CaféLCUL

ORMEL &QUATIONS

Notre but est de développer de nouvelles méthodes de « résolution » par le calcul formel d'équations fonctionnelles, c'est-à-dire d'équations où les inconnues

représentent des fonctions plutôt que des valeurs numériques, et de faciliter le transfert de ces méthodes dans les sciences de l'ingénieur en produisant les

programmes et outils nécessaires.

OMPUTER

LGEBRA &

UNCTIONAL

QUATIONS

Fonction de Lambert (1758) :

Existe-t-il une formule explicite W(z)= (.. Exp,Sin,Log…) ?

Non ! W(z) n’est pas une fonction liouvillienne de z.

[BroDav]

:

• Combinatoire:

• Equations à retard:

Equations et Formules

Classes d’équations

Récurrences linéaires

Contrôle

Différentielles linéairesEDO non-linéaires

EDP linéaires

« Décomposer »

Recouvrir l’ensemble des solutions par des sous-ensembles

ayant de bonnes propriétés

Produire des logiciels efficaces et distribuables pour décomposer des systèmes fonctionnels

Repousser les limites du traitement par le calcul formel de telles équations

algorithmes

Mathématiques

Implémentation

Serveurs

Ambition scientifique

• Nouvelles classes d’équations ou de solutions

• Gain d’efficacité / passage à l’échelle

• Produire des logiciels robustes/efficaces et des services web de résolution.

Contributions

La théorie de Galois a permit le développement d’algorithmesde recherches de solutions Liouvilliennes (Kovacic 1986),...

Pas de solutions Liouvilliennes

J.Carette (WMI, 1999): et les fonctions spéciales ?

Définies par des équations de la forme:

Solutions en termes de fonctions spéciales

Chercher les arguments et indices d’une fonction spéciale

Implémentation en Maple + serveur Web de resolution

solution de

[BroLaf 2002]: calcul de toutes les solutions

Solutions en termes de fonctions spéciales (suite)

revient à résoudre :

: factorisation

: décomposition

Polynômes :

Factorisation vs. Décompositionf(x)=g(x)h(x) Sol(f)=Sol(g) U Sol(h)

Factorisation différentielle

DécompositionSinger (1996)

EDO LinéairesFactorisation

Beke (1884)

Schwarz(1989)

...

Factorisation différences

Factorisation[BroPet 1996]

Equations aux différences linéaires ordinaires

Décomposition(Bomboy 1999)

SolutionsLiouvilliennes

(2001)

Factorisation non linéaire

Equations différentielles non-linéaires Décomposition

Hubert (2000)

Forme résolvanteLa décomposition d’un système différentiel non-linéaire

produit

soit:

Dans le cas ordinaire:

Où p=0 est une EDO scalaire

[CluHub 2002]

Exemple: Lotka-Volterra

http://www.w3.org/Math/

MathML 2.0« Le format natif des mathématiques sur le Web »

• Pour tous documents hypertextes et livres électroniques contenant des formules mathématiques

• La version 2.0: février 2001 - intègre/prend en compte les nouvelles technologies Web - mécanisme d'extension sémantique clair (OpenMath)

• Standard adopté par: - Mozilla (en standard) & Internet Explorer (plug-in) - Maple & Mathematica - USPTO, Airbus, Springer, initiative Open e-book …

Logiciels

• Bibliothèque diffalg:

• Bibliothèques libaldor

• Bibliothèque

• Serveurs Bernina & Shasta

Logiciels distribués

Décomposition des EDO:EDP non linéairesPartie intégrante de Maple Appelé « silencieusement » par dsolve:Evolution première version F. Boulier

Bibliothèque standard du langage AldorBibliothèque libre de calcul formel (FreeBSD)Distribution standard du compilateur AldorCollaboration Café/ETH/LIFL

Extension Aldor de LibAlgebra Intègre les algorithmes de Café (linéaires)Disponible par ftp (Café)

Serveurs interactifs sur SumitInterfaces Maple et MuPADDisponible Médicis et Café

& libalgebra

Objectifs 2002-2005

Algorithmes de décomposition des systèmes d’EDP linéaires

Factorisation EDPDécomposition

Min Wu & CAFE (2005)

EDP LinéairesFactorisation

Li/Schwarz/Tsarev (2002)

+Tsai & al (97-2002)

(holonome)

Applications à l’automatique

Systèmes de contrôle1) Systèmes de contrôle linéaires 1-D:

• Systèmes de Kalman

• Systèmes polynomiaux

2) Systèmes de contrôle linéaires 2-D:

3) Systèmes multidimensionnels linéaires (EDP sous-détermineés):

Élasticité, électromagnétisme, hydrodynamique …

Retard

Analyse algébrique pour l’automatiqueUn système de contrôle linéaire est défini par une matrice à coefficients dans un anneau A d’opérateurs:

EDP

Utilisation de la théorie des modules pour l'analyse et la synthèse des systèmes (Kalman 1965,…):

Propriétés structurellesdu système

Propriétés algébriques du module

Boite à outils pour systèmes multidimensionels(Mgfun, Algo)

Algorithmes

Platitude des systèmes non-linéaires

Un système de contrôle est plat si ses trajectoires peuvent être paramétrisées à l'aide de certaines fonctions des éléments du système (1995) [Fliess-Lévine-Martin-Rouchon … Pomet (MIAOU)]

Exemple: Les trajectoires du système

sont paramétrées par

(1)

Platitude (suite)Un système plat est équivalent à un système linéaire contrôlable (linéarisation par feedback).

Applications: suivi de trajectoire, stabilisation,…

Problème: Pas de test systématique de platitude connu

Etude algorithmique de la platitude et du problème deMonge (généralisation aux EDP),

Collaboration CAFE-MIAOU

Décomposition des systèmes symétriques

Factorisation par les symétries de Lie

Groupe de symétrie:

Ensemble générateur des invariants différentiels

Dérivations invariantes

[G. Metivier, IRMAR Rennes]

Section :

Règles de commutation

Syzygies:

Système réécrit en terme des invariants

Factorisation par les symétries de Lie (suite)

Services Web mathématiques

Services Web mathématiques

rendre accessibles les logiciels développés dans le projet sous forme de services Web

Développer des outils logiciels pour

Service Webcourtier

Autre service Web

Butineur(netscape..)

LogicielCafé

Application

Exemple prototype: outils pour l’étude de systèmes hamiltoniens

Hamiltonien H(p,q,m) dépendant de paramètres.

Génériquement: non intégrable

But: « assistants de calcul » pour éliminer le plus possible de valeurs des paramètres pour

lesquelles le système n’est pas intégrable

Outils algorithmiques: Linéarisation, théorie de Galois différentielle,…

Principe du serveur: rendre ces outils efficaces et indolores

Services Web: architecture

• Encodage des objets mathématiques: OpenMath , MathML

• Protocoles d’échange: soap , wsdl

Définition d’un service Web mathématique - Spécification des opérations - Caractéristiques du service

Définition d’un courtier

Déjà fait En cours A faire [projet MONET]