Math 4G - Exercices

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Calcul vectoriel Exercices supplémentaires

1. On donne les points A, B, C, D, E, F et G.

Représente les vecteurs suivants : 𝐴𝐵  ; 𝐴𝐶  ; 𝐴𝐷  ; 𝐵𝐶  ;  𝐵𝐷  ;  𝐵𝐸  ; 𝐶𝐺  ; 𝐹𝐸  ; 𝐺𝐵  ; 𝐸𝐶  ; 𝐴𝐵 + 𝐵𝐷  ; 𝐴𝐵 +  𝐹𝐸  ; 𝐴𝐶 +  𝐵𝐶  ; 𝐴𝐶 +  𝐵𝐸  ; 𝐴𝐵 +  𝐺𝐵  ; 𝐴𝐷 −  𝐸𝐶  ; 𝐶𝐵 +  𝐶𝐺.

2. Dans le dessin ci-dessous, construis un représentant des vecteurs suivants : 3𝑢  ; !!

!𝑣  ; !

!𝐴𝐵  ; 2𝑢 −  𝑣  ; !!

!𝑢 −  2𝐴𝐵  ; 3𝑢 −  2𝑣.

�⃗�

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3. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Corrige celles qui sont fausses. (a) 𝐴𝐵 = − 𝐵𝐴 .

(b) Si les composantes du vecteur 𝐴𝐵 sont (-1, 2), alors les composantes du vecteur 𝐵𝐴

sont (2, -1).

(c) Deux vecteurs opposés ont même direction.

(d) Si deux vecteurs sont parallèles et ont la même longueur, alors ils sont égaux.

(e) Deux vecteurs opposés sont parallèles.

4. Détermine si c’est possible les valeurs que les réels α et β peuvent prendre pour que les vecteurs 𝑢 et 𝑣  soient égaux. (a) 𝑢 (2β – 1, 3) 𝑣 (5, 1 – α) (b) 𝑢 (2α + 1, α) 𝑣 (-5 α + 4, – β) (c) 𝑢 (2α, β) 𝑣 (-5 + 4 α, – β)

5. Détermine si c’est possible les valeurs que les réels α et β peuvent prendre pour que les vecteurs 𝑢 et 𝑣  soient opposés. (a) 𝑢 (α + β, – 1) 𝑣 (-3, α – β) (b) 𝑢 (2αβ, -3) 𝑣 (-8, β – α) (c) 𝑢 (2α, 2) 𝑣 (4β, β)

6. Dans un carré ABCD de centre M, détermine les vecteurs suivants (ajoute des points supplémentaires si nécessaire) :

(a) !!  𝐴𝐵 +  !

!  𝐵𝐶  

(b) !!𝐵𝐷 +  𝐴𝐶  

(c) 2𝐵𝑀 + !!𝐶𝐷 + 𝐶𝐵 + 𝐴𝐵  

(d) !!𝐴𝐵 +𝑀𝐶  

(e) 𝑀𝐷 +𝑀𝐴 +𝑀𝐶 +𝑀𝐵.

7. Etant donné trois points A, B et C non alignés, dessine le point X pour que :

(a) 𝐴𝑋  =    𝐴𝐵 +  𝐴𝐶 (b) 𝐵𝑋  =    𝐴𝐵 −  𝐵𝐶 (c) 𝑋𝐴  =    2𝐵𝐶 −  𝐴𝐵 (d) 𝑋𝐶  =       !

!𝐴𝐶 +  3𝐵𝐶

(e) 𝑋𝐵  =    −2𝐴𝐵 +  !!𝐵𝐶

(f) 𝐴𝑋  =    𝐵𝑋 +  𝐶𝑋 (g) 2𝐴𝑋  =    3𝐵𝑋 (h) 𝑋𝐴 +  𝑋𝐵 +  𝑋𝐶  =    0

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8. (a) Dans le dessin ci-dessous, détermine les composantes des vecteurs 𝑡, 𝑢, 𝑣, 𝑤 et 𝑧.

(b) Calculer leur norme.

9. Soit A(-2 ; 4), B(9 ; -1), C(3 ; 2), D(0 ; 5). Calcule les composantes des vecteurs suivants : (a) 𝐴𝐵 (f) 2𝐴𝐵 −  3𝐴𝐶 (b) 𝐵𝐷 (g) !

!𝐵𝐶 −  𝐵𝐷

(c) 𝐶𝐷 (h) 𝐴𝐵 +  3𝐶𝐷 (d) 𝐵𝐶 (i) -2𝐵𝐶 +  0,5𝐴𝐵 (e) 𝐴𝐶 (j) -!

!𝐵𝐷 +  2𝐴𝐶

10. Dans le dessin de la page suivante, on choisit la droite OA comme axe des abscisses ( 𝑂𝐴 = unité sur cet axe) et la droite OB comme axe des ordonnées ( 𝑂𝐵 = unité sur cet axe).

A) Calcule les composantes des vecteurs suivants : (a) 𝐴𝐵 (e) 𝐶𝐽 +  2  𝐸𝐾 (b) 𝐴𝐶 (f) 𝑂𝐺 −    𝑂𝐷 (c) 𝐷𝐻 (g) 𝐸𝐷 −  !

!  𝐶𝐹 +  !

!𝐴𝐺

(d) !!𝐹𝐶 (h) 𝐼𝐷 +  𝐶𝐽 +  𝐹𝐼 −  𝐸𝐷 −  𝐶𝐸 −  𝐹𝐽

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B) Calcule la norme des vecteurs :

(a) 𝐴𝐵 (c) 𝐶𝐽 +  2  𝐸𝐾 (b) 𝐴𝐶 (d) 𝑂𝐺 −    𝑂𝐷

11. En vous basant sur le graphique ci-dessous, complétez les égalités suivantes en justifiant.

(a) 𝑂𝐴 + 𝐶𝐷 = ⋯ (b) 𝐵𝐴 + 𝐶𝐷 =  𝐶… (c) 2𝐸𝐷 − 𝑂𝐷 − 2𝑂𝐵 + !

!𝐷𝐴 = ⋯

(d) 𝐸𝑂 − 2𝑂𝐴 + 𝐸𝐹 =  𝑂…

12. Détermine algébriquement, dans chacun des cas, les valeurs que les réels a et b peuvent prendre pour que les vecteurs (a) 𝑢 (𝑎 + 2 ; 5) et 𝑣  (−1 ; 𝑏 + 1) soient égaux.

(b) 𝑢   !!; 3 et 𝑣  (𝑏  ;   !

!") soient opposés.

(c) 𝑢  (𝑎. 𝑏  ; !!!!) et 𝑣  (−2; 𝑎 + 𝑏) soient opposés.

(d) 𝑢  (−2  ; 5) et 𝑣  (!!   ; 𝑎) soient parallèles.

(e) 𝑢  𝑎 − 4  ; 𝑏 − 3) soit le double du vecteur 𝑣  (4𝑎 + 2  ; 5 − 3𝑏).