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CTN-258 : Statique et dynamique

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Chapitre 6 CALCUL DES POUTRES

6.1 Introduction

Jusqu' maintenant, nous avons vu pour la conception des structures :

Le calcul des forces extrieures qui agissent sur elles; Le calcul des forces qui maintiennent ensemble les diffrents lments; Remplacement d'une charge rpartie par une ou plusieurs forces concentres.

Dans ce chapitre nous allons exposer les effets qui apparaissent l'intrieur d'une poutre,

les efforts internes et nous utiliserons les quations de la statique pour les calculer.

Nous verrons notamment comment :

Calculer les efforts internes une section donne; Comment dterminer leur variation le long dune poutre.

Mise en vidence des efforts intrieurs dans une poutre

40NS

S

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Chapitre 6 : Les poutres

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6.2 Efforts internes dans les membrures

Une poutre doit rsister des efforts internes de :

tension ou compression, N cisaillement, V flexion, M torsion, T

TENSION ou COMPRESSION

CISAILLEMENT

FLEXION

V

V

N

NN

N

MM

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6.3 Le calcul d'une poutre

Objectif du design: Dterminer sa section de telle sorte que la poutre puisse rsister aux efforts :

- normaux (moins critiques) N- tranchants V- moments flchissants ou de flexion M

tapes de design:

1) Calcul des forces internes provoques par la mise en charge.2) Choisir une section capable de rsister ces efforts (Rsistance des matriaux).

Attention:Lorsqu'on coupe, l'important c'est d'assurer la correspondance des forces surchacune des parties.

Note: Peu importe le sens de dpart, un rsultant ngatifle sens rel est l'opposATTENTION AUX SIGNES

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Types de charges :

Charges concentres Charges rparties

Note: Le calcul des ractions d'appuis est simplifi si on remplace l'action des chargesrparties par une ou plusieurs charges concentres quivalentes.

Attention: Les efforts internes ne sont pas quivalents

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Chapitre 6 : Les poutres

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6.4 Effort tranchant et moment flchissant dans les poutres

Soit la poutre AB suivante:

Afin de dterminer les efforts interne en C, on doit :

1) Calculer les ractions aux appuis.2) Couper la poutre en "C" afin d'isoler une partie de la poutre, la gauche ou la

droite.3) Le systme tant en quilibre on obtient les efforts internes en "C" en crivant les

quations d'quilibre.

=== 000 cyx MFF

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6.5 Diagramme des efforts tranchants et des moments flchissants

Les diagrammes des efforts internes sont des graphiques qui donnent la variation desefforts internes nimporte quelle section de la poutre.

Diagramme des efforts tranchants : DET Diagramme des moments flchissants : DMF

La variation des efforts tranchants et des moments flchissants le long dune poutrepermet de connatre :

le moment maximum (Mmax) leffort tranchant maximum (Vmax) et leur position

Les sections o le moment et leffort tranchant sont maximums sont appeles :SECTIONS CRITIQUES; et les valeurs obtenues ces sections sont utilises pour laconception ou la slection dune poutre.

TRACE DES DETET DMF

Mthode des sections

(a) Calculer les ractions aux appuis

(b) Identifier les intervalles o le chargement ne varie pas(c) Choisir une origine O (appui dextrmit)(d) Faire une coupe une distance x (quelconque) de lorigine lintrieur du

premier intervalle(e) Tracer le DCL partiel (celui de gauche de prfrence)(f) Appliquer les quations dquilibre de la statique afin dobtenir les

expressions de V et M en fonction de x(g) Refaire les tapes (d), (e) et (f) pour tous les intervalles identifis ltape (b)(h) Tracer les diagrammes en respectant la convention de signe pour V et M

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Exemple 6.1

Tracez le DET et le DMF

Solution

La premire tape consiste en tracer le DCL

1) Calcul des ractions

2) Sur cette poutre, il y a deux intervalles, 0 < x < 6 et 6 < x < 10

Coupe 1

A B

6m 4m

4 kN

6m 4m

4 kN

Ax

Ay

y

By

x

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Coupe 2

-2,4x + 241,6x

2,4 kN

1,6 kN

2,4 kN

4 kN

1,6 kN

DMF(kN.m)

DET(kN) +

-

9,6

+

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6.6 Relation entre les charges, les efforts tranchants et les momentsflchissants

Soit une poutre soumise une charge rpartie quelconque. Si on coupe la poutre en C

et en C de manire isoler llment de longueur dx.

Il existe des relations entre les efforts internes et les charges appliques. Pour lesdterminer on considre lquilibre de llment de poutre de longueur x : les chargeswxsont reprises par les efforts internes indiqus sur la figure.

(1) 0yF = - V + wdx + V + dV = 0

donc wdx dV =

dVw

dx= q. 6.1

Lquation (6.1) indique leffort tranchant V est maximum ou minimum lorsque la chargeuniformment rpartie est nulle ou vice et versa.

BA

V

V+dV

M+dMM

dx

w

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(2)0AM = , on a:

-M + M + dM + (V+dV)dx + wdx/2 = 0

En enlevant les termes ngligeables, il reste :

dMV

dx= q. 6.2

Lquation (6.2) indique que l'effort de cisaillement V est nul lorsque le momentflchissant est maximum ou minimum ou vice et versa.

Par intgration de (6.1) on peut obtenir leffort tranchant :

Note: Cette quation n'est pas valable au point o une charge concentre est applique.

Par intgration de (6.2) on peut obtenir le moment flchissant :