CALCUL GRAPHIQUE LES ABAQUES - .1 Calcul graphique, Construction et utilisation d’un abaque...

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    Calcul graphique, Construction et utilisation dun abaque Article prsent dans la rubrique Mathmatiques et Sciences Physiques au lyce professionnel du site de l'acadmie d'Amiens : http://www.ac-amiens.fr/pedagogie/math-sciences/rubrique.php3?id_rubrique=50

    CALCUL GRAPHIQUE

    LES ABAQUES

    PARTIE 1 : GOMTRIE 1 Tracer ci-dessous un secteur angulaire saillant xy. 2 Construire au compas la bissectrice [Oz) du secteur angulaire xy. 3 A l'aide d'une rgle gradue, porter sur la demi-droite [Ox) une graduation telle que 1 cm reprsente 5 units. 4 Construire au compas une graduation identique sur la demi-droite [Oy). 5 En positionnant la rgle sur chaque segment joignant les graduations de mme valeur ( 5-5 ; 10-10 ; etc.) construire une nouvelle graduation sur la bissectrice [Oz). ( afin de ne pas "alourdir " le dessin, vitez de tracer les segments, reprez seulement l'intersection avec la bissectrice ) . 6 Affecter chaque trait de cette graduation de la bissectrice la demi-valeur des extrmits du segment correspondant

    (par exemple au segment [10-10] correspond la graduation 5 sur la bissectrice)

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    PARTIE 2 : ABAQUE Vous venez de raliser un ABAQUE, c'est--dire une construction gomtrique permettant une rponse graphique (souvent approche) remplaant un calcul. Celui que vous venez de tracer permet de dterminer un nombre X tel que :

    21 X1 + X

    1 = X1

    ( X1 et X2 tant donns )

    Exemple d'utilisation : X1 = 30 et X2 = 50 a) Reprez la graduation 30 sur [Ox). b) Reprez la graduation 50 sur [Oy). c) Tracez la droite passant par ces 2 graduations. d) Cette droite coupe [Oz) en un point R. Le nombre recherch est l'abscisse du point R sur [Oz) Bien sr dans notre cas la graduation de la bissectrice ne permet de donner qu'un encadrement. Nous verrons plus loin l'utilisation d'un abaque plus complet.

    Votre relev : < X <

    PARTIE 3 : PROPORTIONS Pour obtenir un rsultat plus prcis, suivez le protocole dcrit ci-dessous : a) Relevez avec votre rgle gradue la mesure, en mm, (donner le rsultat l'unit) d'un segment de 20 units de [Oz) :

    mm b) Relevez de mme la mesure de [OR] : OR = mm c) Compltez le tableau, puis calculez xR l'abscisse du point R.

    Dtaillez les calculs Donnez le rsultat arrondi l'unit.

    d) Le rsultat est-il conforme l'encadrement donn en partie 2 ?

    PARTIE 4 : CALCULATRICE Reprez sur votre calculatrice la touche affecte la fonction inverse : soit soit Frappez : 30 + 50 Rsultat : X =

    . mm 20 units

    . mm xR

    1/x x-1

    1/x 1/x = 1/x

    ATTENTION ! Si vous vous arrtez " = " vous obtenez l'inverse de x et non x.

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    PARTIE 5 : APPLICATIONS

    La formule 21 X1 +

    X1 =

    X1

    est aborde dans diffrents domaines.

    En voici trois utilisations. RSISTORS

    2 rsistors, monts en drivation, de rsistance respective R1 et R2 , ont une rsistance quivalente R telle que :

    21 R1 +

    R1 =

    R1

    On donne R1 = 70 et R2 = 130

    1) A l'aide de l'abaque donner une valeur approche de R.

    R = 2) Calculer la calculatrice la valeur exacte de R.

    R =

    R1 R2

    10 20 30 40 50 60 80 70 100 90

  • 4

    CONDENSATEURS 2 condensateurs, monts en srie, de capacit respective C1 et C2 , ont une capacit quivalente C telle que :

    21 C1 +

    C1 =

    C1

    L'unit de capacit est le Farad (F) Un de ses sous-multiple est le microfarad (F) : 1 F = 10-6 F On donne C1 = 165 F et C2 = 135 F

    1) A l'aide de l'abaque donner une valeur approche de C.

    C = F 2) Calculer la calculatrice la valeur exacte de C.

    C = F LENTILLES

    Une lentille mince convergente est caractrise par 4 paramtres : - L'axe optique (FF') - Le centre optique O - Le foyer principal objet F - Le foyer principal image F'

    Des constructions gomtriques permettent de dfinir la formule de conjugaison. Pour un objet AB plac "avant" F, l'image A'B' se forme "derrire" la lentille et est renverse.

    En posant : FO = OF' = f distance focale AO = p distance de l'objet la lentille OA' = p' distance de la lentille l'image La formule de conjugaison est :

    p'1 +

    p1 =

    f1

    On donne p = 80 cm et p' = 170 cm 1) A l'aide de l'abaque donner une valeur approche de f.

    f = cm

    2) Calculer la calculatrice la valeur exacte de f.

    f = cm

    C1 C2

    x x O F' F

    Sens de propagation de la lumire

    x x O F' F

    B

    A A'

    B'

  • 5

    La lecture des abaques est encore prsente dans les sections industrielles (CAP/BEP/IUT) mais les connaissances exiges diminuent au fur et mesure des programmes. Alors que lusage des abaques tait rpandu jusquaux annes 1970, annes de lapparition de moyens de calcul via des calculatrices ou des ordinateurs, quen est-il aujourdhui? On trouve encore de nombreux abaques dans les manuels denseignement, plusieurs exemples ont t trouvs (en mcanique pour les engrenages, en physique pour les proprits des matriels, en chimie pour les proprits des solides, liquides et gaz, . . . ). Aprs la prsentation de deux exemples, je rsume, dans cette prsentation, quelques tapes de lhistoire qui ont conduit de la lecture graphique linvention dune nouvelle science, la nomographie. Quels en furent les savants importants ? Sur quelles parties des mathmatiques sappuie-t-elle? Pour finir on pourra se demander ce quil reste, aujourdhui des abaques ou des nomogrammes? I) Introduction Maurice d'Ocagne dans Sur les divers modes d'application de la Mthode Graphique l'Art du Calcul dans Compte rendu du deuxime congrs international de mathmaticiens, Maurice d'Ocagne, Paris, 1902 : "les divers procds de calcul qui reposent sur l'emploi du graphique drivent de deux modes gnraux parfaitement distincts l'un de l'autre, de figurer par le dessin les oprations arithmtiques dont l'ensemble excut sur certains nombres constitue le calcul." Le premier mode voqu par M. d'Ocagne Soit une construction gomtrique permettant d'obtenir la valeur dterminer sur un ensemble de valeurs donnes elles-aussi gomtriquement (par des longueurs, des angles, des aires, ). Cette mthode est appele calcul graphique ou Calcul par le trait. Exemple : la rsolution de l'quation du second degr x2 + px + q = 0 par M. Eduard Lill, capitaine du gnie de l'arme autrichienne (il a fait aussi celle du troisime et publi en 1867, mthode connue sous le nom d'octogone de Lill)

    On a sur la figure ci-contre

    1== OAOI , pOH = et qHB = . Lorsque c'est possible, le cercle de diamtre [AB] coupe l'axe des abscisses en deux points M et N tels que leurs abscisses dans le repre constitu fournissent les deux solutions.

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    Second procd graphique Cette mthode ne consiste pas construire gomtriquement le rsultat d'un calcul mais de fournir une lecture graphique du rsultat fourni par une formule sur un ensemble de valeurs donnes. Toujours M. d'Ocagne : "L'ensemble de ces systmes d'lments cots, complt par la connaissance de la relation de position tablir entre eux, constitue un abaque ou nomogramme de l'quation propose." On peut alors faire l'analogie entre d'une part le calcul et une table de calcul rassemblant un certain nombre de ceux-ci et, d'autre part, le calcul graphique avec un abaque prsentant un certain nombre de rsultats de ceux-ci. Exemple, retour sur l'quation du second degr prcdente : Alors que la graduation verticale de gauche reprsente les diffrentes valeurs de p envisages et celle de droite celles de q, une solution positive est donne sur la branche d'hyperbole. Remarque En considrant un lieu gomtrique des points construits par le trait pour une des valeurs fixes en supposant que les autres varient, on est amen construire un nomogramme comme l'illustre l'exemple suivant : x, y et z sont relis par la relation z2 = x2 + y2. Gomtriquement, cette relation correspond celle entre les coordonnes cartsiennes d'un point et la distance du point considr l'origine de ce repre. Si x est constant, P dcrit la perpendiculaire (Ox) passant par A. Si y est constant, P dcrit la perpendiculaire (Oy) passant par B. Si z est constant, P dcrit le cercle de centre O passant par un point donn.

    P

    A

    B

    x O

    y z

  • 7

    P

    A

    B

    x O

    y z

    Mais rciproquement, tout monogramme peut ne pas conduire un calcul par le trait (situations non constructible, comme une graduation logarithmique essayer de construire). II) Les amliorations successives des abaques pour construction et une lecture simplifies Louis Ezechias Pouchet (1748-1809), un manufacturier de Rouen, rdigea en 1795 un ouvrage qui contenait une table graphique facilitant la mise en place des nouveaux systmes des poids et mesures la rvolution (l'article 19 de la loi du 18 germinal an III prescrivait la construction d'chelles mtriques permettant de raliser les conversions sans calcul).

    Le systme mtrique dcimal est institu pour toute la Rpublique(loi du 18 germinal an III). Ce systme de mesure comprend : - le mtre, comme unit de longueur, - l'are, (du latin area) comme unit drive de superficie agraire, - le litre, (du grec litra) et stre comme units drives de capacit, - le gramme, (du grec gramma) comme unit drive de masse, - le bar, comme unit drive de pression et utilise des prfixes grecs pour les multiples : - dca (x 10), hecto (x 100), kilo (x 1 000), myria (x 10 000), et des prfixes latins pour les fractions : - dci (1/10), centi (1/100), milli (1/1 000). - Les prfixes bi et mi pour dou