CALCUL D'UN ARC ISOSTATIQUESOUMIS DES CHARGES UNIFORMMENT RPARTIES

L'arc ACB est articul aux points A, B et C (cl). Il est soumis une charge uniformment rpartie d'intensit q. On note h la hauteur de l'arc et l sa porte. L'arc peut tre circulaire, parabolique ou quelconque.

Rsolution :Calcul des ractions d'appui l'aide du Principe Fondamental de la Statique :La structure et le chargement sont symtriques. L'arc est isostatique.En crivant que le moment au point C est nul, on dispose d'une quation supplmentaire permettant de calculer la composante horizontale des ractions d'appuis.

Philippe Lawrence 1

X

Y

q

A

C

B

Y

X

q

X A

Y A

X B

BY

Les calculs donnent :

X A=ql 2

8h

X B=ql 2

8h

Ces ractions d'appuis horizontales s'appellent la pousse de l'arc. Contrairement une poutre droite, l'arc cre des pousses horizontales qui devront tre reprises par les massifs de fondation.

Y A=ql2

Y B=ql2

est l'angle form par les directions de X et X'. Il vient :

tan=dydx

cos= dxdx 2dy 2

= 1 tan21

sin= dydx2dy2

=1

cot21

En appliquant le PFS au tronon d'arc isol, et en projetant sur les directions horizontales et verticales; il vient :

Philippe Lawrence 2

Y

AX

q

X'

Y'

x

y

Ncos Vsin X A=0Nsin VcosY Aqx=0

Mqx2

2X AyY A x=0

En rsolvant le systme d'quations, on obtient :

N=ql2

8hcosqsinl

2x

V= ql2sin

ql2

8hcos2sin

qcos l2x

N

q V

X AAY

M

N est ngatif quel que soit x, l'arc est donc entirement comprim. Une poutre droite soumise au mme type de charge ne subirait pas d'effort normal.

M=qx2lx ql

2y8h

Cas particulier :On remarque que le moment s'annule si :

y=4hxlx l 2

Le moment est donc uniformment nul si l'arc est parabolique. Le but d'une structure en arc est de rduire le moment flchissant.

Philippe Lawrence 3