Calcules des portiques. méthodes des déplacements

CHAPITRE II

CALCUL DES PORTIQUES

PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS

HEI 4 BTPHautes Etudes d’Ingénieur13, rue de Toul59046 Lille Cedex

Un portique est un assemblage de poutres dont les lignes moyennes appartiennent à un plan (Oxy) et qui sont chargées dans ce plan. Le point d’assemblage de plusieurs poutres s’appelle un nœud.Les poutres sont considérées comme encastrées aux nœuds, on dit ainsi que les nœuds sont rigides.

I. Définitions

II. Conventions de signes sur les éléments poutres

II.1 Déplacements des nœuds

En un nœud i d’une poutre, le déplacement i à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté)

u2

v2

2

u1

v11

i

i

i

θ

v

u

i

II. Conventions de signes sur les éléments poutres

II.2 Eléments de réduction

Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un

effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections

extrêmes, les sens positifs sont les suivants:

N2

T2

µ2

N1

T1µ1

II.3 Forces extérieures

X2

Y2

M2

X1

Y1

M1

III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux

Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {}

s’écriront:

2

2

2

1

1

1

M

Y

X

M

Y

X

F

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément

poutre, c’est-à-dire:

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

M

Y

X

M

Y

X

v

u

v

u

K

FK

dimension 6x6

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire

IV.1 En repère local

a) Matrice de rigidité due aux efforts selon x* (cf chapitre précédent)

2

1

2

1

u

u

11

11

LEA

X

X

Soit:

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

000000

000000

001001-

000000

000000

001-001

LEA

M

Y

X

M

Y

X

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local

b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z*

On impose une rotation 1 au nœud 1 en bloquant les autres

déplacements

Le moment M1 nécessaire pour produire 1 est (p 21) :

M2

M1

11 L

4EIM

Mt/1=0 M1+M2+Y2L=0 122L

6EIY

De plus, on a Y1+Y2=0 121L

6EIY

Les variations de longueur étant négligeables, on X1=X2=0

Il produit un moment M2 au nœud 2 : 12 L

2EIM

1 2

1

1 2

Y1 Y2



De même, on impose une rotation 2 au nœud 2 en bloquant les autres

déplacements

Le moment M2 nécessaire pour produire 2 est :

M2

M1

22 L4EI

M

Mt/2=0 M1+M2-Y1L=0 221L

6EIY

De plus, on a Y1+Y2=0 222L

6EIY


Il produit un moment M1 au nœud 1 : 21 L2EI

M

21

2

21

Y1 Y2



En superposant les deux cas, on obtient:

2

2

2

1

1

1

22

22

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

400

200

600

600

000000

200

400

600

600

000000

M

Y

X

M

Y

X

LEI

LEI

L

EI

L

EI

LEI

LEI

L

EI

L

EI


c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y*

On impose un déplacement v1 au nœud 1 et on bloque tous les autres

déplacements

Nous avons des moments (2.4 p 23)

1

2v1 M2

M1 1 2

1212

21 vL

6EIL

vv

L6EI

MM

Mt/2=0 M1+M2-Y1L=0 131 vL

12EIY

De plus, on a Y1+Y2=0 132 vL

12EIY


Y1 Y2



De même, on impose un déplacement v2 au nœud 2 et on bloque tous

les autres déplacements

Nous avons des moments

2

1 v2 M2

M1 21

2212

21 vL

6EIL

vv

L6EI

MM

Mt/1=0 M1+M2+Y2L=0 232 vL

12EIY

De plus, on a Y1+Y2=0 231 vL

12EIY


Y1 Y2



En superposant les deux cas, on obtient:

2

2

2

1

1

1

22

33

22

33

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

06

006

0

012

0012

0

000000

06

006

0

012

0012

0

000000

M

Y

X

M

Y

X

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI


Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère

local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):

2

2

2

1

1

1

22

2323

22

2323

2

2

2

1

1

1

v

u

v

u

460

260

6120

6120

00L

EA00

LEA

260

460

6120

6120

00L

EA00

LEA

M

Y

X

M

Y

X

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

LEI

L

EILEI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

e*K


Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65)

IV.2 En repère global

La matrice de rotation est la suivante:

100

0

0

Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:

1

1

1

1*

1*

1*

M

Y

X

M

Y

X

1

1

1

1*

1*

1*

v

u

v

u

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global

Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire :

FFsoit

M

Y

X

M

Y

X

100000

0000

0000

000100

0000

0000

M

Y

X

M

Y

X

*

2

2

2

1

1

1

2*

2*

2*

1*

1*

1*

De même, on a : *

En repère local, la relation de rigidité s’écrit :

On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :

*** FeK

FeK

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global

On a la relation de rigidité en repère local :

et : *

De plus :

La relation de rigidité en repère global s’écrit :

*** FeK

** F eK

FF*

F* eK

Ou encore : F*1 eK

Comme on a : t 1

F* etK

global repèreen rigidité de matrice

eK

V. Transformation des chargements en forces nodales

La relation {F}=[Ke].{} qu’on doit résoudre n’est valable que

lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds.

Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être

décomposée en forces nodales appelées forces de blocage.

On cherche donc à déterminer i et j qui correspondent aux

réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75).

M2M1

Y1 Y2

p

21

l

M2M1

Y1 Y2

p

21

l

12

plM

2

plY

0X

2*

1

*

1

*

1

*

1

12

plM

2

plY

0X

2*

2

*

2

*

2

*

2

8

plM

2

pY

0X

*

1

*

1

*

1

*

1

8

plM

2

pY

0X

*

2

*

2

*

2

*

2

VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre

Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds

s’écriront:

zj

yj

xj

j

zi

yi

xi

i

M

P

P

M

P

P

et

jjjjijij

ijijiiii

KK

KK

Où i et j sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent

directement les nœuds i et j :

Forces de blocage

Forces de raideur

VII. Effet thermique sur les poutres

Les expressions en repère local des forces de blocage sont les

suivantes :

La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit

alors :

0

0

TEA-

0

0

TEA

**

ji

(e)j

(e)jj

)(

jji

)(

ji(e)j

(e)i

(e)ij

)(

iji

)(

ii(e)i

KKF

KKF

ee

ee

VIII. Tableau de localisation

e i j EA/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L

…. …. …. …. …. …. …. …. …. ….

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