B O U R B A K I

É L É M E N T S D EMATHÉMATIQUE

N. BOURBAKI

É L É M E N T S D EMATHÉMATIQUE

FONCTIONSD’UNE

VARIABLE RÉELLE

Théorie élémentaire

123

Réimpression inchangée de l’édition orginale de 1976© Hermann, Paris, 1976

© N. Bourbaki, 1981

© N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

ISBN-10 3-540-34036-X Springer Berlin Heidelberg New YorkISBN-13 978-3-540-34036-2 Springer Berlin Heidelberg New York

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. f Mode d'emploi e ce tralte

NOUVELLE É D I T I O N

1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathéma- tique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathéma- tique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'université.

2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du géné- ral au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé, L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu' il ne possède déjà des connaissances assez étendues.

3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuelle- ment publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants:

Théorie des Ensembles désigné par E Algèbre i' A Topologie générale 3 ) TG Fonctions d'une variable réelle , , FVK Espaces vectoriels topologiques y , EVT Intégration Y ' INT Algèbre commutative ,) AC Variétés différentielles et analytiques ) > VAR Groupes et algèbres de Lie ,? LIE Théories spectrales 3 ' 1's

Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué-ci dessus), chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce Livrc ou dans

ies Livres antérieurs. A partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres etant toujours supposés connus).

4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes Ils sont placés entre deux astérisques: *. . . ., Dans certains cas, il s'agit seulement de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux.

5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fasciculles de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration.

6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les déjnitions, les axiomes, et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de >, >, etc; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de

Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur pro- venance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils d'exercices).

12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, définitions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au no 3), le chapitre et la page où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre est supprimée; par exemple, dans le Livre d'Algêbre,

E, III, p. 32, cor. 3 renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III, page 32 de ce chapitre;

II, p. 23, Remarque 3 renvoie à la Remarque 3 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 23 de ce chapitre.

Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple: EVT, R signifie (( fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topologiques )>.

Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le chapitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question; par exemple :

AC, III, 5 4, no 5, cor. de la prop. 6. Au cas où le Livre cité a été modifié au cours d'éditions successives, on indique en

outre l'édition.

INTRODUCTION

L'objet de ce Livre est l'étude élémentaire des propriétés infinitésimales des fonctions d'une variable réelle; l'extension de ces propriétés aux fonctions de plusieurs variables réelles, ou, à plus forte raison, à des fonctions définies dans des espaces plus généraux, ne pourra être traitée que dans des Livres ultérieurs.

Les propriétés que nous démontrerons sont surtout utilisées lorsqu'elles se rapportent à des fonctions numériques (finies) d'une variable réelle; mais la plupart s'étendent sans nouveau raisonnement aux fonctions d'une variable réelle pre- nant leurs valeurs dans un espace vectoriel de dimensionjnie sur le corps R, et plus généralement à des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topo- logique sur R (voir ci-dessous) ; comme ces fonctions interviennent fréquemment en Analyse, c'est pour elles que nous énoncerons toutes les propriétés qui ne sont pas spéciales aux fonctions numériques.

La notion d'espace vectoriel topologique, dont nous venons de parler, est définie et étudiée en détail au Livre V de ce Traité; mais dans le présent Livre, nous n'aurons besoin d'aucun des résultats du Livre V; seules interviendront quelques définitions que nous allons reproduire ci-dessous pour la commodité du lecteur.

Nous ne reviendrons pas sur la définition d'une espace vectoriel sur un corps commutatif K (A, II, p. 3) .l Un espace vectoriel topologique E sur un coqs topologique K

l Les éléments (ou vecteurs) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K seront notés d'ordinaire dans ce chapitre par des minuscules grasses, les scalaires par des minuscules latines; le plus souvent, nous noterons à droite le scalaire t dans le produit par t d'un vecteur x, produit qui s'écrira donc xt ; éventuellement, nous nous permettrons toutefois d'utiliser la notation à gauche tx dans certains cas où elle sera plus commode; nous écrirons aussi parfois le prodüit du scalaire ljt ( t + O) et du vecteur x sous la forme x/t.

FvR 1.10 INTRODUCTION

est un espace vectoriel sur K muni d'une topologie telle que les fonctions x + y et xt soient continues dans E x E et dans E x K respectivement; une telle topologie est en particulier compatible avec la structure de groupe additif de E. Lorsque le groupe topologique E est complet, on dit que l'espace vectoriel topologique E est complet. Tout espace vectoriel normé sur un corps valué K (TG, IX, p. 31)l est un espace vectoriel topologique sur K.

Soit E un espace vectoriel (muni ou non d'une topologie) sur le corps R des nombres réels; si x, y sont deux points quelconques de E, on appelle segment

fermé d'extrémités x, y l'ensemble des points x t + y( l - t ) lorsque t parcourt l'intervalle fermé (0, 1) de R. On dit qu'une partie A de E est convexe si, quels que soient les points x, y de A, le segment fermé d'extrémités x et y est contenu dans A. Par exemple, une variété linéaire affine est convexe; il en est de même d'un segment fermé; dans Rn, un parallélotope (TG, VI, p. 3) est convexe. Toute intersection d'ensembles convexes est un ensemble convexe.

On dit qu'un espace vectoriel topologique E sur le corps R est localement convexe si l'origine (et par suite tout point de E) possède un système fondamental de voisinages convexes. Tout espace normé E sur R est localement convexe; en effet, les boules llxll < r ( r > O) forment un système fondamental de voisinages de O dans E, et chacune d'elles est un ensemble convexe, car les relations llxll < r, llyll < r entraînent

pour O < t < 1. En particulier, les espaces numériques Rn sont localement convexes.

Enfin, une algèbre topologique A sur un corps topologique (commutatif) K est une algèbre sur K munie d'une topologie telle que les fonctions x + y, xy et x t soient continues dans A x A, A x A et A x K respectivement; lorsqu'on munit seule- ment A de sa topologie et de sa structure d'espace vectoriel sur K, A est donc un espace vectoriel topologique. Toute algèbre normée sur un corps v a b é K (TG, IX, p. 37) est une algèbre topologique sur K.

l On rappelle qu'une norme sur E est une fonction numérique llxll définie dans E, à valeurs finies et 3 O , telle que la relation llxll = O soit équivalente à x = O et qu'on ait

IIx + YII < l l ~ l l + llrll et llxtll = Ilxll.ltl pour tout t E K (Itl étant la valeur absolue de t dans K).

CHAPITRE 1

Dérivées

Ainsi qu'il a été dit dans l'Introduction, nous étudierons dans ce chapitre et le suivant les propriétés infinitésimales des fonctions définies dans une partie du corps R des nombres réels, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topo- logique E sur le corps R; nous dirons pour abréger qu'une telle fonction est une

fonction vectorielle d'une variable réelle. Le cas le plus important est celui où E = R (fonctions numériques finies d'une variable réelle). Lorsque E = Rn, la con- sid3ration dlung fonction vectorielle à valeursdans E revient-à la consid&ation - simultanée de n fonctions numériques finies.

Beaucoup des définitions et propriétés énoncées dans le chapitre 1 s'étendent aux fonctions définies dans une partie du corps C des nombres complexes, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur êI (fonctions vectorielles d'une variable complexe). Certaines de ces définitions et propriété s'étendent même aux fonctions définies sur une partie d'un corps fofiologiyue commutatif quelconque K, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur K.

Nous signalerons ces généralisations au passage (voir en particulier 1, p. 8, Remarque 2), en insistant surtout sur le cas des fonctions d'une variable complexe, de beaucoup le plus important avec celui des fonctions d'une variable réelle, et qui sera étudié de manière plus approfondie dans un Livre ultérieur.

1. Dérivée d'une fonction vectorielle

DÉFINITION 1. - Soit f une fonction vectorielle déJinie dans un intervalle 1 c R, non

- - - - - - - - f (4 - f(_xo) réduit à un point. On dit que f estdérjvable eB un point x, €1 si - l im - -

- x - t x ~ , x s I , x + x ~ X - Xo

FVR 1.12 DÉRIVÉES $ 1

existe (dam l'espace vectoriel où f prend ses valeurs) ; la valeur de cette de limite s'appelle dérivée première (ou simplement dérivée) de f au point x,, et se note f '(x,) ou Df (x,) .

Si f est dérivable au point x,, il en est de même de la restriction de f à tout intervalle J c 1, non réduit à un point et tel que x, E J, et la dérivée de cette res- triction est égale à f f (x , ) . Réciproquement, soit J un intervalle contenu dans 1 et contenant un voisinage de x, par rapport à I ; si la restriction de f à J admet une dérivée au point x,, il en est de même de f.

O n exprime ces propriétés en disant que la notion de dérivée est une notion locale. Remarques. - * 1) En Cinématique, si le point f (t) est la position d'un point mobile

dans l'espace R3 à l'instant t, f ( t ) - * (tO) est ce qu'on appelle la vitesse moyenne du t - to

mobile entre les instants to et t, et sa limite f1(t0) la vitesse instantanée (ou simplement vitesse) à l'instant to (lorsque cette limite existe). ,

2) Si une fonction î, définie dans 1, est dérivable en un point xo E 1, elle est néces- sairement continue par rai-port à I en ce point.

DÉFINITION 2. -Soit f une fonction vectorielle d@ie dans un intervalle 1 c R, et soit x, un point de 1 tel que l'intervalle 1 n [x,, + K I [ (resp. 1 n ) -a, x,)) ne soit pas réduit à un point. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point xo si la res- triction de f à l'intervalle 1 n (x,, +KI( (resp. 1 n ) - co, x,)) est dérivable aupoint x,; la valeur de la dérivée de cette restriction au point x,, s'appelle dérivée à droite (resp. à gauche) de f aupoint x,, et se note fi (x,) (resp. f i (x,)).

Soit f une fonction vectorielle définie dans 1, x , un point intérieur à 1 et tel que f soit continue en ce point; il résulte des déf. 1 et 2 que, pour que f soit dérivable au point x,, il faut et il suffit que f admette en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, et que ces dérivées soient égales; on a alors

f '(x,) = (x,) = f i (x,) .

Exemfiles. - 1) Une fonction constante a en tout point une dérivée nulle. 2) Une fonction linéaire affine x ++ a x + b a en tout point une dérivée égale à a,

donc constante. 3) La fonction numérique l/x (définie pour x # 0) est dérivable en tout point

1 xo # O, car on a - i ) / ( x - 9) = --, et comme I/x est continue au point xo,

xxo la limite de l'expression précédente est - l/x$

4) La fonction numérique 1x1, définie dans R, admet au point x = O une dérivée à droite égale à + 1 et une dérivée à gauche égale à - 1 ; elle n'est donc pas dérivable en ce point.

* 5) La fonction numérique égale à O pour x = 0, à x sin I/x pour x # 0, est définie et continue dans R, mais elle n'admet ni dérivée à droite ni dérivée à gauche au point x = O., On peut donner des exemples de fonctions continues dans un inter- valle et n'ayant de dérivée en aucun point de l'intervalle (1, p. 42, exerc. 2 et 3).

DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle f dgnie dans un intervalle 1 c R est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) dans 1 si elle est dérivable (resp.

No 2 DÉRIVÉE PREMIÈRE FVR 1.13

dérivable à droite, dérivable à gauche) en tout point de 1 ; la fonction x t-t fl(x) (resp. x H f i ( x ) , x H f i (x)) déjnie dans 1, est appelée fonction dérivée ou (par abus de lan- gage) dérivée (resp. dérivée à droite, dérivée à gauche) de f, et se note f ' ou D f ou d f ldx (resp. fi , f,' ) .

Remarque. -Une fonction peut être dtrivable dans un intervalle, sans que sa dérivée soit continue en tout point de cet intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 5); * c'est ce que montre l'exemple de la fonction égale à O pour x = 0, à x2 sin llx pour x + 0; elle a partout une dérivée, mais cette dérivée est discontinue au point x = O.,

2. Linéarité de la dérivation

PROPOSITION 1. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1 c R, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables au point x,, est un espace vectoriel sur R, et f H Df (x,) est une application linéaire de cet espace dans E .

En d'autres termes, si f et g sont définies dans 1 et dérivables au point x,, f + g et fa ( a scalaire quelconque) sont dérivables au point x,, et ont respective- ment pour dérivées en ce point f'(x,) + g'(x,) et ff(x0)a. Cela résulte aussitôt de la continuité de x + y et de x a dans E x E et dans E respectivement.

COROLLAIRE. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1, prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f H Df est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des applicatiom de 1 dans E.

Remarque. - Si on munit de la topologie de la convergence simple (ou de la topo- logie de la convergence uniforme) l'espace vectoriel des applications de 1 dans E et le sous-espace des applications dérivables (cf. TG, X, p. 4), l'application linéaire f F+ Df n'est pas continue en général); * par exemple, la suite des fonctions f,(x) = sin n2x/n converge uniformément vers O dans R, mais la suite des dérivées f,'(x) = n cos nax ne converge pas simplement vers O.,

PROPOSITION 2. - Soient E et F deux espaces vectorie1.r topologiques sur R, u une applica- tion linéaire continue de E dans F. Si f est une fonction vectorielle définie dans un intervalle 1 c R, prenant ses valeurs dans E et dérivable au point xo E 1, la fonction composée u o f admet au point xo une dérivée égale à u( f ' (x,) ) .

En effet, comme ~ ( f ( x ) ) - u(f(xo)) X - X o

= u (f - ( xO) ) ) cela résulte de la X - Xo

continuité de u.

COROLLAIRE. - S i (P est une forme linéaire continue dans E , la fonction numérique @ O f admet au point x, une dérivée égale à ( ~ ( f ' (x , ) ) .

Exemjles. - 1) Soit f = (f,),,,,, une fonction à valeurs dans Rn, définie dans un intervalle 1 c R; chacune des fonctions numériquesf, n'est autre que la fonction composée pr, o f, donc est dérivable au point xo si f l'est, et on a alors f'(xo) = (f((xo))iai

FVR 1.14 FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE 4 1.

* 2) En Cinématique, si f ( t ) est la position d'un mobile M à l'instant t , g( t ) la position au même instant de la projection M' de M sur un plan P (resp. une droite D) parallèlement à une droite (resp. un plan) non parallèle à P (resp. à D), g est corn- posée de la projection u de R3 sur P (resp. D) et de f; comme u est une application linéaire (continue), on voit que la projection de la vitesse d'un mobile sur un plan (resp. une droite) est égale à la vitesse de la projection du mobile sur le plan (resp. la droite).,

3) Soic f une fonction à valeurs complexes, définie dans un intervalle 1 c R, et soit a un nombre complexe quelconque; la prop. 2 montre que si f est dérivable en un point xo E 1, il en est de même de af, et la dérivée de cette fonction au point xo est égale à af' ( xo ) .

3. Dérivée d'un produit

Considérons maintenant p espaces vectoriels topologiques E, (1 < i < p) sur R, et une application multilinéairel continue (que nous noterons

( x 1 , x 2 . .+,) ++ t - ~ l . ~ , . . . x p I ) de El x E , . . . x E, dans un espace vectoriel topologique F sur K.

PROPOSITION 3. - Pour chaque indice i ( 1 < i < P), soit fi une fonction définie dans un intervalle I c R, prenant ses valeurs dans E,, dérivable au point xo E 1. Alors la fonction

définie dans 1 et à valeurs dans F , admet au point xo une dérivée égale à

Posons en effet h(x) = [ f l ( x ) . f 2 ( x ) . . . 5 ( x ) ] ; en vertu de l'identité

[b, . b, . . . b , ] - [a, . a,. . . a , ] = 5 [b, . . . b,. . (b, - ai) .ai+ l . . . a p ] , i = l

on peut écrire Y

h ( x ) - W O ) = 1 .2 = 1 [ f l ( 4 . .fi - 1 ( 4 ( ("4 - f i ( x 0 ) ) . f i + l b O ) . . . f p ( x o ) l . 1

Multipliant les deux membres - et faisant tendre x vers xo dans 1, on obtient X - X o

bien l'expression (1), en tenant compte de la continuité de

et de la continuité de l'addition dans F. Rappelons (A, II, p. 71) qu'une application f de El x E, x - . x E, dans F est dite multi-

linéaire si toute application partielle

de Et dans F (1 < i < p), les a, d'indice f étant quelconques dans les Ej, est une application linéaire. On notera que si les El et F sont des espaces de dCmensionjnie sur R, toute application rnultilinéaire de El x E, x . . . x E, dans F est nécessairement continue; il n'en est pas de m&me si certains de ces espaces sont des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie.

No 3 DÉRIVÉE PREMIÈRE FVR 1.15

Lorsque certaines des fonctions f , sont des constantes, les termes de l'expression (1) contenant les ddrivées f[(xo) de ces fonctions sont nuls.

Nous expliciterons le cas particulier p = 2, le plus important pour les applica- tions: si (x, y) ++ [x.y] est une application bilinéaire continue de E x F dans G (E, F, G espaces vectoriels topologiques sur Et), f et g deux fonctions vectorielles dérivables au point x,, prenant leurs valeurs respectivement dans E et F, la fonc- tion vectorielle x ++ [f ( x ) . g(x)] (qu'on note encore [f. $1) admet au point x, une dérivde égale à [f'(x,) . g(xo)] + [f (xo) . g1(x0)]. En particulier, si a est un vecteur constant, [a.f] (resp. [f.a]) admet au point x, une dérivée égale à [a$'(x,)] (resp: [f(x,).a]), - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si f et g sont toutes deux dérivables dans 1, il en est donc de même de [f. g], et on a

Exemples. - 1) Soient f une fonction numérique, g une fonction vectorielle, toutes deux dérivables en un point xo; la fonction g f admet au point x0 une dérivée égale à g'(xo) f (xo) + g(xo)f'(xo). En particulier, si a est un vecteur constant, af admet une dérivée égale à af'(xo). Cette dernière remarque, jointe à l'exemple 1 de 1, p. 13, prouve que si f = (fi)l est une fonction vectorielle à valeurs dans Rn, pour que f soit dérivable au point xo, il faut et il suffit que chacune des fonctions numériques A(l ,( i < n) le soit: car, si (e,), ,,,, est la base canonique de Rn, on peut écrire

n

f = C elfi. i n 1

2) La fonction numérique xn provient de la fonction multilinéaire

définie dans Rn, par substitution de x à chacun des xi; la prop. 3 montre donc que xn f i t dérivable dans R ega pouil dérivée nxn-L Itenrésnlte-que lafonction polynômGe aoxn + alxn-l+ . . + an-,x + an (a, vecteurs constants) a pour dérivée

lorsque les al sont des nombres réels, cette fonction coïncide avec la dérivée d'une fonction polynôme définie en Algèbre (A, IV).

3) Le produit scalaire euclidien (x'ly) (TG, VI, p. 8) est une application bilinéaire (nécessairement continue) de Rn x Rn dans R. Si f et g sont deux fonctions vectorielles à valeurs dans Rn, dérivables au point xo, la fonction numérique x H (f(x) 1 g(x)) a au point xo une dérivée égale à (f'(xo) 1 g(xo)) + (f (x,) 1 g'(xo)). On a un résultat analogue pour le produit scalaire hermitien dans Cn, ce dernier espace étant considéré comme espace vectoriel sur R.

Considérons en particulier le cas où la norme euclidienne Il f (x) II est constante, et par suite aussi (f (x) 1 f (x)) = Il f (x) 11 2; en écrivant que la dérivée de (f (x) 1 f (x)) est nulle au point xo, il vient (f(xo) 1 f'(xo)) = O, autrement dit, ff(xo) est un vecteur orthogonal à f (xo).

4) Si E est une algèbre to#ologique sur R (cf. Introduction), le produit xy de deux tléments de E est fonction bilinéaire continue de (x, y); si f et g prennent leurs valeurs dans E et sont dérivables au point xo, la fonction x H f ( x ) ~ ( x ) admet au point xo une dérivée égale à f'(xo)g(xo) + f (xo)gl(xo). En particulier, si U(x) = (q(x)) , Vix) = @,,(+Y)) sont deux matrices surrées d'ordre 71, dérivables an paintlco, feur prodult

FVR 1.16 DÉRIVÉES 9 1

UV admet en ce point une dérivée égale à la matrice U1(x0) V(xo) 4 U(xo) Vf(xo) (avec Uf(x) = (ul,(x)) et Vf(x) = (P;(x))).

5) Le déterminunt det(xl, x2, . . . , x,) de n vecteurs x, = (xi,)=

DÉRIVÉE PREMIÈRE FVR 1.17

2) Si U = ( z I j ( x ) ) est une matrice carrée d'ordre n, dérivable au point xo et in- versible en ce point, U- l admet au point xo une dérivée égale à - U-lU'U-l.

5. Dérivée d'une fonction composée

PROPOSITION 5. - Soient f une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, et g une fonction vectorielle dgnie dans un intervalle de R contenant f (1). Si f est dérivable au point x, et g dérivable au point f (x,), la fonction composée g 0 f admet au point x, une dérivée égale à g' (f (x,) ) f ' (x,) .

En effet, posons h = g of; on peut écrire, pour x # x,,

dans le cas contraire. Lorsque x tend vers x,, f (x) a pour limite f (x,), donc u ( x ) a pour limite gr( f (x,)), d'où la proposition en vertu de la continuité de la fonction yx dans E x R.

6. Dérivée d'une fonction réciproque

PROPOSITION 6. -Soit f un homéomorphisme d'un intervalle 1 c R sur un intervalle J = f (1) c R, et soit g l'homéomo~hisme récipr~que.~ Si f est dérivable au point x, E 1, et si f '(x,) # O , g admet aupoint y, = f (x,) une dérivée égale à 11 f '(x,) .

En effet, pour tout y E J, on ag(y) E 1 et u = f ( g ( y ) ) ; on peut donc écrire, pour Y f Yo, g(y) - g(yO) = g(y ) - Lorsque y tend vers y, en restant dans J

Y - Y 0 f ( g ( y ) ) - f ( x o ) et f y,, g ( y ) tend vers x, en restant dans 1 et f x,, et le second membre de la formule précédente a donc une limite égale à 11 f '(x,), puisque par hypothèse f ' ( x 0 ) f 0.

COROLLAIRE. - Si f est dérivable dans 1 et si f ' ( x ) # O dans 1, g est dérivable dans J et sa dérivée en tout point y E J est égale à 1 / f ' (g( y)).

Par exemple, pour tout entier n > O, la fonction x1In, homéomorphisme de R + sur 1 LI. lui-même, réciproque de xn, a pour dérivée en tout point x > 0, - xn n

On en déduit aisément, d'après la prop. 5, que, pour tout nombre rationncl r = P / q > O, la fonction x7 = (xl'q)' a pour dérivée rxT-l en tout point x > 0.

Remarques. - 1) Toutes les propositions qui précèdent, énoncées pour des fonc- tions dérivables en un point xo, donnent aussitôt des propositions pour des fonctions dérivables à droite (resp. à gauche) en xo, en considérant au lieu de ces fonctions,

Pour que f soit un homéomorphisme de 1 sur une partie de R, on sait qu'il faut et il suffit que f soit continue et strictement monotone dans 1 (TG, IV, p. 9, th. 5).

FVR 1.18 DÉRIVÉES $ 1

leurs restrictions à l'intersection de l'intervalle où sont définies ces fonctions et de l'intervalle [x,, + CO[ (rcsp.) - CO, x,)) ; nous laissons au lecteur le soin de lcs énoncer.

2) Les définitions et propositions qui précèdent (à l'exception de ce qui concerne les dérivées à droite et dérivécs à gauche) s'étendent aisément au cas où on remplace

par un corps topologique commutatif quelconque K, et les espaces vectoriels topo- logiques (resp. algèbres topologiques) sur R par des espaces vectoriels topologiques (resp. algèbres topologiques) sur K. Dans la déf. 1 et les prop. 1, 2 et 3, il suffit de remplacer I par un voisinage de xo dans IC; dans la prop. 4, il faut supposer de plus que l'application y H y- l est définie et continue dans un voisinage de f (x,) dans E. La prop. 5 se généralise de la façon suivante: soient K' un sous-corps du corps topologique K, E un espace vectoriel topologique sur K; soit f une fonction définie dans un voisinage V c K' de xo E Kt, à valeurs dans K (considéré comme espace vectoriel topologique sur K'), dérivable au point x,. et soit g une fonction définie dans un voisinage de f (x,) E K, à valeurs dans E, ct dérivable au point f (x,) ; alors l'applica- tion g of est dérivable au point x, et a une dérivée en ce point égale à g'( f (x,)) f'(xo) (E étant alors considéré comme espace vectoriel topologique sur K').

Avcc les mêmes notations, soit f une fonction définie dans un voisinage V de a E K, à valeurs dans E, et dérivable au point a; si a E K' et n'est pas point isolé dans K', la restriction de f à V n K' est dérivable au point a, et a pour dérivée f ' (a) en ce point. Ces considérations s'appliqueront surtout, en pratique, au cas où K = C et K' = R.

Enfin, la prop. 6 s'étend au cas où on remplace 1 par un voisinage de xo G K, etf par un homéomorphisme de I sur un voisinage J = f (1) deyo = f (xo) dans K.

7. Dérivées des fonctions numériques

Les définitions et propositions qui précèdent se complètent sur quelques points lorsqu'il s'agit de fonctions numériques (finies) d'une variable réelle.

Tout d'abord, si f est une telle fonction, définie dans un intervalle 1 c R, et continue par rapport à 1 en un point x, E 1, il peut se faire, lorsque x tend vers x,

en restant dans 1 et + x,, que - (XO) ait une limite égale à + CO ou à - a; X - Xo

on dit alors encore que f est dérivable au point x, et a pour dérivée en ce point +co (resp. -a) ; si, en tout point x de 1, la fonction f a une dérivée (finie ou infinie) f'(x), la fonction f' (à valeurs dans R) est encore appelée la fonction dérivée (ou simplement la dérivée) def. On généralise de même les définitions de la dérivée à droite et de la dérivée à gauche.

Exemple. -Au point x = O, la fonction x % (fonction réciproque de x3, homéo- sur lui-même) admet une dérivée égale à + co ; la fonction 1x1 %

admet au point x = O une dérivée à droite égale à + cc et une dérivée à gauche égale à - co.

Les formules donnant la dérivée d'une somme, d'un produit de fonctions numériques dérivables, ou de l'inverse d'une fonction dérivable (prop. 1, 3 et 4) ainsi que la dérivée d'une fonction (numérique) composCe (prop. 5) sont encore valables lorsque les dérivées qui y figurent sont infinies, pourvu que toutes les

No 7 DÉRIVÉE PREMIÈRE FVR 1.19

expressions intervenant dans ces formules aient un sens (TG, IV, p. 15-16). Enfin, dans la prop. 6, si on suppose que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) et continue dans 1, et si f '(x,) = O, la fonction réciproque g admet au point y, = f (x,) une dérivée égale à + co (resp. - a ) ; si f'(x,) = +co (resp. - co), g admet une dérivée égale à O. On a des résultats analogues pour les dérivées à droite et dérivées à gauche, que nous laissons au lecteur le soin d'énon- cer.

Soit C le graphe ou courbe représentative d'une fonction numérique finief, partie du plan R2 formée des points (x, f (x)) où x parcourt l'ensemble où f est définie. Si, en un point x, E 1, la fonction f a une dérivée à droite finie, la demi-droite ayant comme origine le point Mx, = (x,, f (x,)) de C, et pour paramètres direc- teurs (1, f,'(x,)) est appelCe demi-tangente à droite à la courbe C au point Mxo; lorsque f,' (x,) = +co (resp. f,' (x,) = -a), on appelle encore ainsi la demi- droite d'origine Mx, et de paramètres (0, 1) (resp. (O, - 1)). On définit de même la demi-tangente à gauche au point Mx,, lorsque fi (x,) existe. Avcc ces définitions, on vérifie aussitôt que l'angle que fait la demi-tangente à droite (resp. à gauche) avec l'axe des abscisses, est la limite de l'angle que fait avec cet axe la demi-droite d'origine Mx, passant par le point Mx = (x, f (x)) de C, lorsque x tend vers x, en restant > x, (resp. < x,) .

On peut dire aussi que la demi-tangente à droite (resp. à gauche) est la limite de la demi-droite d'origine Mx, passant par Mx, en considérant sur l'ensemble des demi- droites de même origine, la topologie de l'espace quotient C*//Rf (TG, VIII, p. 9).

Si les deux demi-tangentes en un point Mx, de C existent, elles ne sont opposées que lorsque f a une dérivée (finie ou non) au point x, (supposé intérieur à 1) ; elles ne sont identiques que lorsque f,' (x,) et f,' (x,) sont infinies et de signes contraires. Dans les deux cas, on dit que la droite qui contient les deux deini- tangentes est la tangente à C au point Mx,.

Lorsque la tangente en M,, existe, elle est la limite de la droite passant par Mx, et Mx, lorsque x tend vers xo en restant # x o , la topologie sur l'ensemble des droites passant par un même point étant celle de l'espace quotient C*/R* (TG, VIII, p. 15).

Les notions de tangente et de demi-tangente à une courbe représentative sont des cas particuliers de notions génPrales qui seront définies dans la partie de ce Traité consacrée aux variétés différentielles.

DÉFINITION 4. - On dit qu'une fonction numériquejnief, définie dans une partie A d'un espace topologique E, admet un maximum relatif (resp. maximum relatif strict, minimum relatif, minimum relatif strict) en un point x, E A, par ratport à A, s'il existe un voisinage V de x, dans E tel qu'en tout point x E V n A dzférent de x,, on ait f (x) < f (x,) (resp. f ( x ) < f (xo), f ( x ) >f(xo), f ( 4 >f(xo)).

Il est clair que si f atteint sa borne supérieure (resp. inférieure) dans A en un point de A, elle a un maximum relatif (resp. minimum relatif) par rapport à A en ce point; la réciproque est bien entendu inexacte.

FVR 1.20 DÉRIVÉES § 2

On notera que si B c A, et si f admet (par exemple) un maximum relatif en un point xo E B, par rapport à B, f n'admet pas nécessairement un maximum relatif par rapport à A en ce point.

PROPOSITION 7. - Soit f une fonction numériquejinie, déJinie dans un intervalle 1 c R. Si, en un point x,, intérieur à 1, f admet un maximum relatif (resp. un minimum relatif) et a en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, on a fi (x,) < O et f,' (x,) 2 O (resp. fi (x,) 2 O et f,' (x,) < O) ; en particulier, si f est dérivable au point xo, on a

f ' ( x o ) = 0. La proposition résulte trivialement des définitions.

On peut dire encore que si en un point x, intérieur à 1 la fonction f est dériv- able et admet un maximum ou minimum relatif, la tangente à sa courbe représen- tative est parallèle à l'axe des abscisses. La réciproque est inexacte, comme le montre l'exemple de la fonction x3 qui a une dérivée nulle au point x = O, mais n'a ni maximum ni minimum relatif en ce point.

8 2. LE THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS

Dans les propositions démontrées au § 1, hypothèses et conclusions ont un carac- tère local: elles ne font intervenir que des propriétés des fonctions considérées dans un voisinage arbitrairement petit d'un point fixe. Au contraire, les questions dont nous allons nous occuper dans ce paragraphe font intervenir les propriétés d'une fonction dans tout un intervalle.

1. Théorème de Rolle

PROPOSITION 1 ((< théorème de Rolle )>). - Soit f une fonction numériquejinie et continue dans un intervalle fermé 1 = (a, b) (où a < b), admettant en tout point de )a, b( une dérivée (finie ou non), et telle que f (a) = f (b). Il existe alors un point c (au moins) de )a, b( tel que f ' (c) = 0.

La proposition est évidente si f est constante; sinon f prend par exemple des valeurs > f (a), et atteint donc sa borne supérieure en un point c intérieur à 1 (TG, IV, p. 27, th. 1). Comme en ce point f admet un maximum relatif, on a f (c) = O (1, p. 20, prop. 7).

COROLLAIRE. - Soit f une fonction numérique jinie et continue dans (a, b) (où a < b), admettant en tout point de )a, b( une dérivée (finie ou non). I l existe alors un point c (au moins) de )a, b( tel que f (b) - f (a) = f '(c) (b - a).

Il suffit d'appliquer la prop. 1 à f (x ) = f (b) -f (a) ( x - a). b - a

No 2 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS FVR 1.21

Ce corollaire signifie qu'il existe un point Mc = (c, f (c)) de la courbe repré- sentative C de f tel que a < c < b et qu'en ce point la tangente à C soitparallèle à la droite joignant les points Ma = (a, f (a)) et M, = (6, f (b)).

2. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques

Du corollaire de la prop. 1 résulte en particulier l'importante propriété suivante :

si on a m t f ' ( x ) t M dans )a, b(, on a aussi rn t (') - G M. Autrement b - a

dit, d'une majoration de la dérivée f' dans tout un intervalle d'extrémités a, b

résulte la même majoration du rapport -

(rapport de 1' u accroissement O b - a

de la fonction à 1' (( accroissement de la variable dans l'intervalle). Nous allons dans ce qui suit préciser et généraliser ce résultat fondamental.

PROPOSITION 2. - Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé borné 1 = (a, b) (où a < b), et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b(: d'une partie dénombrable A de cet intervalle. Si f,' (x) 2 O en tout point x de (a, b( n'appartenant pas à A, on a f (b) P f (a) ; si en outre f,' (x) > O en unpoint au moins de (a, b(, on a f (6) > f (a).

Soit E > O un nombre arbitraire, et désignons par (a,),,, une suite obtenue en rangeant dans un certain ordre les points de l'ensemble dénombrable A. Soit J l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout x tel que a t x t y, on ait

la somme du second membre étant étendue à l'ensemble des indices n tels que a, < x. Nous allons démontrer que si f,' (x) 2 O en tout point de (a, b( distinct des a,, on a J = 1.

Il est clair que J n'est pas vide, puisque a E J; d'autre part, la définition de cet ensemble montre que si y E J, on a x E J pour a t x t y, donc J est un intervalle d'origine a (TG, IV, p. 7, prop. 1) ; soit c son extrémité. On a c E J; c'est évident si c = a; sinon, pour tout x < c, on a l'inégalité (l), et a fortiori

d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte (en raison de la con- tinuité de f ) que c satisfait à (1).

Cela étant, nous allons voir qu'on a nécessairement c = b. En effet, si on avait c < b, ou bien on aurait c $ A; alorsf,' (c) existerait, et comme f,' (c) 2 O par hypothèse, il existerait un y tel que c < y t b et que pour c t x t y, l'on ait

FVR 1.22 DÉRIVÉES

d'où, en tenant compte de ( l ) , où x est remplacé par c

ce qui signifie qu'on aurait y E J, contrairement à la définition de c. Ou bien on aurait c = a, pour un indice k; comme f est continue au point ak, il existerait un y tel que c < y < b et que, pour c < x < y, on ait

d'où, en tenant compte de ( l ) , où x est remplacé par c,

ce qui entraîne de nouveau contradiction; on a donc bien c = 6, et par suite

Comme E > O est arbitraire, on déduit de ( 2 ) qu'on a f (b ) 2 f (a ) , ce qui démontre la première partic de la proposition.

Remarquons maintenant que ce résultat appliqué à un intervalle (x , y ) où a x < y < b, prouve que f est croissante dans 1 ; si on avait f (b) = f (a ) , on en déduirait que f est constante dans 1, et par suite que fd ( x ) = O en tout point de [a, b [ ; d'où la seconde partie de 1'Cnoncé.

COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejinie et continue dans (a, 6 ) (où a < 6 ) et admettant une dLrivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[ d'une partie dénombrable A de ce1 iniervalle. Pour que f soit croissante dans 1, il faut et il sufit que f,' ( x ) 3 O en tout point de (a, b[ n'appartenantpas à A; pour que f soit strictement croissante, il faut et il sufit que la condition précédente soit vériJ;ée, et en outre que 17en.remble de5 points x où f i ( x ) > O soitpartout dense dans [a, b).

Remarques. - 1) La prop. 2 reste valable quand on remplace dans son énoncé l'intervalle ( a , b( parla, b ) et les mots par .

2) L'hypothèse de la continuité de f dans l'intervalle fermC 1 (et non seulement sa continuité à droite1 en tout point de (a, b ( ) est esscntiellc pour la validité de la prop. 2 (cf. 1, p. 43, exerc. 8).

3) La conclusion de la prop. 2 devient inexacte si on suppose seulement que l'ensemble A des points est rare dans 1, mais non dénombrable (cf. 1, p. 447 exerc. 3).

La prop. 2 entraîne le théorème fondamental suivant (en apparence plus général) :

Une fonction définie dans un intervalle 1 c R est dite continue à droite en un point xo E 1 si sa restriction à l'intervalle 1 n ( x o , + co( est continue au point xa par rapport à cet intervalle; il revient au même de dire que la limite à droite de la fonction au point x, existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

No 3 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS F I N I S FVR 1.23

THEORÈME 1 (théorème des accroissements finis). -Soient f et g deux fonctions numéripuesjinies et continues dans un intervalle fermé borné I = [a, b), et admettant une dérivée à droite (finie o u non) en tous les points du comnplémentaire par rapport à [a, b[ d'une partie dénombrable de cet intervalle. On suppose en outre que f,' ( x ) et gd ( x ) ne peuvent devenir injnis simultanément qu'aux points d'une partie dénombrable de 1 et qu'il existe deux nombresfinis m, M tels que

sauf aux points d'une partie dénombrable de 1 ( e n remplacant M .gd (x) (resp. m . g i ( x ) ) par O si M = O (resp. m = O ) e t g i (x ) = I: a). Dans ces conditions, on a

sauf lorsqu'on a f ( x ) = M . g ( x ) + k, o u f ( x ) = m.g(x) + k (k constante) pour tout x E 1.

II suf i t d'appliquer la prop. 2 aux fonctions M . g - f et f - m.g, qui, e n vertu des hypothèses faites, ont u n e dérivée à droite positive sauf aux points d'une partie dénombrable de 1.

Remarque. - Le th. 1 est inexact si on suppose dans l'énoncé que fi et gi peuvent simultanément infinis aux points d'une partie non dénombrable de 1 (cf. 1, p. 44, exerc. 3).

COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejnie et continue dans (a, 6) (où a < b) et admettant une dérivée à droit (finie o u non) en tous les points du complémentaire B par rapport à (a, b( d'une partie dénombrable de cet intervalle. Si m et M sont les bornes in- férieure et supérieure de f,' dans B, on a

( 5 ) m(b - a) < f (b) - f (a) - M ( b - a) si f n'estpas une fonction linéaire ajîne; si f est linéaire a$1ne, on a

Les inégalités ( 5 ) sont des conséquences de (4) lorsque m et M sont finis; le cas o ù l'un o u l'autre d e ces nombres est infini est trivial.

Remarque, -Les inégalités (5) prouvent qu'une fonction continue ne peut avoir une dérivée à droite égale à +CO en tout point d'un intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 6).

3. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorlelles

T H É O R È M E 2. - Soit f une fonction vectorielle d&nie et continue dans un intervalle fermé borné 1 = (a, b) de R (où a < b) et prenant ses valeurs dans un espace normé E sur soit g une fonction numérique continue et croissante dans 1. On suppose que f et g admettent une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[ d'une partie

FVR 1.24 DÉRIVÉES 5 2

dénombrable A de cet intemalle (ga(x) pouvant être infinie en certains des points x $ A), et qu'en chacun de ces points on a

(6) I l fd' (x) II < &(x).

La démonstration suit une marche tout à fait analogue à celle de la prop. 2. Soient E > O un nombre arbitraire, et (a,) la suite obtenue en rangeant dans un certain ordre les points de A. Soit J l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout x tel que a < x < y, on ait

nous allons montrer que J = 1. On voit d'abord, comme dans la prop. 2, que J est un intervalle d'origine a; si c est son extrémité, on a c E J; en effet, pour tout x < c, on a la relation (8), et a fortiori

d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte, en raison de la con- tinuité de f, que c satisfait à (8).

Montrons qu'on a nécessairement c = 6. En effet, supposons c < 6, et d'abord que c $ A; f i (c) et gd(c) existent donc et vérifient (6) ; supposons en premier lieu que ga(c) (qui est nécessairement 2 O) soit finie; alors on peut toujours écrire f,' (c) = ugd(c), avec llull 6 1 ; la fonction f (x) - ug(x) ayant au point c une dérivée à droite nulle, il existe un y tel que c < y < b et que, pour c < x < y, on ait

et, en tenant compte de (8), où x est remplacé par c

On aurait donc y E J, ce qui est contradictoire. Supposons ensuite qu'on ait c $ A et ga(c) = +CO; il existe alors un y tel que c < y 6 b et que, pour c < x < y, on ait, d'une part

llf(x) - f(c)ll < (Ilfi(c>ll + 1) (X - 6)

No 3

et d'autre part

FVR 1.25

d'où

e t o n conclut comme précédemment. Enfin, si o n a c = a,, il existe un y tel que c < y < b et que, pour c < x < y , o n ait

d'où en, tenant compte d e (8), o ù x est remplacé par c,

ce qui entraîne de nouveau contradiction. L a démonstration se termine comme celle de la propr. 2.

C.Q.F.D.

Remarques. - 1) Ici encore, on peut remplacer dans l'énoncé du th. 2 l'intervalle (a, b ) par )a, b ) et

FVR 1.26 DÉRIVÉES

Il suffit e n e f f e t d'appliquer le th. 2 e n remplaçant f par la fonction

et g par la fonction linéaire dont la dérivée est sup Ilfi (2 ) - f i (x,) 1 1 . z e B , x < z < y

L e th. 2 s'étend aux fonctions vectorielles d'une variable complexe:

PROPOSITION 4. - Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe déJinie, continue et dérivable dans une partie ouverte convexe A du corps C , à valeurs dans un espace normé E sur le corps C . Si on a Ilf'(z) I I < mpour tout z E A, on a /If ( 6 ) - f (a) I I < m 1 6 - a 1 pour tout couple de points a, b de A.

1 Posons e n e f fe t g ( t ) = --- f ( a + t (b - a ) ) pour O < t < 1; comme

6 - a g t ( t ) = f f ( a + t(b - a ) ) , l'application d u th. 2 à la fonction g donne aussitôt la proposition.

COROLLAIRE. - Pour qu'une fonction vectorielle f d'une variable complexe, d@ie et continue dans un ensemble A c C , à valeurs dans un espace normé sur C, soit constante, il sufit qu'elle ait une dérivée nulle en tout point de A.

E n effet , soit a u n point quelconque de A; l'ensemble B des points z de A o ù f ( z ) = f (a) est fermé puisque f est continue; il est aussi ouvert par application de la prop. 4 (avec m = 0) à u n voisinage ouvert convexe, contenu dans A, d 'un point quelconque de B ; donc il est identique à A.

PROPOSITION 5. - Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe, déJinie, continue et dérivable dans un ensemble ouvert convexe A c C, à valeurs dans un espace normé sur le corps C ; quels que soient les points x,, x et y dans A, on a

(10) Ilf ( Y ) - f (4 - f'(x0) (Y - 4 I l < lY - xl - sup IlfW - f '(x0) I l . .ZE A

II suffit d'appliquer le th . 2 à la fonction

g ( t ) = f ( x + t(y - x ) ) - f t ( x0) ( y - x) t dans l'intervalle (0 , 1).

4. Continuité des dérivées

PROPOSITION 6. -$oient 1 un intervalle ouvert de R, x, une des extrémités de 1, f une fonction vectorielle d@nie et continue dans 1, prenant ses valeurs dans un espace norme' complet E sur R; on suppose que f admet une dérivée à droite aux points du complémentaire B, par rapport à 1, d3unepartie dénombrable de 1. Pour que fi ( x ) ait une limite lorsque x tend vers x, en restant dans B et # x,, il faut et il su@ que f ( y ) - (') ait une limite c lorsque

Y - x (x, y ) tend vers (x,, x,) de sorte que x E 1, y E 1, x # x,, y # xo et x # y. Dans ces condi-

No 4 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS FVR 1.27

tions, f se prolonge par continuité au point x,, f i ( x ) tend vers c lorsque x tend vers x, (en restant dans B) et la fonction f prolongée (définie dans 1 c {x,)) admet au point xo une dérivée égale à c.

Supposons par exemple que x, soit l'extrémité de 1. Montrons d'abord que si

fd (x) tend vers e lorsque x tend vers x, en restant dans B et # x,, (Y) -f tend Y - x

vers c; cela résulte aussitôt du th. 2 appliqué à la fonction f (2) - cz, qui donne

pour x < y < x,. Inversement, si f (y) - f ( x ) tend vers c, pour tout E > 0, il Y - X

existe h > O tel que les conditions lx - x,l < h, ly - x,l < h (x # x,, y # x,) entraînent

Mais pour tout x E B et # x,, tel que lx - x,l < h, il existe k > O (dépendant de x) tel que la relation x < y < x + k entraîne

d'où, en tenant compte de (1 1) :

pour lx - x,l < h, x E B et x # x,, ce qui prouve que f i (x) tend vers c. En outre, de la relation (1 1) on tire d'abord que

ce qui prouve (critère de Cauchy) que f a une limite d au point x,, lorsque x tend vers ce point en restant dans 1 et # x,; faisant alors tendre x vers x, dans (1 l), il vient ,poury~I,y # x,et Iy - x,l C h,

ce qui prouve que c continuité à 1 r\ (x,).

est la dérivée au point x, de la fonction f prolongée par

Remarque. - Un raisonnement analogue, basé sur le th. 1, montre que si f est une fonction numérique telle que f,' ( x ) tende vers + co au point xo, le rapport

( f (Y ) - f ( x ) ) l ( y - x ) tend aussi vers +a, et réciproquement; si en outre f a une limite finie au point xo (ce qui ici n'est plus une conséquence de l'hypothèse), la fonction f prolongée au point xo par continuité a une dérivée égale à +CO en ce point.

FVR 1.28

3 3. DERIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR

1. Dérivées d'ordre n

Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie, continue et dérivable dans un intervalle 1. Si la dérivée f ' existe dans un voisinage (par rapport à 1) d'un point x, E 1, et est dérivable au point x,, sa dérivée est appelée la dérivée seconde de f au point x,, et se note f1'(x,) ou D2f(x,). Si cette dérivée seconde existe en tout point de 1 (ce qui implique que f ' existe et est continue dans 1), x i-t f "(x) est une fonction vectorielle qu'on désigne par la notation f " ou D2f. Par récurrence, on définit de même la dérivée n-ème (ou dérivée d'ordre n) de f, qu'on note f(n) ou Dnf; par définition, elle a pour valeur au point x, E 1 la dérivée de la fonction f(n-l) au point x,: cette définition suppose donc l'existence de toutes les dérivées f(k) d'ordre k 6 n - 1 dans un voisinage de x, par rapport à 1, et la dérivabilité de f(" au point x,.

On dira que f est n fois dérivable au point x, (resp. dans un intervalle) si elle admet une dérivée n-ème en ce point (resp. dans cet intervalle). On dit que f est ind$iniment dérivable dans 1 si, pour tout entier n > O, elle admet une dérivée d'ordre n dans 1.

Par récurrence sur rn, on voit que

De façon précise, lorsque l'un des deux membres de (1) est défini, l'autre est défini et lui est égal.

PROPOSITION 1. - L'ensemble des fonctions uectorielles déjïnies dans un intervalle 1 c R, prenant leurs valeurs dans un même espace uectoriel topologique E, et admettant une dérivée n-èrne dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f i-t Dnf est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des applications de 1 dans E.

On démontre en effet par récurrence sur n les formules

lorsque f et g ont une dérivée n-ème dans 1 (a constante).

PROPOSITION 2 ((< formule de Leibniz ))). - Soient E, F, G trois espaces vectoriels to@ologiques sur R, (x, y) H [x . y] une application bilinéaire continue de E x F dans G. Si f (resp. g) est déJinie dans un intervalle 1 c R, prend ses valeurs dans E (resp. F)

No 2 DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR FVR 1.29

et admet une dérivée n-ème dam 1, [f.g] admet dans 1 une dérivée n-ème donnée par la formule

+ (p) [f'"-P).gp)] + . . . + [f. g(")]. La formule (4) se démontre encore par récurrence sur n (compte tenu de la

n- 1 n-1 relation (p) = ( ) + ( ) entre coefficients binomiaux). P-1

On vérifie de même la formule suivante (où les hypothèses sont les mêmes que dans la prop. 2) :

Les propositions précédentes ont été énoncées pour des fonctions n fois dérivables dans un intervalle; nous laissons au lecteur le soin d'énoncer les propositions ana- logues pour les fonctions n fois dérivables en un point.

2. Formule de Taylor

Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle 1 c R, à valeurs dans un espace normé E sur R; dire que f a une dérivée en un point a G 1 signifie que l'on a

(6 ) f(x) - f(a) - ff(a) (x - a)

lim = O x + a , x a I , x # a X - a

autrement dit, que f est G approxirnativcment égale )> à la fonction linéaire f (a) + f'(a) (x - a) au voisinage de a (cf. chap. V, où cette notion est développée de façon générale). Nous allons voir que l'existence de la dérivée d'ordre n de f au point a entraîne de la même manière que f est à un polynôme en x, de degré n, à coefficients dans E (TG, X, p. 39) au voisinage de a. De façon précise :

THÉORÈME 1. - Si la fonction f admet une dérivée n-ème au point a, on a

(X - a) (X - a)" f(x) - f(a) - f'(a) - - . . . -f(%)(a) (7)

l ! n! lim = O.

x + a , x ~ I , x + a (X - a)n

Procédons par récurrence sur n. Le théorème est vrai pour n = 1. Pour n

FVR 1.30 DÉRIVÉES 8 3

quelconque, on peut, d'après l'hypothèse de récurrence, l'appliquer à la dérivée f ' de f: pour tout E > O, il existe donc h > O tel que, si on pose

(2 - a) (x - a)2 - (X - a)" g(x) = f(x) - f(a) - f'(a) - - f " (4 2!

. . . - f(n) (a) 1 ! n !

Appliquons le th. des accroissements finis (1, p. 22, th. 2) dans l'intervalle d'extrémités a, x (avec lx - al < h) à la fonction vectorielle g et à la fonction numérique croissante égale à E 1 y - aln/n si x > a, à - E 1 y - aln/n si x < a; il vient Ilg(x) II ,< E lx - aln/n, ce qui démontre le théorème.

On peut donc écrire

où u(x) tend vers O lorsque x tend vers a en restant dans 1; cette formule est dite formule de Taylor d'ordre n, relative au point a, et le second membre de (8) est appelé le développement de Taylor d'ordre n de la fonction f au point a. Le dernier terme rn(z) = u(x) (x - ~ ) ~ / n ! est appelé le reste de la formule de Taylor d'ordre n.

Lorsque f admet une dérivée d'ordre n + 1 dans 1, on peut avoir en fonction de cette dérivée (n + 1) -ème une majoration de 11 rn(x) 11 et non seulement dans un voisinage non précisé de a:

PROPOSITION 3. - Si Ilf(n+l)(~) II 6 M dans 1, on a

dans 1. En effet, la formule est vraie pour n = 0, d'après 1,

valable dans 1 tout entier,

p. 23, th. 2. Démontrons-la par récurrence sur n; d'après l'hypothèse de récurrence appliquée à f', on a

d'où la formule (9) par application du th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2).

No 2 DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR FVR 1.3 1

COROLLAIRE. - S i f est une fonction numériquejnie admettant une dérivée ( n + 1)-ème dans 1, et si m 6 f ("+l)(x) < M dans 1, on a, pour tout x 2 a dans 1

le second membre ne pouvant être égal au premier (resp. au troisième) que si f ( " + l ) est constante et égale à m (resp. M) dans l'intervalle (a, x).

La démonstration se fait de la même manière, mais en appliquant le th. 1 de 1, p. 17.

Remarques. - 1) On a déjà noté, au cours de la démonstration du th. 1, que si f admet une dérivée n-ème dans 1, et si

(11) f ( x ) =a, +- a,(x - a) + a,(x - a ) ) + ... + a,(x - a) , -P r,(x) est son développement de Taylor d'ordre n au point a, le développement de Taylor d'ordre n - 1 de f' au point a est

On dit qu'il s'obtient en dérivant terme à terme le développement (1 1 ) de f. 2 ) Dans les mêmes hypothèses, les coefficients a, de (1 1) sont déterminés par

récurrence par les relations

a. = f (a)

al = lim f (4 - f (a) x-+a X - a

f ( x ) - f ( a ) - a,(x - a) a, = lim

x-+a ( X - a)=

f ( x ) - f ( a ) - a,(x - a) - . . . - a,-,(x - a, = lim

x- ra ( X - a) ,

Dans le cas où a = O, on conclut de là en particulier que, si f ( x p ) (f entier > 0) admet une dérivée d'ordrepn dans un voisinage de O, le développement de Taylor d'ordre@ de cette fonction n'est autre que

r,(xP) étant le reste du développement (cf. V, p. 1 1). 3 ) La définition de la dérivée d'ordre n et les résultats qui précèdent se géné-

ralisent de façon immédiate aux fonctions d'une variable complexe; nous n'insistons pas davantage ici sur cette question, qui sera reprise en détail dans un Livre ultérieur de cet ouvrage.

F V R 1.32 DÉRIVÉES 5 4

8 4. F O N C T I O N S C O N V E X E S D ' U N E V A R I A B L E RÉELLE

Soient H une partie de R, f une fonction numérique finie définie dans H, G le graphe ou ensemble représentatif de la fonction f dans R x R = R2, ensemble des points M, = ( x , f ( x ) ) , où x parcourt H. Nous conviendrons de dire qu'un point (a, b) de R2 tel que a E H est au-dessus (resp. strictement au-dessus, au-dessous, strictement au-dessous) de G si on a b 2 f (a ) (resp. 6 > f (a) , b Q f (a ) , b < f (a ) ) . Si A = (a, a') et B = (6, b') sont deux points de R2, nous désignerons par A B le segment fermé d'extrémités A et B ; si a < 6, A B est le graphe de la fonction

6' - a' linéaire a' + - ( x - a) définie dans (a, 6 ) ; nous désignerons par @ ( A B ) la

b - a b' - a'

pente - de ce segment, et ferons usage du lemme suivant, dont la vérification b - a

est immédiate :

Lemme. - Soient A = (a, a ') , B = (b, b'), C = (c, C I ) trois points de R2 tels que a < b < c. Les propositions suivantes sont équivalentes :

a) B est au-dessous de A C ; b) C est au-dessus de la droitepassantpar A et B ;

Fig. 1

c) A est au-dessus de la droitepassantpar 16 et C; d ) P ( W P ( A C ) ; e) p (BC) . Le lemme est encore exact quand on y remplace au-dessus (resp. (( au-

dessous ))) par