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Conservatoire National des Arts & Métiers DUT DE GÉNIE MÉCANIQUE ET PRODUCTIQUE Deuxième Année CALCUL DIFFÉRENTIEL . , ET , GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Pierre MARRY

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Conservatoire National des Arts & Métiers

D U T D E G É N I E M É C A N I Q U E E T P R O D U C T I Q U E Deuxième Année

CALCUL DIFFÉRENTIEL . , ET ,

GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

Pierre M A R R Y

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Table des Matières

C H A P I T R E 1 : T O P O L O G I E D E I R n

1.1 Normes sur IR n 1 1.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable 1 1.1.2 Normes sur un IR-espace vectoriel 2 1.1.3 Normes usuelles sur ïïtn 3 1.1.4 Equivalence des normes 4

1.2 Topologie de 1R" 5 1.2.1 Boules ouvertes et boules fermées 5 1.2.2 Voisinages d'un point, ouverts, fermés 6 1.2.3 Intérieur, adhérence, frontière 7 1.2.4 Compacts 8

1.3 Limites et continuité 9 1.3.1 Limite d'une fonction de IR P dans ïït9 9 1.3.2 Continuité 10

C H A P I T R E 2 : D I F F É R E N T I E L L E S

2.1 Différentielle d'une fonction 11 2.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable 11 2.1.2 Différentielle d'une fonction de IR P dans Ht 9 13

2.2 Calcul des différentielles 15 2.2.1 Dérivées partielles 15 2.2.2 Expression de la différentielle 16 2.2.3 Matrice Jacobienne 17 2.2.4 Gradient d'une fonction à valeurs réelles 22

2.3 Dérivées partielles d'ordre supérieur 23 2.3.1 Fonctions de classe Ck 23 2.3.2 Formes différentielles 24

C H A P I T R E 3 : E X T R E M A DES F O N C T I O N S D E PLUSIEURS V A R I A B L E S

3.1 Extrema d'une fonction 27 3.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable 27 3.1.2 Formule de Taylor au 2° ordre 28 3.1.3 Cas des fonctions de deux variables 29

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102 Calcul différentiel et Géométrie différentielle

3.2 Extrema liés 32

C H A P I T R E 4 : P R O P R I É T É S M É T R I Q U E S D E S C O U R B E S

4.1 Rectification des courbes planes et gauches 37 4.1.1 Longueur d'un arc de courbe 37 4.1.2 Abscisse curviligne 39 4.1.3 Vecteur unitaire tangent 43

4.2 Courbure des courbes planes 43 4.2.1 Un exemple simple : le cercle 43 4.2.2 Un deuxième exemple simple : la droite 44 4.2.3 Courbure et rayon de courbure d'une courbe plane . . 44

4.3 Courbure et torsion des courbes gauches 48 4.3.1 Trièdre de Frenet 48 4.3.2 Torsion 49 4.3.3 Exemple : l'hélice circulaire 50

C H A P I T R E 5 : C O U R B E S D É F I N I E S PAR U N E P R O P R I É T É D I F F É R E N T I E L L E 5.1 Équation différentielle d'une famille de courbes planes . . . . 53

5.1.1 Rappels sur les équations différentielles du 1° ordre . . 53 5.1.2 Equation différentielle d'une famille de courbes planes 56 5.1.3 Application : trajectoires orthogonales d'une famille

de courbes planes 58 5.2 Enveloppe d'une famille de courbes planes 61 5.3 Développées et développantes 65

5.3.1 Développée d'une courbe plane 65 5.3.2 Développantes d'une courbe plane 67

C H A P I T R E 6 : É L É M E N T S D E T H É O R I E D E S S U R F A C E S 6.1 Surfaces paramétrées 71

6.1.1 Paramétrages réguliers 71 6.1.2 Élément d'aire 72

6.2 Première forme fondamentale 73 6.3 Courbure d'une surface paramétrée 74

6.3.1 Courbures normales 74 6.3.2 Deuxième forme fondamentale 75 6.3.3 Courbures principales 76

6.4 Exemples 78 6.4.1 Surfaces données par une équation z = z(x,y) 78 6.4.2 Surfaces de révolution 79 6.4.3 Hélicoïde droit 83

E X E R C I C E S 85

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Chapitre 1 TOPOLOGIE DE IR n

1.1 Normes sur IR"

1.1.1 Rappels sur les fonctions d'une variable

Etant donnée une fonction / définie sur une partie (non-vide) Vf de 1R, à valeurs dans 1R, on peut introduire les notions de limite et de continuité de / en un point. On dit qu'un point XQ de 1R est adhérent à. Vf si et seulement pour tout a > 0, l'intersection de ]XQ — a, XQ + a[ avec Vf est non-vide. L'ensemble des points adhérents à Vf est une partie Vf de IR qui contient Vf, et que l'on appelle adhérence deVf. Rappelons ici les définitions des notions de limite et de continuité de / en un point xo • Soit xo un point adhérent kVf. On dit que f(x) tend vers £ £ IR lorsque x tend vers xo , et l'on note lim /(x) = £, si et seulement si :

X-+XO

V e > 0 , 3a > 0, Vx € Vf, \x - x0\ a =*• \f(x) - £\ s.

Si xo est un point de Vf, on dit que / est continue en xo si et seulement si lim /(x) = /(x 0 ) , c'est à dire :

V e > 0 , 3 o > 0 , V x e D / , | x - x 0 | < a = > | / ( x ) - / ( x 0 ) | < £ .

On peut considérer que pour deux réels a et b donnés, |6 — a| représente la distance d(a, b) de a à b. Cette distance a les propriétés suivantes :

- d(a, b) > 0 et d(a, b) = 0 si et seulement si a = 6. - (Symétrie) d(a,b) = d(b,b). - (Inégalités du triangle) :

\d(a, c) - d(c, 6)| < d(a, b) < d(a, c) + d(c, b).

Pour étendre les notions de limite et de continuité aux fonctions de plusieurs variables, il est nécessaire de généraliser à IR" cette notion de distance. Cela se fait par une extension de la notion de valeur absolue : la notion de norme.

1

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2 Calcul différentiel et Géométrie différentielle

1.1.2 N o r m e s sur u n IR-espace vectoriel

Soit E un IR-espace vectoriel.

Définition 1.1 Une norme sur E est une application N de E dans IR qui vérifie les axiomes de définition suivants :

- (Ni) Pour tout x e E on a N(x) > 0, et :

N(x) = 0 x = 0.

- (N2 : Homogénéité) Pour tout x € E et tout À 6 M on a :

N(Xx) = |A| N(x).

- (N3 : Inégalité du triangle) Pour tout x E E et tout y £ E, on a :

N(x + y)<N(x) + N(y).

La norme est une généralisation à IR n de la valeur absolue. En effet, toute norme sur IR est un multiple de la valeur absolue : Soient N une norme sur IR et x un nombre réel quelconque. On a x = x.l, donc, par l'homogénéité, N(x) = \x\C'est pourquoi l'on note la plupart du temps la norme de x € E par ||x|| au lieu de N(x), pour rappeler l'analogie avec la valeur absolue sur IR. Une norme sur E vérifie la 2° inégalité du triangle :

Proposition 1.1 On a, pour tout x E E et tout y e E :

N(x + y) > \N(x)-N(y)\.

démonstration : On a x = (x + y) + (—y), donc :

N(x) < N(x + y) + N(-y) = N(x + y) + N(y).

On en déduit que N(x + y) > N(x) - N(y).

De même, en écrivant y = (x + y) + (—x), on prouve que :

N(x + y)>N(y)-N(x).

On a donc bien N{x + y) > \N(x) - N(y)\. •

On peut définir la distance associée à une norme :

Définition 1.2 Etant donnée une norme \\ sur E, la distance associée est l'application d de E X E dans IR définie par :

V ( X , Î / ) € ExE, d(x,y) = \\y-x\\.

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Chapitre 1 : Topologie de Mn 3

Proposition 1.2 La distance associée à une norme vérifie les propriétés suivantes :

- Pour tout x £ E et tout y £ E, on a d(x, y) > 0 et :

d(x,y) = 0 x = y.

- (Symétrie) Pour tout x £ E et tout y £ E, on a d(x, y) = d(y, x). - (Inégalités du triangle) : Pour tout x £ E, tout y £ E et tout z £ E,

on a : \d(x, z) - d(z, y)\ d(x, y) < d(x, z) + d{z, y).

démonstration : On a d(x,y) = \\y — x\\ 0, et si d(x,y) = \\y — x\\ 0, alors y — x = 0, donc x = y. Comme x - y = -(y - x), on a d(x, y) = \\y - x\\ \\x - y|| = d(y, x). Comme y — x = (y — z) + (z — x), on a, par l'axiome (N3) et la 2° inégalité du triangle :

||| y_z||_||z-x|||<||y-x||<||y-z|| + ||z-x||,

d'où \d(x, z) - d(z, y)\ d(x, y) < d(x, z) + d(z, y). •

1.1.3 N o r m e s usuelles sur I R n

La norme sur R " la plus utilisée en Physique (parce que la distance associée dans le cas où n = 2 ou n = 3 est la distance "physique") est la norme euclidienne |j |J2- La norme euclidienne d'un vecteur de Ht 2 ou H 3 est par définition la racine carrée de son carré scalaire :

Dans le cas n = 2, si (a?i, £ 2 ) sont les coordonnées de "x*, on a :

et dans le cas n = 3, si (x\, X 2 , X 3 ) sont les coordonnées de "x*, on a :

H X % = y/xj + xj+xj.

On généralise aisément au cas où n est quelconque. Si les coordonnées de x £ IR" sont ( x i , X 2 , -. • , x n ) , on pose :

l k l l 2 = y / x 2 + x2 + . . . + x2 = :=1

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4 Calcul différentiel et Géométrie différentielle

La norme euclidienne n'est pas toujours la plus pratique à utiliser en Ana­lyse Mathématique. C'est pourquoi les mathématiciens ont défini d'autres normes sur IR". Les principales sont :

- les normes || ||p, où p est un nombre entier strictement positif. Si x est le vecteur de IR71 de coordonnées (x\, X2, • • • , x n ) , on pose :

I k l l , = ( l * l | P + l * 2 | P + • • • + \*n\)> = ( S N I " \»=1

Dans le cas n = 1 on obtient : n

ll*lli = l«il + l*al + .., + l*»| = 2 N -»=i

Dans le cas n = 2 on retrouve la norme euclidienne.

- la norme || l l ^ dite de la convergence uniforme . Si x est le vecteur de IR" de coordonnées (x\, X 2 , . . . , xn), on pose :

I M I o o = l*2|, • • • , \xn\] = max |«{|. l < t < n

1.1.4 E q u i v a l e n c e des n o r m e s

Une notion importante," comme on le verra par la suite, est celle de normes équivalentes :

Définition 1.3 Soient E un IR-espace vectoriel, et N et N' deux normes sur E. On dit que N est équivalente à N' si et seulement s'il existe deux constantes réelles strictement positives m et M, avec 0 < m < M, telles que pour tout x E E on ait :

mN'(x) < N{x) < MN'(x).

Cette relation est : - réflexive : Comme l.N(x) < N(x) < l.N(x), N est bien équivalente

à N. - symétrique : si N est équivalente à N', il existe des constantes m et

M , avec 0 < m < M , telles que pour tout x € E on ait :

mN'(x) < N(x) < MN'{x).

I l vient alors : -^N(x) < N'(x) < —N(x),

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Chapitre 1 : Topologie de 2RN 5

et TV' est équivalente à N. - transitive : si N est équivalente à N' et N' équivalente à N", i l

existe m et M , avec 0 < m < M , telles que pour tout x £ E on ait mJV'(i) < iV(x) < MN'(x), et m' et M ' , avec 0 < m' < M ' , telles que pour tout x £ E on ait m'N"(x) < N'(x) < M'N"(x). On a alors :

mm'N"(x) < N(x) < MM'N"{x),

et N est équivalente à N". La relation est donc une relation d'équivalence . Nous admettrons le théorème suivant :

Théorème 1.1 Sur un IR-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

C'est donc le cas sur IR" qui est de dimension finie n.

1.2 Topologie de HT

1.2.1 Boules ouvertes et boules fe rmées

Soient || || une norme sur IR" et d la distance associée. Pour tout point a de lR n et tout nombre réel strictement positif r > 0, on définit :

- la boule ouverte de centre a et de rayon r :

B (a, r) = {x € JRn/d(x, a) < r} = {x € IRn/||x - a|| < r } ,

- la boule fermée de centre a et de rayon r :

B(a, r) = {x 6 lRn/d(x, a) < r} = {x £ lRn/||x - a\\ r}.

La figure ci-dessous montre les boules de centre 0 et de rayon r de IR 2 pour les normes respectives || || ||2 et || ||oo.

y

Norme 1

y

Norme 2 I Norme ce

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6 Calcul différentiel et Géométrie différentielle

1.2.2 Voisinages d ' u n point , ouverts , f e r m é s

On suppose IR n muni d'une norme || ||.

Définition 1.4 Un voisinage d'un point XQ de Mn est une partie V de IR71

qui contient une boule ouverte centrée en Xo-

o

Si V est un voisinage de xo, i l existe donc e > 0 tel que B (xo,£) C V, ce qui signifie que tous les points de IR n qui sont à une distance de XQ moindre que £ sont dans V. Comme toutes les normes sur IR" sont équivalentes, les voisinages d'un point sont les mêmes quelle que soit la norme choisie. En effet, si N et N' sont deux normes sur IR n , toute boule ouverte de centre xo pour la norme N contient une boule ouverte de centre x$ pour la norme N', et réciproquement.

Définition 1.5 Un ouvert de IRn est une partie de Mn qui est voisinage de chacun de ses points. Un fermé de ÏÏC est une partie de IR11 dont le complémentaire est ouvert.

Par exemple, une boule ouverte (resp. fermée) est un ouvert (resp. un fermé).

o

En effet, soient B =B (a,r) la boule ouverte de centre a et de rayon r, et xo un point de B. On a donc d(a, XQ) < r. Soit e un nombre réel tel que 0 < e < r — d(a,Xo). Alors la boule ouverte de centre xo et de rayon £ est contenue dans B, car si d(x, xo) < e, on a :

d(x, a) < d(x, x 0 ) + d(x0, a) < £ + (r - e) = r,

donc x € B . De même, si B' = B(a, r) et si xo £ on a d(a, x 0 ) > r . Soit e un nombre réel tel que 0 < £ < d(a, xo) — r. Alors la boule ouverte de centre xo et de rayon e est contenue dans le complémentaire de B'. Ce complémentaire est donc ouvert, et B' est donc un fermé. Les ouverts de IR n vérifient les propriétés suivantes :

Proposition 1.3 Les parties JPJ1 et 0 de IR71 sont des ouverts. Une intersection finie d'ouverts de IRn est un ouvert de IRn. Une réunion quelconque (même infinie) d'ouverts de WC1 est un ouvert de nr.

démonstration : Comme IR" contient toutes les boules ouvertes, i l est voisi­nage de chacun de ses points. Si 0 n'était pas un ouvert, il existerait xo € 0 pour lequel aucune boule ouverte centrée en xo ne serait contenue dans 0. Comme 0 n'a pas d'élément, l'existence d'un tel xo est impossible, et 0 est donc ouvert. Soient U\,U2,..., Uk des ouverts de IR n , et XQ un point de l'intersection

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Chapitre 1 : Topologie de IRn 7

k

P| £/,-. Pour chaque », 1 < »' < k, Ui est ouvert, donc i l existe e,- > 0 tel que :'=1

k o o ~ .

B (xo,£i) C U{. Soit s = min Alors B (xo,£) C | | L7,-, ce qui prouve i = l

que [j £/t- est un ouvert. :'=1

Soit enfin (Ui)ieI une famille quelconque d'ouverts de IR", et XQ un point

de la réunion (J#i- I l existe i 6 I tel que XQ 6 U%. Comme Ui est ouvert, o o | -

i l existe £ > 0 tel que B (xo,z) C C7,-. On a donc B (xo,£) C M Ui, et par t € i

conséquent M Ui est ouvert. •

On en déduit les propriétés suivantes des fermés de IR n :

Proposition 1.4 Les parties IR71 et 0 de IR71 sont des fermés. Une réunion finie de fermés de IRn est un fermé de IR71. Une intersection quelconque (même infinie) de fermés de IR71 est un fermé de HT.

En raison de l'équivalence des normes, les ouverts et les fermés de fftn sont les mêmes quelle que soit la norme choisie.

1.2.3 Intér ieur , a d h é r e n c e , frontière

Soit A une partie de IR™.

o

Définition 1.6 L'intérieur A de A est la réunion de tous les ouverts de IRn contenus dans A. C'est donc le plus grand ouvert de M71 qui soit contenu dans A.

Par exemple, l'intérieur d'un point est vide. Si U est un ouvert de IR n , on 0

a U= U. L'intérieur de la boule fermée de centre a et de rayon r > 0 est la boule ouverte de centre a et de rayon r. Comme dans le cas de IR, on peut définir les notions de point adhérent à A et d'adhérence de A :

Définition 1.7 Un point XQ de IR71 est dit adhérent à A si et seulement si toute boule ouverte centrée en XQ a une intersection non-vide avec A. L'adhérence A de A est l'ensemble des points de IR71 adhérents à A.

On a la proposition suivante :

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8 Calcul différentiel et Géométrie différentielle

Proposition 1.5 L'adhérence de A est le plus petit fermé de Mn qui con­tienne A. C'est l'intersection de tous les fermés de IRn qui contiennent A.

démonstration : Notons A' l'intersection de tous les fermés de IR" qui con­tiennent A, qui est donc le plus petit fermé de K " contenant A. L'adhérence A de A contient A. De plus, A est un fermé de ïïtn. En effet, si XQ A, i l existe une boule ouverte centrée en xo dont l'intersection avec A est vide. Soient r le rayon de cette boule, et s € K. tel que 0 < £ < r. L'intersection de la boule ouverte de centre xo et de rayon £ avec A est vide. Sinon, pour un élément x de cette intersection, la boule ouverte de centre x et de rayon r — £ aurait avec A une intersection non-vide. Comme

o o

cette boule est contenue dans B (xo , r ) , B (xo,r) aurait, contrairement à l'hypothèse, une intersection avec A non-vide. On en déduit que le complémentaire de A est ouvert, donc que A est fermé. I l s'ensuit que A est un fermé contenant A, donc que A D A'. Si xo £ A', i l existe, puisque le complémentaire de A' est ouvert, une boule ouverte centrée en xo dont l'intersection avec A' est vide. L'intersection de cette boule avec A C A' est donc vide également, et xo 4. A. On a donc  C A\

Donc A = A'. •

Par exemple, si F est un fermé de JRn, on a F = F.

L'adhérence de la boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est la boule fermée de centre a et de rayon r . On a, pour toute partie A de ]R n :

AC A CÂ.

Définition 1.8 La frontière, ou bord, de A est par définition la partie dA o

de IRn définie par dA = A \

Par exemple, le bord de la boule (ouverte ou fermée) de centre a et de rayon r est la sphère S(a, r) de centre a et de rayon r , définie par :

S(a, r) = {x € JRn/d(x, a) = r } .

1.2.4 C o m p a c t s

Définition 1.9 Une partie A de Mn est dite bornée si et seulement s'il existe M > 0 tel que pour tout x £ A on ait j|x|| < M.

En raison de l'équivalence des normes, les parties bornées de IR" sont les mêmes quelle que soit la norme choisie.

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Chapitre 1 : Topologie de Rn 9

Définition 1.10 On appelle compact de Mn toute partie de IR71 qui est fermée et bornée.

Comme on le verra plus loin, les compacts de R " jouissent de propriétés analogues à celles des segments de IR.

1.3 Limites et continuité

1.3.1 L i m i t e d'une fonction de I R P dans I R 9

On a maintenant les outils mathématiques permettant de généraliser les no­tions de limite et de continuité aux fonctions définies sur une partie de IR P

à valeurs dans JRq. Supposons W et IR 9 munis chacun d'une norme quelconque, que nous noterons toutes les deux par la notation générique || ||. Soient / une fonction définie sur une partie Vf de IR P à valeurs dans IR 9 , et xo un point adhérent à Vf.

Définition 1.11 On dit que f(x) tend vers £ Ç JR 9 lorsque x tend vers xo, et l'on note lim f(x) = £, si et seulement si :

x—txo

V e > 0 , 3a > 0, Vx e Vf, \\x - x0\\ a => ||/(x) - £\\ e.

En raison de l'équivalence des normes, cette propriété ne dépend pas des normes choisies sur IR P et sur Ht 9 . Soient {fiix)i h i x ) i • • • t/? ( x ) ) ^ e s coordonnées de f(x) dans Et 9 , et soient

,lq) celles de £.

Proposition 1.6 On a lim f(x) = £ si et seulement si l'on a pour tout X-+X0

i G { 1 , -•-,?} : lim fi(x) = £{.

X-*XQ

démonstration : On utilise la norme || Hoc.

Si \\x - x0\\ a implique ||/(x) - £\\oo < e, on a pour tout i € { 1 , . . . , ? } :

\fi(x)-£i\<\\f(x)-£\\<e,

donc lim /,(x) = £{. X-¥Xo

Réciproquement, si pour tout i € { 1 , . . . , ? } on a lim /{(x) = £{, alors pour x—ïxo

tout e > 0 il existe a,- > 0 tel que ||x — xo|| < a,- implique |/{(x) - £{\ e. Lorsque ||x - xo|| < a = min a,-, on a bien :

1 <!<<? ||/(a;) - £||oo = max |/,(x) - £{\ e. •

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10 Calcul différentiel et Géométrie différentielle

1.3.2 C o n t i n u i t é

Soient / une fonction définie sur une partie Vf de R p à valeurs dans R ? , et XQ un point de Vf.

Définition 1.12 On dit que f est continue en xo si et seulement si :

l im f(x) = f(x0),

c'est à dire :

te>0, 3 o > 0 , Vx€ î>/ , ||x-x0|| < o = H | / ( x ) - / ( x 0 ) | | < £ .

Là encore, cette propriété ne dépend pas des normes choisies sur 1RP et R ? . Soient comme au paragraphe prédédent (fi(x),h(x),..., fq{x)) les coor­données de f(x) dans R ? . On a de façon évidente :

Proposition 1.7 La fonction f est continue en XQ si et seulement si les fonctions fi de Vf à valeurs dans IRq sont, pour tout i € { 1 , . . . ,q}, con­tinues en XQ .

Si / est définie et continue en tout point d'une partie A de IR P , on dit que / est continue sur A. Un exemple de fonctions continues est donné par les applications linéaires de R p dans W :

Proposition 1.8 Une application linéaire de IRP dans IR? est continue sur IRP.

démonstration : En raison de la proposition précédente, i l suffît de faire la démonstration dans le cas d'une application linéaire de fltp dans R . Une telle application est du type :

p

x = ( x i , i 2 , • • •, xP) eW>—> /(x) = ^2 aixi-

t = i

On a, pour tout x € 1RP : p

1/001 = XI a i X i «=1

< J>,| |x,| < a i | x | U , i = i

où a = max |a,|. 1<«<P

On a donc |/(x) - /(x 0 )| = |/(x - x 0 )| < a\\x - x0||oo, ce qui assure la continuité de /. •

Les fonctions continues sur un compact de IR P jouissent de propriétés ana­logues aux fonctions continues sur un segment de R . En particulier :

Théorème 1.2 Une fonction continue sur un compact de IRP à valeurs dans IR est bornée et atteint ses bornes.