C.-H. Lamarque,O. Gendelman (Technion),

A. Ture Savadkoohi,E. Etcheverria

Université de Lyon ENTPE/CNRS

DGCBFRE 3237

Rue Maurice Audin 69 518 Vaulx-en-Velin

Cedex,France

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TRANSFERT, LOCALISATION ENERGETIQUE ET NON REGULARITE (avec le support de l’ANR ADYNO)

Absorber l’énergie de vibration d’une structure grâce à une structure auxiliaire et un couplage non linéaire, embarqué ou non

Application en Génie Civil, en acoustique, en automobile…

Phénoménologie et principe de conception à partir de l’étude de systèmes à petit nombre de ddl: par exemple 2 (1 ddl à contrôler par 1 ddl auxiliaire)

En général, étude de systèmes initiaux linéaires ou à non linéarité régulière

Extension: › ou bien le système initial est non linéaire non

régulier (cas 1)› ou bien le couplage du système auxiliaire est non

linéaire non régulier (cas 2)

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Cas 1: système initial avec non linéarité non régulière

Par exemple, des éléments de Saint-Venant (« frottement »)

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Résumé: Design du NES en linéarisant le système initialement non linéaire autour de l’origine, par une méthode analytique :

Efficacité sous impulsion Efficacité sous sollicitation transitoire brève

Cas forcé: le même design pas toujours efficace

F. Schmidt, C.-H. Lamarque, Energy pumping for mechanical systems involving non-smooth Saint-venant terms, International Journal of Non-Linear Mechanics, Volume 45, Issue 9, November 2010, 866-875.

Cas 2Système initial linéaire

Non linéarité « auxiliaire » non régulière (affine par morceaux)

ε<<1 F(z) raideur de couplage linéaire par

morceaux.

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2 masses en résonance 1 :1, oscillations rapides modulées par une enveloppe lente

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v=y1+εy2 w= y1-y2

Moyenne en temps rapide φ1 et φ2 ainsi que leurs dérivées ont des

variations lentes sur cette échelle de temps.

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f1, premier terme de la décomposition en série de Fourier de F(w)

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On cherche les solutions bornées τ0→∞

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φ1=N1eiδ1 et Φ=N2eiδ2

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Etude des extremums locaux

Etude de la stabilité

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1er cas : c≤1Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables.

2ème cas : c>1Amortissement critique à partir duquel il n’existe pas d’extremum et tous les points fixes sont stables.Pour λ<λc , il ya deux extremums et certains points fixes sont instables

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c>1et λ<λc

Détermination des zones de stabilité et d'instabilité des points fixes

Equations singulières aux points extrémaux de la relation N1↔ N2

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c≤1 ou λ≥λc : pas de pompage possible

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Représentations graphiques des points fixes dans le cas où il n’y a pas de pompage possible

c>1 et λ<λc : pompage possible

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Différents scénarios selon l’énergie initiale

Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ<λc

19/45Simulation numérique de la relation N1⇔N2 comparée à la prédiction analytique

Déplacements de la masse principale et de la masse auxiliaire

Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ<λc

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Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ>λc

21/45Déplacement de la masse principale pour différents amortissements

Ordre ε° : Mêmes équations qu’en régime libre

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Ordre ε1 : Même dénominateur qu’en régime libre

Equation à l’ordre ε1 en régime permanent

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Etude des extremums locaux

Etude de la stabilité des points fixes

2ème cas :

Il y a deux extremums et certains points fixes sont instables jusqu’à une certaine valeur de l’amortissement. Au-delà de cette valeur il n’existe pas d’extremums et tous les points fixes sont stables. 25/45

1er cas :

Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables.

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Pour un amortissement pas trop grand

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Près de la pulsation propre

Battements des oscillations de la masse principale en régime permanent

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Près de la pulsation propre

Courbe N1⇔ N2 entre t=40 000 et t=95 000

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Près de la pulsation propre

Sections de Poincaré de la masse principale et de la masse auxiliaire

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Avant stabilisation sur le point fixe

Cycle d’oscillations de relaxations avant stabilisation

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Régime libre

Portrait de phase pour le régime libre

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Régime libre

Diagramme N1 ⇔ N2 correspondant

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Régime forcé : Apparition de bifurcations de type nœud-

selle sur les lignes de singularité :› certaines trajectoires de phase sont tangentes à

l’une des lignes de singularité› apparition de points d’équilibres de type

« singularité pli »

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fo<fo1crit : pas de bifurcation

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fo>fo1crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité inférieure

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fo>fo2crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité supérieure

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fo>fo1crit : condition nécessaire mais non suffisante à l’apparition du régime quasi-périodique

Influence de la pulsation et des conditions initiales

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Régime permanent quasi-périodique

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Régime permanent périodique après un régime transitoire d’oscillations de relaxation

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Régime permanent périodique

Pompage énergétique possible avec un couplage par raideur linéaire par morceaux

(y compris en présence de « jeu »: pas montré ici)

Résultats analytiques corroborés par des résultats numériques

Mais :- Il faut ajuster le design à la plage d’énergie à atténuer- Le comportement d’oscillations de relaxation doit être

étudié

Perspectives :- L’étude d’un système initial avec jeu à approfondir- Coupler le design on régulier à un modèle « réaliste » de

structure42/45

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Courbe analytique N1⇔N2 (en bleu) pour ω=1 et courbes numériques (a=1, c=1.5,e=1, f=2,λ=0.2) en noir pour ε=0.01 et en rouge pour ε=0.001

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Cas n°1

Cas n°2

Cas n°3

Cas n°4

Cas n°5

e=1 e=0.1 e=10 e=1 e=1

g=2 g=2 g=2 g=0.2 g=20

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Cas n°1

Cas n°2

Cas n°3

Cas n°4

Cas n°5

e=1 e=0.1 e=10 e=1 e=1

g=2 g=2 g=2 g=0.2 g=20

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Cas n°1 : Pompage énergétique moins efficace que lorsqu’il n’y a pas de jeu.

Cas n°3 et cas n°4 triviaux Amortissement critique plus faible et énergie

d’activation plus élevée quand on se rapproche des cas extrêmes 2 et 5