Calcul stochastique GeneviŁve...

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien

Constructiondu mouvementbrownien

Une autreconstruction

Le mouvement brownien80-646-08

Calcul stochastique

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

Mouvementbrownien

MouvementbrownienDénitionRappel: normalePropriétésAutres propriétés



IntroductionLe mouvement brownien

En 1827, Robert Brown a observé que de petites particulesimmergées dans un liquide sont perpétuellement enmouvement, lequel est des plus irréguliers.Historiquement, le mouvement brownien se voulait unetentative pour modéliser ce phénomène. Aujourdhui, lemouvement brownien est utilisé dans divers domaines telsléconomie, la théorie de la communication, la biologie, lessciences administratives et les mathématiques.(Traduction libre du paragraphe dintroduction aumouvement brownien, S. Karlin et H. M. Taylor (1975).)

Nous attribuons au mathématicien Norbert Wienerlanalyse rigoureuse des mathématiques concernant lemouvement brownien et cest pourquoi ce processus estaussi connu sous le nom de processus de Wiener.

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Dénition ILe mouvement brownien

Soit (Ω,F ,F,P), un espace probabilisé ltré.Condition technique. Comme nous allons travailler avecdes égalités presque-sûre1, nous exigeons que lensembledes événements qui ont une probabilité nulle de se réalisersoit compris dans la tribu F0, cest-à-dire que lensemble

N = fA 2 F : P (A) = 0g F0.

De cette façon si X est Ftmesurable et que Y = XPpresque-sûrement alors nous savons que Y estFtmesurable.

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Dénition IILe mouvement brownien

DenitionUn mouvement brownien standard fWt : t 0g est unprocessus stochastique adapté construit sur un espaceprobabilisé ltré (Ω,F ,F,P) tel que :(MB1) 8ω 2 Ω, W0 (ω) = 0,

(MB2) 80 t0 t1 ... tk , les variables aléatoiresWt1 Wt0 , Wt2 Wt1 , ..., Wtk Wtk1 sont indépendantes,

(MB3) 8s, t 0 tels que s < t, la variable aléatoire Wt Ws

est de distribution normale despérance 0 et de variance t scest-à-dite Wt Ws N (0, t s) ,(MB4) 8ω 2 Ω, la trajectoire t ! Wt (ω) est continue.

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Dénition IIILe mouvement brownien

En général, la ltration utilisée est F = fFt : t 0g où

Ft = σ ffWs : 0 s tg [Ng

est la plus petite tribu pour laquelle les variables aléatoiresWs : 0 s t sont mesurables contenant les ensemblesde mesure nulle.

1X = Y Ppresque-sûrement si lensemble des ω pour lesquels X estdi¤érente de Y a une probabilité nulle, cest-à-dire que

P fω 2 Ω : X (ω) 6= Y (ω)g = 0.

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Rappel concernant la loi normale I

Si X est une variable aléatoire de loi normale despéranceµ et décart-type σ > 0, alors sa fonction de densité est

fX (x) =1

σp2π

exp

( (x µ)2

2σ2

),

ce qui nous permet de déterminer 8a, b 2 R, a < b,

P [a < X b] =Z b

afX (x) dx .

Malheureusement, il nexiste pas de primitive à lintégraleci-dessus. Nous devons donc lévaluer numériquement. Lafonction de répartition de X est

FX (x) =Z x

∞fX (y) dy .

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Rappel concernant la loi normale II

De façon générale, si deux variables aléatoires X et Y ,construites sur le même espace probabilisé, sontindépendantes, alors leur covariance

Cov [X ,Y ] = E [XY ] E [X ]E [Y ]

est nulle.

Par contre, il est possible que deux variables aient unecovariance nulle, mais quelles ne soient pasindépendantes. Ceci est illustré par lexemple suivant:

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Rappel concernant la loi normaleIII

Exemple

ω X (ω) Y (ω) X (ω)Y (ω) P (ω)

ω1 0 1 0 14

ω2 0 1 0 14

ω3 1 0 0 14

ω4 1 0 0 14

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Rappel concernant la loi normaleIV

La covariance entre ces deux variables est nulle car :

EP [X ] = 0, EP [Y ] = 0, EP [XY ] = 0

) CovP [X ,Y ] = EP [XY ] EP [X ]EP [Y ] = 0

mais elles sont dépendantes puisque

P [X = 0 et Y = 0] = 0 6= 14= P [X = 0]P [Y = 0] .

Par contre, lorsque la distribution des variables est normale(pas nécessairement de même espérance et de mêmeécart-type), nous avons un résultat nous permettant devérier lindépendance des variables en utilisant lacovariance :

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Rappel concernant la loi normale V

TheoremProposition. Si X et Y sont deux variables aléatoires dedistribution normale multivariée, toutes deux construites sur lemême espace probabilisé, alors X et Y sont indépendantes si etseulement si leur covariance est nulle (T. W. Anderson, 1984,théorème 2.4.4, page 28).

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Propriétés ILe mouvement brownien

TheoremLemme 1. Soit fWt : t 0g, un mouvement brownienstandard. Alors(i) Pour tout s > 0, fWt+s Ws : t 0g (homogénéité aucours du temps)

(ii) fWt : t 0g (symétrie)

(iii)ncW t

c2: t 0

o(rééchelonnement du temps)

(iv)nW t = tW 1

t1t>0 : t 0

o(inversion du temps)

sont aussi des mouvements browniens standard.

Exercice. Vériez-le.

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Propriétés IILe mouvement brownien

TheoremLemme 2. Le mouvement brownien est une martingale.

DenitionDénition. Sur lespace probabilisé ltré (Ω,F ,F,P), où F

est la ltration fFt : t 0g, le processus stochastiqueM = fMt : t 0g est une martingale en temps continu si

(M1) 8t 0, EP [jMt j] < ∞;

(M2) 8t 0, Mt est Ft mesurable;

(M3) 8s, t 0 tel que s < t, EP [Mt jFs ] = Ms .

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Preuve du lemme 2 IPropriétés du mouvement brownien

Par la dénition même de la ltration, il est évident queW est un processus stochastique adapté.

Pour tout instant t, la variable aléatoire Wt est intégrablepuisque

EP [jWt j] =Z ∞

∞

jz jp2πt

expz

2

2t

dz

= 2Z ∞

0

zp2πt

expz

2

2t

dz

= r2tπexp

z

2

2t

∞

0

=

r2tπ< ∞.

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Preuve du lemme 2 IIPropriétés du mouvement brownien

Il ne reste quà vérier que 8s, t 0 tels que s < t,EP [Wt jFs ] = Ws .

EP [Wt jFs ] = EP [Wt Ws +Ws jFs ]= EP [Wt Ws jFs ] + EP [Ws jFs ]= EP [Wt Ws ] +Ws par (MB2)

= Ws par (MB3)

La démonstration est complète.

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Propriétés ILe mouvement brownien

TheoremLemme 3. Le mouvement brownien est un processusmarkovien.

Idée de la preuve du lemme 3 : Pour tout u 2 [0, s ], lesvariables aléatoires Wt Ws et Wu sont indépendantes car

Cov [Wt Ws ,Wu ]

= Cov [Wt Wu +Wu Ws ,Wu ]

= Cov [Wt Wu ,Wu ]Cov [Ws Wu ,Wu ]

= 0+ 0 par (MB2) .

Par conséquent Wt = (Wt Ws ) +Ws peut sécrire comme la somme de

deux variables aléatoires: Ws qui ne dépend de linformation disponible au

temps s , Fs , quà travers σ (Ws ) et Wt Ws qui est indépendante de

Fs = σ fWu : 0 u sg.

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Propriétés IILe mouvement brownien

Propriété 3. 8ω 2 Ω, la trajectoire t ! Wt (ω) est nulle partdi¤érentiable.La construction du mouvement brownien illustre bien cettepropriété.

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Le mouvement brownienmultidimensionnel I

DenitionLe mouvement brownien standard W de dimension n est unefamille de vecteur aléatoires

Wt =W (1)t , ...,W (n)

t

>: t 0

où W (1), ...,W (n) représentent des mouvements browniensindépendants construits sur lespace probabilisé ltré(Ω,F ,F,P) .

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Le mouvement brownienmultidimensionnel II

Le mouvement brownien multidimensionnel est très utilisédans les modèles de marché en temps continu.

Par exemple, lors de la modélisation simultanée des prix deplusieurs actifs risqués.

Cependant, les chocs que subissent ces actifs risqués nedevraient pas être indépendants.

Cest pourquoi nous aimerions construire un mouvementbrownien multidimensionnel dont les composantes sontcorrélées.

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Le mouvement brownienmultidimensionnel III

À partir dun mouvement brownien standard W dedimension n, il est possible de créer un mouvementbrownien de dimension n dont les composantes sontcorrélées.

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Le mouvement brownienmultidimensionnel IV

Theorem

Γ =γiji ,j2f1,2,...,ng est une matrice de constantes et

W =W (1), ...,W (n)

>est un vecteur composé de

mouvements browniens indépendants. Pour tout t, posons Bt = ΓWt .Alors Bt est un vecteur aléatoire de dimension n dont la i ièmecomposante est B (i )t = ∑n

k=1 γikW(k )t . De plus

CovhB (i )t ,B

(j)t

i= t

n

∑k=1

γikγjk

et CorhB (i )t ,B

(j)t

i=

∑nk=1 γikγjkq

∑nk=1 γ2ik

q∑nk=1 γ2jk

.

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Démonstration ILe mouvement brownien multidimensionnel

CovhB (i )t ,B

(j)t

i= Cov

"n

∑k=1

γikW(k )t ,

n

∑k =1

γjk W(k )t

#

=n

∑k=1

n

∑k =1

γikγjk CovhW (k )t ,W (k )

t

i=

n

∑k=1

γikγjkCovhW (k )t ,W (k )

t

icar Cov

hW (k )t ,W (k )

t

i= 0 si k 6= k

= tn

∑k=1

γikγjk

car CovhW (k )t ,W (k )

t

i= Var

hW (k )t

i= t

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Démonstration IILe mouvement brownien multidimensionnel

VarhB (i )t

i= Cov

hB (i )t ,B

(i )t

i= t

n

∑k=1

γ2ik

CorhB (i )t ,B

(j)t

i=

CovhB (i )t ,B

(j)t

ir

VarhB (i )t

irVar

hB (j)t

i=

t ∑nk=1 γikγjkq

t ∑nk=1 γ2ik

qt ∑n

k=1 γ2jk

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Démonstration IIILe mouvement brownien multidimensionnel

Nous venons de montrer quil est possible de construire unmouvement brownien B dont les composantes sontcorrélées à partir dun mouvement brownien standard W(dont les constituants sont indépendants). Plusprécisemment, si B =ΓW, alors nous savons trouver lamatrice de corrélations de B.

Pouvons-nous faire linverse, cest-à-dire que si nousconnaissons la matrice de corrélations de B, pouvons nousdéterminer la matrice Γ permettant dexprimer lescomposantes de B comme une combinaison linéaire desmouvements browniens indépendants ?

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Démonstration IVLe mouvement brownien multidimensionnel

Theorem

Supposons maintenant que B (1), ...,B (n) représentent desmouvements browniens corrélés construits sur lespaceprobabilisé ltré (Ω,F ,F,P) et que

8i , j 2 f1, ..., ng et 8t 0, CorhB (i )t ,B

(j)t

i= ρij .

Il existe une matrice A de format n n telle que

(i) B = AW(ii) Cor

hB (i )t ,B

(j)t

i= ρij

(iii) W est formé de mouvements browniens indépendants.

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Démonstration VLe mouvement brownien multidimensionnel

Démonstration. Soit VB = thρij

ii ,j=1,...,n

, la matrice de

variance-covariance du vecteur aléatoireB (1)t , ...,B (n)t

.

Puisque B = AW alors

VB = AtIA> = tAA>

où I représente la matrice identité de dimension n.Comme une matrice de variance-covariance est une matricesymétrique dénie positive, il existe une matrice triangulairesupérieure inversible U telle que VB = U>U (décomposition deCholevski). (Plusieurs logiciels dont matlab ont une fonctionpermettant de calculer cette matrice).Par conséquent, il su¢ t de poser

A =1ptU>.

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Autres propriétés ILe mouvement brownien

Soit a > 0. Dénissons

τa (ω) =

8<:inf fs 0 : Ws (ω) = ag si fs 0 : Ws (ω) = ag 6= ?

∞ si fs 0 : Ws (ω) = ag = ?,

le premier instant où le mouvement brownien W atteint lepoint a.

Les deux prochains résultats ont pour but de montrer quele mouvement brownien atteindra éventuellement, avecprobabilité 1, nimporte quel nombre réel, aussi grandsoit-il.

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Autres propriétés IILe mouvement brownien

TheoremLemme. La variable aléatoire τa est un temps darrêt.

DenitionSoit (Ω,F ), un espace probabilisable muni de la ltrationF = fFt : t 0g. Un temps darrêt τ est une fonction de Ωdans [0,∞] Fmesurable telle que

fω 2 Ω : τ (ω) tg 2 Ft .

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Autres propriétés IIILe mouvement brownien

Démonstration du lemme. Nous devons montrer que pourtout t 0, lévénement fω 2 Ω : τa tg appartient à latribu Ft .Si Q représente lensemble des nombres rationnels, alors

fω 2 Ω : τa tg

=

ω 2 Ω : sup

0stWs (ω) a

=

∞\n=1

ω 2 Ω : sup

0stWs (ω) > a

1n

=

∞\n=1

[r2Q\[0,t ]

ω 2 Ω : Wr (ω) > a

1n

| z

2Fr donc 2Ft| z 2Ft

2 Ft

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Autres propriétés IVLe mouvement brownien

où la dernière égalité est obtenue du fait quesup0stWs (ω) > a 1

n si et seulement sil existe au moinsun nombre rationnel r inférieur ou égal à t pour lequelWr (ω) > a 1

n .

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Autres propriétés VLe mouvement brownien

TheoremLemme. Le temps darrêt τa est ni presque sûrement,cest-à-dire que P [τa = ∞] = 0.

Démonstration du lemme. Nous voulons utiliser le théorèmedarrêt des martingales...

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Autres propriétés VILe mouvement brownien

TheoremThéorème darrêt (Optional Stopping Theorem). SoitX = fXt : t 0g un processus à trajectoires càdlàg (continuesà droite avec limite à gauche) construit sur lespace probabiliséltré (Ω,F ,F,P), où F est la ltration fFt : t 0g.Supposons que le processus stochastique X est Fadapté etquil est intégrable, cest-à-dire que EP [jXt j] < ∞. Alors X estune martingale si et seulement si EP [Xτ] = EP [X0] pour touttemps darrêt τ borné, cest-à-dire que pour chaque tempsdarrêt τ considéré, il existe une constante b telle que

8ω 2 Ω, 0 τ (ω) b.

(réf. Revuz et Yor, proposition 3.5, page 67)

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Autres propriétés VIILe mouvement brownien

TheoremThéorème. Si la martingale M = fMt : t 0g et le tempsdarrêt τ sont construits sur le même espace probabilisé ltré(Ω,F ,F,P) alors le processus arrêté Mτ est lui aussi unemartingale sur cet espace. (réf. Revuz et Yor, corollaire 3.6, page67)

Démonstration du lemme. Nous voulons utiliser le théorèmedarrêt des martingales et, pour ce faire, il faut un tempsdarrêt borné. Or, le temps darrêt τa nest pas borné, maispour tout n 2 N, le temps darrêt τa ^ n, lui, est borné.

Utilisant le théorème darrêt sur la martingaleM =

nMt = exp

hσWt σ2

2 ti

: t 0o, nous obtenons

E [Mτa^n ] = E [M0] = 1.

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Autres propriétés VIIILe mouvement brownien

Puisque

Mτa^n (ω) =

8<: exphσa σ2

2 τa (ω)i

si τa (ω) nexp

hσWn (ω) σ2

2 nisi τa (ω) > n,

alors8n 2 N, Mτa^n exp [σa] ,

donc la suite fMτa^n : n 2 Ng est dominée par laconstante exp [σa] .

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Autres propriétés IXLe mouvement brownien

De plus, pour tout ω 2 fω 2 Ω : τa (ω) < ∞g,

limn!∞

Mτa^n (ω) = Mτa (ω) = exp

σa σ2

2τa (ω)

tandis que pour tout ω 2 fω 2 Ω : τa (ω) = ∞g et pourtout t 0,

Mt (ω) = exp

σWt (ω)σ2

2t exp

σa σ2

2t

ce qui entraîne que, pour tout ω 2fω 2 Ω : τa (ω) = ∞g,

limn!∞

Mτa^n (ω) = 0.

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Autres propriétés XLe mouvement brownien

Le théorème de la convergence dominée de Lebesgueentraîne que

Eexp

σa σ2

2τa

1fτa<∞g

= E

Mτa1fτa<∞g

= E

2664 limn!∞Mτa^n1fτa<∞g + lim

n!∞Mτa^n1fτa=∞g| z

=0

3775= E

hlimn!∞

Mτa^ni

= limn!∞

E [Mτa^n ]

= 1.

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Autres propriétés XILe mouvement brownien

Par conséquent,

Eexp

σ2

2τa

1fτa<∞g

= exp [σa] .

En laissant σ tendre vers 0, nous obtenons

P [τa < ∞] = E1fτa<∞g

= E

limσ!0

expσ2

2τa

1fτa<∞g

= lim

σ!0Eexp

σ2

2τa

1fτa<∞g

par le théorème de la convergence dominée

= limσ!0

exp [σa]

= 1.

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Autres propriétés XIILe mouvement brownien

Nous obtenons aussi au passage la fonction génératrice desmoments E

Eλτa

de τa. En e¤et, si λ = σ2

2 , alors

Eexp [λτa] 1fτa<∞g

= exp

hp2λa

i.

Mais comme exp [λτa] 1fτa=∞g = 0 presque sûrement,

exp [λτa] = Eexp [λτa] 1fτa<∞g

presque sûrement

etE [exp [λτa]] = exp

hp2λa

i.

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Autres propriétés XIIILe mouvement brownien

Nous poursuivons létude de létrange comportement dumouvement brownien.

TheoremLemme. Les trajectoires du mouvement brownien surlintervalle [0,T ] ne sont pas à variation bornéea.

aVoir lannexe B.

Intuitivement, ce dernier résultat signie que chacune destrajectoires du mouvement brownien sur lintervalle [0,T ]est de longueur innie.

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Autres propriétés XIVLe mouvement brownien

TheoremLemme. Le mouvement brownien est récurrent.

Cela signie que le mouvement brownien visite une innité defois chacun de ses états, cest-à-dire tout nombre réel.

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Mouvementbrownien

Constructiondu mouvementbrownien1ereapproximation2eapproximation3eapproximationn ièmeapproximationPassage à lalimite


La construction du mouvementbrownien I

Construire un mouvement brownien, cest fabriquer unespace probabilisé (Ω,F ,P) et un processus stochastiquesur cet espace satisfaisant les conditions (MB1), (MB2),(MB3) et (MB4).Pour se simplier la tâche, nous allons construire lemouvement brownien sur lintervalle de temps [0, 1]puisque sil existe un mouvement brownien sur cetintervalle, nous pouvons en construire un sur nimportequel intervalle de temps borné. En e¤et, sifWt : t 2 [0, 1]g est un mouvement brownien surlintervalle [0, 1] alors 8T > 0,

W =nW t = T

12W t

T: t 2 [0,T ]

oen est un sur lintervalle [0,T ] .

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Mouvementbrownien



La construction du mouvementbrownien II

Nous allons fabriquer le mouvement brownien parapproximations successives. Soit

I (n) = fentiers impairs compris entre 0 et 2ng .

Par exemple,

I (0) = f1g , I (1) = f1g , I (2) = f1, 3g , I (3) = f1, 3, 5, 7g , etc.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



La construction du mouvementbrownien III

Soit (Ω,F ,P), un espace probabilisé sur lequel il existeune suite n

ξ(n)i : i 2 I (n) et n 2 N

o=

nξ(0)1 , ξ

(1)1 , ξ

(2)1 , ξ

(2)3 , ξ

(3)1 , ξ

(3)3 , ξ

(3)5 , ξ

(3)7 , ...

ode variables aléatoires indépendantes, toutes de loinormale centrée et réduite (N (0, 1)).

Cest à partir de ces variables que nous allons construire lasuite de processus stochastiques se rapprochant dumouvement brownien.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Première approximation IConstruction du mouvement brownien

La première approximation est des plus grossières : nousposons

B (0)0 (ω) = 0 et B (0)1 (ω) = ξ(0)1 (ω)

et tous les autres B (0)t (ω) sont des interpolations linéairesde ces deux points

B (0)t (ω) =

8><>:0 si t = 0

ξ(0)1 (ω) t si 0 < t < 1

ξ(0)1 (ω) si t = 1

.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Première approximation IIConstruction du mouvement brownien

Remarquez que le graphe ci-dessous ne représente quuneseule trajectoire du processus B (0). Comme il est possibleque la variable aléatoire ξ

(0)1 prenne des valeurs négatives,

alors il est aussi possible que notre première approximationait des trajectoires de pentes négatives.

Une trajectoire de la première approximation t ! B (0)t (ω)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

t

B0

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Deuxième approximation IConstruction du mouvement brownien

La deuxième approximation se construit à partir de la première.Les deux extrémités restent xées,

B (1)0 (ω) = B (0)0 (ω) = 0 et B (1)1 (ω) = B (0)1 (ω) = ξ(0)1 (ω) ,

et le point milieu, lui, est déplacé:

B (1)12(ω) =

12

B (0)0 (ω) + B (0)1 (ω)

+12

ξ11 (ω) .

Les autres points de la trajectoire sont obtenus parinterpolations linéaires.

B (1)t (ω) =

8>>><>>>:B (0)0 (ω) si t = 0

12

B (0)0 (ω) + B (0)1 (ω)

+ 1

2 ξ(1)1 (ω) si t = 1

2

B (0)1 (ω) si t = 1

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Deuxième approximation IIConstruction du mouvement brownien

B (1)t (ω) =

8>>><>>>:B (0)0 (ω) si t = 0

12

B (0)0 (ω) + B (0)1 (ω)

+ 1

2 ξ(1)1 (ω) si t = 1

2

B (0)1 (ω) si t = 1

Une trajectoire de la deuxième approximation t ! B (1)t (ω)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

t

B1

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Deuxième approximation IIIConstruction du mouvement brownien

Remarquons que

B (1)0 = B (0)0 = 0

B (1)12

=

12

B (0)0 + B (0)1

+12

ξ(1)1

=

12

0+ ξ

(0)1

+12

ξ(1)1

=

12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

N

0,14(1+ 1)

= N

0,12

B (1)1 = B (0)1 = ξ

(0)1 N (0, 1)

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Deuxième approximation IVConstruction du mouvement brownien

implique que

B (1)1 B (1)12

= B (0)1 12

B (0)0 + B (0)1

+12

ξ(1)1

= ξ

(0)1

12

0+ ξ

(0)1

+12

ξ(1)1

=

12

ξ(0)1 ξ

(1)1

N

0,12

B (1)12 B (1)0 =

12

0+ ξ

(0)1

+12

ξ(1)1

B (0)0

=12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

N

0,12

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Deuxième approximation VConstruction du mouvement brownien

et ces deux variables aléatoires sont indépendantes car ellessont gaussiennes et

CovhB (1)1 B (1)1

2,B (1)1

2 B (1)0

i= Cov

12

ξ(0)1 ξ

(1)1

,12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

=14

0@ Covhξ(0)1 , ξ

(0)1

i+Cov

hξ(0)1 , ξ

(1)1

iCov

hξ(1)1 , ξ

(0)1

iCov

hξ(1)1 , ξ

(1)1

i 1A=

14

Var

hξ(0)1

i+ 0 0Var

hξ(1)1

i=

14(1+ 0 0 1) = 0.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation IConstruction du mouvement brownien

La troisième approximation sobtient de la deuxième :

B (2)t (ω) =

8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

B (1)0 (ω) si t = 012

B (1)0 (ω) + B (1)1

2(ω)

+ 1

232

ξ(2)1 (ω) si t = 1

4

B (1)12(ω) si t = 1

2

12

B (1)12(ω) + B (1)1 (ω)

+ 1

232

ξ(2)3 (ω) si t = 3

4

B (1)1 (ω) si t = 1

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation IIConstruction du mouvement brownien

Une trajectoire de la troisième approximation t ! B (2)t (ω)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

t

B2

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation IIIConstruction du mouvement brownien

Remarquons que

B (2)0 = B (1)0 (ω) = 0

B (2)14

=12

B (1)0 + B (1)1

2

+1

232

ξ(2)1

=12

0+

12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

+1

232

ξ(2)1

=14

ξ(0)1 +

14

ξ(1)1 +

1

232

ξ(2)1

N0,116+116+18

= N

0,14

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation IVConstruction du mouvement brownien

B (2)12

= B (1)12=12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

N

0,12

B (2)34

=12

B (1)12+ B (1)1

+1

232

ξ(2)3

=12

12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

+ ξ

(0)1

+1

232

ξ(2)3

=34

ξ(0)1 +

14

ξ(1)1 +

1

232

ξ(2)3

N0,916+116+18

= N

0,34

B (2)1 = B (1)1 = ξ

(0)1 N (0, 1)

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation VConstruction du mouvement brownien

implique

B (2)1 B (2)34

= ξ(0)1

34

ξ(0)1 +

14

ξ(1)1 +

1

232

ξ(2)3

=

14

ξ(0)1 1

4ξ(1)1 1

232

ξ(2)3

N0,116+116+18

= N

0,14

B (2)34 B (2)1

2=

34

ξ(0)1 +

14

ξ(1)1 +

1

232

ξ(2)3

12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

=

14

ξ(0)1 1

4ξ(1)1 +

1

232

ξ(2)3

N0,116+116+18

= N

0,14

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation VIConstruction du mouvement brownien

B (2)12 B (2)1

4=

12

ξ(0)1 + ξ

(1)1

14

ξ(0)1 +

14

ξ(1)1 +

1

232

ξ(2)1

=

14

ξ(0)1 +

14

ξ(1)1 1

232

ξ(2)1

N0,116+116+18

= N

0,14

B (2)14 B (2)0 = B (2)1

4 N

0,14

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation VIIConstruction du mouvement brownien

et ces quatre variables aléatoires sont mutuellementindépendantes car

CovhB (2)1 B (2)3

4,B (2)3

4 B (2)1

2

i= Cov

"ξ(0)1

4 ξ

(1)1

4 ξ

(2)3

232,

ξ(0)1

4 ξ

(1)1

4+

ξ(2)3

232

#=

116

Varhξ(0)1

i+116

Varhξ(1)1

i 18

Varhξ(2)3

i= 0

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation VIIIConstruction du mouvement brownien

CovhB (2)1 B (2)3

4,B (2)1

2 B (2)1

4

i= Cov

"ξ(0)1

4 ξ

(1)1

4 ξ

(2)3

232,

ξ(0)1

4+

ξ(1)1

4 ξ

(2)1

232

#=

116

Varhξ(0)1

i 116

Varhξ(1)1

i= 0

CovhB (2)1 B (2)3

4,B (2)1

4 B (2)0

i= Cov

"ξ(0)1

4 ξ

(1)1

4 ξ

(2)3

232,

ξ(0)1

4+

ξ(1)1

4+

ξ(2)1

232

#=

116

Varhξ(0)1

i 116

Varhξ(1)1

i= 0

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation IXConstruction du mouvement brownien

CovhB (2)34 B (2)1

2,B (2)1

2 B (2)1

4

i= Cov

"ξ(0)1

4 ξ

(1)1

4+

ξ(2)3

232,

ξ(0)1

4+

ξ(1)1

4 ξ

(2)1

232

#=

116

Varhξ(0)1

i 116

Varhξ(1)1

i= 0

CovhB (2)34 B (2)1

2,B (2)1

4 B (2)0

i= Cov

"ξ(0)1

4 ξ

(1)1

4+

ξ(2)3

232,

ξ(0)1

4+

ξ(1)1

4+

ξ(2)1

232

#=

116

Varhξ(0)1

i 116

Varhξ(1)1

i= 0

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Troisième approximation XConstruction du mouvement brownien

CovhB (2)12 B (2)1

4,B (2)1

4 B (2)0

i= Cov

"ξ(0)1

4+

ξ(1)1

4 ξ

(2)1

232,

ξ(0)1

4+

ξ(1)1

4+

ξ(2)1

232

#=

116

Varhξ(0)1

i+116

Varhξ(1)1

i 18

Varhξ(2)1

i= 0.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



n ième approximationConstruction du mouvement brownien

An de pouvoir exprimer la n ième approximation, nousintroduisons, pour tout entier naturel n et pour tout k 2 I (n)les fonctions de Haar, Hnk : [0, 1]! R, et de Schauder,Snk : [0, 1]! R :

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Fonction de Haarn ième approximation

8t 2 [0, 1] ,

H (0)1 (t) = 1

et

8n 2 N, 8k 2 I (n) , 8t 2 [0, 1] ,

H (n)k (t) =

8><>:2n12 si k12n t < k

2n

2 n12 si k2n t < k+12n

0 sinon

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Fonction de Schauder In ième approximation

8n 2 N[ f0g , 8k 2 I (n) , 8t 2 [0, 1] ,

S (n)k (t) =Z t

0H (n)k (s) ds.

Fonction de Schauder S (0)1

0.0 0.5 1.00

1

Fonction de Schauder S (1)1

0.0 0.5 1.00.0

0.5

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Fonction de Schauder IIn ième approximation

Fonction de Schauder S (2)1 Fonction de Schauder S (2)3

0.0 0.5 1.00.0

0.3

0.0 0.5 1.00.0

0.3

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Fonction de Schauder IIIn ième approximation


0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.0 0.5 1.00.0

0.2


0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.0 0.5 1.00.0

0.2

Remarquons que ces fonctions sont déterministes, elles ne sontpas aléatoires.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



n ième approximation

Le n+ 1 ième processus stochastique de la suitedapproximations du mouvement brownien peut sécrire sous laforme

B (n)t (ω) =n

∑k=0

∑j2I (k )

S (k )j (t) ξ(k )j (ω) .

Si B (n)t (ω) doit converger, il le fera vers

Bt (ω) =∞

∑k=0

∑j2I (k )

S (k )j (t) ξ(k )j (ω) .

Nous prétendons que pour la plupart des ω cette limite existe2

et que le processus fBt : 0 t 1g ainsi obtenu est unmouvement brownien.

2Cest-à-dire quil existe un sous-ensemble A Ω tel que P (A) = 1 etque 8ω 2 A, la limite existe. Nous disons alors que la limite existePpresque sûrement.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Passage à la limite ICette construction permet de saisir le caractère erratique destrajectoires du mouvement brownien. Nous ne compléteronspas le détail de la construction puisque certaines étapes exigentune connaissance de la théorie de la mesure qui est au-delà desobjectifs de ce cours. Nous nous contenterons dexpliquer lesgrandes lignes de chacune des étapes de la démonstration :

(i) Par construction, nous avons que 8ω 2 Ω,B0 (ω) = limn!∞ B

(n)0 (ω) = 0, donc la condition (MB1) est

satisfaite.(ii) Il faut dabord montrer que pour la plupart des ω, la série

n

∑k=0

∑j2I (k )

S (k )j (t) ξ(k )j (ω)

converge uniformément sur lintervalle [0, 1] lorsque n tend verslinni (voir Karatzas et Shreve, 1988, lemme 3.1, page 57).

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Convergence uniforme IPassage à la limite

Rappelons quune suite de fonctionsffn : R ! R jn 2 Ng converge vers une autre fonctionf : R ! R au point x 2 R si

limn!∞

jfn (x) f (x)j = 0

alors que cette même suite converge uniformément surlintervalle [a, b] vers cette fonction f si

limn!∞

supaxb

jfn (x) f (x)j = 0.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Convergence uniforme IIPassage à la limite

La raison pour laquelle nous avons besoin de laconvergence uniforme des B (n)t (ω) vers Bt (ω) est quenous voulons préserver la continuité des trajectoires. Ene¤et, nous avons construit notre suite dapproximations desorte que pour chaque ω, la trajectoire t ! B (n)t (ω) estcontinue. Or il est possible quune suite de fonctionscontinues converge, point par point, vers une fonction quinest pas continue.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Convergence uniforme IIIPassage à la limite

Exemple. Pour tout entier naturel n, la fonctionfn : [0, 1]! R dénie par

fn (t) =

8<:0 si 0 t 1

2 12n

nt n2 +

12 si 12

12n < t <

12 +

12n

1 si 12 +12n t 1

est continue.Mais la limite de la suite des fn nest pas une fonction continue:

limn!∞

fn (t) = f (t) =

8<:0 si 0 t < 1

212 si t = 1

21 si 12 < t 1

.

Cette suite ne converge pas uniformément vers f . En e¤et,

limn!∞

sup0x1

jfn (x) f (x)j = limn!∞

12=126= 0.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Convergence uniforme IVPassage à la limite

Par contre, si une suite de fonctions continues convergeuniformément, alors la limite sera, elle aussi, une fonctioncontinue. Ainsi, avec ce résultat, nous obtiendrons lexistencede la limite et ce processus limite satisfait la condition (MB4)concernant la continuité des trajectoires.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Passage à la limite I

(iii) Il est possible de montrer par induction sur n que

8n 2 N[ f0g , 8k 2 I (n) , B k2n B k1

2n N

0,12n

et que 8n 2 N, lensemble

nB k2n B k1

2njk 2 I (n)

oest

constitué de variables aléatoires indépendantes.Maintenant, pour tous nombres réels 0 r < s < t < u 1,nous pouvons construire des suites décroissantes de nombresréels frn jn 2 Ng, fsn jn 2 Ng, ftn jn 2 Ng et fun jn 2 Ngtelles que

limn!∞

rn = r , limn!∞

sn = s, limn!∞

tn = t, limn!∞

un = u

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Passage à la limite IIet rn, sn, tn, un 2

0, 12n , ...,

2n12n , 1

. La continuité des

trajectoires de Bt implique alors que

limn!∞

Brn (ω) = Br (ω) , limn!∞

Bsn (ω) = Bs (ω) ,

limn!∞

Btn (ω) = Bt (ω) et limn!∞

Bun (ω) = Bu (ω)

doù

Bs (ω) Br (ω) = limn!∞

[Bsn (ω) Brn (ω)] ,Bt (ω) Bs (ω) = lim

n!∞[Btn (ω) Bsn (ω)] ,

Bu (ω) Bt (ω) = limn!∞

[Bun (ω) Btn (ω)] .

Nous pouvons alors utiliser les résultats établis pourBsn (ω) Brn (ω), Btn (ω) Bsn (ω) et Bun (ω) Btn (ω)an de vérier les conditions (MB2) et (MB3).

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Les marches aléatoires I

Construisons, pour tout m 2 N, une suite de variablesaléatoires indépendantes et identiquement distribuéesξ(m) =

nξ(m)k : k 2 N

otelle que

ξ(m)k =

8><>:m 1

2 avec probabilité 12

m12 avec probabilité 1

2

, k 2 N.

Notons que

Ehξ(m)k

i= 0 et Var

hξ(m)k

i=1m.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Les marches aléatoires IIPour tout m 2 N, posons

X (m)0 = 0 et 8n 20,1m,2m, ...

, X (m)n =

mn

∑k=1

ξ(m)k .

Le processus X (m) =nX (m)n : n 2

0, 1m ,

2m , ...

oest une

marche aléatoire. Au fur et à mesure que m croît, nousfaisons des pas de plus en plus courts (de longueur m

12 )

et de plus en plus rapides (à toutes les 1/m unités detemps). Notons que

EhX (m)n

i=

mn

∑k=1

Ehξ(m)k

i= 0

et VarhX (m)n

i=

mn

∑k=1

Varhξ(m)k

i=mnm= n.

Mouvementbrownien

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Les marches aléatoires III

De plus, le théorème limite central implique que X (m)n

converge en loi vers une N (0, n) lorsque m augmente verslinni.

Posons

Y (m)0 = 0 et Y (m)t = X (m)nm

pour tout t 2nm,n+ 1m

.

Le processus Y (m) est déni pour tout t 0. Il estpossible de montrer que cette suite

nY (m) : m 2 N

ode

processus stochastiques obtenue des marches aléatoiresconverge en loi vers le mouvement brownien lorsque mtend vers linni.

Mouvementbrownien

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Références I

ANDERSON, T.W. (1981). An Introduction toMultivariate Statistical Analysis, deuxième édition, Wiley,New-York.

BAXTER, Martin et RENNIE, Andrew (1996). FinancialCalculus : An Introduction to Derivative Pricing,Cambridge University Press, New York.

DURRETT, Richard (1996). Stochastic Calculus, APractical Introduction, CRC Press, New York.

KARATZAS, Ioannis et SHREVE, Steven E. (1988).Brownian Motion and Stochastic Calculus,Springer-Verlag, New York.

KARLIN, Samuel et TAYLOR, Howard M. (1975). A FirstCourse in Stochastic Processes, deuxième édition,Academic Press, New York.

Mouvementbrownien

Mouvementbrownien



Références II

LAMBERTON, Damien et LAPEYRE, Bernard (1991).Introduction au calcul stochastique appliqué à la nance,Éllipses, Paris.

REVUZ, Daniel et YOR, Marc (1991). ContinuousMartingale and Brownian Motion, Springer-Verlag, NewYork.

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