C. AUTRES SOURCES DU IIE MILLÉNAIRE AV. J.-C. - 1. LE ROULEAU DE CUIR BRITISH MUSEUM 10250 43

[Rhind], Eisenlohr parle [du rouleau] lors de la description du papyrus et ajoute que le cuir était trop fragile pour le dérouler. Quelques années plus tard le Professeur Griffith a vu le rouleau et a identifié une belle écriture dans les signes numériques qui pouvaient être vus juste près des bords. […] La question du déroulement a de nouveau été mise sur la table l’année dernière [1926 ?] par le Professeur Griffith, qui avait entendu parler, à Berlin, d’un nouveau traitement permettant d’adoucir les cuirs anciens. Entre-temps […] le département de l’archéologie, qui s’occupe de « la restauration et la préservation des antiquités » avait été organisé […]. Il était donc possible de réenvisager le déroulement du rouleau de cuir. […]. Même en suivant les procédures les plus prometteuses, [cette démarche] n’était pas sans risque. Néanmoins, le Docteur Scott s’est engagé à réaliser l’opération et son compte rendu du processus, […], montre à quel point il a réussi. Et du point de vue scientifique, on peut difficilement ne pas être d’accord avec le fait que la diffusion de la connaissance de ce traitement chimique du cuir est d’une plus grande im-portance que la publication des textes du rouleau. »

Le rouleau mesure 44,1 cm de longueur sur 26 cm de largeur78 et après un premier examen du document, ce qu’en a dit Glanville n’est pas très flatteur79 :

« Au lieu d’espérer un traité sur les mathématiques égyptiennes qui aurait pu expliquer toutes les difficultés du Papyrus Rhind, nous avons, ici, une copie en double exemplaire, de vingt-six sommes de fractions ! »

Nous reviendrons sur ces sommes par la suite (p. 86), car elles sont loin d’être tout à fait anodines et elles peuvent être mises en relation avec cer-taines procédures de calculs du papyrus Rhind.

Figure 8. Le rouleau de cuir BM 10250, deuxième colonne (avec l’aimable autorisation de l’Egypt Exploration Society)

78 GLANVILLE, JEA 13 (1927), p. 234. 79 Idem, p. 233, traduit de l’anglais.

42 CHAPITRE I. LES SOURCES PRINCIPALES

Le problème no 1 est mal conservé, mais Struve en a proposé une resti-tution qui permet de le classer dans les problèmes d’âhâou, tout comme les problèmes nos 19 et 2572. Les thèmes des problèmes nos 11 et 23, tels qu’ils sont mentionnés dans le tableau 8, sont ceux issus des interprétations de Peet73 et de Couchoud74.

Le papyrus de Moscou a été trouvé non loin de l’endroit où le papyrus Rhind a lui-même été découvert. L’étude paléographique des signes hiéra-tiques a amené Struve à postuler que le papyrus de Moscou a été rédigé dans le courant de la XIIIe dynastie (vers 1803 à 1649 av. J.-C.), mais qu’il a bénéficié également d’une contribution écrite sous la XIIe dynastie (vers 1987 à 1795 av. J.-C.)75.

C. AUTRES SOURCES DU IIE MILLÉNAIRE AV. J.-C.

1. Le rouleau de cuir British Museum 10250

Le rouleau de cuir BM 10250 a été acquis par Rhind, puis acheté par le British Museum exactement dans les mêmes conditions que le papyrus Rhind. Le texte a été écrit sur un support de cuir et non pas sur papyrus, si bien qu’il n’a pu être déroulé que soixante ans après son achat76.

Figure 7. Le rouleau de cuir BM 10250 avant son déroulement

(avec l’aimable autorisation de l’Egypt Exploration Society)

C’est à Glanville que l’on doit quelques informations relatives aux pre-miers moments qui suivirent l’acquisition de ce document77 :

« La présence du rouleau de cuir dans le British Museum fut communément connue presque immédiatement après la publication de la première étude complète du papyrus

72 Idem, p. 115-117. 73 T. E. Peet, « Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Mos-kau by W. W. Struve » (compte-rendu), JEA 17 (1931), p. 154 et p. 158-159. 74 COUCHOUD, Mathématiques, p. 174-178 et p. 171-174. 75 STRUVE, Papyrus Moskau, p. 7-10. 76 CLAGETT, Egyptian Science, p. 255. 77 S. R. K. GLANVILLE, « The Mathematical Leather Roll in the British Museum », JEA 13 (1927), p. 232-233, traduit de l’anglais.

SPÉCIMEN

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B. NOMBRES ET OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES - 2. LE SYSTÈME DE NUMÉRATION ÉGYPTIEN 65

Mais à partir du Moyen Empire, des changements vont se produire concernant le signe C11 (() :

– sa valeur évolue pour signifier peut-être des dizaines de millions ; – son utilisation en tant que chiffre tombe en désuétude et les « grands

nombres » vont parfois être notés à l’aide d’un système hybride (additif et multiplicatif).

Le tableau 21 présente les références des sources dans lesquelles les exemples qui suivent peuvent être rencontrés.

Tableau 21. Notations de « grands nombres », sources

Nos Périodes Documents Écritures 1116 XIIe dyn. pUC 32161 (ou Kahoun XLV. 1) Hiératique

2117 XVIIIe dyn. Amenhotep III Karnak nord, Temple de Montou Hiéroglyphique

3118 XIXe dyn. Stèle de Bilgai Hiéroglyphique

4119 XXe dyn. Ramsès III pHarris I (ou pBM 9999) Hiératique

5120 Époque ptolémaïque Ptolémée II Stèle de Pithom, Caire CG no 22183

Hiéroglyphique Démotique Grec

6121 Époque ptolémaïque Ptolémée III Karnak nord, Propylône du temple de Montou Hiéroglyphique

7122 Époque ptolémaïque Ptolémée XI Temple d’Edfou, acte de donations Hiéroglyphique

Voici tout d’abord deux exemples de notation additive « classique » de

grands nombres (sources 3 et 5).

Tableau 22. Notations additives de « grands nombres »

Exemples Puissances de 10 Nombres Valeurs

Source 3, ligne 20

104

40 000

Source 5, ligne 27

/

105, 104

660 000 = 600 000 + 60 000

Voici un extrait de texte hiéroglyphique gravé sur le propylône du

temple de Montou à Karnak (source 6) qui donne un exemple de

116 GRIFFITH, Petrie Papyri, Plates, pl. VIII. 117 K. SETHE, « Von Zahlen und Zahlworten bei den alten Ägyptern, und was für andere Völker und Sprachen daraus zu lernen ist. Ein Beitrag zur Geschichte von Rechenkcunst und Sprache », Strasbourg, 1916, (Schriften der Wissenschaftlichen Gesellschaft Straßburg 25), p. 9. [Infra SETHE, Zahlen und Zahlworten.] 118 A. H. GARDINER, « The Stele of Bilgai », ZÄS 50 (1912), pl. 4. 119 S. BIRCH, Facsimile of an Egyptian Hieratic papyrus of the reign of Ramses III now in the British Museum, London, 1876, pl. 72-73. 120 E. NAVILLE, The store-city of Pithom and the route of the Exodus, London, 1885, pl. 10. 121 H. K. BRUGSCH, Thesaurus inscriptionum aegyptiacarum, Zweite abtheilung, Kalendarische inschriften altaegyptischer denkmaeler, Leipzig, 1883, p. 195. 122 H. K. BRUGSCH, Thesaurus inscriptionum aegyptiacarum, Dritte abtheilung, Geographische inschriften altaegyptischer denkmaeler, Leipzig, 1884, p. 604.

64 CHAPITRE II. PRÉREQUIS, NOMBRES ET FRACTIONS

d. Les milliers

Les milliers se notent par autant de fois le signe M12, qui a pour valeur le millier et qui figure un plant de lotus (%). Il se translittère xA.

Tableau 20. Les milliers en signes hiératiques et en hiéroglyphes (←)

Milliers Signes hiératiques Hiéroglyphes

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000 —

8 000

9 000

e. Les autres puissances de 10

La dizaine de milliers se note par le signe D50, qui figure un doigt dres-sé (&) et qui se translittère Dba :

–

, Dba : 10 000.

La centaine de milliers se note par le signe I8, qui figure un têtard (') et qui se translittère Hfn ; le million, par le signe C11, qui figure un dieu assis les bras levés au ciel ou le dieu Heh (() et qui se translittère HH. Mais Hfn et HH peuvent également exprimer un « grand nombre » de manière indéter-minée. Leur utilisation est plutôt rare dans les documents mathématiques (pRhind no 49, p. 278) :

–

, Hfn : 100 000 ;

–

, HH : 1 000 000.

f. Composition additive et hybride des « grands nombres »

En système additif et en écriture hiéroglyphique, 1 234 567 se note à l’aide de 28 signes :

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

Hiéroglyphes

SPÉCIMEN

Hiéroglyphes

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e. Les autres puissances de 10

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La dizaine de milliers se note par le signe D50, qui figure un

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SPÉCIMEN

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–SPÉCIMEN

, HHSPÉCIMEN

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A. LES MESURES DE LONGUEURS - 2. SOUS-MULTIPLES ET MULTIPLES DE LA COUDÉE 117

Nous avons retenu comme mesure moyenne de la coudée (mH), celle qui a été proposée par Gardiner, à savoir 52,3 cm (ou 20,6 inches)190. Pour effectuer une estimation rapide, on peut retenir que 2 coudées ≈ 1 m.

Dans le système digital d’avant la réforme, la coudée de 28 doigts (52,3 cm) est divisée en sept paumes (Ssp), de chacune quatre doigts (Dba). Elle peut aussi être appelée « coudée royale » ou « grande coudée » en opposition à la « petite coudée » de taille réduite qui comporte 6 paumes et donc, 24 doigts (44,83 cm).

La division de la coudée en 7 paumes est clairement exprimée et à plu-sieurs reprises dans le papyrus Rhind191.

3.

[…] iw mH pn (m) Ssp 7 […]

EXTRAIT 13. pRHIND NO 56, UNE COUDEE VAUT SEPT PAUMES

Traduction

∣16 […] cette coudée (est égale à) 7 paumes […]

10.

[…] iw ir mH [pn], Ssp 7 [p]w […]

EXTRAIT 14. pRHIND NO 58, UNE COUDEE VAUT SEPT PAUMES

Traduction

∣10 […] quant à [cette] coudée, c’est 7 paumes […]

3-4.

[…] mH 1, mk, Ssp 7 pw […]

EXTRAIT 15. pRHIND NO 59B, UNE COUDEE VAUT SEPT PAUMES

Traduction

∣3-4 […] 1 coudée, vois, c’est 7 paumes […]

190 GARDINER, Grammar, p. 199. 191 Cf. édition de CHACE, Rhind Papyrus, vol. 2, pl. 78, 80 et 81.

116 CHAPITRE III. LA MÉTROLOGIE

Elles comportent quelques différences188 :

– la coudée de Turin présente des erreurs dans la subdivision en « frac-tions » des doigts 4, 5 et 6 (face C) ;

– la coudée de Turin comprend le dieu Geb (quatrième doigt), alors que la coudée du Louvre mentionne deux fois le nom d’Irenefdjésef ; la liste des dieux associés à chaque doigt n’est donc pas identique ;

– la coudée du Louvre ne présente pas de liste de nomes ; – la coudée de Turin comporte une partie de l’inscription dédicatoire sur

la face A, tandis que, sur celle du Louvre, cette inscription se lit sur les faces D et E.

À la page 220 de son livre Mathematics in the time of the pharaohs, Gillings propose deux illustrations (sa fig. 22.1) dont le titre est « The cubit of King Amenhotep I, 1559-1539 B. C., 18th dynasty. Original in the Louvre, Paris. » En réalité, les deux illustrations de Gillings « ressem-blent » beaucoup plus à la coudée de Turin qui date du règne d’Horemheb (qui se situe environ deux cents ans après celui d’Amenhotep Ier).

Nous proposons une représentation schématique d’une coudée type (fig. 16). Elle comprend une liste de dieux, une liste de nomes et, pour certains, la « mesure » qui leur est associée, ainsi que les graduations « classiques » et les subdivisions des fractions. Nous utiliserons cette cou-dée « fictive » pour illustrer quelques-uns des propos qui suivent.

2. Sous-multiples et multiples de la coudée

Deux systèmes de métrologie ont été utilisés par les Égyptiens anciens. Ils se distinguent par leur cadre d’application et par leur étalon189 :

– le système « traditionnel » ou « système à division digitale », servait à l’élaboration des projets architecturaux et avait pour étalon la coudée (52,30 cm) de 28 doigts (1 doigt = 1,87 cm) ;

– le système « artisanal » ou « système à division onciale » permettait surtout la reproduction de l’iconographie divine et royale sur les parois des temples ou des tombes et avait pour étalon la coudée sacrée (29,89 cm) subdivisée en 12 pouces (1 pouce = 2,49 cm) au lieu de 16 doigts.

En outre, il convient de préciser que la coudée de 28 doigts a été réfor-mée à partir de la XXVIe dynastie pour ne plus en comporter que 24 tout en conservant la même longueur (1 doigt = 2,18 cm). En annexe, nous proposons un tableau qui compare les mesures de ces différents systèmes (tableau 105, p. 548).

188 M. ST. JOHN, Three cubits compared, 2e éd., Londres, 2000, p. 39. 189 J.-F. CARLOTTI, « Quelques réflexions sur les unités de mesure utilisées en architecture à l’époque pharaonique », CdK 10 (1995), p. 127-133.

SPÉCIMEN

de 28

SPÉCIMEN

de 28 doigts

SPÉCIMEN

doigts ), de chacune quatre doigts (

SPÉCIMEN

), de chacune quatre doigts (Dba

SPÉCIMEN

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[…] cette coudée (est égale à) 7 paumes […]

SPÉCIMEN

paumes […]

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[…] iw ir mH [pn], Ssp 7 [p]w […]

SPÉCIMEN

[…] iw ir mH [pn], Ssp 7 [p]w […]

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SPÉCIMEN

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SPÉCIMEN

UNE COUDEE VAUT SEPT PAUMES

Traduction

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Traduction

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SPÉCIMEN

∣10

SPÉCIMEN

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SPÉCIMEN

[…] quant à [cette] coudée, c’est 7

SPÉCIMEN

[…] quant à [cette] coudée, c’est 7

3-4. SPÉCIMEN

3-4. SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

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[…] mH 1SPÉCIMEN

[…] mH 1SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

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SPÉCIMEN

C. SECOND DEGRÉ ET RACINES CARRÉES - 1. DANS LE PAPYRUS DE MOSCOU 217

b. Dimensions d’un triangle en fonction de son aire

Le problème de Moscou no 7 fait, cette fois, intervenir un triangle (spdt) et son aire (AHt) :

, spdt : la pointe ; le triangle ;

, AHt : le champ ; la surface, l’aire.

Parce que nous sommes dans le cas d’un triangle rectangle (p. 296), la hauteur est appelée « longueur » et la base est appelée « largeur » :

, Aw : la « longueur », ou ici la hauteur d’un triangle rectangle ;

, sxw : la « largeur », ou ici la base d’un triangle rectangle.

Planche 47. pMoscou no 7 (d’après Struve, col. IX)

Planche 48. pMoscou no 7, transcription hiéroglyphique

216 CHAPITRE IV. L’ARITHMÉTIQUE

Gunn et Peet319 ont préféré lire, à la fin du mot, l’idéogramme du setjat (:) suivi du chiffre 2. Nous aurions alors affaire à une graphie maladroite ou très particulière pour exprimer l’équivalent de 12 setjat :

, 12 sTAt : 12 setjat (graphie habituelle) ;

, st sTAt 2 : 1 set et 2 setjat (pMoscou no 6, Gunn et Peet).

Enfin, dans son dictionnaire, Faulkner mentionne un terme stt qui dé-

signe couramment un « terrain »320 et qui se rapproche de l’idée d’aire :

, stt : le terrain ; l’aire.

Figure 27. pMoscou no 6, aire d’un rectangle

L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est égale à L × l. Nous avons donc :

(1) A(rectangle) = L × l = 12 et (2) 1 1

l L2 4

= + ×

(1) et (2) (3)

(rectangle)

2 2 2

1 1A L l L L 12

2 412 1

L L 12 1 L 16 L 41 1 32 4

= × = × + × =

⇒ = ⇒ = × + ⇒ = ⇒ = +

(2) et (3) (4) 1 1 1 1l L l 4 l 3

2 4 2 4 = + × ⇒ = + × ⇒ =

Et le problème se termine par la vérification que le produit des dimen-sions trouvées (L = 4 et l = 3) donne bien 12.

L’expression (3) met donc en évidence que l’équation à résoudre est 34

× x2 = 12 et la racine à calculer 16 4= .

319 GUNN et PEET, JEA 15 (1929), p. 170-171. 320 FAULKNER, Dictionnary, p. 253.

SPÉCIMEN

Parce que nous sommes dans le cas d’un triangle rectangle

SPÉCIMENParce que nous sommes dans le cas d’un triangle rectangle (

SPÉCIMEN (p.

SPÉCIMENp. 29

SPÉCIMEN296)

SPÉCIMEN6), la

SPÉCIMEN, la

» et la base est appelée «

SPÉCIMEN» et la base est appelée « largeur » :

SPÉCIMEN largeur » :

uteur d’un triangle recta

SPÉCIMENuteur d’un triangle rectan

SPÉCIMENngle

SPÉCIMENgle ;

SPÉCIMEN ;

base d’un triangle rectangle.

SPÉCIMEN

base d’un triangle rectangle.

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

Planche

SPÉCIMEN

Planche 47

SPÉCIMEN

47. pMoscou n

SPÉCIMEN

. pMoscou n47. pMoscou n47

SPÉCIMEN

47. pMoscou n47

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

E. RÉPARTITIONS EN PARTS INÉGALES - 4. AUTRES RÉPARTITIONS INÉGALES DU PAPYRUS RHIND 267

22. \

\ 8 2612

18

,1

32 3 rA

13

23.

_mD 25, 1,

12

18

132

, 3 rA 13

,

sn-nw.

Traduction

∣23 Total : 26 (25 + 1) 12

18

132

(4-heqat et) 3 13

(4-)ro, (pour) le deuxième.

24.

1 314

116

164

, (1) rA 23

25. \

\ 2 612

18

132

, 3 rA 13

26.(*)

4 1314

116

164

, (1) rA 23

27.

_mD xmt- • 20.

(*) Cette ligne n’a pas été annotée par le scribe, alors qu’elle devrait être sélectionnée pour le calcul du total.

Traduction

∣27 Total du troisième : 20 (4-heqat).

28.

1 314

116

164

, [(1) rA 23

]

29.

2 612

18

132

, 3 rA 13

30. \

\ 4 1314

116

164

, (1) rA 23

31.

_mD fdw-nw

• 1314

116

164

, (1) rA [23

].

Traduction

∣31 Total du quatrième : 13 14

116

164

(4-heqat et) 1 23

(4-)ro.

266 CHAPITRE IV. L’ARITHMÉTIQUE

Traduction

∣7-8 Alors tu fais en sorte de multiplier 30 pour trouver 100, il advient 3 13

,

∣9 (ce qui) fait en grains 3 14

116

164

(4-heqat et) 1 23

(4-)ro.

10.

Ir(w) m sp 12 n tpy,

11.

8 sn-nw,

12.

6 xmt-nw,

13.

4 fdw-nw.

Traduction

∣10 (Ce qui) fait, fois 12 pour le premier ; ∣11 (fois) 8, pour le deuxième ; ∣12 (fois) 6, pour le troisième ; ∣13 (fois) 4, pour le quatrième.

14.

1 314

116

164

, (1) rA 23

15.

2 612

18

132

, 3 rA 13

16. \

\ 4 1314

116

164

, (1) rA 23

17. \

\ 8 2612

18

132

, 3 rA 13

18.

_mD tpy • 25, 10, 5.

Traduction

∣18 Total du premier : 40 (25 + 10 + 5) (4-heqat).

19.

1 314

116

164

, (1) rA 23

20.

2 612

18

132

, 3 rA 13

21.

4 1314

116

164

, (1) rA 23

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

1

SPÉCIMEN

13

SPÉCIMEN

3,

SPÉCIMEN

,

(4-)

SPÉCIMEN (4-)ro

SPÉCIMENro,

SPÉCIMEN, (pour) le deuxi

SPÉCIMEN(pour) le deuxiè

SPÉCIMENème.

SPÉCIMENme.

1 3

SPÉCIMEN

1 3

SPÉCIMEN1

SPÉCIMEN

14

SPÉCIMEN

4

SPÉCIMEN1

SPÉCIMEN

116

SPÉCIMEN

16

SPÉCIMEN1

SPÉCIMEN

164

SPÉCIMEN

64,

SPÉCIMEN

, (1

SPÉCIMEN(1) rA

SPÉCIMEN

) rA

SPÉCIMEN2

SPÉCIMEN

23

SPÉCIMEN

3

\

SPÉCIMEN

\ 2 6

SPÉCIMEN

2 6

SPÉCIMEN1

SPÉCIMEN

12

SPÉCIMEN

2

SPÉCIMEN1

SPÉCIMEN

18

SPÉCIMEN

8

SPÉCIMEN1

SPÉCIMEN

132

SPÉCIMEN

32,

SPÉCIMEN

, 3

SPÉCIMEN

3 rA

SPÉCIMENrA

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

4

SPÉCIMEN

4 13

SPÉCIMEN

13

SPÉCIMEN

1

SPÉCIMEN

14

SPÉCIMEN

4

SPÉCIMEN

1

SPÉCIMEN

1

_mD xmt

SPÉCIMEN

_mD xmt

été

SPÉCIMEN

été annot

SPÉCIMEN

annoté

SPÉCIMEN

ée par le scribe

SPÉCIMEN

e par le scribe,

SPÉCIMEN

, alors qu

SPÉCIMEN

alors qu’

SPÉCIMEN

’elle devrait

SPÉCIMEN

elle devrait

Traduction

SPÉCIMEN

Traduction

Total du troisi

SPÉCIMEN

Total du troisiè

SPÉCIMEN

ème

SPÉCIMEN

me :

SPÉCIMEN

: 20

SPÉCIMEN

20 (4-

SPÉCIMEN

(4-heqat

SPÉCIMEN

heqat (4-heqat (4-

SPÉCIMEN

(4-heqat (4- ).

SPÉCIMEN

).heqat).heqat

SPÉCIMEN

heqat).heqat

28.

SPÉCIMEN

28.

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

29.

SPÉCIMEN

29.

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

30.SPÉCIMEN

30. \SPÉCIMEN

\SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

31.SPÉCIMEN

31.

A. CALCULS D’AIRES - 2. LE TRIANGLE 281

2. Le triangle

En complément du pMoscou no 7 (p. 218), nous proposons d’examiner ici deux autres problèmes traitant du calcul de l’aire d’un triangle (pRhind no 51 et pMoscou no 17).

Le triangle est figuré par le terme spdt (var. sbdt) qui signifie « pointe » :

/

, spdt : la pointe ; le triangle ;

, sbdt : la pointe ; le triangle.

La base d’un triangle est exprimée par le terme suivant :

/

, tp-rA : la parole ; la base d’un triangle.

Le terme mryt offre le sens premier de « rive », « quai », « limite entre deux champs »400, mais dans un contexte purement mathématique, il est clairement à comprendre comme désignant la hauteur. Le sens de « hau-teur » n’est pas repris par le Wörterbuch, mais il figure dans le diction-naire de Faulkner401. Nous reviendrons sur ce terme en détail (p. 298) :

/

, mryt :

la rive, le quai, la limite entre deux champs ; la hauteur d’un triangle.

Dans deux problèmes concernant les triangles, le pMoscou no 7 et le pMoscou no 17, la base est appelée « largeur » et la hauteur est appelée « longueur ». Nous discutons également ces termes par la suite (p. 296) :

, Aw :

la longueur d’un rectangle ; la hauteur d’un triangle rectangle ;

/

, sxw :

la largeur d’un rectangle ; la base d’un triangle rectangle.

a. Aire d’un triangle

Analyse 39. — Problème no 51 du papyrus Rhind (pl. 67 et 68)

1.

&p n(y) irt spdt m AHt.

2.

Mi Dd n.k spdt n(y)t xt 10 Hr

400 Wb. II, p. 109. 401 FAULKNER, Dictionnary, p. 112.

280 CHAPITRE V. LA GÉOMÉTRIE

L’illustration qui accompagne le problème figure un rectangle dont, à la fois, les deux longueurs et les deux largeurs identiques sont indiquées. Le voici représenté à l’échelle des données.

Figure 34. pBM 10520, problème DMP no 64, aire d’un rectangle

L’aire du rectangle de côtés a = l, b = L, c = l et d = L est calculée comme suit :

(rectangle)

(rectangle)

a c b d l l L LA

2 2 2 210 10 12 12

A 10 12 1202 2

+ + + + = × = × + + ⇒ = × = × =

L’aire est donc calculée en multipliant les deux moyennes des mesures des côtés opposés du rectangle. D’après Friberg, il faut voir ici la volonté d’enseigner la méthode utilisée pour approcher l’aire des quadrilatères irréguliers puisqu’elle est, bien entendu, superflue dans le cas du rectangle. Cette méthode est très présente dans les textes cunéiformes mésopotamiens des périodes les plus anciennes jusqu’au plus récentes399.

c. Synthèse

Dans le pRhind no 49, les dimensions du rectangle sont données sans terminologie spécifique alors que dans le pMoscou no 6, la longueur (Aw) et la largeur (sxw) sont explicitement définies. Plus tardivement, les quatre côtés du rectangle, considéré comme un quadrilatère, sont dénommés par les quatre points cardinaux.

Tableau 70. Aires des rectangles

Problèmes Longueurs Largeurs Aires pRhind no 49 10 khet 1 khet 1 000 coudées de terre

pMoscou no 6 4 1 1

l L2 4

= + ×

, l = 3 12

pBM 10520, DMP no 64 (début de la période romaine ?) 12 10 120

399 FRIBERG, Egyptian and Babylonian, p. 158-159.

SPÉCIMEN

(pRhind

SPÉCIMEN

(pRhind

qui signifie «

SPÉCIMEN

qui signifie « pointe

SPÉCIMENpointe » :

SPÉCIMEN

» :

; le triangle

SPÉCIMEN; le triangle ;

SPÉCIMEN ;

La base d’un triangle est exprimée par le terme suivant

SPÉCIMENLa base d’un triangle est exprimée par le terme suivant :

SPÉCIMEN :

base d’un triangle

SPÉCIMEN

base d’un triangle.

SPÉCIMEN

.

offre le sens premier de

SPÉCIMEN

offre le sens premier de «

SPÉCIMEN

« rive

SPÉCIMEN

rive »

SPÉCIMEN

»,

SPÉCIMEN

, «

SPÉCIMEN

« quai

SPÉCIMEN

quai »

SPÉCIMEN

»,

SPÉCIMEN

, «

SPÉCIMEN

« li

SPÉCIMEN

limite entre

SPÉCIMENmite entre

dans un contexte purement mathématique,

SPÉCIMEN

dans un contexte purement mathématique, clairement à comprendre comme désignant la hauteur. Le sens

SPÉCIMEN

clairement à comprendre comme désignant la hauteur. Le sens de

SPÉCIMENde

Wörterbuch

SPÉCIMEN

Wörterbuch,

SPÉCIMEN

, mais

SPÉCIMEN

mais il figure

SPÉCIMEN

il figure dans le

SPÉCIMEN

dans le . Nous rev

SPÉCIMEN

. Nous reviendrons

SPÉCIMEN

iendrons sur ce

SPÉCIMEN

sur ce terme en détail

SPÉCIMEN

terme en détail

SPÉCIMEN

, mryt

SPÉCIMEN

, mryt :

SPÉCIMEN

: , mryt : , mryt

SPÉCIMEN

, mryt : , mryt

la rive, le quai, la limit

SPÉCIMEN

la rive, le quai, la limite entre deux champs

SPÉCIMEN

e entre deux champs ; la hauteur d’un triangle.

SPÉCIMEN

; la hauteur d’un triangle.

Dans deux problèmes concernant les triangles,

SPÉCIMEN

Dans deux problèmes concernant les triangles, 17, la base est appelée «

SPÉCIMEN

17, la base est appelée « largeur

SPÉCIMEN

largeur gueur

SPÉCIMEN

gueur ». Nous discutons également

SPÉCIMEN

». Nous discutons également ces termes par la suite (p

SPÉCIMEN

ces termes par la suite (p

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

, Aw

SPÉCIMEN

, Aw :

SPÉCIMEN

:

la longueur d’un rectangle

SPÉCIMEN

la longueur d’un rectangle ; la hauteur d’un triangle re

SPÉCIMEN

; la hauteur d’un triangle re

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

/

SPÉCIMEN

/

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

la largeur d’un rectangle

SPÉCIMEN

la largeur d’un rectangle

a.

SPÉCIMEN

a. Aire d’un triangle

SPÉCIMEN

Aire d’un triangle

Analyse SPÉCIMEN

Analyse 39SPÉCIMEN

39. SPÉCIMEN

. — SPÉCIMEN

— Problème nSPÉCIMEN

Problème n

1.SPÉCIMEN

1.SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

&p n(y) irt spdt m AHt.SPÉCIMEN

&p n(y) irt spdt m AHt.

2.SPÉCIMEN

2.

B. CALCULS DE VOLUMES - 4. LE TRONC DE PYRAMIDE 401

Interprétation de Struve

Pour Struve, le mathématicien égyptien aurait déduit le volume du tronc en effectuant la différence entre le volume d’une grande pyramide construite sur ce tronc et celui sa pointe530 (fig. 113).

Figure 113. pMoscou no 14, interprétation de Struve

Il suppose donc que les Égyptiens anciens du Moyen Empire savaient déterminer le volume d’une pyramide à base carrée. Nous avons donc :

2(grande pyramide)

1V B h h'

3= × × + et 2

(petite pyramide)1

V b h'3

= × × .

Struve propose de déterminer la hauteur h' de la petite pyramide de pointe en utilisant le fait que les dimensions de la grande pyramide et celles de la petite sont proportionnelles :

b hB h h'B h' b h h' b h B h' b h' h'

b h' B b

×+= ⇒ × = × + ⇒ × = × × ⇒ =

530 STRUVE, Papyrus Moskau, p. 174-176.

400 CHAPITRE V. LA GÉOMÉTRIE

Le volume d’un tronc de pyramide à bases carrées dont le côté de la base inférieure est B, le côté de la base supérieure est b et de hauteur h, est

donc égal à 2 2 2 2 hB B b b

3+ × + × ou, ce qui revient au même à

2 2 hB B b b

3+ × + × .

Cette dernière formule est valable que la pyramide soit symétrique ou asymétrique. Quoi qu’il en soit, elle est appliquée à la lettre par le scribe du papyrus de Moscou.

Figure 112. pMoscou no 14, volume du tronc d’une pyramide régulière à bases carrées

Les données du problème sont B = 4, b = 2 et h = 6 et les opérations dé-crites par le scribe sont les suivantes :

(1) on élève B = 4 au carré, ce qui donne 16 ;

(2) on effectue le produit B × b, ce qui donne 2 × 4 = 8 ;

(3) on élève b = 2 au carré, ce qui donne 4 ;

(4) on somme le tout, 2 2B B b b 16 8 4 28+ × + = + + = ;

(5) on calcule h3

, ce qui donne 63

= 2 ;

(6) on multiplie cette valeur par la somme effectuée précédemment :

2 2(tronc pyramide) (tronc pyramide)

hV B B b b V 2 28 56

3= × + × + ⇒ = × = .

Toute la question est donc de savoir comment les Égyptiens anciens sont parvenus à établir cette formule synthétique. Examinons les proposi-tions des différents commentateurs.

SPÉCIMEN

ou, ce qui revient au même à

SPÉCIMEN

ou, ce qui revient au même à

ette dernière formule est valable que la pyramide soit symétrique ou

SPÉCIMENette dernière formule est valable que la pyramide soit symétrique ou

uée à la lettre par le scribe

SPÉCIMENuée à la lettre par le scribe

SPÉCIMEN

. pMoscou n

SPÉCIMEN

. pMoscou no

SPÉCIMEN

o. pMoscou no. pMoscou n

SPÉCIMEN

. pMoscou no. pMoscou n 14,

SPÉCIMEN

14, volume du tronc d’une pyramide régulière à bases carrées

SPÉCIMEN

volume du tronc d’une pyramide régulière à bases carrées

Les données du problème sont B

SPÉCIMEN

Les données du problème sont B =

SPÉCIMEN

= crites par le scribe

SPÉCIMEN

crites par le scribe sont les suivantes

SPÉCIMEN

sont les suivantes

(1) on élève B

SPÉCIMEN

(1) on élève B =

SPÉCIMEN

= 4 au carré, ce qui donne 16

SPÉCIMEN

4 au carré, ce qui donne 16

(2) on effectue le produit B

SPÉCIMEN

(2) on effectue le produit B

(3) on élève b

SPÉCIMEN

(3) on élève b =

SPÉCIMEN

= 2 au carré, ce qui donne 4

SPÉCIMEN

2 au carré, ce qui donne 4

(4) on somme le tout,

SPÉCIMEN

(4) on somme le tout,

(5) on calcule SPÉCIMEN

(5) on calcule

(6) on multiplie cette valeur par la somme effectuée précédemmentSPÉCIMEN

(6) on multiplie cette valeur par la somme effectuée précédemment

VSPÉCIMEN

V

C. CALCULS D’INCLINAISONS - 3. LES PROBLÈMES DE « MÂT APPUYÉ CONTRE UN MUR » 433

Commentaires

Le mât appuyé verticalement contre le mur présente une longueur L= 10 coudées. Quand il se trouve abaissé, l’écartement de sa base par rapport un mur est égal à e = 6 coudées. L’objectif est de calculer de quelle distance d ce mât se trouve abaissé.

Quand il est abaissé, le sommet du mât n’atteint plus le mur qu’à une hauteur h. La distance d demandée est donc égale à (1) d = L – h.

Comme le montre la figure 144, nous pouvons utiliser le théorème dit « de Pythagore » qui nous dit que h2 + e2 = L2 et nous obtenons donc :

(2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2h e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = .

= L – h d = 10 – 8 = 2.

Et ce sont exactement les opérations effectuées par le scribe.

Figure 144. pCaire JE 89129-37-39, problèmes DMP nos 24, 27 et 30,

mâts appuyés contre un mur

u-lé dans le papyrus, mais il peut être mesuré comme suit :

e 6 3cos cos 53,13

L 10 5= ⇒ = = ⇒ = .

432 CHAPITRE V. LA GÉOMÉTRIE

Figure 143. Seqed, setouty et isep

3. Les problèmes de « mât appuyé contre un mur »

Il s’agit d’exercices purement théoriques qui sont présents au verso des fragments démotiques pCaire JE 89129-37-39 (IIIe siècle av. J.-C.).

Et des parallélismes peuvent être établis dans deux textes babyloniens : le problème no 9 de la tablette British Museum 85196 datant de la période paléo-babylonienne (similaire au problème DMP no 27) et le problème no 12 de la tablette British Museum 34568 datant de la période séleucide (similaire au problème DMP no 30)571.

En réalité, les fragments pCaire JE 89129-37-39 présentent une série très complète de huit problèmes (DMP nos 24 à 31) de ce type. Nous pro-posons d’examiner en détail les problèmes nos 24, 27 et 30 d’après les tran-slittérations proposées par Parker572.

Analyse 56. — Problème DMP no 24 du fragment pCaire JE 89139, verso

[Wa xt iw.f ir mH 10, iw.f] aHa. Iw pA ip rv.f r-bl [n mH 6, iV pA hby H]Av.f n-im.f ? PA [ir bAk. Iw.k ir 10, sp 10 : r 100.] Iw.k (ir) 6, sp 6 : r 36. [¥av s Xn 100 : sp 64.] My ifd 64 : r 8. [¥av 8 Xn 10, sp 2. Iw.k Dd : « MH 2 pA ip pA hby HA]v.f n-im.f. »

Traduction

[Soit un mât qui fait 10 coudées, quand il est] dressé. Si sa base est reculée d’un nombre [de 6 coudées, de combien son sommet est-il abaissé] ? La [procédure. Tu dois calculer 10, 10 fois : résultat 100.] Tu dois (calculer) 6, 6 fois : résultat 36. [Soustrais cela de 100 : reste 64.] Calcule sa racine carrée : résultat 8. [Soustrais (cela) de 10 : reste 2. Tu dois dire : « 2 (coudées), (c’est) le nombre dont sa base est reculée. » 571 FRIBERG, Egyptian and Babylonian, p. 108. 572 PARKER, Demotic Papyri, p. 35-37, p. 37-38 et p. 39-39.

SPÉCIMEN

l’écartement de sa base par

SPÉCIMEN

l’écartement de sa base par ’objectif est de calculer de quel

SPÉCIMEN

’objectif est de calculer de quelle

SPÉCIMEN

le

n’atteint plus le mur qu’à une

SPÉCIMENn’atteint plus le mur qu’à une

d = L –

SPÉCIMENd = L – h.

SPÉCIMENh.

, nous pouvons utiliser le théorème dit

SPÉCIMEN, nous pouvons utiliser le théorème dit

et nous obtenons donc

SPÉCIMENet nous obtenons donc :

SPÉCIMEN :

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN2 2

SPÉCIMEN2 2h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 82 2h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2

SPÉCIMEN2 2h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2h e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8h e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8h e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8h e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8h e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 8

SPÉCIMENh e L h L e h L e h 10 6 64 8+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =2 2h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2

SPÉCIMEN2 2h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = =2 2h e L h L e h L e h 10 6 64 82 2 .

SPÉCIMEN.

2.

SPÉCIMEN

2.

SPÉCIMENrations effectuées par le scribe.

SPÉCIMEN

rations effectuées par le scribe.

SPÉCIMEN

Figure 144SPÉCIMEN

Figure 144

A. CALCULS RELATIFS AU PEFSOU – 5. AUTRES PROBLÈMES D’« ÉCHANGES » 481

13.

xprt im pw : 1 200. +bA.f m : 20, 30.

14.

& 10, r 1 000, ir(w) m wDyt 100 HqAt.

15.

• 20 • 1 200 • 50, 10

16.

• 30 • 1 200 • 25, 10, 5

Traduction

∣11 Alors tu calcules de sorte que cette part de 1 000 pains égale ∣12 en heqat de farine : 100 heqat. Calcule fois 12 ; ∣13 de là, le résultat, c’est : 1 200. L’échange est égal à ∣14 1 000 pains de (pefsou) 10, produits avec (une quantité de) farine de 100 heqat ; ∣15 1 200 (pains de pefsou) 20 (avec) 60 (heqat) ; ∣16 1 200 (pains de pefsou) 30 (avec) 40 (heqat).

Commentaires

Il s’agit d’« échanger » un nombre de 1 000 pains (xp) de pefsoup égal à 10 en un nombre équivalent de pains (x) de pefsou1 égal à 20 et de pefsou2 égal à 30.

Le scribe commence par calculer la quantité de céréales (y) dont il dis-pose pour calculer son « échange » :

(1)

p pp

p

x pains x painsy

y 1 000

y 100 10

= ⇒ =

⇒ = =

pefsou heqatheqat pefsou

heqat heqat

L’« échange » est constitué d’une même quantité (x) de pains de pefsou1 égal à 20 et de pefsou2 égal à 30, nous avons donc :

(2) 1 11 1

x pains x painsy

y = ⇒ =pefsou heqat

heqat pefsou

(3) 2 22 2

x pains x painsy

y = ⇒ =pefsou heqat

heqat pefsou

480 CHAPITRE VI. LES PROBLÈMES DIVERS

Traduction

∣1 Un autre (problème). 1 000 pains de (pefsou) 10, à échanger en une quantité de pains (de pefsou) 20 (et de pefsou) ∣2 Il (le scribe) enten-dra :

Vient ensuite le calcul 1 1 1 1 1 11 1 2

20 30 2 30 2 30

+ = + + × = + ×

:

3.

120

1

30

4.

112

1

5.

dmD 212

6.

Ir r gmt 30.

Traduction

∣6 Fais en sorte de trouver 30.

Vient ensuite le calcul de 1

30 2 122

+ =

:

7.

1 2 12

8. \

\ 10 25

9. \

\ 2 5

10.

dmD 12

11.

Ir.xr.k Xrt pA t 1 000 m

12.

wDyt m HqAt : 100 HqAt. Ir sp 12 ;

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

•

SPÉCIMEN• 50,

SPÉCIMEN50, 10

SPÉCIMEN10

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN•

SPÉCIMEN

• 25, 10,

SPÉCIMEN

25, 10, 5

SPÉCIMEN5

e que cette part de 1

SPÉCIMEN

e que cette part de 1 000 pains

SPÉCIMEN

000 pains égale

SPÉCIMEN

égale . Calcule

SPÉCIMEN

. Calcule fois 12

SPÉCIMEN

fois 12 ;

SPÉCIMEN

; ∣

SPÉCIMEN

∣13

SPÉCIMEN

13e que cette part de 1

13e que cette part de 1

SPÉCIMEN

e que cette part de 113

e que cette part de 1de là, le résu

SPÉCIMEN

de là, le résu200. L’échange est égal à

SPÉCIMEN

200. L’échange est égal à ∣

SPÉCIMEN

∣14

SPÉCIMEN

14 ;

14 ;

SPÉCIMEN

; 14 ; 1

SPÉCIMEN

1 000

SPÉCIMEN

000 pains de (

SPÉCIMEN

pains de (produits avec (une quantité d

SPÉCIMEN

produits avec (une quantité de) farine de 100

SPÉCIMEN

e) farine de 100 heqat

SPÉCIMEN

heqat ;

SPÉCIMEN

; ∣

SPÉCIMEN

∣20 (avec) 60

SPÉCIMEN

20 (avec) 60 (

SPÉCIMEN

(heqat

SPÉCIMEN

heqat) ;

SPÉCIMEN

) ; heqat) ; heqat

SPÉCIMEN

heqat) ; heqat ∣

SPÉCIMEN

∣16

SPÉCIMEN

16e) farine de 100

16e) farine de 100

SPÉCIMEN

e) farine de 10016

e) farine de 100 1

SPÉCIMEN

1 200

SPÉCIMEN

200 (pains de

SPÉCIMEN

(pains de

Commentaires

SPÉCIMEN

Commentaires

Il s’agit

SPÉCIMEN

Il s’agit d’

SPÉCIMEN

d’«

SPÉCIMEN

« échanger

SPÉCIMEN

échanger » un nombre de 1

SPÉCIMEN

» un nombre de 110 en un nombre

SPÉCIMEN

10 en un nombre équivalent

SPÉCIMEN

équivalent de pains

SPÉCIMEN

de pains égal à

SPÉCIMEN

égal à 30.

SPÉCIMEN

30.

Le scribe commence

SPÉCIMEN

Le scribe commence par calculer la quantité

SPÉCIMEN

par calculer la quantité pose pour calculer son «

SPÉCIMEN

pose pour calculer son « échange » :

SPÉCIMEN

échange » :

(1) SPÉCIMEN

(1) p

SPÉCIMEN

px pains

SPÉCIMEN

x painsp px painsp p

SPÉCIMEN

p px painsp p

y

SPÉCIMEN

y

y 100 SPÉCIMEN

y 100

SPÉCIMEN

= ⇒ =

SPÉCIMEN

= ⇒ == ⇒ =

SPÉCIMEN

= ⇒ =p p= ⇒ =p p

SPÉCIMEN

p p= ⇒ =p px pains= ⇒ =

x pains

SPÉCIMEN

x pains= ⇒ =

x painsp px painsp p= ⇒ =p px painsp p

SPÉCIMEN

p px painsp p= ⇒ =p px painsp p

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIMEN

SPÉCIM

EN

⇒ = =SPÉCIM

EN

⇒ = =y 100 ⇒ = =y 100 SPÉCIMEN

y 100 ⇒ = =y 100 SPÉCIMEN

SPÉCIM

EN

SPÉCIM

EN

SPÉCIMEN

pefsou

SPÉCIMEN

pefsouppefsoup

SPÉCIMEN

ppefsoupheqat

SPÉCIMEN

heqat

heqatSPÉCIMEN

heqaty 100 heqaty 100 SPÉCIMEN

y 100 heqaty 100 y 100 ⇒ = =y 100 heqaty 100 ⇒ = =y 100 SPÉCIMEN

y 100 ⇒ = =y 100 heqaty 100 ⇒ = =y 100

L’«SPÉCIMEN

L’« échangeSPÉCIMEN

échangeéSPÉCIM

EN

égal à SPÉCIMEN

gal à