Cahier Chap2 Enseignants citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un...

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CHAPITRE 2

DÉRIVÉE DES FONCTIONS

ALGÉBRIQUES

Cahier d’exercices

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Question éclair 2.1 (page 75) On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre ( )N t de

bactéries présentes ht après la mise en culture est donné par

( ) 18003 000

1N t

t= −

+.

a) Déterminez la variation de la variable indépendante ( )t∆ sur l’intervalle de

temps [ ]3, 5 . Indiquez bien les unités.

5 3 2 ht∆ = − = b) Déterminez la variation du nombre de bactéries dans la boîte de Petri sur

l’intervalle de temps [ ]3, 5 . Indiquez bien les unités.

( ) ( ) 1800 18005 3 3 000 3 0005 1 3 1

2 700 2 550 150 bactéries

N N N

∆ = − = − − −+ +

= − =


Question éclair 2.2 (page 77) Soit les points ( )3,1− et ( )5, 11− .

a) Déterminez l’équation de la droite passant par ces deux points.

L’équation de la droite est de la forme y mx b= + . Déterminons la pente m de la droite :

( )2 1

2 1

11 1 12 38 25 3

y ym

x x− − − −= = = = −− − −

En remplaçant la pente m par sa valeur dans l’équation, on obtient 3

2y x b= − + . Déterminons l’ordonnée à l’origine b de la

droite. Comme celle-ci passe par le point ( )3,1− , on a

( )3 9 9 72 2 2 21 3 1 1b b b b= − − + ⇒ = + ⇒ − = ⇒ − = . L’équation de la

droite passant par les points ( )3,1− et ( )5, 11− est donc 3 7

2 2y x= − − .

b) Donnez l’équation de la droite parallèle à la droite obtenue en a et passant

par le point ( )1, 4− .

Deux droites non verticales sont parallèles si elles ont la même pente. Comme la pente de la droite 3 7

2 2y x= − − est 32− , la

droite cherchée est de la forme 32y x b= − + . Déterminons

l’ordonnée à l’origine b de la droite. Comme celle-ci passe par le point ( )1, 4− , on a ( )3 3 3 5

2 2 2 24 1 4 4b b b b= − − + ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = .

L’équation de la droite cherchée est alors 3 52 2y x= − + .


c) Donnez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite obtenue en a et passant par le point ( )1, 4− .

Deux droites non verticales sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes vaut 1− . Comme la pente de la droite 3 7

2 2y x= − − est 3

2− , alors la pente d’une droite perpendiculaire à cette droite est 2

3 (en effet, 3 22 3 1− ⋅ = − ). Par conséquent, la droite cherchée

est de la forme 23y x b= + . Déterminons l’ordonnée à l’origine b

de la droite. Comme celle-ci passe par le point ( )1, 4− , on a

( )2 2 2 143 3 3 34 1 4 4b b b b= − + ⇒ = − + ⇒ + = ⇒ = . L’équation de la

droite cherchée est alors 2 143 3y x= + .

Question éclair 2.3 (page 78) On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre ( )N t de

bactéries ht après la mise en culture est donné par ( ) 18003 000

1N t

t= −

+.

Déterminez le taux de variation moyen du nombre de bactéries dans la boîte de Petri au cours des 3 premières heures. Indiquez bien les unités. On a

( ) 18000 3 000 1200 bactéries0 1

N = − =+

( ) 18003 3 000 2 550 bactéries3 1

N = − =+

Le taux de variation moyen du nombre de bactéries dans la boîte de Petri au cours des 3 premières heures est

( ) ( )3 0 2 550 1200 450 bactéries/h3 0 3

N NNt

−∆ −= = =∆ −


Exercices 2.1 (page 79) 1. Supposons que le nombre hebdomadaire d’exemplaires vendus ( )V t d’un

DVD est donné par la fonction ( ) 28 100 100V t t= − , où t est le temps (en

semaines) écoulé depuis la fin d’une campagne publicitaire.

a) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel la fonction ( )V t a du sens

dans le contexte.

Il faut que ( ) 0V t ≥ , car des ventes hebdomadaires ne

peuvent être négatives. Or,

( )2

2

2

2

0

8100 100 0

100 8100

81

81

9

9 9

V t

t

t

t

t

t

t

≥

− ≥− ≥ −

≤

≤≤

− ≤ ≤

Comme 0t ≥ (le temps écoulé depuis la fin d’une campagne publicitaire ne peut être négatif), il faut donc que 0,9t ∈ .

b) Déterminez t∆ sur l’intervalle de temps [ ]1, 4 . Indiquez bien les unités.

∆ = − =4 1 3 semainest

c) Déterminez la variation des ventes de la première à la quatrième semaine après la fin de la campagne publicitaire. Indiquez bien les unités.

( ) ( ) ( ) ( )

∆ = − = − − −

= −

224 1 8100 100 4 8100 100 1

1500 exemplaires

V V V


d) Déterminez le taux de variation moyen des ventes hebdomadaires de la première à la quatrième semaine après la fin de la campagne publicitaire. Indiquez bien les unités.

( ) ( )−∆ −= = = −∆

4 1 1500 500 exemplaires/semaine3 3

V VVt

e) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en d.

Entre la première et la quatrième semaine suivant la fin de la campagne publicitaire, le nombre d’exemplaires vendus a chuté, en moyenne, de 500 exemplaires par semaine.

f) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en d.

Si on avait tracé la courbe décrite par la fonction ( ) 28100 100V t t= − , la pente de la droite sécante joignant les

points ( )1,8 000 et ( )4, 6 500 aurait été de 500− .


2. Une citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un rythme tel que la concentration ( )C t en sel (en grammes par litre) dans la

citerne après mint est donnée par ( ) 2510

tC t

t=

+.

a) Déterminez t∆ pour l’intervalle de temps [ ]0, 5 . Indiquez bien les unités.

∆ = − =5 0 5 mint

b) Déterminez la variation de la concentration en sel durant les 5 premières minutes. Indiquez bien les unités.

( ) ( ) ( ) ( )∆ = − = − = =+ +

25 025 5 255 0 8,3 g/L10 5 10 0 3

C C C

c) Déterminez le taux de variation moyen de la concentration en sel durant les 5 premières minutes. Indiquez bien les unités.

( ) ( )−∆ = = = =∆

253

5 0 5 1,6 g/L /min5 5 3

C CCt

d) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en c.

Au cours des 5 premières minutes, la concentration en sel dans la citerne a augmenté, en moyenne, de 1,6 g/L par minute.


Exercice 2.2 (page 81) Déterminez le taux de variation instantané de la fonction ( )f x en x a= .

a) ( ) 3 5f x x= + , en 2x = .

( ) ( ) ( ) ( )∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ + − ++ ∆ −=

∆ ∆+ ∆ + −=

∆∆=

0 0

0

0

3 2 5 3 2 52 2lim lim

6 3 5 11lim

3lim

x x

x

x

xf x fx x

xx

x∆x

∆ →=

=0

lim 3

3x

Le taux de variation instantané de la fonction ( ) = +3 5f x x en

= 2x est égal à 3.

b) ( ) 2f x x= , en 1x = .

( ) ( ) ( )

( )

( )

∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ − + ∆ −=

∆ ∆+ ∆ + ∆ −

=∆

∆ + ∆=

∆∆

=

2 2

0 0

2

0

2

0

0

1 1 1 1lim lim

1 2 1lim

2lim

lim

x x

x

x

x

f x f xx x

x xx

x xx

x ( )+ ∆∆2 x

x

( )∆ →= + ∆

=0

lim 2

2x

x

Le taux de variation instantané de la fonction ( ) = 2f x x en =1x

est égal à 2.


Exercices 2.3 (page 83) 1. Déterminez l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction

( ) 22f x x x= − en 2x = − .

La pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction

( ) = − 22f x x x en = −2x est donnée par

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

∆ → ∆ →

− + ∆ − − + ∆ − − − −− + ∆ − −=

∆ ∆− + ∆ − − ∆ + ∆ − −

=∆

− + ∆ − + ∆ − ∆ +=

∆∆∆ − ∆

= =∆

2 2

0 0

2

0

2

0

2

0 0

2 2 2 2 2 22 2lim lim

4 2 4 4 8lim

4 2 4 4 8lim

6lim lim

x x

x

x

x x

x xf x fx x

x x x

x

x x xx

xx xx

( )− ∆∆6 x

x

( )∆ →= − ∆

=0

lim 6

6x

x

La droite tangente passe par le point ( )− −2, 8 , de sorte que son

équation est ( )

= − − −6 2 8y x ou = +6 4y x .

On aurait également pu déterminer l’ordonnée à l’origine de la droite. Comme la droite est de pente 6, son équation est de la forme = +6y x b . Puisqu’elle passe par le point ( )− −2, 8 , on a

( )− = − + ⇒ − = − + ⇒ =8 6 2 8 12 4b b b . Par conséquent, l’équation

de la droite tangente passant par le point ( )− −2, 8 est = +6 4y x .


2. Déterminez l’équation de la droite normale à la courbe décrite par la fonction ( ) 22f x x x= − en 2x = − .

L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction

( ) = − 22f x x x en = −2x est = +6 4y x . Puisque la droite normale

est perpendiculaire à la droite tangente, le produit de leurs pentes vaut −1, de sorte que la pente m de la droite normale satisfait à l’équation = −6 1m , d’où = − 1

6m . La droite normale passe par le

point ( )− −2, 8 , de sorte que son équation est ( )

= − − − −16 2 8y x

ou = − − 2516 3y x .

Exercices 2.4 (page 86) 1. Supposons que le nombre hebdomadaire d’exemplaires vendus ( )V t d’un

DVD est donné par la fonction ( ) 28 100 100V t t= − , où t est le temps (en

semaines) écoulé depuis la fin d’une campagne publicitaire.

a) Déterminez le taux de variation instantané des ventes hebdomadaires 2 semaines après la fin de la campagne publicitaire. Indiquez bien les unités.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

∆ → ∆ →

− + ∆ − −+ ∆ −=

∆ ∆

− + ∆ + ∆ −=

∆− − ∆ − ∆ −

=∆

− ∆ − ∆ − ∆= =

∆

2 2

0 0

2

0

2

0

2

0 0

8100 100 2 8100 100 22 2lim lim

8100 100 4 4 7 700lim

8100 400 400 100 7 700lim

400 100 100lim lim

t t

t

t

t t

tV t Vt t

t t

t

t tt

t t tt

( )+ ∆∆

4 t

t

( )∆ →

= − + ∆

= −0

lim 100 4

400 exemplaires/semainet

t


b) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en a.

Deux semaines après la fin de la campagne publicitaire, les ventes du DVD chutent à raison de 400 exemplaires par semaine.

c) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en a.

Si on avait tracé la courbe décrite par la fonction

( ) = − 28100 100V t t , la pente de la droite tangente à la courbe

décrite par cette fonction en = 2t aurait été de −400 . 2. Une citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un

rythme tel que la concentration ( )C t en sel (en grammes par litre) dans la


tC t

t=

+.

a) Déterminez le taux de variation instantané de la concentration en sel au

bout de 10 min. Indiquez bien les unités.

( ) ( )( )( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆−

++ ∆ − + + ∆=

∆ ∆+ ∆ −+ ∆=

∆+ ∆

−+ ∆

=∆

+ ∆ − + ∆= ⋅

∆+ ∆

+ ∆

+ ∆+ ∆

− − ∆=∆ + ∆

=

0 0

0

0

0

0

25 10 25 1010 1010 10 10 10

lim lim

250 25 2520 2lim

250 25 25

20 2l

2 20

2im

2 250 25 25 20 1lim2 20

500 50 500 25lim2 20

lim

20

t t

t

t

t

t

t

C t C tt t

ttt

t

tt

t ttt

t

tt

t

tt

∆ →

∆0

25t

t∆2 t ( ) ∆ →

= =+ ∆+ ∆

580

25lim g/L /min40 220 t tt


b) Expliquez dans le contexte la réponse obtenue en a.

Dix minutes après le début de l’introduction de la solution saline, la concentration en sel dans la citerne augmente à raison de 5

8 g/L/min .

� Vous pouvez faire les exercices récapitulatifs 1 à 5 (pages 137 et 138).

Exercices 2.5 (page 90)

1. Déterminez la dérivée de la fonction ( ) 1f x

x= .

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −=′

∆

−+ ∆=

∆

−+ ∆

=∆

− + ∆= ⋅

∆+ ∆− − ∆=+ ∆ ∆− ∆=

+ ∆+ ∆

0

0

0

0

0

0

lim

1 1

lim

1 1

lim

1lim

lim

lim

x

x

x

x

x

x

f x x f xf x

x

x x xx

x x xx

x

x x xx x x

x xxx x x

x x xx x x x

x( )+ ∆ ∆x x x x

( )∆ →

−=+ ∆

= −

0

2

1lim

1

x x x x

x


2. Le profit total ( )Qπ (en dollars) qu’une entreprise tire de la vente de Q pièces

électroniques est donné par la fonction ( ) 20,2 80 780Q Q Qπ = − + − .

a) Combien de pièces l’entreprise doit-elle vendre si elle ne veut pas

essuyer de pertes (c’est-à-dire si elle veut que le profit total soit supérieur ou égal à 0)?

( ) ( )( )π = − + − = − − −20,2 80 780 0,2 390 10Q Q Q Q Q , où ≥ 0Q ,

de sorte que ( )π ≥ 0Q si et seulement si ≤ ≤10 390Q . L’entreprise doit donc vendre entre 10 et 390 pièces si elle ne veut pas essuyer de pertes.

b) Déterminez la dérivée de la fonction ( )Qπ . Indiquez bien les unités. On

appelle cette dérivée le profit marginal.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

2 2

0

22 2

0

2

0

0

lim

0,2 80 780 0,2 80 780lim

0,2 2 80 80 780 0,2 80 780lim

0,4 0,2 80lim

lim

Q

Q

Q

Q

Q

Q Q QQ

Q

Q Q Q Q Q Q

Q

Q Q Q Q Q Q Q Q

Q

Q Q Q QQ

Q

π ππ

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −=′

∆

− + ∆ + + ∆ − − − + −=

∆

− + ∆ + ∆ + + ∆ − + − +=

∆

− ∆ − ∆ + ∆=

∆∆

= ( )0,4 0,2 80Q Q

Q

− − ∆ +∆

( )( )

0lim 0,4 0,2 80

0,4 80 $/pièceQ

Q Q

Q∆ →

= − − ∆ +

= − +


c) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez ( )150π ′ .

( ) ( )150 0,4 150 80 20 $/pièceπ = − + =′

d) Donnez une interprétation économique de ( )150π ′ .

Lorsque le niveau de vente est de 150 pièces, le profit tiré de la vente d’une pièce additionnelle est de 20 $. Ou encore, lorsque ce niveau est de 150 pièces, le profit augmente à raison de 20 $ par pièce.

e) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez ( )300π ′ .

( ) ( )300 0,4 300 80 40 $/pièceπ = − + = −′

f) Donnez une interprétation économique de ( )300π ′ .

Lorsque le niveau de vente est de 300 pièces, la chute de profit entraînée par la vente d’une pièce additionnelle est de 40 $. Ou encore, lorsque ce niveau est de 300 pièces, le profit diminue à raison de 40 $ par pièce si on augmente le nombre de pièces vendues.

3. On veut clôturer un potager de forme carrée ayant une superficie de A m2.

a) Déterminez la fonction donnant la longueur L de la clôture du potager selon sa superficie. (Indice: Déterminez d’abord la longueur c du côté d’un carré de A m2.)

= ⇒ = ⇒ = =2 4 4 mA c c A L c A


b) Déterminez la dérivée de la fonction ( )L A . Indiquez bien les unités.

( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )

∆ →

∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ −=′

∆+ ∆ −=

∆+ ∆ − + ∆ +

=∆ + ∆ +

+ ∆ + + ∆ ⋅=

0

0

0

2

0

lim

4 4lim

4 4 4 4lim

4 4

4 4 4lim

A

A

A

A

L A A L AL A

AA A A

A

A A A A A A

A A A A

A A A A A − ⋅ + ∆4 4A A A ( )( )

( )( )∆ → ∆ →

−

∆ + ∆ +

+ ∆ − ∆= =∆ + ∆ +

2

0 0

4

4 4

16 16 16lim lim4 4A A

A

A A A A

A A A A

A A A A ∆A ( )∆ →

+ ∆ +

= = =+ ∆ +

2 20

4 4

16 16 2lim m/m m/m4 4 8A

A A A

A A A A A

c) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez ( )100L′ .

( ) = =′ 22100 0,2 m/m100

L

d) Donnez une interprétation géométrique et contextuelle de ( )100L′ .

Interprétation géométrique : si on avait tracé la courbe décrite par la fonction = 4L A , la pente de la droite tangente à cette courbe lorsque =100A aurait été de 0,2. Interprétation contextuelle : lorsque l’aire du potager est de 2100 m , la longueur de la clôture augmente à raison de 0,2 m par mètre carré d’augmentation de l’aire du potager.


e) En utilisant la réponse obtenue en b, déterminez ( )156,25L′ .

( ) = =′ 22156,25 0,16 m/m156,25

L

f) Donnez une interprétation géométrique et contextuelle de ( )156,25L′ .

Interprétation géométrique : si on avait tracé la courbe décrite par la fonction = 4L A , la pente de la droite tangente à cette courbe lorsque =156,25A aurait été de 0,16. Interprétation contextuelle : lorsque l’aire du potager est de 2156,25 m , la longueur de la clôture augmente à raison de 0,16 m par mètre carré d’augmentation de l’aire du potager.


Exercices 2.6 (page 94) 1. Déterminez les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction ( )f x n’est

pas dérivable. Justifiez votre réponse. La fonction ( )f x n’est dérivable ni

en 1x = − ni en 0x = puisque son graphique y présente des points anguleux. Elle n’est pas dérivable en 1x = puisque son graphique y admet une discontinuité essentielle par saut. Elle n’est pas dérivable en 3x = puisque la droite tangente à la courbe qu’elle décrit est verticale, de sorte que la dérivée de ( )f x en 3x = n’est

pas définie.

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

y

( )f x


2. Soit la fonction continue ( ) 1f x x= − .

a) Montrez que ( )f x est dérivable en 3x = .

On a

( ) ( )∆ → ∆ →

∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ − − −=

∆ ∆+ ∆ − ∆= = =

∆ ∆

0 0

0 0

3 3 3 1 3 1lim lim

2 2lim lim 1

x x

x x

f x f xx x

x xx x

de sorte que ( ) =′ 3 1f , d’où la fonction est dérivable en = 3x .

b) Montrez que ( )f x n’est pas dérivable en 1x = .

On a

( ) ( )∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ − − − ∆= =

∆ ∆ ∆0 0 0

1 1 1 1 1 1lim lim limx x x

f x f x xx x x

Or, + +∆ → ∆ →

∆ ∆= =∆ ∆0 0

lim lim 1x x

x xx x

et − −∆ → ∆ →

∆ −∆= = −∆ ∆0 0

lim lim 1x x

x xx x

, de

sorte que ( ) ( )

∆ →

+ ∆ −∆0

1 1limx

f x fx

n’existe pas. La fonction ( )f x

n’est donc pas dérivable en =1x .

� Vous pouvez faire les exercices récapitulatifs 11 à 14 (page 139).


Question éclair 2.4 (page 97) Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) ( ) 3f x = −

Comme − 3 est une constante, ( )= − =3 0df ddx dx

.

b) ( ) 4g t t= −

( ) ( ) ( )= − = − = − = −4 4 4 1 4dg d dt tdt dt dt

c) ( ) 34u

h u =

( ) ( )

= = = = =3 3 3 3 314 4 4 4 4

dh d u d du udu du du du

Question éclair 2.5 (page 98) Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) ( ) 4 3f x x= −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

= − = −

= − = − = −

4 3 4 3

0 3 3 1 3

df d d dx xdx dx dx dx

d xdx


b) ( ) 2 15t

g t−=

( ) ( )

−= = − = −

= − = =

2 1 2 1 2 15 5 5 5 5

2 2 20 15 5 5

dg d t d d dt tdt dt dt dt dt

d tdt

Question éclair 2.6 (page 100) Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation. a) ( ) ( )( )2 1 5 3f x x x= − −

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= − −

= − − + − −

= − − + − −

= − − + −= − + + −= −

2 1 5 3

2 1 5 3 5 3 2 1

2 1 0 3 1 5 3 2 1 0

3 2 1 2 5 3

6 3 10 613 12

df d x xdx dx

d dx x x xdx dx

x x

x x

x xx

b) ( ) ( )1

24 5g t t t= − +

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

= − +

= − + + + −

= − + + + −

= − − += − − −= − −= − +

12

1 12 2

12

12

4 5

4 5 5 4

4 5 1 0 5 4 1

5 4 4 5

20 20 240 2

2 20 1

dg d t tdt dt

d dt t t tdt dt

t t

t t

t tt

t


Question éclair 2.7 (page 103) Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation.

a) ( ) 54 3

f xx−=

−

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

−=−

− − − − −=

−

− − − −=

−

=−

2

2

2

54 3

4 3 5 5 4 3

4 3

4 3 0 5 4 1 0

4 3

20

4 3

df ddx dx x

d dx xdx dx

x

x

x

x

b) ( ) 53 2

tg t

t−=−

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )

−=−

− − − − −=

−

− − − − −=

−− + − +=

−−=

−

2

2

2

2

53 2

3 2 5 5 3 2

3 2

3 2 0 1 5 3 1 0

3 2

3 2 15 3

3 2

13

3 2

dg d tdt dt t

d dt t t tdt dt

t

t t

t

t t

t

t


Exercice 2.7 (page 105) Soit la fonction ( ) 23 5 3f x x x= + − . Évaluez l’expression.

a) dfdx

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

= + −

= + −

= + −

= += +

2

2

2

3 5 3

3 5 3

3 5 0

3 2 5 1

6 5

df d x xdx dx

d d dx xdx dx dx

d dx xdx dx

x

x

b) 2x

dfdx =

( )=

= + =2

6 2 5 17x

dfdx

c) ( ) ( )2 1d

x f xdx

+

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

+ = + + −

= + + − + + − +

= + + + + − +

= + + + + − +

= + + + + −

= + + + + + −= + +

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 2 3 2

3 2

1 1 3 5 3

1 3 5 3 3 5 3 1

1 6 5 3 5 3 1

1 6 5 3 5 3 2 0

1 6 5 2 3 5 3

6 5 6 5 6 10 6

12 15 5

d dx f x x x xdx dx

d dx x x x x xdx dx

d dx x x x xdx dx

x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x


Exercices 2.8 (page 107) 1. Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation.

a) ( ) π= −3f x

( )π= − =3 0df ddx dx

, car π−3 est une constante.

b) ( ) = +3 14 2t

g t

( ) ( )

= + = +

= + = =

3 1 3 14 2 4 2

3 3 30 14 4 4

dg d t d dtdt dt dt dt

d tdt

c) ( )( )3 25 3 1y x x x x= + − +

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

= + − +

= + − + + − + +

= + − + − + +

= − + − + + − − + += − + − + +

3 2

3 2 2 3

3 2 2

3 4 2 3 4 2 2

4 3 2

5 3 1

5 3 1 3 1 5

5 3 2 3 1 3 5

3 2 15 10 9 15 3 5 3 5

5 12 12 30 5

dy d x x x xdx dx

d dx x x x x x x xdx dx

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x


d) ( )23 4 21 2

t th t

t− +=−

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )

( )( )

( )

− +=−

− − + − − + −=

−

− − − − + −=

−

− − + + − +=−

− −− += =− −

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2 2

3 4 21 2

1 2 3 4 2 3 4 2 1 2

1 2

1 2 6 4 3 4 2 2

1 2

6 4 12 8 6 8 4

1 2

6 16 6

1 2 1 2

dh d t tdt dt t

d dt t t t t tdt dt

t

t t t t

t

t t t t t

t

t tt t

t t

e) 22

43 5 6y x x

x= − + −

( )−

−− − −

= − + − = − + −

= + + = + +

12

12

2 2 22

2 1 3 2 152 3

43 5 6 3 4 5 6

8 53 2 8 3 22

dy d dx x x x xdx dx dxx

x x x xx x

f) ( ) 23

4 12f x x x

x x= − + −

( )− −

− −

= − + − = − + −

= + − = + −

52

3 32 2

2 3 13

4 24 2

4 1 2 4 2

5 5 12 1122 2

df d dx x x x xdx dx x dxx

x x x xx x


2. Déterminez l’équation de la droite tangente et l’équation de la droite normale à la courbe décrite par ( ) 3f x x= en 8x = − .

Comme ( )− = − = −38 8 2f , la droite tangente et la droite normale

cherchées passent par le point ( )− −8, 2 . La pente de la droite

tangente à la courbe décrite par ( ) = 3f x x en = −8x est ( )−′ 8f .

Déterminons donc ( )′f x .

( ) ( ) ( ) −= = = =′ 1 23 3

23

3 13

13

d df x x x xdx dx x

On a ( )( ) ( )

23 32

3

1 1 1 18123 643 8 3 8

f − = = = =′− −

. Par conséquent,

l’équation de la droite tangente à la courbe décrite par ( ) = 3f x x

en = −8x est ( ) ( ) ( )

= − − + − = + −1 112 128 2 8 2y x x ou = −1 4

12 3y x .

Comme la droite normale est perpendiculaire à la droite tangente, le produit de leurs pentes vaut −1, de sorte que la pente m de la droite normale satisfait à l’équation = −1

12 1m , d’où = −12m . Par conséquent, l’équation de la droite normale à la courbe décrite par

( ) = 3f x x en = −8x est ( ) ( ) ( )

= − − − + − = − + −12 8 2 12 8 2y x x ou

= − −12 98y x .


3. Supposons que le coût total de production (en dollars) de Q unités d’un certain produit est donné par la fonction ( ) 3 210 40 100C Q Q Q Q= − + + .

Déterminez ( )10C′ et ( )12C′ en utilisant les formules de dérivation.

Comparez votre solution avec celle présentée à l’exemple 2.12 (p. 89).

( ) ( ) ( )3 2 210 40 100 3 20 40 $/unitédC Q Q Q Q Q QdQ

= − + + = − +′

de sorte que ( )10 140 $/unitéC =′ et ( )12 232 $/unitéC =′ .

On obtient les mêmes résultats qu’à l’exemple 2.12, mais de manière beaucoup plus efficace.

4. La période T (en secondes) d’un pendule simple de longueur L mesurée en

mètres est donnée par la fonction ( ) 2L

T Lg

π= , où g est la constante de

gravitation terrestre, soit 29,8 m sg = . Déterminez ( )0,5T ′ et ( )1T ′ en

utilisant les formules de dérivation. Comparez votre solution avec celle présentée à l’exemple 2.13 (p. 89).

( ) ( )( )

12

12

12

12 s/m

22 2

2 22

d L d L dT L LdL g dL dLg g

Lg LgL g

ππ π

π π π−

= = =′

= = =

de sorte que

( ) π= ≈′ 0,5 s/m 1,419 s/m0,5

Tg

et ( ) π= ≈′ 1 s/m 1,004 s/mTg

On obtient les mêmes résultats qu’à l’exemple 2.13, mais de manière beaucoup plus efficace.


5. Une citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un rythme tel que la concentration ( )C t en sel (en grammes par litre) dans la


tC t

t=

+. Déterminez le taux de

variation de la concentration en sel au bout de 10 min en utilisant les formules de dérivation. Comparez votre solution avec celle effectuée au numéro 2 a des exercices 2.4 (p. 86).

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

=+

+ − +=

+

+ −=

+

=+

2

2

2

2510

10 25 25 10

10

25 10 25 1

10

250

10

dC d tdt dt t

d dt t t tdt dt

t

t t

t

t

Par conséquent,

( )( )=

= = =′+

210

250 510 g/L/min810 10t

dCCdt

On obtient le même résultat qu’au numéro 2 a des exercices 2.4, mais de manière beaucoup plus efficace.

� Vous pouvez faire les exercices récapitulatifs 15 à 32 (pages 139 à 141).


Exercices 2.9 (page 112) 1. Déterminez lequel des graphiques suivants (a, b, c ou d) est celui de la

dérivée de la fonction ( )f x .

a) b) c) d) La fonction ( )f x est décroissante sur les intervalles ] [−∞ −, 1 et ] [∞2, , et elle est

croissante sur l’intervalle ] [−1, 2 . Ainsi, la fonction dérivée ( )′f x doit être négative sur

les intervalles ] [−∞ −, 1 et ] [∞2, , c’est-à-dire que la courbe qui la décrit doit être sous

l’axe des abscisses sur ces deux intervalles, et elle doit être positive sur l’intervalle ] [−1, 2 , c’est-à-dire que la courbe qui la décrit doit être au-dessus de l’axe des

abscisses sur cet intervalle. De plus, comme la pente de la droite tangente à la courbe décrite par ( )f x est nulle en 1x = − et en 2x = , la dérivée ( )′f x doit couper l’axe des

abscisses à ces valeurs. Seule la courbe correspondant au graphique b remplit ces conditions.

-60

-40

-20

0

20

40

60

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

-10

0

10

20

30

40

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

-40

-20

0

20

40

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

( )f x

-40

-20

0

20

40

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

-40

-30

-20

-10

0

10

20

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y


2. Le profit total ( )Qπ (en dollars) qu’une entreprise tire de la vente de

Q pièces électroniques est donné par la fonction ( ) 20,2 80 780Q Q Qπ = − + − .

a) Déterminez ( )Qπ ′ . Indiquez bien les unités.

( ) ( ) ( )20,2 80 780 0,4 80 $/piècedQ Q Q QdQ

π = − + − = − +′

b) Déterminez combien de pièces électroniques l’entreprise doit vendre

pour réaliser un profit maximal.

On constate que ( )π >′ 0Q lorsque − + >0,4 80 0Q , c’est-à-dire

si − > −0,4 80Q , ce qui est équivalent à < 200Q . Par un raisonnement similaire, on obtient que ( )π <′ 0Q lorsque

> 200Q . Par conséquent, le profit augmente jusqu'à ce que le niveau de vente atteigne 200 pièces puis diminue par la suite, de sorte que la compagnie atteint un profit maximal lorsque le niveau de vente est de 200 pièces.

c) Quel est le profit maximal que cette entreprise peut tirer de la vente de

ces pièces électroniques?

Le profit maximal est de

( ) ( ) ( )π = − + − =2

200 0,2 200 80 200 780 7220 $

d) En utilisant le fait que la courbe décrite par la fonction ( )Qπ est une

parabole, confirmez la réponse obtenue en b.

Puisque ( )π = − + −20,2 80 780Q Q Q et que = − <0,2 0a , le

graphique représentant ( )π Q est une parabole ouverte vers le

bas. Le maximum de ( )π Q est donc atteint au sommet de la

parabole, dont l’abscisse est ( )− −= = =

−80 200

2 2 0,2bQa

pièces,

ce qui correspond au résultat obtenu en b.


3. On a installé un tapis roulant entre deux points A et B . Le tapis défile vers la droite du point A au point B à raison de 1,5 m/s. Une jeune fille est située en un point C situé entre les points A et B , et se déplace sur le tapis.

a) À quelle vitesse la jeune fille se déplace-t-elle si elle se dirige vers le

point B en marchant à un rythme de 1 m/s?

+ =1,5 1 2,5 m/s . La jeune fille se déplace vers la droite à raison de 2,5 m/s

b) À quelle vitesse la jeune fille se déplace-t-elle si elle se dirige vers le point A en marchant à un rythme de 1 m/s?

− =1,5 1 0,5 m/s. La jeune fille se déplace vers la droite à

raison de 0,5 m/s

c) À quelle vitesse la jeune fille se déplace-t-elle si elle se dirige vers le point A en marchant à un rythme de 2 m/s? Expliquez le signe de votre réponse.

− = −1,5 2 0,5 m/s . La jeune fille se déplace vers la gauche à

raison de 0,5 m /s. (Le signe négatif indique un déplacement vers la gauche.)

d) Sachant que le concept de vitesse est associé au concept de dérivée, énoncez la règle de dérivation illustrée dans les questions précédentes.

Il s’agit d’une illustration de la règle selon laquelle

( )+ = +d du dvu vdx dx dx

.


Question éclair 2.8 (page 114) Décomposez en facteurs, si possible.

a) 26 13 6x x− + −

Comme ( )( )− = − − − = − = >2 24 13 4 6 6 169 144 25 0b ac , on a

( )( )− + − = − −2

1 26 13 6x x a x r x r

où

( )− − − − − −= = = =

−−

2

14 13 25 18 3

2 12 22 6b b acr

a

et

( )− + − − + −= = = =

−−

2

24 13 25 8 2

2 12 32 6b b acr

a

Par conséquent,

( )( ) ( )( )− + − = − − = − − −2 3 22 31 26 13 6 6x x a x r x r x x

b) 25 2x x− +

Comme ( ) ( )( )− = − − = − = − <22 4 1 4 5 2 1 40 39 0b ac , le polynôme

− +25 2x x est irréductible, c’est-à-dire qu’il ne se décompose pas en un produit de deux binômes à coefficients réels de degré 1.


c) 22 7 4x x+ −

Comme ( ) ( )− = − − = + = >2 24 7 4 2 4 49 32 81 0b ac , on a

( )( )+ − = − −2

1 22 7 4x x a x r x r

où

( )− − − − − −= = = = −

2

14 7 81 16 4

2 42 2b b acr

a

et

( )− + − − += = = =

2

24 7 81 2 1

2 4 22 2b b acr

a

Par conséquent,

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

+ − = − − = − − − = + −2 1 12 21 22 7 4 2 4 2 4x x a x r x r x x x x


1. Déterminez les intervalles où la fonction ( )3 2

2

3 29

x x xf x

x+ −=

− est positive, les

intervalles où elle est négative, les valeurs de x où elle s’annule ainsi que celles où elle n’est pas définie.

( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

+ − ⋅ − ++ −= = =− − + − +

2 13 23

2

3 2 1 3 13 29 3 3 3 3

x x x x x xx x xf xx x x x x

de sorte que les valeurs de x qui annulent le numérateur ou le dénominateur sont = 0x , = 1

3x , = −1x , = 3x et = −3x . Construisons un tableau des signes de la fonction ( )f x .


] [, 3−∞ − ] [3, 1− −

] [1, 0− ] [1

30, ] [1

3 , 3 ] [3, ∞

x 3− 1− 0 13 3

( )f x + ∃ − 0 + 0 − 0 + ∃ −

On peut donc conclure que la fonction ( ) + −=−

3 2

23 2

9x x xf x

x est :

• positive si ∈ −∞ −, 3x , ∈ −1,0x ou ∈ 13, 3x ;

• négative si ∈ − −3, 1x , ∈ 1

30,x ou ∈ ∞3,x ;

• nulle si = −1x , = 0x ou = 1

3x ;

• non définie si = −3x ou = 3x . 2. Un objet se déplace selon une trajectoire rectiligne horizontale de sorte que

sa position (en mètres) après st est donnée par la fonction ( ) 3 215 63 3s t t t t= − + + .

a) Déterminez la fonction ( )v t donnant la vitesse de l’objet au temps t .

( ) ( )

( ) ( )

= = − + +

= − += − −

3 2

2

15 63 3

3 30 63

3 3 7 m/s

ds dv t t t tdt dtt t

t t

b) Quelle est la vitesse de l’objet après 4 s?

( ) ( ) ( )= − + = −24 3 4 30 4 63 9 m/sv


c) Déterminez les instants où l’objet est au repos.

L’objet est au repos lorsque sa vitesse est nulle :

( ) ( )( )= ⇔ − − = ⇔ = =0 3 3 7 0 3 ou 7v t t t t t

Par conséquent, l’objet est au repos lorsque = 3 st ou lorsque = 7 st .

d) Déterminez l’intervalle ou les intervalles de temps sur lesquels l’objet se

déplace vers la droite.

L’objet se déplace vers la droite lorsque sa vitesse est positive, soit lorsque ( ) > 0v t . Or,

Si < 3t , on a ( ) ( ) ( )négatif négatif

3 3 7 0t t tv = − − >��

Si < <3 7t , on a ( ) ( ) ( )positif négatif

3 3 7 0t t tv = − − <��

Si > 7t , on a ( ) ( ) ( )positif positif

3 3 7 0t t tv = − − >��

Par conséquent, comme 0t > , la vitesse est positive sur les intervalles de temps 0,3 et 7, ∞ , de sorte que l’objet se

déplace vers la droite sur ces intervalles de temps (exprimés en secondes).

e) Déterminez l’intervalle ou les intervalles de temps sur lesquels l’objet se

déplace vers la gauche.

L’objet se déplace vers la gauche lorsque sa vitesse est négative, soit lorsque ( ) 0v t < . On a déterminé en d que

( ) 0v t < si 3 7t< < . Par conséquent, la vitesse est négative

sur l’intervalle de temps 3,7 , de sorte que l’objet se déplace

vers la gauche sur cet intervalle de temps (exprimé en secondes).


f) Déterminez la distance totale parcourue par l’objet durant les 10 premières secondes.

On a ( ) ( ) ( )3 20 0 15 0 63 0 3 3 ms = − + + =

( ) ( ) ( )3 23 3 15 3 63 3 3 84 ms = − + + =

( ) ( ) ( )3 27 7 15 7 63 7 3 52 ms = − + + =

( ) ( ) ( )3 210 10 15 10 63 10 3 133 ms = − + + =

L’objet se déplace vers la droite durant les 3 premières secondes. L’objet change alors de direction et se déplace vers la gauche durant les 4 s qui suivent (entre 3 st = et

7 st = ). Après 7 s, le mobile change à nouveau de direction et se déplace alors vers la droite. La distance totale parcourue pendant les 10 premières secondes est donnée par

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

distance parcourue distance parcourue distance parcouruesur 0,3 sur 3,7 sur 7,10

Distance totale 3 0 3 7 10 7

84 3 84 52 133 52

194 m

s s s s s s

= − + − + −

= − + − + −=

��

� Vous pouvez faire les exercices récapitulatifs 33 à 39 (page 142).

Question éclair 2.9 (page 119) Déterminez la dérivée seconde de la fonction. a) ( ) 2 3g t tπ= +

( ) ( )2 3 2dg t tdt

π π= + =′

( ) ( )2 0dg tdt

π= =′′


b) ( ) 3 2 512 4 1f x x x x= + − +

( ) ( )3 2 25 3 514 42 21 2df x x x x x x

dx= + − + = + −′

( ) ( )23 542 2 3 2df x x x x

dx= + − = +′′

Exercices 2.11 (page 122) 1. Déterminez la dérivée, la dérivée seconde et la dérivée troisième de la

fonction.

a) ( ) 6 5 4 32 3 2 5f x x x x x x= − + + − +

( )6 5 4 3

5 4 3 2

2 3 2 5

6 10 12 3 2

df d x x x x xdx dx

x x x x

= − + + − +

= − + + −

( )2

5 4 3 22

4 3 2

6 10 12 3 2

30 40 36 6

d f d df d x x x xdx dx dxdx

x x x x

= = − + + −

= − + +

( )3 2

4 3 23 2

3 2

30 40 36 6

120 120 72 6

d f d d f d x x x xdx dxdx dx

x x x

= = − + +

= − + +

b) ( )g t t=

( ) ( )1 12 21

21 ou

2dg d d dgt t tdt dt dt dt t

−= = = =

( ) 312 2

32

2 21 1

422 21 ou

4d g d dg d d gt t

dt dt dtdt dt t− −

= = = − = −

( )3 52 2

52

3 2 331

4 83 2 33 ou

8d g d d g d d gt t

dt dtdt dt dt t− −

= = − = =


c) 3

2y

x−=

( )3 443

2 62 6 ou dy d d dyx xdx dx dx dx xx

− −

−= = − = =

( )2 2

4 552 2

246 24 ou d y d dy d d yx xdx dx dx xdx dx

− −

= = = − = −

( )3 2 3

5 63 2 3 6

12024 120 ou d y d d y d d yx xdx dxdx dx dx x

− −

= = − = =

2. Un objet se déplace selon une trajectoire rectiligne horizontale de sorte que

sa position (en mètres) après st est donnée par la fonction ( ) 3 29 24s t t t t= − + .

a) Déterminez la fonction ( )a t donnant l’accélération de l’objet au temps t .

( ) ( ) ( )3 2 29 24 3 18 24 m/sds dv t t t t t tdt dt

= = − + = − +

( ) ( ) ( )2 23 18 24 6 18 m/sdv d ds da t t t tdt dt dt dt

= = = − + = −

b) Quelle est l’accélération de l’objet après 4 s?

( ) ( ) 24 6 4 18 6 m/sa = − =


c) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel la fonction vitesse est décroissante.

La vitesse est décroissante lorsque l’accélération est négative, soit lorsque 6 18 0t − < , c’est-à-dire lorsque 3 st < . Comme le temps ne peut être négatif, la vitesse est donc décroissante sur 0,3 .

d) Déterminez l’intervalle de temps sur lequel la fonction vitesse est croissante.

La vitesse est croissante lorsque l’accélération est positive, soit lorsque 6 18 0t − > , c’est-à-dire lorsque 3 st > . La vitesse est donc croissante sur 3, ∞ .

3. Le coût total de production (en dollars) de Q unités d’un certain bien est

donné par la fonction ( ) 20,5 2 8C Q Q Q= + + .

a) Déterminez ( )C Q′ .

( ) ( ) ( )20,5 2 8 2 $/unitédC Q Q Q QdQ

= + + = +′

b) La fonction coût total de production est-elle croissante ou décroissante? Pourquoi?

On ne considère que les valeurs de Q positives, de sorte que

( ) 2 0C Q Q= + >′ . Par conséquent, la fonction coût total de

production est croissante.


c) Déterminez ( )C Q′′ .

( ) ( ) 22 1$/unitéd dC dC Q QdQ dQ dQ

= = + =′′

d) Quelle information supplémentaire la réponse obtenue en c nous donne-t-elle au sujet de la fonction coût total de production?

Comme ( ) 1 0C Q = >′′ correspond à la dérivée du coût

marginal, on peut en conclure que le coût marginal est toujours croissant. Par conséquent, le coût total de production augmente, et à un rythme de plus en plus rapide.

� Vous pouvez faire les exercices récapitulatifs 40 à 54 (pages 143 à 145).

Exercices 2.12 (page 125) 1. Déterminez la dérivée de la fonction en utilisant les formules de dérivation.

a) ( ) ( )1223 5 1f x x x= − +

( )( ) ( )( ) ( )( )( )

122

112 2

112

112

3 5 1

12 3 5 1 3 5 1

12 3 5 1 6 5

12 6 5 3 5 1

df d x xdx dx

dx x x xdx

x x x

x x x

= − +

= − + − +

= − + −

= − − +


b) ( )2

1

2g t

t=

+

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

12

312 2

32

32

2 2

2 2 212

212

2

1 1

2 2

2 2 2

2 22

dg d ddt dt dtt t

d dt t tdt dt

tt tt

− −

−

= =+ +

= + = − + +

= − + = −+

c) ( )533 2 1y x x= − +

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

53

23

23

23

53 33

3 353

3 253

2 353

2 1 2 1

2 1 2 1

2 1 3 2

3 2 2 1

dy d dx x x xdx dx dx

dx x x xdx

x x x

x x x

= − + = − +

= − + − +

= − + −

= − − +

d) ( )43 1

4 3t

h tt

−= −

( ) ( ) ( ) ( )( )

43

33 3

3 333

2

14 3

1 144 3 4 3

4 3 1 1 4 3144 3 4 3

dh d tdt dt t

t d tt dt t

d dt t t tt dt dtt t

−=−

− −=− −

− − − − −−=− −


( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3 2 33

2

33 2 3 3

3 2

33 3 2

5

33 3 2

5

4 3 3 1 3144 3 4 3

1 12 9 3 344 3 4 3

4 1 6 12 3

4 3

12 1 2 4 1

4 3

t t ttt t

t t t t

t t

t t t

t

t t t

t

− − − −−=− −

− − + −=− −

− − + −=

−

− − − +=

−

e) ( ) ( )2 32 36 3 2y x x= + −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

2 32 3

2 3 3 22 3 3 2

2 2 32 3 3 3 2 2

2 2 32 3 2 3 2

2 2 32 2 3 3 2

22 3 2 3

22 3

6 3 2

6 3 2 2 6 3

6 3 3 2 2 2 2 6 3 6 3

3 6 3 2 3 2 2 6 3 12

9 6 3 2 24 2 6 3

3 6 3 2 3 6 3 8 2

3 6 3 2

dy d x xdx dx

d dx x x xdx dx

d dx x x x x xdx dx

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

= + −

= + − + − +

= + − − + − + +

= + − + − +

= + − + − +

= + − + + −

= + − ( )326 9 16x x+ −


f) ( ) ( )( )

2

32

2 1

4

xf x

x

−=

+

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 32 22 2 2

3 232

2

3 222 2 2

62

3 222 2

62

3 222 2

62

22 2

4 2 1 2 1 42 1

4 4

4 2 2 1 2 1 2 1 3 4 4

4

2 4 2 1 2 3 2 1 4 2

4

4 4 2 1 6 2 1 4

4

2 4 2 1 2 4 3 2 1

d dx x x xxdf d dx dxdx dx x x

d dx x x x x xdx dx

x

x x x x x

x

x x x x x

x

x x x x x

x

+ − − − +−= =

+ +

+ − − − − + +=

+

+ − − − +=

+

+ − − − +=

+

+ − + − −=

( )( )( )

( )2

4622

2 2 1 4 3 8

44

x x x

x

− − + +=

++

2. On met en culture des bactéries dans une boîte de Petri. Le nombre ( )N t de

bactéries ht après la mise en culture est donné par la fonction

( ) ( )22

510300

1N t

t

−= +

.

a) Déterminez le nombre initial de bactéries.

( )( )2

2

50 300 10 1500 bactéries0 1

N

= − =+

b) Déterminez le nombre de bactéries au bout de 2 h.

( )( )2

2

52 300 10 2 940 bactéries2 1

N

= − =+


c) À long terme, combien de bactéries retrouvera-t-on dans la boîte de Petri?

On a ( )( ) ( )2 2

2 2

5 1500300 10 3 0001 1

N tt t

= − = −+ +

. Alors,

( )( )

1500forme

22

3000

1500lim lim 3 000 3 000 0 3 000 bactéries1

t tN t

t

∞−

→∞ →∞

= − = − =+

��

d) Quelle est l’expression de ( )N t′ ? Indiquez bien les unités.

On a ( )( ) ( )2 2

2 2

5 1500300 10 3 0001 1

N tt t

= − = −+ +

. Alors,

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )

22

22

32 2

3 32 2

15003 000 3 000 1500 11

0 1500 2 1 1

3 000 6 0002 bactéries/h1 1

d dN t tdt dtt

dt tdt

ttt t

−

−

= − = − +′+

= − − + +

= =+ +

e) À partir du signe de la dérivée première, que pouvez-vous dire de

l’évolution de la population bactérienne en fonction du temps?

Comme 0t ≥ , on a ( ) 0N t ≥′ ( ( ) 0N t =′ si et seulement si

0t = ), de sorte que le taux de croissance de la population bactérienne est positif lorsque 0t > : la taille de la colonie bactérienne augmente avec le temps.

f) Déterminez ( )1N′ . Indiquez bien les unités.

( ) ( )( )

32

6 000 11 750 bactéries/h

1 1N

= =′+


g) Interprétez la réponse obtenue en f en tenant compte du contexte.

Après 1 h, le nombre de bactéries dans la boîte de Petri augmente à raison de 750 bactéries/heure.

h) Donnez une interprétation géométrique de la réponse obtenue en f.

La pente de la droite tangente à la courbe décrite par la

fonction ( )( )2

2

5300 101

N tt

= −+

en 1t = est de 750.

i) Quelle est l’expression de ( )N t′′ ? Indiquez bien les unités.

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( )

32

3 22 2

62

3 22 2 2

62

22 2 2

62

22

42

6 000

1

1 6 000 6 000 3 1 2

1

6 000 1 36 000 1

1

6 000 1 1 6

1

6 000 5 1bactéries/h

1

d tN tdt t

t t t t

t

t t t

t

t t t

t

t

t

=′′+

+ − +=

+

+ − +=

+

+ + −=

+

− +=

+


j) À partir du signe de la dérivée seconde, que pouvez-vous dire du taux de

croissance du nombre de bactéries lorsque 5

h5

t > ?

Si 2 2 25 1 5 1 5 1 05 5

t t t t> ⇒ > ⇒ − < − ⇒ − + < , alors

( ) ( )( )

négatifpositif

posi

2

42

tif

6 000 5 10

1

tN t

t

− += <′′

+

��

��

de sorte que le taux de croissance de la population bactérienne diminue à compter de ce moment.

k) À long terme, quel est le taux de croissance de la population bactérienne?

( )( ) ( )

( )

2

2

3 362 1

35 1

6 000 6 000lim lim lim11

6 000lim 0 bactérie/h1

t t t

t

t

t

t tN ttt

t

→∞ →∞ →∞

→∞

= =′++

= =+

l) Commentez l’évolution de la population bactérienne à partir des réponses aux questions a, c, e, j et k.

Initialement, la population bactérienne comptait 1 500 indivi-dus. La taille de la population bactérienne augmente à raison

de ( )32

6 000 bactéries/h1

t

t +, un rythme de croissance qui décroît à

partir de 5 h5

t = , de sorte qu’à long terme, le taux de

croissance de la population bactérienne devient nul et que le nombre de bactéries dans la boîte de Petri se stabilise à 3 000 individus.



1. Déterminez dydx

si 2

3y

u= , 2u v= + et 2 2v x= + .

On a ( )2 32 3

3 63 6dy d d u udu du duu u

− −

= = = − = −

( ) 121

212

2du d v vdv dv v

−= + = =

( )2 2 2dv d x xdx dx

= + =

Par conséquent,

36 1

2

dy dy du dvdx du dv dx

u

=

= − 2v

( )

( )( )

( )

3 2

3 22

32 2

6 1

22

6 1

22 2

6

2 2 2

x

xxv

xxx

x

x x

= −++

= −++ +

= −+ + +


2. Le volume d’un ballon sphérique diminue à raison de 32 cm3/s. Déterminez le taux de variation du rayon du ballon par rapport au temps à l’instant où le rayon est égal à 2 cm.

Soit V le volume d’un ballon de rayon r. On a 343

V rπ= , de sorte

que

( )3 2 24 4 3 43 3

dV dV dr d dr dr drr r rdt dr dt dr dt dt dt

π π π

= = = =

Par conséquent, 21

4dr dVdt dtrπ

= .

Or, 332 cm /sdVdt

= − (le signe négatif indique que le volume

diminue). Alors, lorsque 2 cmr = , on a

( ) ( )22

1 32 232 cm/s164 2r

drdt π ππ=

−= − = = − .

À l’instant où le rayon du ballon est égal à 2 cm, il diminue à raison

de 2 cm/sπ .



Exercices 2.14 (page 134) 1. Soit l’équation implicite 2 3 2x xy x+ − = .

a) Déterminez dydx

en exprimant d’abord y en fonction de x et en dérivant

de manière habituelle l’équation explicite obtenue.

2 2

21

3 2 3 2

3 2 3 2

x xy x xy x x

x xy x xx

−

+ − = ⇒ = − + +− + +

⇒ = = − + +

Par conséquent,

( )1 22

23 2 1 2 1dy d x x xdx dx x

− −= − + + = − − = − −

b) Déterminez dydx

en utilisant la dérivation implicite.

( ) ( )2 23 2 3 2

2 3 0

3 2

3 2

d dx xy x x xy xdx dx

dy dxx x ydx dx

dyx x ydx

dy x ydx x

+ − = ⇒ + − =

⇒ + + − =

⇒ = − −

− −⇒ =


c) Vérifiez que les résultats obtenus en a et en b sont équivalents.

On a établi en a que 13 2y x x−= − + + . Alors,

( )1 1

2

3 2 3 23 2 2 21x x xx y x x

x x x x

− −− − − + +− − − −= = = − −

Par conséquent, les résultats obtenus en a et en b sont équivalents.

2. Déterminez dydx

.

a) 2 3 4xy y x+ =

( ) ( )

( )( )

( )

2 2

2 2

2

2

2

3 4 3 4

3 4

2 3 4

2 3 4

42 3

d dxy y x xy y xdx dx

d dx dy dxx y ydx dx dx dx

dy dyx y ydx dx

dyxy ydx

dy ydx xy

+ = ⇒ + =

⇒ + + =

⇒ + + =

⇒ + = −

−⇒ =

+


b) 2 32 4 2xy x y y+ + = −

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3 2 3

2

2

2

2

2

2 4 2 2 4 2

2 2 3 2

2 6 2

6 2 2

6 2 2

26 2

d dxy x y y xy x y ydx dx

dy dx dy dyx y x ydx dx dx dxdy dy dyx y x ydx dx dxdy dy dyx y x ydx dx dx

dyx y x ydx

dy x ydx x y

+ + = − ⇒ + + = −

⇒ + + + = −

⇒ + + + = −

⇒ + + = − −

⇒ + + = − +

+⇒ = −

+ +

c) 1

x y yy

= −

On a 3

2 11x y y y yy

−= − = − , de sorte que

12 2

22 2

3 3 23 12 2 2

y y ydx y ydy y y

− += + = + =

En vertu du théorème 2.11,

52

2 2

22 2

3 2 3 2dy y ydx y y y

= =+ +


3. Trouvez l’équation de la droite tangente à l’astroïde décrite par l’équation

implicite 2 2

3 3 4x y+ = , au point ( )1, 3 3− .

( ) ( )2 2 2 23 3 3 3

1 13 3

11 1 1 33 3 3

1 1 13 3 3

2 23 3

23

23

4 4

0

d dx y x ydx dx

dyx ydx

xdy x y ydx xy y x

− −

− −

− −

+ = ⇒ + =

⇒ + =

−⇒ = = − = − = −

Par conséquent, la pente de la droite tangente à la courbe décrite par l’équation

2 23 3 4x y+ = , au point ( )1, 3 3− , est donnée par

( )13 1

332

1, 3 3

3 3 3 31

dydx

−

−= − = =

L’équation de la droite tangente est ( )3 1 3 3y x= − − ou

3 4 3y x= − .


-10-8

-6-4

-20

24

68

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10x

y

2 23 3 4x y+ =

Cahier Chap2 Enseignants citerne contient 100 L d’eau pure. On y verse une solution saline à un...

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