CALCUL DES PROFILS D'AUBES POUR

TURBOMACHINES TRANSSONIQUES

par ROBERT LEGENDRE Ingdnieur Gdn6ral du G6nie Maritime

Pr6sident du Comit6 Technique de l'Association Tectmique pour la Turbine k Gaz

Sommal re - -Un 6coulement plan r6versible autour de profils constitu6s par des droites et des lignes de jet est d6fini. L'une des lignes de jet peut 6tre sonique et m6me, au prix d'une approximation, faiblement super- sonique.

Le caleul repose sur la d6termination pr¢Salable (te familles (le solutions des 6quations de l'6coulement plan d'un fluide compressible.

1. I n t r o d u c t i o n

Le calcul des 6coulements t ranssoniques au to u r &obstacles donn6s est trbs difficile car la posi t ion des chocs locaux est inconnue. I1 est plus facile de d6finir des obstacles tels quc l '6coulement au tou r d ' eux soit r6versiblc et la solut ion pr6scnte plus d ' in t6r6t pour le p ro je teur qui doi t pr6f6rer suppr imer les chocs par le choix de trae6s convenables .

Depuis le t rava i l fondamenta l de Chaplygin 1 l '6 tude des 6coulements r6versibles a progress6 par les cont r ibut ions de n o m b r e u x auteurs parmi lesquels il convient de citer F. J . F rank l 2, M. J. Lighthi l l 3, S. V. Fa lkov i t ch 4, S. T imot ika ct K. T a m a d a 5, P. Germain ~, J. Cherry 7, A. Gilles 8, M. Fena in 9, M. Liger 1°.

Toutes les m6thodes utilis6es exp lo i ten t la lin6arit6 des 6quat ions dSfinissant le potent ie l et la fonct ion de couran t b, l 'a ide de l ' intensi t6 de la vitcsse e t de l 'angle d ' incl inaison de la vitesse avec une direct ion de r6f6rcnce, qui sont les coordonn6es du plan de l 'hodographe . Toutes les appl icat ions po r t en t sur des 6coulemcnts dans des tuybres ou a u tou r de profils isol6s.

Si le caleul des 6coulements r6versibles est plus facile que la d6 te rmina t ion d '6coulements avee ehocs, il compor te cependan t des difficult6s assez s6rieuses p rovenan t , n o t a m m e n t , de d6fauts d 'uni for- mit6 du potent ie l et de la fonct ion de couran t dans le plan de l ' hodographe et de la pr6sence de lignes l imites cons t i tuan t des

8

Calcul des Profils d'Aubes pour Turbomachines Transsoniques 9

obstacles £ l 'int6gration du champ physique k partir de l 'hodographe. I1 peut done paraitre pr@somptueux d 'aborder le calcul de l '6coulement transsonique traversant une grille d 'aubes sch6matisant l 'ailetage d'une turbomachine.

Cependant, une grille d 'aubes sdpare le plan en deux r@gions et l 'image de l'infini aval duns le plan de l 'hodographe est distincte de l'image de l'infini amont, au moins si la variation d'intensit@ de la vitesse et la d5viation du courant ne sent pus nulles.

Cette circonstance permet d'6viter l ' introduetion de singularit6s critiques compliqudes pour la d6finition de certains @eoulements t raversant des grilles, dent il faudra renoncer /~ d~duire des @eoule- ments duns des tuy~res, en faisant tendre vers z@ro la d@viation, ou autour de profils isol6s, en faisant croltre ind4finiment le pus. I1 est mSme possible de d~finir des champs du potentiel et de la fonetion de courant, uniformes et sans ligne limite duns le plan de l 'hodographe. L'intdgration pour construction du champ physique ne pr6sente plus alors de difficult6.

Les champs d'hodographes jouissant de telles propri~t@s corre- spondent ~ une classe restreinte d'6coulements r6versibles dent l '~tude ne peut pus donner aux math6maticiens l'occasion de d6velopper l 'analyse des singularit~s des ph@nom~nes transsoniques mais qui doivent @tre tr~s utiles aux ing@nieurs.

2. Methodes de calcul des gril les d'aubes

Divers proc6d6s de ealcul de profils d 'aubes pour turbomachines subsoniques out ~t~ d6velopp6s par l 'auteur. I1 suffira de rappeler ici les plus rdcents.

Lorsque l'intensit@ de la vitesse du fluide est, en tous les points de l 'dcoulement, relativement peu variable autour d 'une valeur assez net tement subsonique, la loi de compressibilitd peut @tre remplacde, avec une bonne approximation, par celle d 'un fluide fictif dent le volume sp@cifique varierait lin~airement a v e c l a pression 11. I1 est alors relativement facile de ealculer l '~coulement t raversant une grille d 'aubes dent les profils sent deux angles raccord~s par des lignes de jet. La ligne de jet d'intrados peut pr@senter deux points d'inflexion dent les positions sent des param~tres compl@mentaires du true@. En variante, les points d'iuflexion peuvent 6tre remplac6s par des maxima de la vitesse sur les e6t@s des angles mais, pour que le profil ne perde pus les avantages attaeh6s ~ une dvolution tr~s progressive de l'intensit6 de la vitesse, caract@ris6e par le qualificatif de laminaire, il est recommand6 de limiter le maximum local de vitesse et de ne pus user de la variante sur l'angle d 'aval oh s'effeetue, duns le fluide

10 ROBERT LEOENDRE

visqueux r6el, une compression responsable d 'un 6paississement de la couche limite ou d 'un d~collement.

Dans un m6moire pr6sent~ au Congr~s de M6canique de 1946 et qui n'a pas 6t6 publi6, l 'auteur attirait l 'at tention sur des ~coulements parfaitement rdguliers mais dont l 'hodographe prdsentait un point critique correspondant h un point de l 'dcoulement off la vitesse est stationnaire. Une singularitd de ce type apparait ndcessairement au col d 'un venturi et ne peut ~tre dvitde, dans une grille £ faible ddviation, que si les aubes sont extr~mement minces 12. Elle prdfigure ddjh, aux vitesses subsoniques, la singularit6 au col d'une tuybre de Laval et complique sdrieusement la construction de l 'hodographe. Par contre, elle peut 8tre rejet6e hors du champ utile si la ddviation dans la grille est notable et cette circonstance, s 'a joutant h la distinction nette des images des infinis amont et aval, assure l'uniformitd du potentiel et de la fonction de courant dans le domaine utile de l 'hodographe. Eventuellement m6me, il peut exister plusieurs feuillets se recouvrant partiellement mais il n'est possible de passer d 'un feuillet ~ l 'autre, sans franehir l 'image du profil; que par un domaine de genre nul et l 'uniformisation est facile. Une premiere tentat ive a dtd faite par l 'auteur 13'14 pour d6finir des dcoulements transsoniques appartenant la classe restreinte ddfinie au prdcddent paragraphe mais, d 'une part, les angles des profils aux bords d 'a t taque avaient dfi 6tre choisis nuls et l'intdrSt pratique des grilles d 'aubes ddfinies dtait limit6, d 'autre part, l 'existence dventuelle de lignes limites pour les vitesses trans- soniques n 'avait pas dtd discut~e.

L 'objet du pr6sent mdmoire est la ddfinition d'dcoulements rdversibles de la classe restreinte, t raversant des grilles d 'aubes dont les profils sont constitu6s par des angles finis raccord6s par des lignes de jet. Aucune simplification n'est apportde k la loi de eompressibilit6 du fluide qui n'est d'ailleurs pas explicitement pr6cis6e. En contre partie, la prdsence de points d'inflexion sur la ligne de jet ou de maxima de la vitesse sur les c6tds des angles est exclue. Les profils d6pendent done d 'un moindre nombre de param~tres que ceux qui ont dtd 6tudids pour les dcoulements subsoniques.

D'autre part, le calcul ne sera effectu6 avee rigueur que si la vitesse sur la ligne de jet d 'extrados est au plus sonique. La discussion d'existence des lignes limites oblige en effet ~ compliquer le contour de l 'hodographe, image du profil, par deux caract6ristiques de raccorde- ment lorsque la vitesse devient supersonique sur la ligne de jet d'extrados. Le ealcul exact de la correction, trbs faible lorsque la cdldrit6 du son est ldgbrement franchie par la vitesse du fluide sur la ligne de jet d'extrados, serait trbs compliqud.

I1 faut observer que le souci de limiter la complexit6 du calcul

Calcul des Profils d'Aubes po~er T~rbomachines Transsoniq~ees 11

impose d6jk aux profils transsoniques sch6matiques, qui sont seuls 6tudi6s, une recompression, r6versible mais rapide, au voisinage du raccordement de la ligne de jet supersonique d'extrados/~ l'angle du bord de fuite. Cette recompression est l'inverse d'une d6tente de Prandtl-Meyer. Le caractbre laminaire du profil serait compromis si le ealcul 6fair effectu6, avec une correction plus 61abor6e, pour une vitesse supersonique exag6r6e sur la ligne de jet d'extrados.

3. P r i n c i p e du ca lcu l de l ' e c o u l e m e n t

Les profils, qui seront 6tudi6s, sont repr6sent6s sur la Fig. 1. Le contour de l 'hodographe, image de Fun des profils, est l 'hexagone rectangle repr6sent6 sur la Fig. 2, l'abscisse ~. est une fonction

/ FIG. 1.

o" m

%+% D

%

~j$- 8 S D

~E + 8 E A

OE-SE h

FIG. 2.

d$croissante de l'intensit6 de la vitesse et to est l'angle de la vitesse avec le plan de la grille.

Aux c6t6s de l'angle dont le sommet est le bord d 'a t taque corres- pondent deux demi-droites caract~ris~es par les inclinaisons toe -- ~E et to E ~- 5~. Aux cSt6s de l'angle dont le sommet est le bord de fuite

1 2 ~ O B E R T L E G E N D R E

correspondent les deux demi-droites caractdrisdes par les inclinaisons c°s -- ~s et o~ s q- ~s. Enfin aux deux lignes de jet correspondent les segments situds par les valeurs am et a i de a, fonction convenable de la vitesse pour que les 6quations portant sur le potentiel ~ et la fonction de courant F prennent les formes classiques:

Les fonctions a et k(a), nulles ]orsque l'intensit6 de la vitesse est dgale £ la cdl6rit5 du son et n6gatives dans le domaine supersonique, sont des fonctions de l'intensit6 V de la vitesse, ddpendant de la loi de compressibilit6 qu"il est inutile de prdciser ici. ]l suffit que les deux fanfilles de solutions fondamentales de Chaplygin:

I ~/)l ~ ~ 1 ( 0 " '~') sill ;to) ~'2 = (~2(O~')~) sill )~o)

1 I [ ~PX : (~l,a(O', ~) COS A(O q)2 ~ - ~ 2 , ~ (O',/~) COS ,~Oi

puissent ~tre facilement tabuldes. Les fonctions G~ et ~2 sont los deux solutions ind6pendantes de:

qui se comportent respectivement comme exp [--2a] et exp [q-2a] pour 2 r6el positif lorsque a tend vers Finfini par valeurs positives, la fonction k(a) tendant alors vers un.

Les solutions correspondant £ des valeurs imaginaires de 2 ne seront pas utilis6es par la suite.

Si le fluide est un gaz parfait £ chaleurs sp6cifiques ind6pendantes de la temp6rature, les fonctions ~1 et ~2 s'exp6riment £ l'aide de fonctions hyperg6om6triques.

La g6n6ralisation aux 6coulements transsoniques 6rant r6serv6e pour plus tard, il est suppos6 provisoirement que a m correspond une vitesse au plus sonique. Pour les valeurs de a 16g6rement sup6rieures ~ a,, c'est-£-dire pour les lignes de courant voisines de la ligne de jet d'extrados, les fonctions ~ et 9, prolongeables par sym6tries autour des c6t6s du contour de l 'hodographe parall61es £ l 'axc des a e t des images de ces c6t6s dans les sym6tries, peuvent 4tre repr6sent6es par des s6ries de fonctions de Chaplygin correspondant des valeurs r6elles du param6tre 2:

ao

-~ ~ . a n [ ( C 2 ( a , , , n ~ o ) ( g ~ i ( a , n ) L o ) - - (~i(am,n;t0) (~(a,n~0) ] ,'t, ~ 1

sin [nAo(co -- o) E + (~E)] cv a n

~ q~o q-~ ~ [~2(am,n2o) ~l.~(a,'UXo) -- ~ l ( a m , n ' T t o ) c~2.o(a,nAo)]

c o s [n,to(O~ - co~, + 6~) ]

Calcul des Profil8 d'Aubes pour Turbomachines Trans~oniques 13

off 20(o~s + as -- o)E + Os) ----

Ces s~ries cessent de converger lorsque a at teint la valeur corre- spondant k la vitesse ~ l'infini amont ou ~ l'infini aval mais des sdries de m~me forme, avec des coefficients diff~rents, sont valables dans l 'intervalle de ces deux valeurs de a. Une troisi~me s~rie de mSme forme est valable lorsque a est compris entre la plus grande des valeurs correspondant aux infinis aval et amont d'une part et aM d 'autre part.

Enfin, si a est supdrieur £ a M deux s~ries de fonctions de Chaplygin, du type ~ et de pdriodes 2 ~ et 25 s, sont respectivement valables dans les deux rdgions de l 'hodographe comprises entre les branches infinies du contour.

I1 a 5td suppos~ que les vitesses £ l'infini aval et ~ l'infini amont ~taient toutes deux comprises entre a me t a M mais eette restriction, sans inconv5nient pratique, n 'a rien d'essentiel et pourrait ~tre facilement levee.

Les cinq sdries de fonctions de Chaplygin ddfinissant la solution de principe ci-dessus, doivent ~tre raccorddes. Elles convergent tr~s lentement au voisinage des singularit~s. I1 est alors preferable de d~finir de nouvelles familles de solutions des ~quations de l'dcoulement plan du fluide compressible, ayant d6j£ une partie des singularitds des solutions utiles, et de les substituer aux fonctions de Chaplygin dans les ddveloppements en s6rie.

Les nouvelles solutions auxiliaires sont elles-m~mes ddfinies par des sdries de fonctions de Chaplygin mais les diffieultds ont 6td divisdes.

4. Approximation analytique

Lorsque am est trbs grand, l 'dcoulement est trbs voisin de celui d 'un fluide incompressible et la somme ~ ÷ i~ est approximative- ment une fonction analytique de ~ = a ÷ leo (Fig. 3).

D

A

B •

F I G . 3 .

14 ROBEI~T LEGENDICE

Pour le type de contour 6tudi6, les prolongements analytiques de cette fonction dans les syrn6tries par rapport aux c6t6s parall~les /~ l 'axe des a admet tent respectivement les pdriodes:

2(0)S + (~S -- O)E -~- (~E); 2(~t~J; 2(~S

Ils peuvent donc 6tre ddveloppds en sdries de Fourier, c'est-£-dire, soit en s6rie de Laurent pour la variable exp [20~], soit en sdries de Taylor pour les variables exp [--(Tr~/($E) ] OU exp [--(~r~/5~)].

La rdgularitd des solutions cherchdes aux images des bords d 'a t taque et de fuite interdit en effet d'envisager un ddveloppement en sdrie de Laurent pour les deux derni~res sdries.

Si, dans de telles sdries, les termes exponentiels sont remplacds par des fonctions de Chaplygin, chaeune d'elle ddfinit une solution exacte des dquations de l 'dcoulement plan d'un fluide compressible.

I1 n'est pas important pour l ' instant que ces solutions cessent d'etre les prolongements analytiques d'une m~me fonction. En outre, pour la ddfinition de fonctions auxiliaires utites £ l 'dtude du comportement de ~ et yJ lorsque ~ est supdrieur ~ a M ou ldg~rement infdrieur ~ cette valeur, il n 'y a pas ~ s 'encombrer des fonctions elliptiques qui s 'introduisent dans l'expression de l 'approximation analytique de ~ + iyJ, valable lorsque les vitesses sont faibles et qui tiennent compte de singularitds aux extrdmitds du segment a ---- ~ . I1 suffit de construire des solutions exactes des dquations de l'dcoule- ment du fluide compressible ~ partir d'une fonction analytique prdsentant les singularitds convenables dans la rdgion dtudide. Par exemple, la fonetion ~(~), reprdsent6e sur la Fig. 4, fait classiquement correspondre par transformation conforme le contour pentagonal contenant les c6tds du contour de l 'hodographe, £ l 'exception de a = ~ , ~ l'intervalle entre deux droites parall~les.

La fonction inverse ~(~) est d6finie dans tout le plan de ~ par ses singularitds (Fig. 5).

77

+ ~Eln ~ ( # , + i ~ ) J -~- 5s ln ~ ( # +~-~)J

Les parambtres # et if' doivent ~tre tels que 8. = 0 pour . = 0 et = ~/2.

cos + Os -- O~E + 6E = 2~E eoth if' + 20s th/~

-- 26 E th #' -k 26z coth ff

Calcul des Profils d'Aubes pour Turbomachines Transsoniques 15

Une famille s implement d4finie de fonctions analyt iques, r6elles sur la f ract ion du contour de l 'hodographe 4tudi6e, et r~guli~res dans ce contour, est eonsti tude par cos (2p~) off p e s t un entier. Elle est une suite ordonnde de fonctions prdsentant un pSle d 'ordre p k l ' infini du plan ~, c'est-£-dire en dehors du contour de l 'hodographe.

%+ e~

a(t) ~ s - es

a'E- '~E

FIG. 4.

it , '-V/

0

FIG. 5.

~r/2

5. Developpements de rapproximation analytique Conform~ment au proc~d6 indiqu6 au pr~c6dent paragraphe, il va

6ire possible de construire des solutions exactes des ~quations de l '6coulement du fluide compressible en ddveloppant les fonctions auxiliaires cos (2pa) au voisinage des trois points ~ l 'infini du pentagone rectangle.

Pour le point £ l ' infini vers les valeurs n~gatives de a, la variable est exp [20~] ou, ~ un facteur pros:

t = exp [40 (~ -- ~ i -- iWE -Jr- i~E)]

Ish (i~ -- #')7 e~'~--j eI~ h (# --i:¢__27e~- ~' -~ exp [2i:¢] ~ (ia + /~'-~J " (~ + i:¢)J

Gr£ce £ l '~l imination des singularit6s pour a = am il n ' y a plus k envisager un d~veloppement en s~rie de Laurent . La fonction cos (2p~) pr~sente un pSle d 'ordre p e n t ~- 0 et t ~ cos (2p¢¢) est une fonct ion r~guli~re de t d~veloppable en s6rie de Taylor pour a ~ a M e t Itl < 1

Les coefficients sont, ~ une faetorielle pros, les d6riv6es successives de t ~ cos (2p:¢) par rappor t ~ t, ealcul~es pour t = 0. Ils peuvent 6tre calculus explici tement, bien que les formules se compliquent rapide- ment lorsque l 'ordre de d~rivat ion crolt:

t ~ cos (2pc¢) ----- ~ A,t" h i 0

16 I{,OBERT LEGENDRE

La fonct ion est r6elle pour t r6el et les coefficients A , song r6els. La fonct ion de cou ran t eo r r e spondan t ~ cos (2p~) est donc:

oo X A . (t,,-,' -

,,=o 2i

--- ~. A,, e x p ] ( n p) 2 o (a %u)] sin [(n -- p)2 o (,'.o - "'F: + bE)]

et une premib~re famille de solut ions exac tes des 6quat ions du fluide compress ib le est d6finie par:

p - - I (~ l ( ( : r ' ( p _ ?b) 2~0) V:, = ~ A n n) ).o(w ~ -~-- .... o ~l(aM, (P __ n)).o) sin [(p o,~: b~:)]

+ 2~ A,,, ~2( 'J , (n p ) 2 o ) . - ----z=-, s m [ (n P) )~o("' "~';.: + bE)] ,,=~+1 ~2(mli, (n - P)~0)

L a fornmle co r respondan te pour le potent ie l q,, cst ob tenue pa r d6r iva t ion cn a e t ingdgration en ~,.~.

Dans l ' in tervMle des b ranches infinies du con tour pen t agona l don t la d is tance est bE, la fonetion cos (2p~) est rdguli~re en exp ( Try/bE) OU encore en :

Tr

Elle est d6ve loppable en sgrie de Tay l o r avec la va r i ab le t', eonvergen te pour a ) , a M et M < 1. Les coefficients song, g u n e faetoriel le pros, les d6rivges ealeul6es pou r t' = 0, de cos (2poO par rapport . £ t ':

cos (2p~) = ~ A',,t '"

Les coefficients A,,' song r(~els et la fonegion de cou ran t correspon- dan te est:

A " ' ( t , , _ ,~=o 2i

- - ,,~1 . exp - - n - - b E ( a - - a M ) s inLb E ( c ° - c ° ~ : ~- d~:)

Une seconde famil le de solut ions exac tes pour l ' 6coulement du fluide compress ib le est donc:

' = - - ~ s i n (o~. - - + bE)

C a l c u l des P r o f i l s d ' A u b e s p o u r T u r b o m a c h i n e s Trar~sson iques 17

et le potentiel correspondant ~ ' s'en d~duit par d~rivation en a e t integration en ~.

Le calcul est identique pour l ' intervalle des branches infinies distantes de a s. La variable est:

~" = exp - - - ~ s (~ - - aM - - i~°s - - i d s )

et le d~veloppement de cos (2p~) en s~rie de Taylor est effectu~ au voisinage de t" = 0. I1 est convergent pour a ~ a M e t I t'] < 1. La substi tut ion de fonctions de Chapygin aux exponentielles fournit des solutions exactes des ~quations du fluide compressible: ~ " et ~ " .

L 'avantage des solutions de chacune des trois familles d~finies au present paragraphe sur les fonctions de Chaplygin/~ l 'aide desquelles elles sont calculges est de tenir compte des singularit~s aux images des extr~mit~s de la ligne de jet d ' intrados et d 'etre r~elles sur le contour de l 'hodographe sauf sur le c6t~ a = a M. Cette derni~re propri~t~ sera tr~s utile par la suite.

6. R a c c o r d e m e n t des so lu t ions

D'apr~s leurs d~finitions, les fonctions ~ , ~ ' , ~p~" du precedent paragraphe sont routes trois ~gales £ la partie r~elle de -- i cos 2p~ pour a = a M. Par contre, les fonctions T~, ~ ' , ~ " different de la partie r~elle de cos 2p~ et different entre elles pour a = ffM.

Pour ~viter de r~soudre le probl~me de raccordement au moment du ealcul de la fonction de courant et du potentiel correspondant £ l '~coulement ~tudi~, il est utile de raccorder les trois solutions pr~c~dentes en leur appor tant des corrections.

Les corrections doivent r~tablir la continuit~ de ~ sans alt6rer la continuit6 de ~v. Elles doivent aussi assurer la eontinuit~ de routes les d~riv~es de ~v et ~v par rapport £ a mais les relations entre los d~riv~es premieres de ~ et ~v montrent que la continuit~ de ces fonctions entralne la continuit~ de routes leurs d~riv~es.

La singularit~ £ la jonction en a = a M des solutions homologues de deux familles est de m~me nature qu'une distribution de tourbillons, alt~rant la continuit~ du potentiel sans compromettre la continuit~ de la fonction de courant. I1 est done indiqu~ de faire d~river de nouvelles solutions exactes d 'une fonetion analytique repr~sent~e par un tourbillon en un point de l 'un des segments a = a M int~rieur au contour de l 'hodographe.

Un probl~me pr~alable est de tracer dans le plan de la variable ~ les homologues de ces segments a : a M.

Ce probl~me peut ~tre r~solu par calcul num~rique. I1 suffit de

1 8 ROBERT LEGENDRE

faire varier la partie rdelie de ~ k partie imaginaire constante pour rechercher, par balayage, des valeurs de ~ pour lesquelles ~ = ~.~i. Lc probl~me peut ~tre rdsolu 6galement £ l'aide d 'un des ddveloppements en sdrie de ~ en fonction de t, t' out". Ces sdries sont malheureusement toutes trois ~ leur limite de convergence pour a ---- aM et h~ seconde solution, plus dldgante, est prat iquement infdrieure k la premiere.

De routes mani~res, le probl~me prdalable ne prdsente pas de difficultd de principe et sa solution permet d 'aborder la ddfinition de fonctions de correction assurant le raccordement des familles de solutions de l 'dquation des fluides compressibles qui ddrivent de l 'approximation analytique.

7. F o n c t i o n s d e c o r r e c t i o n

La fonction analytique fl(~) correspondant t~ un tourbillon sur l 'un des segments ~----%~t intdrieur & l 'hodographe (Fig. 6) est ddfinie param6triquement par sa transform~e fi(~) dans le plan de :¢ (Fig. 7).

FIG. 6.

a'c* iq i

¢r/2

FIG. 7.

Cette derni~re est ddterminde par ses singularitds dans tout le plan de a"

fl = - - i In / s in (~ -- ~ - - i~,) sin (~ + ~ + i~ i )~ t_sin (~ ~ 4- i~i) sin (~ + ~r --/~/)-J

off ~, -k- i:¢i est l 'homologue dans le plan de :c du centre du tourbillon. I1 est inutile de reprendre ici le ddtail des calculS de l 'avant dernier

paragraphe. Les fonctions fl(t), fl(t'), fl(t") sont uniformes et rdguli~res lorsque [t[, It'[ on It"[ sont infdrieures £ un. Les ddveloppements en sdries de Taylor de ces fonctions sont des ddveloppements en s~ries de Fourier pour la partie r~elle de ifl. La substitution de fonctions de Chaplygin {(~l(ff, ~) }/{%(al~ I, ~) } et {(~2(a, 2) }/{~2(aM, 2) } respectivement

Galcul des Profils d'Aubes pour Turbomachines Transsoniques 19

aux fonctions e x p [ - - ; t ( a - aM) ] et e x p [ A ( a - aM) ] d4finit deux solutions exactes des 4quations de l '4coulement du fluide compressible %°0, %00', %00". La d4rivation de ees solutions par rappor t h a, suivie d 'une int4grat ion par rappor t ~ o), d4termine les potentiels corre- spondants ~0o, ~o' et ~o"-

Les fonctions %00 et ~2o' ou %00 et %00" sont 4gales pour a ---- a M mais la difference (5~o = ~0 o --q%' ou ~ 0 - - - - ~ o - ~°o" n 'es t pas nulle pour cette valeur de a.

Si la d4terminat ion du logari thme dans l 'expression de fl est pr4cis4e par une coupure constitu4e par le segment de droite a ---- a M compris entre le centre du tourbil lon d'affixe a M + io9, et le contour de l 'hodographe rencontr4 dans le sens des o~ croissant, la diff4rence ~ o est pet i te sur a ---- a M e n dehors de la coupure, aussi bien dans l ' intervalle des branches infinies dis tantes de ~E OU ~S Off se t rouve le tourbil lon que dans le second intervalle des branches infinies. Un choix des constantes d ' in t4grat ion qui s ' in t roduisent dans le caleul de q°o, ~°o', ~o", ~ par t i r de ~0, %0o', ~o" permet en outre d 'annuler ~ o au centre du tourbillon. La diff4rence ~0 o subit une discontinuit4 ~o~%, voisine de 2~r, au f ranchissement du centre du tourbfl lon et reste voisine de ~o~oo sur la eoupure.

Une correction par approximat ions suecessives raecordant la solution ~%, ~% aux solutions de m~me rang %0~', q%' et %0~", q%" est alors la suivante.

Soit 5~% ~ ~% -- ~%' ou 5 ~ ---- ~% -- ~ " l '4cart entre les potentiels des solutions raceordges sur l 'un ou l 'aut re des segments a----a M int4rieurs ~ l 'hodographe. Usan t encore des constantes d ' int4grations, il est possible d 'annuler ~% pour w ---- w E -- 5E et eo = co s q- ~s.

La premiere correction n4glige ~0 o ou le confond avec ~o~o suivant que le point consid4r4 est ext4rieur £ la eoupure ou sur la coupure.

Une nouvelle solution exacte est d4finie, pour a < a M par:

f ~o~°o(°~ T ) I d %0,~ = %0~ + d~-OT[(~%(o)r)]%0o(a,w,~or) dO)T

~,~ = ~% + ~0~00~O~T)do~ r [~%(°~T)]~°O(a'~°'°~T) d~or

Off l ' in t4grat ion est faite sur les deux segments de a = a M int4rieurs l 'hodographe.

De m~me, deux nouvelles solutions exactes %0,~', ~,~' et %0,~", ~o,~" sont d4finies par les formules ei-dessus apr~s subs t i tu t ion i~ %0,- ~P~, %00, ~Po de %0~', %/, %0o', ~Po' ou de %0~", ~p~", Y)o", ~Po".

Les fonetions %0,~' et %0,~" res tent 4gales ~ %0,~ pour a----a M, chacune sur un segment de raccordement . Par contre l '4eart

20 ROBERT LE~ENDRE

6~,v --~ ~0,r --~0,v' sur l 'un des segments off 5q,v ----~,~ - -~ ,v" sur l 'autre segment n'est pas encore annuld:

= / " l d 6~,v ) 5W0(eoT) d~T [~% (e°T)]~'~% do~ T

off 8'90 reprdsente ~ 0 en dehors de la coupure et 5To -- (~0~0 sur la coupure. L'dcart ne serait done annuld que si ~v o dtait constant de part et d 'autre du tourbillon. I1 est au moins sensiblement rdduit.

La correction peut 6tre rdpdtde plusieurs lois jusqu'£ ce que l'dcart entre les valeurs corrigdes de ~v v' ou ~v" et la valeur corrigde de ~v, devienne ndgligeable.

Lorsque ce rdsultat est obtenu, les fonctions toT, toy', toy" corrigdes sont les prolongements dans trois domaines d'une mSme fonction qui diffbre de la fonction toy initiale mais peut encore 8tre ddsignde par to~ pour allbgement de l'dcriture. Le potentiel correspondant peut aussi ~'tre ddsign6 par ~v. I1 correspond ~ la limite commune des fonctions %, qv', ~ " corrigdes par approximations successives et reprdsente aussi une seule fonction dans les trois domaines.

Les ddveloppements en sdrie ndcessaires au calcul de premiere approximation et des corrections sont lentelnent convergentes lorsque a s'approche de a i ou l 'atteint. Cette difficult6 apparait peu pros indluctable. I1 dtait prdfdrable de s'en accommoder pour les fonctions auxiliaires, relativement simples, que de l 'aborder au moment du calcul du potentiel et de la fonction de courant de l'dcoulement traversant la grille d'aubes.

Les fonctions auxiliaires, dtablies pour une valeur de aM, peuvent en outre 8tre utilisdes au calcul de grilles correspondant £ des valeurs variables de a m, parambtre qui rut dlimind de la tabulation des fonctions auxiliaires.

8. C o n s t r u c t i o n de l ' H o d o g r a p h e

Le potentiel 9 et la fonction de courant to de l'6coulement traversant la grille d'aubes sont singuliers aux images a_w, o~_~ et a+~ ~o+® de l'infini amont et de l'infini aval de la grille.

Pour les valeurs de a comprises entre a m et la plus faible des valeurs a_ ~ et a+ ®, il est suffis~nt de reprdsenter ~0 et to par les ddveloppements en sgries de fonetions de Chaplygin donndes au paragraphe 3, ddpendant de coefficients a n.

Pour les valeurs de a sup6rieures h la plus grande des deux valeurs a_o~ et a+oo, les fonctions ~ et to peuvent ~tre ddvelopp6es en s6ries de fonctions ~ , to~ corrigdes d~finies ~ la fin du prdcddent paragraphe:

to = ~ b~to~ ~ = ~ o ' * ~ b ~ % i~=l p = l

Calcul des Pro.ills d'Aubes pour Turbomachines Transsoniques 21

La constante ~0' n'est pas indiff~rente. Elle devra ~tre mise en harmonie avec la constante ~0 du d~veloppement du paragraphe 3 mais la diff6rence ~0' -- ?0 est seule importante car la graduation du potentiel est d6finie ~ une constante pr~s.

La repr6sentation de ~ et ~0 pour les valeurs de a comprises entre a_~ et a+~ n'interviendra pas dans le calcul des coefficients a~ et b~. Ce ealcul supposera toutefois que les fonctions ~ et ~, ddfinies hors de cet intervalle, sont raccordables analytiquement par l'interm~diaire du domaine dans lequel aucune des reprdsentations par les s6ries choisies n'est significative, faute de convergence.

I1 faudra ultdrieurement 6tre en mesure de calculer ~ sur le contour de l 'hodographe dans l 'intervalle entre a_~ et a+~ pour l 'int~gration n~cessaire au trac~ des aubes mais ee calcul n'exigera pas de prolonge- ment analytique compliqud de l 'une ou l 'autre des representations d6finies hors de l'intervalle. Comme dans le cas des profils ~ angles nuls au bord d 'a t taque et au bord de fuite, chacune des sdries se d6compose en deux s~ries dont les limites de convergence sont respectivement a_® et a+~. Le raccordement des representations dans l'intervalle de ces valeurs est done facile et le probl~me essentiel est bien de d~finir ~ et ~0 hors de l'intervalle avee la garantie que les d6finitions sont raccordables.

La simplification constat~e peut ~tre interpr6t~e g~om~triquement. Lorsque les lignes de jet sont calculdes, les tangentes en leurs extr6mi- t4s sont ddfinies et leurs positions relatives sont ddtermin6es, £ une translation pros de l 'extrados par rapport ~ l 'extrados, par les angles au bord d 'a t taque et au bord de fuite. La translation elle-m~me est fix6e ear le ealcul de l 'intrados, off a reste partout sup~rieur £ a_~ et a+~, n'exploite pas les valeurs du potentiel dans l 'intervalle entre ces ]imites.

Le calcul des coefficients a~ et b~ est fond~ sur la propridt~ de la diff6rentielle:

d;/ ---- ~ dr/' ~- ~o d~'

d'etre exacte si ~ et ~ d'une part, ~' et ~' d 'autre part sont solutions continues et uniformes des 4quations de l'~coulement du fluide compressible. L'int~grale de cette diff~rentielle sur le contour de l 'hodographe est done 6gale £ son int~grale sur un laeet enfermant les singularitds de ~0 et v2, si ~' et ~' n 'ont pas de singularitd ~ l'int6rieur de l 'hodographe.

Les fonctions ~ et y~ peuvent eorrespondre ~ l 'gcoulement traversant la grille. Toutefois, elles ne sont pas uniformes et un artifice est de ealculer l'int6grale de dz sur un circuit l imitant le domaine constitu6 par l 'hodographe et son sym6trique par rapport ~ la droite

22 ROBERT LEGENDRE

Les fonctions ~' et ~v' peuvent 6tre, soit les fonctions de Chaplygin du type W1 et de pdriodes sous multiples de 2(w S -4- ~s -- °~E ÷ ~E), soit les fonctions ~ et v2~ corrig6es du pr6c6dent paragraphe.

L'intdgration le long du lacet enfermant les singularitds de ~ et y~ qui sont les images des points £ l'infini de l'dcoulement traversant la grille et leurs symdtriques par rapport ~ la droite vJ ~ to E -- ~E ne prdsente pas de difficultd et il est inutile de reprendre ici le caleul fait pour les aubes £ dibdres nuls au bord d 'a t taque et au bord de fuite.

L'int6gration le long du contour de l 'hodographe doubld, le long duquel ~v ~ 0, est simplifide:

d Z = ~ d~'

en outre ~' est nul sur la droite co = w~ + 6~, ce qui dlimine les valeurs de q dans l'intervalle entre o_ ~ et o+ ~.

Le calcul est plus compliqu6 que pour les aubes £ dibdres nuls au bord d 'a t taque et au bord de fuite car la suite des fonctions Wx et la suite des fonctions q~ eorrigdes ne sont pas orthogonales.

Pratiquement toutefois, la complication n'est pas grande car les suites sont presque orthogonales et peuvent 6tre supposdes telles en premibre approximation. Le calcul de l'intdgrale de d z pour une fonction W~ et une fonction ~% de m6me rang fournit alors deux relations entre les coefficients a~ et b~ des deux s6ries ddfinissant q de part et d 'autre de l'intervalle entre o_ ~ et o+ ~ et d6finit ces coefficients en premiere approximation. Un second caleul, laissant a~ et b~ inconnus mais retenant pour les termes des autres tangs la premibre approximation, fournit une seeonde approximation etc.

9. Images des Infinis

Dans le prdcddent paragraphe, il est suppos6 que les images des infinis amont et aval sont donndes ainsi que le comportement du potentiel et de la fonction de courant au voisinage de ces points.

I1 est inutile de reprendre ici les calculs ddveloppds dans de nombreux mdmoires antdrieurs mais il est important d'observer que les vitesses ~ l'infini amont et £ l'infini aval ne sont pas ind@endantes et fixent le comportement du potentiel et de la fonction de eourant au voisinage des images des points £ l'infini dans le plan de l'hodographe.

Tout d'abord, la conservation de ddbit doit 6tre satisfaite pour que l 'intdgration du profil n'ambne pas t~ le prolonger /~ l 'aval par un sillage d'dpaisseur positive ou ndgative, sans interprdtation physique dans le second cas, incompatible avec la reversibilitd dans le premier. La condition de conservation du d6bit 6tablit une relation simple entre les intensit6s des vitesses caractdris6es par o_~ et o+~, et les inclinaisons des vitesses mesurdes par o~_ ~ et o~+ ~. Cette relation

Calcul des Profils d'Aubes pour Turbomachines Transso~iques 23

permet de caleuler explicitement o~_~ ou o~+~ en fonction des trois autres grandeurs.

D'autre part, pour l 'hodographe ~tudi~, le eourant doit recoller au bord de fuite et cette condition impose une relation compl~mentaire tr~s compliqu~e entre a_~, ~+~, ~o_~, w+~ qu'il n'est pratiquement possible de r~soudre que par t£tonnements en faisant varier par exemple ~_ ~ et ealculant la valeur correspondante de co_ ~ pour des valeurs donn~es de a+~ et w+~. La recherche de la solution est simplifi~e si un aubage pour ~coulement hautement subsonique de caraet~ristiques voisines a ~t~ ealcul~ au pr~alable.

En outre, une premiere approximation ~tant ~tablie, une formule de d~rivation par rapport au param~tre ~_ ~ peut d~finir une correction.

10. Ecou lement s T r a n s s o n i q u e s

Si la valeur minima de a, qui est ~m, est positive ou nulle, tout l'~coulement est subsonique. I1 n 'y a pas de difficult~ £ tracer le profil £ partir du champ de l 'hodographe et m~me, si n~cessaire, tracer les lignes de courant et les gquipotentielles.

Si ~m est n~gatif, la ligne de jet d 'extrados est supersonique et l '~coulement est transsonique. I1 est toujours admis que les vitesses l'infini aval et £ l'infini amont sont subsoniques et cette restriction est essentielle. Le comportement de ~ et ~ au voisinage des images des infinis n'est assez simple pour ~tre introduit dans les calculs du precedent paragraphe que si a_ ~ et ~+ ~ sont positifs.

Cette restriction ne suffit pas pour que le champ de l 'hodographe soit int~grable. Si en effet la forme du contour ~tait conserv~e, les lignes de courant voisines des angles droits aux extr~mit~s de l'image de la ligne de jet d ' intrados seraient n~cessairement tangentes £ des caract~ristiques distinctes et le lieu des points de contact eonstituerait une ligne limite.

D'un autre point de vue cette allure du contour de l 'hodographe signifierait que la vitesse du son est franehie sur les segments reeti- lignes d'extrados et il est bien connu que ceei n'est possible que si les fonctions ~ et ~ sont multiformes. I1 est done a priori exc]u de trouver une solution uniforme de la classe restreinte ~tudi~e dans le present m~moire.

La difficult~ peut ~tre levee par un artifice. Les prolongements des droites o~ ----- o~ z -- ~E et eo ---- co s ~- ~s sont remplae~s par des tron~ons de caraet~ristiques tangentes ~ ees droites aux points sonique et pr~sentent leur concavit~ vers l 'hodographe. La variation de ~ est nulle sur ees caract6ristiques et le profil reste constitu~ uniquement par des droites et des lignes de jet.

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24 ROBERT LEGENDR:E

Toutefois, le calcul de l 'hodographe ~tabli pour un contour polygonal cesse en principe d'etre valable et cette derni~re difficult6 doit 8tre levee par un artifice compldmentaire.

Le plus 61abor~ de ces artifices comporterait la dSfinition de nouvelles fonctions de correction constitudes pour le champ de sources situ~es sur les segments rectilignes remp]ac~s par des caractgristiques. Il faudrait ensuite distribuer de telles sources sur ces segments pour dcarter les images des lignes de courant jusqu'aux caractdristiques.

Un procdd6 beaucoup plus simple et suffisant si am, n~gatif, reste petit, consiste en l'utilisation du champ de l 'hodographe calculd pour le contour polygonal avec simple remplacement par des caract~ristique des segments des droites ~,) ~ eo E -- 5 z et ~o ---- w S -F ~s p~n4trant dans le domaine supersonique par des caraetdristiques. Cette substi- tution est faite avant integration du champ de l'hodographe. La variation de ~, entre les deux extrdmitds d 'un tron~on de earaetdristi- que est du troisi~me ordre par rapport ~ a,,, et peut 8tre ndgligde. Les caractdristiques elles-mSmes sont quasiment indiscernables des segments de droites qu'elles remplacent.

Conclus ions

Le caleul d 'un dcoulcment transsonique r~versible £ la traversde d'une grille d'aubes est tr~s compliqud mais il est abordable ~ l'aide des machines ~ calculer modernes. I1 ne peut pas conduire ~ des modifications considdrables du trac4 des aubes adapt~es ~ un dcoule- ment hautement subsonique et ces modifications peuvent paraltre mineures aupr~s des corrections compldmentaircs qu'il faut faire pour tenir compte des effets de la viscosit4 dans les couches limites, aupr~s des limitations de prdcision imposdes par l'usinage, et aupr~s des effets pcrturbateurs tridimensionnels dans les machines.

N~anmoins, la d4finition d'une rdfdrence correcte est tr~s prdcieuse pour la recherche et contribue aux progr~s de la mdcanique des fluides et des sciences adronautiques. I1 est donc souhaitable qu'un organisme ou une grande Soeidt~, intdress6 aux turbomachines et disposant de puissants moyens de calcul, aborde le tracd d'aubes transsoniques par la mdthode exposde ci-dessus ou, si possible, par une mdthode plus simple et non moins exacte.

References

1. CHAPLYGII~, S., Dohl. Akad . N a u k . S S S R 21, (1904). 2. FRA~KL, F. J., Sur la th~orie des tuy~res de Laval, Izv. Akad . Nauh . No. 9

(1945).

Calcul des Pro f i l s d ' A u b e s p o u r T u r b o m a c h i n e s T r a n s s o n i q u e s 25

3. LIGHTHILL, M. J. , The hodograph transformation in transonic flow, Proc. Roy. Sot., No. 191 (novembre 1947).

4. FALKOVITCH, S. V., Uno classe de tuy6res de Laval , Prikl. Mat. Mech. No. 2 (1947).

5. TII~OTIKA, S., and TA~ADA, K. Studies on two dimensional transonic flows, Quart. Appl. Math. No. 4 (janvier 1950); No. 2 (juillct 1950); No. 2 (juillet 1951).

6. GERI~IAIN, P., Recherches sur une dquation de type mixte, Rech. Adro. No. 22 (juillet 1951).

7. C~ERR£, J . , A transformation of the hodograph equation, Phil. Trans. (avril 1953).

8. GILLES, A., Calcul d 'une tuy~re et d 'un profil dans l ' approximat ion homo- graphique, Rech. Adro. No. 32 (mars 1953).

9. LIGER, M., Nouvelles Equat ions Approchdes pour l 'E tude des Eeoulements Subsoniques et Transsoniques, Publication No. 64--1953.

10. FE~AI~, M., Recherches d 'approximat ions des dquations rdgissant l'dcoule- ment des gaz, Rech. A4ro. No. 33 (mai 1953).

11. LEGENDRE, 1:~., Profils d 'aflettes de turbines, Ass. Techn. Mar. et Aeron. (1957 et 1959).

12. LEGENDRE, R., Singularitds critiques de l 'hodographe d 'un dcoulement plan, C.R. Acad. Sci., Paris (11 f6vrier 1957).

13. LEGENDRE, R., Calcul approximat i f d 'une grille d 'aubes transsoniques, Congres de Bruxeltes La R.A. No. 53 (septombre 1956).

14. LEGENDRE, R., Transformation Conforme du Polygone Circulaire, Publication ONERA (1959).