/sin A = sin b/sin B = sin c/sin C

• Règle des cosinus des côtés (3 règles)les 3 côtés et un anglecos a = cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A

• Règle des cosinus des ANGLES (3 règles)les 3 angles et un côtécos A = - cos B.cos C + sin B.sin C.Cos a(Ne pas oublier le signe négatif)

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Résolution triangle sphérique quelconque-1

• a=61°51.7’, c=67°55.4’, B=111°57.9’• Sont connus : 2 côtés (a & c) et 1 angle (B)• Résoudre b, A, C via la formule des côtés ou des Angles• cos b = cos a . cos c + sin a . sin c . Cos B• b = Arccos(cos a . cos c + sin a . sin c . Cos B)• b = Arccos(cos 61°51.7’ . cos 67°55.4’ + sin 61°51.7’ . s in 67°51.7’ . Cos 111°57.9’)• b= 97°37.5’• cos a = cos b . cos c + sin b . sin c . Cos A• (cos a - cos b cos c) / (sin b sin c) = Cos A• A = Arcos (cos 61°51.7 - cos 97°37.5’ . cos 67°55.4’)/(sin 97°37.5’ . sin 67°55.4’)• A= 55°36.0’• Cos C= - Cos A . Cos B + Sin A . Sin B . cos c• C= Arccos (-Cos 55°36.0’ . Cos 111°57.9’ + Sin 55°36.0 ’ . Sin 111°57.9’)• C= 60°07.3’• Vérification : Sin A/sin a = Sin B/sin b = Sin C/ sin c

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Résolution triangle sphérique quelconque-2

• A=116°01.8’, B=103°17.6’, C=94°21.2’

• Sont connus : 3 angles (A, B & C)

• Résoudre a, b, c via la formule des côtés ou des Angles

• Cos A = - Cos B . Cos C + Sin B . Sin C cos a

• cos a = (Cos A + Cos B . Cos C) / (Sin B . Sin C)

• a = Arcos (Cos 116°01.8’ + Cos 103°17.6’ . Cos 94°21.2’) / (Sin 103°17.6’ . Sin 94°21.2’)

• a = 115° 44.2’• Cos B = - Cos A Cos C + Sin A Sin C Cos b

• cos b = (Cos B + Cos A Cos C) / (Sin A Sin B)

• b = Arccos((Cos 103°17.6’ + Cos 116°01.8’ Cos 94°21.2’) / (Sin 116°01.8’ Sin 94°21.2’)

• b = 102° 40.6’• Cos C =- Cos A . Cos B + Sin A . Sin B . Cos c

• c= Arccos ((Cos 94°21.2’ + Cos 116°01.8’ Cos 103°17.6’) / (Sin 116°01.8’ Sin 103°17.6’))

• c = 88° 21,7’

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Vérification par la formule des sinus

• Énoncé :

• A=116°01.8’, B=103°17.6’, C=94°21.2’• Résultats :

• a = 115° 44.2’• b = 102° 40.6’• c = 88° 21,7’• Vérification :

• Sin A / sin a = 0.997518956

• Sin B / sin b =0.997521212

• Sin C / sin c =0.997522684

• Les trois valeurs sont égales, l’on peut considérer les

résultats comme probablement exacts

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Exercices triangles sphériques quelconques

• Résoudre les triangles sphériques ABC quelconques• a=56°22.3, b= 65°54.9’, c=78°27.4’

A=58°08.4’, B=68°37.8, C=91°57.2’• A=47°13.3’, B= 120°09.9’, c=123°31.6’

a=37°43.7’, b=133°52.9’; C=90°31.8’• a=108°56.4’, b=58°34.8’, c=122°15.6’

A=93°40.8’, B=64°12.4’, C=116°51.0’• B=66°42.7’, C=84°57.5’, a=107°08.4’

b=67°08.4’, c=92°07.6’, A=107°43.4

Trigonométrie sphérique appliquée

Navigation orthodromiqueNavigation astronomique

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Le triangle sphérique de la navigation orthodromique

• Côtés :• Colatitude point de départ• Colatitude point de d’arrivée• Route orthodromique• Colatitude du vertex

• Angles :• Angle de route(départ)• Angle de route(arrivée)• Différence longitude(départ-

arrivée)

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Construire les équations de la navigation orthodromique - 0

• Formule de base• Cos a = cos b.cos c + sin b.sin

c.Cos A• Distance orthodromique

• AR(départ)

• AR(arrivée)

• Latitude vertex

• Longitude vertex

• Distance vertex

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Construire les équations de la navigation orthodromique - 1

• Formule de base• Cos a = cos b.cos c + sin b.sin

c.Cos A• Distance orthodromique• M=Arccos(sin Latdép . sin

LatArr + cos Latdép . cos LatArr. cos Dg)

• AR(départ)• ARdépart=Arccos ((sin LatArr –

sin LatDép . cos M) / (cos LatDép . sin M))

• AR(arrivée)• ARarrivéet=Arccos ((sin LatDép

– sin LatArr . cos M) / (cos LatArr . sin M))

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Construire les équations de la navigation orthodromique - 2

• Formules de base• Napier (Triangle sphérique

rectangle)• Latitude (vertex)• coLatVx = arcsin (Sin ARdép

. cos Latdép)• LatVx = Arccos (Sin ARdép .

cos Latdép)• Longitude (vertex)•• dg =dg = ArctgArctg(1/((1/(tg ARdtg ARdéépp . sin. sin

LatdLatdéépp))• Distance (vertex)• Mvx = Arctg (cos ARdép / tg

LatDép)

50

Construire les équations de la navigation orthodromique - 3

• Formules de base

• Triangle quadrantal ⇒triangle polaire rectangle ⇒Napier

• Longitude (Noeud)

• Distance (Noeud)

51

Le triangle sphérique de la navigation astronomique

• Côtés• Distance zénithale (90°-

hauteur)• Distance polaire

(90°- déclinaison )Colatitude(90°- latitude )

• Angles• Angle polaire ( LHA)• Azimut

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Construire les équations de la navigation astronomique - 0

• Côtés• Distance zénithale (90°-

hauteur) ���� Hauteur calculée

• Angles• Azimut

• Intercept (hv-hc)• Position Déterminative

53

Construire les équations de la navigation astronomique - 1

• Côtés• Distance zénithale (90°-

hauteur) ���� Hauteur calculée

• Angles• Azimut

• Intercept (hv-hc)• Position Déterminative

Rappels Navigation estimée

Navigation loxodromiqueNavigation Mercator

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Rappel : Navigation loxodromique

• Par la latitude moyenne

• Calculer le dLat• Déterminer la latitude

moyenne• Calculer le Dg• Déterminer le DEW

DEW = Dg * cos Latmoyenne

• Distance loxodromique = racine carrée de la somme des carrés Dlat et DEWdloxo=√(dlat²+DEW²)

• Rv=Arctg (DEW/Dlat)

• Mercator sailing(meridional parts)

• Calculer les lc du point de départ et d’arrivée

• Dlc=lc(arrivée)-lc(départ)• Calculer le dlat• Déterminer la latitude

moyenne croissante :lmc=Arccos(dlat/dlc)

• Calculer le Dg• Déterminer le DEW

DEW=dg * cos lmc• Distance=√(dlat² +²DEW²)• Rv=Arctg(dg/dlc)

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Mercator Sailing

• Départ : N 50°, E 30°

• Arrivée : S 20°W 60°• dlat = + 50 – (-20) = 70°x 60 = 4200’• dg = 30 – (-60) = 90 x 60 = 5400’

• lcdépart = 3456.53• lc arrivée = -1217.14• dlc = 4633.67 (Additionner les lc si dép & arr sont de signes contraires)

• Rv = Arctg (dg/dlc) (Notation quadrantale S 49°22’ W ⇒ 229°22’)• lcm = Arccos(dlat / dlc) lcm = 24°59.2’

• DEW = dg x cos lcm DEW = 4894.6

• M=√(dlat² + DEW²) M = 6449.58 Nm• lc(λ)≈7915.704468 . log(tg(45 + λ/2)) - 23.0133263 sin λ - 0.052353 sin3 λ - ..

57

Canevas Mercator Sailing

Navigation Orthodromique

Great Circle Navigation

59

Navigation orthodromique - 1

60

Navigation Orthodromique - 2

• Sont connus :• (co)latitude de départ,

(co)latitude d’arrivée, différence en longitude (dlong)

• Sont recherchés :• La distance orthodromique M,

l’angle de route au départ (Ard), l’angle de route à l’arrivée (Ara)

• Les paires côtés/angles :• M/dlong• Ard/colat arrivée• Ara/colat départ• 1) calculer M• 2) calculer Ard• 3) calculer Ara• 4) le(s) vertex • 5) le nœud si passage de

l’équateur• 1,2,3 via règle du cosinus des côtés, 4

via le triangle rectangle, 5 via le triangle polaire.

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Formules Navigation orthodromique

• M --> dlong ==>• Cos M = cos colatArr cos

ColatDép + sin colatArr sincolatDép cos dlong

• x 60 --> distance en Nm• AR départ --> colatArr• Cos colatArr = cos colatDép cos

M + sin colatDép sin M cos Ardép

• Après transformations :• Cos Ardép = (sin latArr - sin

latDép cos M)/(cos latDép sin M)

• Ardép = Arccos ( « « « « «)

• Même procédure pour ARArr

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Navigation orthodromiqueExemples

• Exemple 1• Départ : Honolulu, N 21°18.3’ - W 157°52.3• Arrivée :San Fransisco, N 37°47.5N - 122°25.7’ W• Distance : 2080.2 Nm• Angle de route au départ : 53°40.2’• Angle de route à l’arrivée : 71°46.0’• Exemple 2• Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’• Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’• Distance : 6,045.4 Nm• Angle de route au départ : S 36°58.6 W (216°)• Angle de route à l’arrivée : S 26°40.4 W (206°)

63

Vérification : calculer la distance loxodromique et comparer

• Départ : Honolulu, N 21°18.3’ - W 157°52.3• Arrivée :San Fransisco, N 37°47.5N - 122°25.7’ W• Distance orthodromique calculée : 2080.2 Nm• Dlat = 16°29.2’ (989.2’)• Dlong = 35°26.6’ (2,126.6’)

Latitudes croissantes (formule ou NNT, Meridional parts)Hn = 1300.454 SF = 2438.306 Dlc = 1137.852

Rv = Arctg (dg/dlc) Rv= N 61°51.0’ E (61°51.0’)lmc = Arcos (989.2/ 1137.852) lmc = 29°37.0’

dg ⇒ DEW : DEW = dg . Cos lmc DEW= 2,126.6 . Cos 29°37.0’

DEW = 1,848.76 Nm

Distance = √( 989.2² + 1,848.7²) --> 2,096.76 Nm

64

Vérification : calculer la distance loxodromique et comparer

• Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’• Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’ - E 144°59.0’• Distance : 6,045.4 Nm• Dlat = 91°43.0’ (5,503’)• Dlong = 48°26.0’ (2,906’)• Latitudes croissantes (formule ou NNT, Meridional parts)• DH = 3,834.126 Mb = -2,441.458 Dlc = 6,275.584

Rv = Arctg (dg/dlc) Rv= S 27°50.2’ W (207°50’)lmc = Arcos (5503/ 6275.6) lmc = 28°43.8’

dg ⇒ DEW : DEW = dg . Cos lmc DEW= 2,906 . Cos 28°43.8’DEW = 2,548.24 NmDistance = √( 5503² + 2548²) --> 6,064.36 Nm

65

Conversion cap quadrantal (NS 113 EW) en cap azimutal

Caz = 180°-B

Caz = 360° - B

66

Calcul de la position du vertex

• On veut connaître :1) position du vertex(co)latitude du vertexdlongitude

• 2) distance jusqu’au vertex

• Le vertex est atteint quand le pôle est par le travers ⇒ azimut = 90°!!!

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Calcul du vertex

• Sont connus : • La latitude de départ, l’angle de route de

départ• Sont recherchés : • La distance Mx jusqu’au vertex, la (co)latitude

du vertex, la longitude gx (dgx) du vertex• Comme l’angle C = 90°utiliser Napier

68

Formules du vertex

• Résoudre via les formules de Napier

• A et c sont connus• B, b, a sont à calculer

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Exercice Navigation orthodromique

• Départ : Dutch Harbor, N 53°53.0’ - W 166°35.0’

• Arrivée : Melbourne, S 37°50.0’- E 144°59.0’

• Calculez : • Distances orthodromique,

loxodromique• Angles de route orthodromique

au départ, à l’arrivée• La position des vertex• La position du nœud• Les positions intermédiaires

quotidiennes si vitesse = 17 kts

• Distance ortho

• Distance loxo

• ARdépart

• ARArrivée

• Position vertex N

• Position vertex S

• Position nœud

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Navigation orthodromique : le noeud

• Le nœud est le point de passage de l’équateur

• L’on veut connaître la position de ce point et la distance parcourue depuis le départLa latitude vaut donc 0°et la colatitude 90°, le triangle polaire est donc rectangle que l’on peut résoudre par Napier

71

Positions intermédiaires

72

Navigation orthodromique : positions intermédiaires

• Rechercher colat(i)• Cos colat(i)=cos M(i).cos

colat(départ)+sin M(i).sincolat(départ).Cos AR(départ)

• Sin lat(i) =cos M(i).sinlat(départ)+Sin M(i).Coslat(départ).Cos AR(départ)

• Rechercher Dg(i)• Cos M(i)=cos colat(i).cos

colat(départ)+sin colat(i).sincolat(départ).Cos Dg(i)

• Cos Dg(i)=(Cos M(i)-sin lat(i).sinlat(départ))/(cos lat(i).cos lat(départ))

• Rechercher AR(i)• Cos colat(départ) = cos M(i).cos

colat(i)+sin M(i).sin colat(i).Cos AR(i)

• Cos AR(i)=(sin lat(départ) - cosM(i).sin lat(i)) / (sin M(i).cos lat(i)

73

Navigation orthodromique : route composite

74

Navig Ortho : Route composite

• L’on détermine un latitude maximum (ex N60°)• L’on pourrait imaginer suivre la route orthodromique « normale »

et une fois à 60°, naviguer plein EstWest et puis repi quer plus tard sur le point d’arrivée mais cela allonge inutilement la route.

• L’on va suivre une première route orthodromique [Départ-Vx1] dont Vx1 sera le vertex à une latitude égale à la latitude limite.

• L’on va calculer une seconde route orthodromique [Vx2-Arrivée] dont Vx2 sera le vertex à une latitude égale à la latitude limite

• L’on suivra le parallèle entre les deux vertex.• Comme Vx1 et Vx2 sont des vertex, l’on peut utiliser les

formules des triangles rectangles sphériques (où il suffit de connaître deux éléments pour obtenir la résolution : colatitudedes point de départ et d’arrivée et colatitude limite)

75

Calculer la route composite

76

Résoudre les triangles

• Triangle I• Dist M1 = Arccos(sin latdépart/sin latlimite)• ARDépart = Arcsin(coslatlim/cos latDépart)• Dg Vx1 = Arccos(tg Latdépart / tg LatLim)

• Triangle II• Distance M2 = Arccos(Sin latarrivée sin latlimite)• ARArrivée = Arcsin(cos latlimite / cos latarrivée)• Dg(Vx2) = Arccos(tg latlimite / tg latarrivée)

• Navigation sur le parallèle• Dist (Vx1-Vx2) = Dg(Vx1, Vx2) . Cos latlimite

• Distance totale = M1 + M3 + M2

77

Exercice LMB- 20

• Date : 01AUG1994• Heure T : 22h00• Vitesse : 06.0 Kts• Départ :• S 41°00.0’ - E 175°00.0’• Arrivée :• S 33°00.0’ - W 071°30.0’

• Distance Orthodromique• 5,038.62 Nm (83°58.6’)• AR(départ)• S 50°39.5’ E• Position du vertex• S 57°17.4’ - W 133°40.3• Distance et cap loxodromique• 5,473.99 Nm, Rv= 084,96°• Latitude au points de longitude

W090°--> S 45°10.7’• W110°--> S 51°52.4’• W130°--> S 54°14.0’

78

Résolution Exercice LMB-20

• Calcul de la distance• Cos a=cos b.cos c + sin b.sin c.Cos A • Cos M=cos colat_arr.cos colat_dep+ sin colat_arr.sin colat_dep.Cos Dg• Cos M=sin lat_arr.sin lat_dep+ cos lat_arr.cos lat_dep.Cos Dg• M=Arccos(sin -33.sin - 41+ cos - 33.cos - 41.Cos 113.5) x 60

• Angle de Route au départ• Cos colat_arr = Cos M.Cos colat_dep + Sin M.Sin colat_dep.Cos AR_départ• Sin lat_arr = Cos M.Sin lat_dep + Sin M.Cos lat_dep.Cos AR_départ• Cos AR_départ = (Sin lat_arr - Cos M.Sin lat_dep)/(Sin M.Cos lat_dep)• AR_départ = ArcCos((Sin - 33 - Cos 86°56.8’.Sin - 41)/ (Sin 86°56.8’.Cos - 41))

• Angle de Route à l’arrivée• Cos colat_dep = Cos M.Cos colat_arr + Sin M.Sin colat_arr.Cos AR_arrivée• Sin lat_dep = Cos M.Sin lat_arr + Sin M.Cos lat_arr.Cos AR_arrivée• Cos AR_arrivée = (Sin lat_dep - Cos M.Sin lat_arr)/(Sin M.Cos lat_arr)• AR_arrivée = ArcCos((Sin - 41 - Cos 86°56.8’.Sin - 33) /(Sin 86°56.8’.Cos - 33))

79

Exercice LMB - 21

• Date : 03Jan1994

• Heure T : 14h30• Vitesse 7 kts• Départ :

• N 48°30.0’ - W 005°10.0’• Arrivée : • S 22°00.0’ - W 040°40.0’

• Distance orthodromique• 4,638.85 NM• AR(départ)• S 33°29,0’ W• Position du vertex

• N 68°33.5’ - E 058°28.7’• Latitude à• W 010°--> N 43°02.9• Angle de route à• W 020°--> S 024.21°W• Distance restant à courir à• W 030°--> 1,673.64 NM• Distance et cap loxodromique• 4,650.03 Nm, Rv = S 024.54°W

Navigation Astronomique

MéridienneDroites de hauteurAmplitudePolaris

Les Ephémérides

GHA �LHADéclinaisonEquation du tempsPassage au méridien

82

Nautical Almanach

• Donne pour chaque heure ronde (hh:00) UT :– le GHA – la déclinaison

• Utiliser les pages jaunes pour l’heure exacte de la visée (mm:ss)– Correction v : planètes & lune --> GHA– Correction d : Soleil, planètes & lune -->

déclinaison

83

NA : Etoiles & Planètes, Soleil & Lune

84

NA : Increments & Corrections

Le temps

L’heure UTL’heure ZTPassage UT � ZT

86

Le temps

• Soleil vrai, soleil moyen, équation du temps• εt = Heure soleilvrai – Heure soleilmoyen

• εt maximum : 16m 24 s• GMT : Heure du soleil moyen à Greenwich• ZT (Zone Time) : heure du soleil moyen par rapport à un

méridien de référence (ts les 15°)• ZD (Zone description) : Numéro du fuseau

ZD = Entier [ ( Longitude + 7.5)/15] (Est < 0, West > 0)• GMT = ZT + ZD• LMT : heure du soleil moyen au méridien de l’observateur• GMT = LMT + longitude/15 (long Est > 0, long West <

0)• Temps Sideral : par rapport à une étoile (pas le soleil!) écart ≈ 4

minutes

87

Heure locale → Heure UT

• GMT= ZT + ZD – ZD = ent((g+7.5)/15)

• GMT = LMT + longitude/15– Avec longitude EST > 0, WEST <0

• Si le résultat > 24h, retirer 24h et ajouter un jour.

• Si le résultat < 0, ajouter 24h et retirer un jour.

88

ZONE TIMES

89

Ligne de changement de date

• Antiméridien de Greenwich (180°)

Vers l’est : de D à D - 1

Vers l’West : de D à D + 1

Est West

Cf. Jules Vernes, Le tour du monde en 80 jours

90

L’heure à bord

• Le chronomètre• Utilisé pour les calculs de

navigation astronomique• Réglé sur GMT• N’est JAMAIS remis à l’heure.• L’on note sa marche et son état• Marche : variation quotidienne• Etat : différence entre

Greenwich (M0) et le chronomètre (Mc) (≈ erreur cumulée).

• Une erreur de 4 secondes du chrono ⇒ erreur de 1 mile sur la position calculée.

• L’horloge de bord• Utilisée pour rythmer les

activités du bord (quarts, repas, etc.).

• Réglée sur la Zone time la plus proche.

• L’horloge est mise à jour tous les 15°de longitude.

• C’est l’heure que donnerait une station radio proche.

• Pas d’exigence d’exactitude.

91

Quelle heure utiliser dans le NA?

• Date et heure à Greenwich si• 11:22:33 le 0902 à W 067°32’ (0902 16:22:33)• 01:23:34 le 1303 à E 121°38’ (1503 17:23:34)• 03:04:05 le 1907 à E 043°19’ (1907 00:04:05)• 20:30:40 le 3110 à W 148°39’ (0111 06:30:40)• Convertir les LMT en ZT• 05:41 à W 013°42 (05:36)• 11:58:41 à E 028°06’ (12:06:17)

92

93

Les corrections de hauteur du sextant

1. Collimation2. Dépression de l’horizon3. Réfraction4. Parallaxe5. Semi-diamètre

95

L’erreur instrumentalehi --> ho

• Si le parallélisme des 2 miroirs du sextant était parfait, l'on verrait l'horizon direct et l'horizon réfléchi en coïncidence sur la même ligne lorsque l'alidade et le tambour sont sur 0.

• C'est rarement le cas et il faut tourner le tambour pour obtenir cette coïncidence. On lit alors le nombre de minutes sur le tambour. Si cette valeur est inférieure à5 minutes, l'on ne modifie pas le réglage des miroirs mais l'on note cette valeur qui sera utilisée pour obtenir la hauteur observée (Ho).

• Cette valeur est la collimation. La collimation peut être positive (le tambour indique +3) ou négative (le tambour indique 55; la collimation est donc de 55-60 = -5).

• La correction à apporter aura la même valeur absolue mais sera de signe contraire :

• Si ma collimation est de +3, je corrige avec –3

• Si ma collimation est de -5, je corrige avec +5• Ho = Hi ± collimation

96

Erreur instrumentale --> correction (la collimation)

97

Corrections ho --> hv

• L'on peut regrouper les astres observés selon des caractéristiques communes :

� L'image du Soleil et de la Lune sont des surfaces avec un diamètre, àla différence de l'image des étoiles et des planètes qui se présentent comme des points,

� la Lune, Venus et Mars sont des astres proches de la Terre.� Tous les astres sont vus au travers de notre horizon Terrestre et depuis

la surface Terrestre et non pas depuis le centre de la Terre• Ces corrections sont au nombre de 4 :� Dépression de l'horizon : tous les astres� Réfraction : tous les astres� Parallaxe : les astres "proches" de la Terre (Lune, Mars, venus)� Semi-Diamètre : le Soleil et la Lune.

98

99

La Dépression de l'horizon

• L'œil de l'observateur est situé àune certaine hauteur ce qui provoque un basculement de l'horizon. Ce basculement est proportionnel à la hauteur de l'observateur. Ce basculement augmente l'angle d'observation, la correction sera donc SOUSTRACTIVE. L'on voit que l'angle observé αO est plus important que l'angle réel αr.

• Cette correction est à appliquer dans tous les cas (Soleil, Lune, planètes, étoiles).

100

La Réfraction

• Les rayons lumineux émis par l'astre sont réfractés lorsqu'ils traversent l'atmosphère. L'observateur mesure un angle plus important que l'angle réel. C'est donc une correction SOUSTRACTIVE

• L'angle de réfraction est d'autant plus important que l'astre est bas sur l'horizon.

• La réfraction est influencée par la pression atmosphérique et la température de l'air.

• Cette correction est à appliquer dans tous les cas (Soleil, Lune, planètes, étoiles ).

101

La parallaxe

• Les calculs supposent que l'astre est vu depuis le centre de la Terre, or l'observateur se trouve à plus ou moins 6,370 km de ce point. La Lune, Venus et Mars étant proches de la Terre (0,368, 41, 78 millions de km), il faut corriger une erreur de parallaxe. L'angle observédepuis la surface Terrestre est inférieur à l'angle réel. La correction est donc ADDITIVE.

• Cette correction est à appliquer pour la Lune, Vénus, Mars.

102

Le Semi-Diamètre

• Les calculs supposent que l'on observe le centre de l'astre. Cela ne pose évidement pas de problème avec les astres ponctuels (planètes et étoiles). Lors de l'observation du Soleil ou de la Lune, l'on peut observer soit le bord supérieur (Upper Limb) ou le bord inférieur (Lower Limb). Le Soleil et la Lune présentent un diamètre d'approximativement un demi-degré. L'observation du bord supérieur va donner un angle trop grand (� correction soustractive ), l'observation du bord inférieur va donner un angle trop petit (� correction additive).

103

Les tables de corrections

• L'on peut trouver dans le Nautical Almanach une table qui regroupe les corrections à apporter au Soleil, Planètes et étoiles (A2/A3 -Sun-Stars, Planets Total Correction).

• Le Nories Nautical Tables offre également des tables de correction totale (Soleil, Etoiles).

• L'on peut y trouver aussi des tables de correction partielle (Semi-Diamètre, Dépression horizon, Parallaxe, réfraction)

• Les tables de correction de la Lune sont les plus complexes : il faut corriger Dépression, réfraction mais il faut absolument corriger la parallaxe. Il faut donc entrer dans la table avec la hauteur de l'œil, la hauteur observée (corrigée de la collimation) et avec la parallaxe. Cette valeur est donnée pour chaque heure dans les éphémérides nautiques.

104

Tables de correction NA

105

Tables de correction NA : Lune

• Correction HP (parallaxe horizontale)– Lire dans les

éphémérides la valeur de la HP

• Deux corrections : – Totale– Parallaxe

• Bord supérieur (U)• Bord inférieur (L)

106

Tables de correction NNTSun & Stars (planets)

107

Tables de correction NNTMoon (Upper or Lower limb)

Add to the observed altitude of themoon’s upper limb THEN SUBTRACT 30’

Add to the observed altitude ifthe moon’s lower limb

108

Nautical Almanach : Étoiles & Planètes

109

Nautical Almanach : Soleil & Lune

• Équation du temps• Passage au méridien • Age de la lune• Phase

110

NA : Lever, Coucher, Crépuscule

111

NA : Incréments & Corrections

• ==> Pages Jaunes• Incrément (GHA) :

hh.00 ==> hh.mm.ss• 3 colonnes :

– Soleil & Planètes– Ariès => Étoiles– Lune

• Corrections :– v => variation horaire du

GHA (lune, planètes)– d => hh.00 ==> hh.mm

La Méridienne

La mesure de la hauteur d’un astre à son zénith permet le calcul de la latitude

113

Méridienne

• La méridienne d’un astre donne la latitude• La hauteur de l’astre est mesurée au moment de sa

culmination (=> soleil = au midi vrai).• Lat = Déclinaison + DistanceZénithale• Régles de signe :• Déclinaison : Nord >0, Sud <0• Distance zénithale (dz=90°-h)• L’observateur tourne le dos au pôle• Nord : dz >0, Sud : dz<0

114

Méridienne : cas 1 & 2Dz & dec >0

Dz > 0, dec <0

115

Méridienne : cas 3

Dec >0, dz <0

116

Méridienne : cas 4

• Passage au méridien inférieur

• Concerne les astres circumpolaires (lat ≥(90°- déc)

• Lat = h + dp

Détermination de la latitude en mesurant la hauteur de Polaris

Dans l’hémisphère Nord, la mesure de la hauteur de l’étoile Polaire permet après de petites correction la détermination de la latitude

118

La latitude via Polaris

• L’étoile Polaire est quasi juste au dessus du pôle Nord; en mesurant la hauteur de l’astre, moyennant quelques corrections, l’on détermine la latitude.

• Les corrections sont au nombre de 3• Correction a0 qui dépend du LHA d’Aries• Correction a1 qui dépend de la latitude (hauteur)• Correction a2 qui dépend du mois.• Les trois corrections sont disponibles dans le NA• Les trois corrections sont POSITIVES et il faut retirer 1°de la

somme (hauteur vraie, corrections=) pour obtenir la latitude.• Possible uniquement dans l’hémisphère Nord

Amplitude

L’amplitude du soleil permet de déterminer la variation du compas

120

L’amplitude

• L’amplitude est l’azimut du soleil à son lever ou à son coucher � la hauteur de l’astre = 0°

• Sin dec = sin h . sin lat + cos h . cos lat cos Z (h=0)

• ⇒ sin dec = cos lat . cos Z• ⇒Cos Z = sin dec / cos lat• Les tables Nories donnent la valeur de l’amplitude.• L’azimut se compte à partir de 90°au lever et à part ir de 270°

au coucher vers le Nord si la déclinaison est Nord et vers le sud si la déclinaison est Sud.

• L’amplitude est utile pour déterminer la variation du compas en haute mer lorsque aucun amer n’est visible

Droite de hauteur

Déterminer la hauteur calculée hcCalcul de l’Intercept (I=hv-hc)Calcul de l’azimutDéterminer la position estimée (PE)

122

Déterminer la hauteur calculée

123

Calculer l’Intercept

124

Calculer l’Azimut

125

Déterminer le Point Déterminatif

126

Exercice

127

Canevas Mercator

128

Déterminer le point déterminatif sur le canevas Mercator

Naviguer avec les tables nautiques

Traverse Tables (loxodromie)Meridional Parts (Navigation Mercator)HaversinesTables ABC

130

Tables Nories• Tables Traverses (⇒ Navigation estimée)• Meridional Parts (⇒ Navigation Mercator)• Logarithms : x . y ⇒ 10 log(x)+log(y)

• Logs of Trig. Functions : permet la multiplication de fonctions trigonométriques via leur logarithme

• Haversines : Hav(α) = (1-cos α)/2, toujours positif (Log & Nat)• L’utilisation des haversines permet la résolution des problèmes de

navigation astronomique (hc) et orthodromique (distance ortho) grâce àdes canevas où il n’y a que des additions.

• Natural Functions of Angles (Sines, Cosines, Tangents, Cosecants, Secants, Cotangents).

• Tables ABC : Azimut d’un astre (Z) en navigation astronomique et Angle de Route (AR) en navigation orthodromique en ne faisant que des additions.

• Tables de correction : Sun, Star, Moon• Conversion Arc to Time

131

NNT : Traverse Table

132

NNT : Meridional Parts

133

NNT : Logs of Trig Functions

134

NNT : Haversines

135

NTT : Tables ABC

136

Extraction de la formule des haversines

• Formule fondamentale : • Cos A = (cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c)• 1-• 1- Cos A = 1 – (cos a – cos b . cos c) / (sin b . sin c)• Ver A = (sin b . sin c – cos b . cos c –cos a) / (sin b . sin c)• Ver A . sin b . sin c = sin b . sin c – cos b . cos c –cos a• comme sin b . sin c – cos b . cos c ≡ cos (b ∼ c), alors• Ver A . sin b . sin c = cos (b ∼∼∼∼ c) – cos a• -cos(b-c) + Ver A . sin b . sin c = - cos a commutativité de l’égalité

• -cos a = - cos(b ∼ c) + Ver A . sin b . sin c en ajoutant 1 aux deux membres

• 1-cos a = 1-cos(b ∼ c) + ver A . sin b . sin c 1 – cos α = Ver α

• Ver a = Ver (b ∼ c) + ver A . sin b . sin c en divisant les 2 membres par 2

• hav(a) = hav(b ∼ c) + hav(A) . sin b . sin c

137

La formule haversine en Navig Astro

• on cherche hc ou dz

• on connaît dec (∆P) , latitude (colat) et LHA

• LHA est opposé à dz• hav(dz) = hav(dec�lat)+ hav(LHA).cos dec.cos lat

• A résoudre via les logarithmes

138

Canevas hauteur calculée via haversines

• hav(dz) = hav(dec �lat)+ hav(LHA).cos dec.cos lat

• Log cos (Lat) : …………….• Log cos (deg) : …………….• Log Hav(LHA) : …………….

• Σ � Log A : …………….• A : …………….• Hav (dec � lat) : …………….

• Σ � Hav (Z) : …………….• Dz : ……………. � Hc

139

La formule haversine en Navig Ortho

• on cherche MOrtho

• on connaît (co)lat de départ et d’arrivée et Dg

• Dg est opposé à MOrtho

• hav(M) = hav(Ld �La)+ hav(Dg).cos Ld.cos La

• A résoudre via les logarithmes

140

Canevas Distance ortho via haversines

• hav(Mo) = hav(La �LD)+ hav(Dg).cos La.cos Ld

• Log cos (Ld) : …………….• Log cos (La) : …………….• Log Hav(Dg) : …………….

• Σ � Log A : …………….• A : …………….• Hav (La � ld) : …………….

• Σ � Hav (Mo) : …………….• Mo : …………….

141

Tables ABC

Annexes

Liste réduite des portsConstellations

143

Liste réduite ports

144

Constellations

• Bélier, Taureau, Gémaux• Cancer, Lion, Vierge• Balance, Scorpion, Sagittaire• Capricorne, Verseau, Poissons

• Le bélier et le tareau sont gémaux

• Le cancer et le lion sont vierges• Balancé, le scorpion s’agite

• Le capricorne verse de l’eau aux poissons.

145

;-)

146

Résolution du triangle polaire rectangle

Sont connus A’= 126°50’ et b’= 153°40’)

Sont recherchés c’ et B’

Voir Dessin

Sin Co-A’ = tg Co-c’ tg b’Cos A’ = tg b’ / tg c’tg c’ = tg b’ /Cos A’

Sin Co-B’ = cos Co-A’ cos b’Cos B’ = sin A’ cos b’

Pour B’ : sin Co-B’ = cos Co-A’ .cos b’B’= Arcos (Sin 126°50’ . cos 153° 40’)B’ = 135° 50.0’Pour c’: sin Co-A’ = tg Co-c’ . tg b’c’ = Arctg (tg 153°40’/Cos 126° 50’)c’ = 39°36.6’ (c’<90°; vérifie la règle des quadrants (A & B > 90° ==> c< 90°)

•Retour à l’énoncé

Rappels algèbre élémentaire

Règles de priorité algébriqueRésolution équations 1er degréLogarithmes

148

Régles de priorité algébrique

� Les parenthèses� Les puissances

� Les produits/quotients� Les sommes/différences

� Utiliser des parenthèses pour modifier l'ordre des priorités algébriques

� 7 + 5³ ≡ 7 + 125� 7 + 2 x 3² ≡ 7 + 2 x 9 ≡ 7 + 18� 5 + 3 x 9 ≡ 5 + 27 (d'abord exécuter le produit, puis la somme)� (5 + 3) x 9 ≡ 8 x 9

149

Utilisation des parenthèses

• Prix par personne : 5 € + 9 € de frais de dossierNous sommes 3Prix total = 3 x 5 € + 9 €Prix total = 24 €Application règles normales de priorité � pas de parenthèses

• Prix par animal : 3 €Il y a 5 guépards et 9 éléphantsPrix total = 3 x (5 + 9)Prix total = 42 €Modification régles normales de priorité � paranthèses

• Nous sommes 3, le voyage coûte 6 € mais chacun a une réduction de 2 €� 3 x (6 – 2) = 12 €

• Nous sommes 3, le voyage coûte 6 € et nous obtenons une réduction globale de 2 €� 3 x 6 – 2 = 16 €

150

Bon usage des règles de priorité

• 3 x 9 +5• 5 + 3 x 9• 9 x 3 + 5• 5 + 9 x 3• Résoudre d'abord le

produit 3 x 9 = 27• Effectuer ensuite la

somme27 + 5 = 32

• Une mauvaise application des règles de priorité donnerait :

• 3 x 9 + 5 = 32• 5 + 3 x 9 = 72 Erreur

• 9 x 3 + 5 = 32• 5 + 9 x 3 = 42 Erreur

151

Equations du premier degré

• a, b c, d, r ,s sont des coéfficient connusx, y sont les inconnues recherchées

• Régle :Les sommes changent de membre en inversant leur signe

• Les produits sont inversés en changeant de membre : numérateur �dénominateur et dénominateur �numérateur

r

abx

abxr

bxra

−=

−==+

.

.

r

abx

abxr

bxra

+=

+==+−

.

.

)).(( srabx

absr

x

bsr

xa

+−=

−=+

=+

+

152

Mise en équation

)sin.sin

cos.coscoscos(

cossin.sin

cos.coscos

cos.sin.sincos.coscos

cos.sin.sincos.coscos

CB

CBAArca

aCB

CBA

aCBCBA

aCBCBA

+=

=+=+

+−=

)sin.sin

cos.coscoscos(

cossin.sin

cos.coscos

cos.sin.sincos.coscos

cos.sin.sincos.coscos

cb

cbaArcA

Acb

cba

Acbcba

Acbcba

−=

=−=−+=