Calculdel’inversed’unematrice1...

Calcul de l’inverse d’une matrice1

Exemples de calculs d’inverseLes données des matrices sont obtenues de façon aléatoire

Martine Arrou-VignodFORMAV

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Plan

À lire

Objectif

ExercicesInverse d’une matrice d’ordre 3

Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5

Inverse d’une matrice d’ordre 4Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10

Inverse d’une matrice d’ordre supérieur à 4Exercice 11Exercice 12Exercice 13Exercice 14Exercice 15

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• Ce module est issu de la recherche de FORMAV sur l’introduction de l’aléatoire dansl’e-learning.

• Ce module est utilisable librement dans tout contexte non commercial.• Si vous souhaitez utiliser ce module dans un autre contexte ou si vous souhaitez avoir

une charte graphique différente de celle de ce module, contactez nous.

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L’objectif de ce module est de proposer à l’apprenant des exercices corrigés variés surl’inversion de matricesLes exercices et leur correction sont obtenus par programmation.Pour les matrices d’ordre supérieur à 5 seul le résultat est donné.Le but est d’obtenir à chaque compilation des exercices différents.

Ces exercices sont un complément au module sur les matrices et applications linéairesréalisé pour IUT en ligne.

Accès au module sur les matrices et applications linéaires

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• Cinq exercices entièrement résolus vous sont proposés sur les matrices d’ordre 3.• Cinq exercices entièrement résolus vous sont proposés sur les matrices d’ordre 4.• Les dix exercices suivants portant sur des matrice d’ordre supérieur à 4, nous ne

détaillerons pas tout le calcul de l’inverse.

Commencer les exercices

page précédente Plan À lire Objectif Exercices Auteur Nous joindre Exercice 1

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Exercice 1

• Soit la matrice A=

−2 −1 −1−2 −1 1−1 −1 3

1) La matrice A est-elle inversible?2) Si A est inversible, déterminer l’inverse de A : A−1

Matrices d’ordre 3 Matrices d’ordre 4 Matrices d’ordre supérieur à 4

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 10 Exercice 11 Exercice 12 Exercice 13 Exercice 14 Exercice 15

Enoncé Solution détaillée Résultat Vérification


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1) DA = −2 =⇒ A est inversible

A est inversible2) Calcul des cofacteurs

Cofacteurs ligne 1

A11 = +

∣∣∣∣ −1 1−1 3

∣∣∣∣ = −2 A12 = −∣∣∣∣ −2 1

−1 3

∣∣∣∣ = 5 A13 = +

∣∣∣∣ −2 −1−1 −1

∣∣∣∣ = 1

Cofacteurs ligne 2

A21 = −∣∣∣∣ −1 −1

−1 3

∣∣∣∣ = 4 A22 = +

∣∣∣∣ −2 −1−1 3

∣∣∣∣ = −7 A23 = −∣∣∣∣ −2 −1

−1 −1

∣∣∣∣ = −1

Cofacteurs ligne 3

A31 = +

∣∣∣∣ −1 −1−1 1

∣∣∣∣ = −2 A32 = −∣∣∣∣ −2 −1

−2 1

∣∣∣∣ = 4 A33 = +

∣∣∣∣ −2 −1−2 −1

∣∣∣∣ = 0





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• Le déterminant de A est DA = −2

• La comatrice de A est:

com(A) =

−2 5 14 −7 −1

−2 4 0

• L’inverse de A est: A−1 =

1

DA

tcom(A)

A−1 =1

2

2 −4 2−5 7 −4−1 1 0





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Solution de l’exercice 1

1) A est inversible car son déterminant n’est pas nul2) Inverse de A:

A−1 =1

2

2 −4 2−5 7 −4−1 1 0





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• On vérifie que l’on a A−1A = I3

A−1A =1

2

2 −4 2−5 7 −4−1 1 0

−2 −1 −1−2 −1 1−1 −1 3

A−1A = =

1

2

2 0 00 2 00 0 2

A−1A =

1 0 00 1 00 0 1





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Exercice 2

• Soit la matrice B=

−2 1 −2−1 −1 −1−1 1 −2

1) La matrice B est-elle inversible?2) Si B est inversible, déterminer l’inverse de B : B−1





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1) DB = −3 =⇒ B est inversible

B est inversible2) Calcul des cofacteurs

Cofacteurs ligne 1

B11 = +

∣∣∣∣ −1 −11 −2

∣∣∣∣ = 3 B12 = −∣∣∣∣ −1 −1

−1 −2

∣∣∣∣ = −1 B13 = +

∣∣∣∣ −1 −1−1 1

∣∣∣∣ = −2

Cofacteurs ligne 2

B21 = −∣∣∣∣ 1 −2

1 −2

∣∣∣∣ = 0 B22 = +

∣∣∣∣ −2 −2−1 −2

∣∣∣∣ = 2 B23 = −∣∣∣∣ −2 1

−1 1

∣∣∣∣ = 1

Cofacteurs ligne 3

B31 = +

∣∣∣∣ 1 −2−1 −1

∣∣∣∣ = −3 B32 = −∣∣∣∣ −2 −2

−1 −1

∣∣∣∣ = 0 B33 = +

∣∣∣∣ −2 1−1 −1

∣∣∣∣ = 3





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• Le déterminant de B est DB = −3

• La comatrice de B est:

com(B) =

3 −1 −20 2 1

−3 0 3

• L’inverse de B est: B−1 =

1

DB

tcom(B)

B−1 =1

3

−3 0 31 −2 02 −1 −3





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1) B est inversible car son déterminant n’est pas nul2) Inverse de B:

B−1 =1

3

−3 0 31 −2 02 −1 −3





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• On vérifie que l’on a B−1B = I3

B−1B =1

3

−3 0 31 −2 02 −1 −3

−2 1 −2−1 −1 −1−1 1 −2

B−1B = =

1

3

3 0 00 3 00 0 3

B−1B =

1 0 00 1 00 0 1





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Exercice 3

• Soit la matrice C=

−1 1 11 2 1

−1 3 2

1) La matrice C est-elle inversible?2) Si C est inversible, déterminer l’inverse de C : C−1





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1) DC = 1 =⇒ C est inversible

C est inversible2) Calcul des cofacteurs

Cofacteurs ligne 1

C11 = +

∣∣∣∣ 2 13 2

∣∣∣∣ = 1 C12 = −∣∣∣∣ 1 1

−1 2

∣∣∣∣ = −3 C13 = +

∣∣∣∣ 1 2−1 3

∣∣∣∣ = 5

Cofacteurs ligne 2

C21 = −∣∣∣∣ 1 1

3 2

∣∣∣∣ = 1 C22 = +

∣∣∣∣ −1 1−1 2

∣∣∣∣ = −1 C23 = −∣∣∣∣ −1 1

−1 3

∣∣∣∣ = 2

Cofacteurs ligne 3

C31 = +

∣∣∣∣ 1 12 1

∣∣∣∣ = −1 C32 = −∣∣∣∣ −1 1

1 1

∣∣∣∣ = 2 C33 = +

∣∣∣∣ −1 11 2

∣∣∣∣ = −3





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• Le déterminant de C est DC = 1

• La comatrice de C est:

com(C) =

1 −3 51 −1 2

−1 2 −3

• L’inverse de C est: C−1 =

1

DC

tcom(C)

C−1 =1

1

1 1 −1−3 −1 25 2 −3





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1) C est inversible car son déterminant n’est pas nul2) Inverse de C:

C−1 =1

1

1 1 −1−3 −1 25 2 −3





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• On vérifie que l’on a C−1C = I3

C−1C =1

1

1 1 −1−3 −1 25 2 −3

−1 1 11 2 1

−1 3 2

C−1C = =

1

1

1 0 00 1 00 0 1

C−1C =

1 0 00 1 00 0 1





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Exercice 4


−1 2 −12 3 12 −2 1






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1) DA = 5 =⇒ A est inversible


Cofacteurs ligne 1

A11 = +

∣∣∣∣ 3 1−2 1

∣∣∣∣ = 5 A12 = −∣∣∣∣ 2 1

2 1

∣∣∣∣ = 0 A13 = +

∣∣∣∣ 2 32 −2

∣∣∣∣ = −10

Cofacteurs ligne 2

A21 = −∣∣∣∣ 2 −1

−2 1

∣∣∣∣ = 0 A22 = +

∣∣∣∣ −1 −12 1

∣∣∣∣ = 1 A23 = −∣∣∣∣ −1 2

2 −2

∣∣∣∣ = 2

Cofacteurs ligne 3

A31 = +

∣∣∣∣ 2 −13 1

∣∣∣∣ = 5 A32 = −∣∣∣∣ −1 −1

2 1

∣∣∣∣ = −1 A33 = +

∣∣∣∣ −1 22 3

∣∣∣∣ = −7





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• Le déterminant de A est DA = 5


com(A) =

5 0 −100 1 25 −1 −7


1

DA

tcom(A)

A−1 =1

5

5 0 50 1 −1

−10 2 −7





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A−1 =1

5

5 0 50 1 −1

−10 2 −7





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A−1A =1

5

5 0 50 1 −1

−10 2 −7

−1 2 −12 3 12 −2 1

A−1A = =

1

5

5 0 00 5 00 0 5

A−1A =

1 0 00 1 00 0 1





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Exercice 5


−2 2 −12 −3 −2

−2 1 −1






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1) DB = 6 =⇒ B est inversible


Cofacteurs ligne 1

B11 = +

∣∣∣∣ −3 −21 −1

∣∣∣∣ = 5 B12 = −∣∣∣∣ 2 −2

−2 −1

∣∣∣∣ = 6 B13 = +

∣∣∣∣ 2 −3−2 1

∣∣∣∣ = −4

Cofacteurs ligne 2

B21 = −∣∣∣∣ 2 −1

1 −1

∣∣∣∣ = 1 B22 = +

∣∣∣∣ −2 −1−2 −1

∣∣∣∣ = 0 B23 = −∣∣∣∣ −2 2

−2 1

∣∣∣∣ = −2

Cofacteurs ligne 3

B31 = +

∣∣∣∣ 2 −1−3 −2

∣∣∣∣ = −7 B32 = −∣∣∣∣ −2 −1

2 −2

∣∣∣∣ = −6 B33 = +

∣∣∣∣ −2 22 −3

∣∣∣∣ = 2





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• Le déterminant de B est DB = 6


com(B) =

5 6 −41 0 −2

−7 −6 2


1

DB

tcom(B)

B−1 =1

6

5 1 −76 0 −6

−4 −2 2





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B−1 =1

6

5 1 −76 0 −6

−4 −2 2





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B−1B =1

6

5 1 −76 0 −6

−4 −2 2

−2 2 −12 −3 −2

−2 1 −1

B−1B = =

1

6

6 0 00 6 00 0 6

B−1B =

1 0 00 1 00 0 1





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Exercice 6


2 1 2 −3

−2 2 −1 −12 2 −3 −13 −2 −3 −1






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Cofacteurs ligne 1

C11 = +

∣∣∣∣∣∣2 −1 −12 −3 −1

−2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = 8 C12 = −

∣∣∣∣∣∣−2 −1 −12 −3 −13 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = 2

C13 = +

∣∣∣∣∣∣−2 2 −12 2 −13 −2 −1

∣∣∣∣∣∣ = 16 C14 = −

∣∣∣∣∣∣−2 2 −12 2 −33 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = −28

Cofacteurs ligne 2

C21 = −

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −3 −1

−2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = −44 C22 = +

∣∣∣∣∣∣2 2 −32 −3 −13 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = −11

C23 = −

∣∣∣∣∣∣2 1 −32 2 −13 −2 −1

∣∣∣∣∣∣ = −21 C24 = +

∣∣∣∣∣∣2 1 22 2 −33 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = −47





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Cofacteurs ligne 3

C31 = +

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 −1

−2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = 30 C32 = −

∣∣∣∣∣∣2 2 −3

−2 −1 −13 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = 41

C33 = +

∣∣∣∣∣∣2 1 −3

−2 2 −13 −2 −1

∣∣∣∣∣∣ = −7 C34 = −

∣∣∣∣∣∣2 1 2

−2 2 −13 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = 29

Cofacteurs ligne 4

C41 = −

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 −12 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = −10 C42 = +

∣∣∣∣∣∣2 2 −3

−2 −1 −12 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = −36

C43 = −

∣∣∣∣∣∣2 1 −3

−2 2 −12 2 −1

∣∣∣∣∣∣ = −20 C44 = +

∣∣∣∣∣∣2 1 2

−2 2 −12 2 −3

∣∣∣∣∣∣ = −32





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com(C) =

8 2 16 −28

−44 −11 −21 −4730 41 −7 29

−10 −36 −20 −32


1

DC

tcom(C)

C−1 =1

134

8 −44 30 −102 −11 41 −36

16 −21 −7 −20−28 −47 29 −32





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C−1 =1

134

8 −44 30 −102 −11 41 −36

16 −21 −7 −20−28 −47 29 −32





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C−1C =1

134

8 −44 30 −102 −11 41 −36

16 −21 −7 −20−28 −47 29 −32

2 1 2 −3−2 2 −1 −12 2 −3 −13 −2 −3 −1

C−1C = =

1

134

134 0 0 0

0 134 0 00 0 134 00 0 0 134

C−1C =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1





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Exercice 7


−3 1 1 3−2 1 2 −31 2 1 22 −2 1 −2






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Cofacteurs ligne 1

A11 = +

∣∣∣∣∣∣1 2 −32 1 2

−2 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −16 A12 = −

∣∣∣∣∣∣−2 2 −31 1 22 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −23

A13 = +

∣∣∣∣∣∣−2 1 −31 2 22 −2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 24 A14 = −

∣∣∣∣∣∣−2 1 21 2 12 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = 19

Cofacteurs ligne 2

A21 = −

∣∣∣∣∣∣1 1 32 1 2

−2 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −8 A22 = +

∣∣∣∣∣∣−3 1 31 1 22 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 15

A23 = −

∣∣∣∣∣∣−3 1 31 2 22 −2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 12 A24 = +

∣∣∣∣∣∣−3 1 11 2 12 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = −17





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Cofacteurs ligne 3

A31 = +

∣∣∣∣∣∣1 1 31 2 −3

−2 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 22 A32 = −

∣∣∣∣∣∣−3 1 3−2 2 −32 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 25

A33 = +

∣∣∣∣∣∣−3 1 3−2 1 −32 −2 −2

∣∣∣∣∣∣ = 20 A34 = −

∣∣∣∣∣∣−3 1 1−2 1 22 −2 1

∣∣∣∣∣∣ = 7

Cofacteurs ligne 4

A41 = −

∣∣∣∣∣∣1 1 31 2 −32 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 10 A42 = +

∣∣∣∣∣∣−3 1 3−2 2 −31 1 2

∣∣∣∣∣∣ = −32

A43 = −

∣∣∣∣∣∣−3 1 3−2 1 −31 2 2

∣∣∣∣∣∣ = 38 A44 = +

∣∣∣∣∣∣−3 1 1−2 1 21 2 1

∣∣∣∣∣∣ = 8





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• Le déterminant de A est DA = 106


com(A) =

−16 −23 24 19−8 15 12 −1722 25 20 710 −32 38 8


1

DA

tcom(A)

A−1 =1

106

−16 −8 22 10−23 15 25 −3224 12 20 3819 −17 7 8





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A−1 =1

106

−16 −8 22 10−23 15 25 −3224 12 20 3819 −17 7 8





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A−1A =1

106

−16 −8 22 10−23 15 25 −3224 12 20 3819 −17 7 8

−3 1 1 3−2 1 2 −31 2 1 22 −2 1 −2

A−1A = =

1

106

106 0 0 0

0 106 0 00 0 106 00 0 0 106

A−1A =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1





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Exercice 8


1 −2 −3 2

−3 −1 −1 −1−2 −3 −1 3−1 3 3 −2






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Cofacteurs ligne 1

B11 = +

∣∣∣∣∣∣−1 −1 −1−3 −1 33 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 10 B12 = −

∣∣∣∣∣∣−3 −1 −1−2 −1 3−1 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = −35

B13 = +

∣∣∣∣∣∣−3 −1 −1−2 −3 3−1 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 25 B14 = −

∣∣∣∣∣∣−3 −1 −1−2 −3 −1−1 3 3

∣∣∣∣∣∣ = −20

Cofacteurs ligne 2

B21 = −

∣∣∣∣∣∣−2 −3 2−3 −1 33 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 7 B22 = +

∣∣∣∣∣∣1 −3 2

−2 −1 3−1 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 0

B23 = −

∣∣∣∣∣∣1 −2 2

−2 −3 3−1 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 7 B24 = +

∣∣∣∣∣∣1 −2 −3

−2 −3 −1−1 3 3

∣∣∣∣∣∣ = 7





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Cofacteurs ligne 3

B31 = +

∣∣∣∣∣∣−2 −3 2−1 −1 −13 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 5 B32 = −

∣∣∣∣∣∣1 −3 2

−3 −1 −1−1 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = 0

B33 = +

∣∣∣∣∣∣1 −2 2

−3 −1 −1−1 3 −2

∣∣∣∣∣∣ = −5 B34 = −

∣∣∣∣∣∣1 −2 −3

−3 −1 −1−1 3 3

∣∣∣∣∣∣ = −10

Cofacteurs ligne 4

B41 = −

∣∣∣∣∣∣−2 −3 2−1 −1 −1−3 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = 14 B42 = +

∣∣∣∣∣∣1 −3 2

−3 −1 −1−2 −1 3

∣∣∣∣∣∣ = −35

B43 = −

∣∣∣∣∣∣1 −2 2

−3 −1 −1−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = 14 B44 = +

∣∣∣∣∣∣1 −2 −3

−3 −1 −1−2 −3 −1

∣∣∣∣∣∣ = −21





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• Le déterminant de B est DB = −35


com(B) =

10 −35 25 −207 0 7 75 0 −5 −10

14 −35 14 −21


1

DB

tcom(B)

B−1 =1

35

−10 −7 −5 −1435 0 0 35

−25 −7 5 −1420 −7 10 21





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B−1 =1

35

−10 −7 −5 −1435 0 0 35

−25 −7 5 −1420 −7 10 21





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B−1B =1

35

−10 −7 −5 −1435 0 0 35

−25 −7 5 −1420 −7 10 21

1 −2 −3 2−3 −1 −1 −1−2 −3 −1 3−1 3 3 −2

B−1B = =

1

35

35 0 0 00 35 0 00 0 35 00 0 0 35

B−1B =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1





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Exercice 9


1 −3 3 −21 3 −1 −32 1 −1 1

−2 −2 −3 3






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Cofacteurs ligne 1

C11 = +

∣∣∣∣∣∣3 −1 −31 −1 1

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = 20 C12 = −

∣∣∣∣∣∣1 −1 −32 −1 1

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = −32

C13 = +

∣∣∣∣∣∣1 3 −32 1 1

−2 −2 3

∣∣∣∣∣∣ = −13 C14 = −

∣∣∣∣∣∣1 3 −12 1 −1

−2 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = −21

Cofacteurs ligne 2

C21 = −

∣∣∣∣∣∣−3 3 −21 −1 1

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = 5 C22 = +

∣∣∣∣∣∣1 3 −22 −1 1

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = −8

C23 = −

∣∣∣∣∣∣1 −3 −22 1 1

−2 −2 3

∣∣∣∣∣∣ = −33 C24 = +

∣∣∣∣∣∣1 −3 32 1 −1

−2 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = −35





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Cofacteurs ligne 3

C31 = +

∣∣∣∣∣∣−3 3 −23 −1 −3

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = 49 C32 = −

∣∣∣∣∣∣1 3 −21 −1 −3

−2 −3 3

∣∣∣∣∣∣ = −7

C33 = +

∣∣∣∣∣∣1 −3 −21 3 −3

−2 −2 3

∣∣∣∣∣∣ = −14 C34 = −

∣∣∣∣∣∣1 −3 31 3 −1

−2 −2 −3

∣∣∣∣∣∣ = 14

Cofacteurs ligne 4

C41 = −

∣∣∣∣∣∣−3 3 −23 −1 −31 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = 2 C42 = +

∣∣∣∣∣∣1 3 −21 −1 −32 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = −27

C43 = −

∣∣∣∣∣∣1 −3 −21 3 −32 1 1

∣∣∣∣∣∣ = −37 C44 = +

∣∣∣∣∣∣1 −3 31 3 −12 1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −14





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com(C) =

20 −32 −13 −215 −8 −33 −35

49 −7 −14 142 −27 −37 −14


1

DC

tcom(C)

C−1 =1

119

20 5 49 2

−32 −8 −7 −27−13 −33 −14 −37−21 −35 14 −14





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C−1 =1

119

20 5 49 2

−32 −8 −7 −27−13 −33 −14 −37−21 −35 14 −14





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C−1C =1

119

20 5 49 2

−32 −8 −7 −27−13 −33 −14 −37−21 −35 14 −14

1 −3 3 −21 3 −1 −32 1 −1 1

−2 −2 −3 3

C−1C = =

1

119

119 0 0 0

0 119 0 00 0 119 00 0 0 119

C−1C =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1





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Exercice 10


−2 3 3 33 2 3 −1

−2 1 3 13 −1 −1 −2






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1) DA = −12 =⇒ A est inversible


Cofacteurs ligne 1

A11 = +

∣∣∣∣∣∣2 3 −11 3 1

−1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −9 A12 = −

∣∣∣∣∣∣3 3 −1

−2 3 13 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 11

A13 = +

∣∣∣∣∣∣3 2 −1

−2 1 13 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −4 A14 = −

∣∣∣∣∣∣3 2 3

−2 1 33 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −17

Cofacteurs ligne 2

A21 = −

∣∣∣∣∣∣3 3 31 3 1

−1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 6 A22 = +

∣∣∣∣∣∣−2 3 3−2 3 13 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −14

A23 = −

∣∣∣∣∣∣−2 3 3−2 1 13 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 4 A24 = +

∣∣∣∣∣∣−2 3 3−2 1 33 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = 14





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Cofacteurs ligne 3

A31 = +

∣∣∣∣∣∣3 3 32 3 −1

−1 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −3 A32 = −

∣∣∣∣∣∣−2 3 33 3 −13 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 13

A33 = +

∣∣∣∣∣∣−2 3 33 2 −13 −1 −2

∣∣∣∣∣∣ = −8 A34 = −

∣∣∣∣∣∣−2 3 33 2 33 −1 −1

∣∣∣∣∣∣ = −7

Cofacteurs ligne 4

A41 = −

∣∣∣∣∣∣3 3 32 3 −11 3 1

∣∣∣∣∣∣ = −18 A42 = +

∣∣∣∣∣∣−2 3 33 3 −1

−2 3 1

∣∣∣∣∣∣ = 30

A43 = −

∣∣∣∣∣∣−2 3 33 2 −1

−2 1 1

∣∣∣∣∣∣ = −12 A44 = +

∣∣∣∣∣∣−2 3 33 2 3

−2 1 3

∣∣∣∣∣∣ = −30





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• Le déterminant de A est DA = −12


com(A) =

−9 11 −4 −176 −14 4 14

−3 13 −8 −7−18 30 −12 −30


1

DA

tcom(A)

A−1 =1

12

9 −6 3 18

−11 14 −13 −304 −4 8 12

17 −14 7 30





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A−1 =1

12

9 −6 3 18

−11 14 −13 −304 −4 8 12

17 −14 7 30





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A−1A =1

12

9 −6 3 18

−11 14 −13 −304 −4 8 12

17 −14 7 30

−2 3 3 33 2 3 −1

−2 1 3 13 −1 −1 −2

A−1A = =

1

12

12 0 0 00 12 0 00 0 12 00 0 0 12

A−1A =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1





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Exercice 11


−2 −3 −2 −1 22 1 −1 −3 −22 2 1 −3 −22 −2 1 2 1

−1 1 −2 1 1






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B est inversible2) Le déterminant de B est DB = 135


com(B) =

2 −6 3 −33 47

11 −33 −51 21 −7928 51 42 −57 11845 0 0 0 4529 48 −24 −6 74





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• L’inverse de B est: B−1 =1

DB

tcom(B)

B−1 =1

135

2 11 28 45 29

−6 −33 51 0 483 −51 42 0 −24

−33 21 −57 0 −647 −79 118 45 74





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B−1 =1

135

2 11 28 45 29

−6 −33 51 0 483 −51 42 0 −24

−33 21 −57 0 −647 −79 118 45 74





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B−1B =1

135

2 11 28 45 29

−6 −33 51 0 483 −51 42 0 −24

−33 21 −57 0 −647 −79 118 45 74

−2 −3 −2 −1 22 1 −1 −3 −22 2 1 −3 −22 −2 1 2 1

−1 1 −2 1 1

B−1B = =1

135

135 0 0 0 0

0 135 0 0 00 0 135 0 00 0 0 135 00 0 0 0 135

B−1B =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1





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Exercice 12


1 −2 1 3 −11 −2 −2 −1 22 −2 −2 −1 −31 2 2 −2 3

−3 2 2 1 −3






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C est inversible2) Le déterminant de C est DC = 198


com(C) =

0 −66 66 0 0

−108 −177 96 −108 1818 −31 28 −48 −360 −55 88 −66 0

−90 −120 102 −90 −18





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• L’inverse de C est: C−1 =1

DC

tcom(C)

C−1 =1

198

0 −108 18 0 −90

−66 −177 −31 −55 −12066 96 28 88 1020 −108 −48 −66 −900 18 −36 0 −18





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C−1 =1

198

0 −108 18 0 −90

−66 −177 −31 −55 −12066 96 28 88 1020 −108 −48 −66 −900 18 −36 0 −18





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C−1C =1

198

0 −108 18 0 −90

−66 −177 −31 −55 −12066 96 28 88 1020 −108 −48 −66 −900 18 −36 0 −18

1 −2 1 3 −11 −2 −2 −1 22 −2 −2 −1 −31 2 2 −2 3

−3 2 2 1 −3

C−1C = =1

198

198 0 0 0 0

0 198 0 0 00 0 198 0 00 0 0 198 00 0 0 0 198

C−1C =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1





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Exercice 13


−1 1 −2 2 −1−3 3 −2 −3 −2−2 −1 3 −2 12 −2 −1 −2 −32 −2 −1 −1 1






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A est inversible2) Le déterminant de A est DA = 399


com(A) =

−168 −168 −105 84 −21−13 44 −39 −60 15

−133 −133 0 0 06 −51 18 −3 −99

−43 −100 −129 −45 111





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• L’inverse de A est: A−1 =1

DA

tcom(A)

A−1 =1

399

−168 −13 −133 6 −43−168 44 −133 −51 −100−105 −39 0 18 −129

84 −60 0 −3 −45−21 15 0 −99 111





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A−1 =1

399

−168 −13 −133 6 −43−168 44 −133 −51 −100−105 −39 0 18 −129

84 −60 0 −3 −45−21 15 0 −99 111





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A−1A =1

399

−168 −13 −133 6 −43−168 44 −133 −51 −100−105 −39 0 18 −129

84 −60 0 −3 −45−21 15 0 −99 111

−1 1 −2 2 −1−3 3 −2 −3 −2−2 −1 3 −2 12 −2 −1 −2 −32 −2 −1 −1 1

A−1A = =1

399

399 0 0 0 0

0 399 0 0 00 0 399 0 00 0 0 399 00 0 0 0 399

A−1A =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1





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Exercice 14


2 2 −2 −2 2 1

−1 2 3 3 1 23 2 −2 −3 1 22 −3 −1 −2 −3 31 1 −3 2 3 22 2 3 3 3 2






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B est inversible2) Le déterminant de B est DB = 586


com(B) =

−742 −737 382 −813 1113 456−236 27 52 −103 61 194568 670 −294 526 −852 −308

−138 −235 90 −167 207 17886 87 −158 189 −129 −26

160 −63 74 45 53 −62





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DB

tcom(B)

B−1 =1

586

−742 −236 568 −138 86 160−737 27 670 −235 87 −63382 52 −294 90 −158 74

−813 −103 526 −167 189 451113 61 −852 207 −129 53456 194 −308 178 −26 −62





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B−1 =1

586

−742 −236 568 −138 86 160−737 27 670 −235 87 −63382 52 −294 90 −158 74

−813 −103 526 −167 189 451113 61 −852 207 −129 53456 194 −308 178 −26 −62





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B−1B =1

586

−742 −236 568 −138 86 160−737 27 670 −235 87 −63382 52 −294 90 −158 74

−813 −103 526 −167 189 451113 61 −852 207 −129 53456 194 −308 178 −26 −62

2 2 −2 −2 2 1−1 2 3 3 1 23 2 −2 −3 1 22 −3 −1 −2 −3 31 1 −3 2 3 22 2 3 3 3 2

B−1B = =1

586

586 0 0 0 0 0

0 586 0 0 0 00 0 586 0 0 00 0 0 586 0 00 0 0 0 586 00 0 0 0 0 586

B−1B =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1





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Exercice 15


−3 −3 −3 2 −1 −2−2 −2 −1 1 1 13 −2 2 −1 −3 −1

−2 1 2 3 −1 −1−2 −2 1 1 3 22 −1 2 2 2 −1






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B est inversible2) Le déterminant de B est DB = −1027


com(B) =

244 114 −90 295 −151 482

−667 −17 608 −1080 518 −1225−17 152 −120 51 141 −4263 −80 −99 −189 142 −86

475 163 −453 629 −315 509−251 9 101 −274 −93 −16





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DB

tcom(B)

B−1 =1

1027

−244 667 17 −63 −475 251−114 17 −152 80 −163 −9

90 −608 120 99 453 −101−295 1080 −51 189 −629 274151 −518 −141 −142 315 93

−482 1225 42 86 −509 16





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B−1 =1

1027

−244 667 17 −63 −475 251−114 17 −152 80 −163 −9

90 −608 120 99 453 −101−295 1080 −51 189 −629 274151 −518 −141 −142 315 93

−482 1225 42 86 −509 16





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B−1B =1

1027

−244 667 17 −63 −475 251−114 17 −152 80 −163 −9

90 −608 120 99 453 −101−295 1080 −51 189 −629 274151 −518 −141 −142 315 93

−482 1225 42 86 −509 16

−3 −3 −3 2 −1 −2−2 −2 −1 1 1 13 −2 2 −1 −3 −1

−2 1 2 3 −1 −1−2 −2 1 1 3 22 −1 2 2 2 −1

B−1B = =1

1027

1027 0 0 0 0 0

0 1027 0 0 0 00 0 1027 0 0 00 0 0 1027 0 00 0 0 0 1027 00 0 0 0 0 1027

B−1B =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1





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• Martine Arrou-Vignod, directrice de FORMAV, est Ingénieur et Agrégée de Mathématiques• Après avoir travaillé dans le centre de formation clients de Thales, Martine Arrou-Vignod a enseigné à l’université de

Versailles où elle a été responsable de l’enseignement des mathématiques en DUT R&T, a développé des méthodespédagogiques innovantes, notamment pour l’application des maths dans le domaine scientifique et technique et acréé une section DUT par apprentissage.

• Son expérience de la formation scientifique pratique ou théorique, en milieu universitaire et industriel, son expertisepédagogique a permis le développement de FORMAV, société d’ingénierie de formation.

• Sa connaissance approfondie du milieu universitaire, des classes préparatoires, de l’enseignement à distance, de laformation clients des grands groupes industriels, de la pédagogie, permet à FORMAV de vous accompagner danstoutes vos formations à distance.

• Sa grande maîtrise des formations à l’international (certificat d’arabe littéral de la Sorbonne), de l’enseignement àdistance: E-learning et Learning Management System permet à FORMAV de réaliser vos projets de formation àl’export (notamment lors des transferts de technologies) et de développer votre enseignement à distance

• Exemple de missions réalisées par Martine Arrou-Vignod pour FORMAV

• formation au Maghreb de militaires sur un centre de contrôle et de surveillance de frontières.• formation de 6 mois pour 16 stagiaires originaires du Moyen Orient dans le cadre d’une licence Télécom en

partenariat avec un industriel et la formation continue de l’ Université Pierre et Marie Curie (Paris VI).• formation de groupes de stagiaires chinois sur un calculateur Radar.• formation de cent quarante militaires français sur un nouveau système d’information et de gestion des

données.• formation sur l’application des mathématiques en recherche sur l’imagerie médicale.• conduite du changement.


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