5/13/2018 bouillaut

1/10

Approche Cyclostationaire et Bilineairedes signaux vibratoires d'engrenage.Laurent BOUILLAUT et Menad SIDAHl\1ED

Universite de Technologie de CornpiegneLaboratoire HEUDIASYC UMR CNRS 6599Membres du pole DIVA de la region, Picardie

Laurellt.Bouillaut(cv,utc,frMenad, Sidahmedreutc.fr

1. Introduction.L'omnipresence des engrenages dans la plupart des domaines industriels, ainsi que la

necessite d'un diagnostic precoce des defauts et un controle qualite du bruit, font que l'etudede ses vibrations suscite un vif interet dans Ie monde de la recherche.Jusqu'a present, l'analyse vibratoire etait essentiellement basee sur des methodes stationnaires(analyses spectrales, de Fourier, cepstraie)[1],[2] et [3]. Cependant, de nouveaux travaux ontmontre l'interet de nouvelles methodes basees sur la non stationnarite ou la non linearite de cephenornene.]-l], [5] et [6].

L' analyse des vibrations liees au phenornene d' engrenement peut en effet etre abordeesous deux aspects a priori differents I'un de l'autre.

Dans un premier temps, la difficulte d'usiner des engrenages parfaits, pour des raisonsessentiellement de prix, fait que toutes les dents d'une meme roue sont differentes. A chaqueinstant, Ie couple de dents concerne par l'engrenement est done egalement different. Le signalvibratoire ainsi engendre ne peut done plus etre considere comme stationnaire.Toutefois, ce phenomene presente des periodicites selon le temps puisque I'engrenernent dedeux dents particulieres se repetera a intervalle de temps regulier,L'autocorrelation du signal vibratoire sera done periodique par rapport au temps. Le signal estdone cyclostationnaire [7].

Dans un second temps, les couples exerces sur les engrenages sont tels que le profit desdents est modifie lors de I' engrenement. .Actuellement, la prediction mais surtout lacompensation des ces 'flexions' ne sont pas parfaites. Le profil des dents n'etant pas ideal, lesroues ne pourront engrener parfaitement. En effet, il existera une sequence au cours delaquelle les deux dents concernees glisseront l'une sur l'autre. Ce phenornene peut done etreconsidere comme non lineaire [8].

D'un point de vue industriel, il est donc interessant de determiner quel est, parmi les deuxphenomenes presentes ci-dessus, Ie principal responsable des vibrations engendrees parI'engrenement, II serait en effet trap onereux de vouloir corriger I'ensemble des defauts d 'unengrenage.

Nous allons done, dans un premier temps, presenter de maniere purement theorique lesdeux approches qui nous interessent (cyclostationnaire et bilineaire) [7] et [9]. Nousetudierons egalement differents modes d'estimations des deux outils que nous allons utiliser :la correlation spectrale ([10] et [11]) et Ie bispectre ([12] et [13]).

323

5/13/2018 bouillaut

2/10

Puis, nous nous pencherons sur differentes applications de la correlation spectrale et dubispectre; tout d' abord pour des signaux synthetises puis pour des signaux reelsd' engrenages.2. Approche theorigue de la cyclostationnarite et de la bilinearite.2.1. Cyclostationnarite.

2.1.1. Definitions et proprietes.La premiere approche possible du phenomene d' engrenernent est cyclostationnaire [7].

Par definition, un signal est cyclostationnaire au sens large si son autocorrelation presenteplusieurs pericdicites par rapport a t ( a l'oppose d'un signal stationnaire, dontl'autocorrelation ne depend que de 1 " ) . [7]. II existe alors plusieurs frequences decyclostationnarite aI, a2, ... relatives a chacune de ces periodes.

L'autocorrelation du signal dependant de t et de 1 " , il est possible de s'interesser a l'etudefrequentielle suivant chacune de ces deux variables par simple transformee de Fourier: L'etude selon 1 " fait apparaitre les periodicites contenues dans Ie signal (domaine des

frequences spectrales f). L'etude selon t met en evidence la presence de periodicites telles que celles introduites

par des phenomenes de modulation (domaine des frequences cycliques a).Nous avons choisit de nous placer dans Ie plan (f; a). C'est a dire que nous nous

interessons a la double transforrnee de Fourier (par rapport a t et a 1 " ) de l'autocorrelation;soit, la correlation spectrale S : U J.

S . : U ) = T F ;A J t ( t , r ) ] = E [ X U - ~).X*(f- ~)]Forme asyrnetrique.

Pour ce=O , nous remarquerons que nous retrouvons la Densite Spectrale de Puissance. Eneffet: S.~(f) = E[X(f).X*(f)] = T F : . { ~ ( t , T ) } = DSP(x)(f)Parmi les caracteristiques de la correlation spectrale, presentees dans [9], nous soulignerons Iefait que:

Si la Correllation spectrale est nulle partout sauf en c e=O , Ie signal est alorsstationnaire.

Si elle est non nulle pour un nombre fini de valeurs de a, le signal estcyclostationnaire.En parallele de la correlation spectrale, nous utili sons les degres de cyclostationnarite, DCSx[1]. On designe par plus proche signal stationnaire de x(t), Ie signal x(t) dont la DSPverifue: S x C t , / ) = SxC/) = ( S x ( t , / ) . Le degre de cyclostationnarite de x sera alors ladistance entre x et x ; il est done defini par:

2 f a2DeSx = DeSx .daa : ; t : O

a2 f ls.~ f f dfou pour tout a non nul, ocs; = 1 0 1 2f Sx(f) d f

Nous pouvons done considerer que DCSx mesure la cyclostationnarite totale du signal.En pratique, nous utiliserons d'avantage DCSxu .

324

5/13/2018 bouillaut

3/10

201.2. Interpretation en terme de frequences statistiquement liees,Comme nous l'avons vu precedernment, lacorrelation spectrale nous permet de visualiser

les frequences cycliques contenues dans un signal. Mais, dans Ie cadre de I'etude qui nousinteresse (la prediction de defaut), il est necessaire de pouvoir interpreter de facon plus oumoins mecanique les resultats obtenus.

Considerons Ie signal aleatoire x(t) = a(t).e2j7tfl! + b(t).e2jltf/ ou a et b sont deuxmodulations aleatoires, stationnaires. Le calcul de l'autocorrelation d'un tel signal, dont lescalculs sont presentes dans [7], nous amene aux conclusions suivantes:

Si les modulations a et b sont non correlees, il ne reste alors plus que des termesdependant de r. Le signal global est done stationnaire.

Par contre, si les modulations d'amplitudes sont statistiquement liees, l'autocorrelationdepend alors egalement du temps. Le signal n'est done plus stationnaire. De plus, lesexponentielles des termes croises font apparaitre des raies aux frequences cycliques f2-fl et fl-f2. II existe done deux valeurs al et a2 pour lesquelles la correlation spectraleest non nulle. De plus, ces pies apparaitrons a la frequence spectrale (fa+fb)/2.

En conclusion, l'apparition d'un pic dans la correlation spectrale pour le couple defrequences (f ;0.) signifie que les composantes frequentielles f+a/2 et f-af2 sontstatistiquement correlees. [7]

2.1.3. Estimation de la correlation spectrale.II existe plusieurs algorithmes differents permettant d'estimer la correlation spectrale

(presentes notamment dans [5], [10] et [11D . Nous ne nous interesserons ici qu' a deux d' entreelles que nous utiliserons par la suite sur des signaux reels.2. 1.3. 1. Estimation par moyennage frequentiel.Nous disposons d'un enregistrement centre x de taille N echantillonne a f e . II est a noter

que pour I'obtention d'une bonne resolution en frequence cyclique, il faut avoir N grand. Calcul de x, et x ., versions decalees en frequence de a/2 du signal complet.

Soit x, = x. e 2jlr.~ . La resolution en frequence cyclique sera done de l1 a = _1_.- N.At Ponderation de x, et x, par une fenetre de longueur N afin de limiter les rebonds lors

du calcul des TFQX+ et X. Puis, ajout de zeros pour obtenir des signaux de longueur No=2P >N.

Calcul de X+ et Xpar N o transformees de Fourier, puis du produit XX=X+X*. Ceresultat est alors decoupe en M tranches, xx" j=[1..M], de K points (M*K=No ) .

Chaque tranche est alors ponderee par une fenetre de longueur K. Pour un a donne, lanieme valeur en frequence spectrale sera alors :1 KS~(n.~f) =- _L.xx(n) (i).w(i) ou Af=felM est la resolution en frequence spectrale et wK i=lest la fenetre de ponderation,

325

5/13/2018 bouillaut

4/10

L'avantage de cette methode est qu'elle permet d'elirniner Ie problerne de correction dephase necessaire lors d 'un moyennage temporel (presente dans [7] et [10]). II est egalementplus rapide de calculer une longue TFD puis d'effectuer un lissage, que de calculer un grandnombre de TFD et d' en faire une moyenne.

Le seul inconvenient d'une telIe methode est qu'elle necessite la manipulation detableaux de grande dimension.

2.1.3.2. Estimation par lissage temporel associe it une transforrnee de Fourier. [10] et [11]L'estimation de la correlation spectrale par moyennage temporel est de la forme:

*zen)= D+(m)x_(n~g(n-n~mou x., x . . et g sont les versions decalees de x et la reponse impulsionnelle d'un filtre passe-bas,

de largeur de bande i1 f Cet algorithme est presente en details dans [7] et[ 1O ] .Le mode d'estimation qui nous interesse ici est une adaptation du moyennage temporelprecedent, permettant d'ameliorer Ie temps de calcul de la correlation spectrale. L'algorithmedetaille est presente dans [10] et [11].

Il s'agit de decaler en frequence le resultat zen) en le multipliant par e2jn : . & (a = ili1t) etd'en prendre la transformee de Fourier. La resolution en frequence cyclique est toujoursi1a=llN.i1t mais la resolution en frequence spectrale est amelioree et devient alors i1f=i1f-lal .Toutefois, compte tenu des variations de s, i1 f varie egalement ce qui est problematique.LOOMIS propose une limitation de ces variations en bornant le decal age frequentiel parIcl

5/13/2018 bouillaut

5/10

Si nous considerons un signal reel, stationnaire, aleatoire centre, ses premiers cumulantss' ecrivent :C2('I) = m2 ('I) = E [x' (k). x(k + 'I)] (nous retrouvons I'autocorrelation de x en '(I)C3(rl,rz} = m3 ( ' I " 2 ) = E[x(k).x(k + rl)x(k + '2)]A partir de ces definitions, le bispectre B(co I,(02)est donne par:

+00 +00B(())1'())2) = LIC ; ( Tl "2). e- j(ml'rl +aJ2'2) = TF.1 , rJ Ci TI' T2)]-00 -00

Les proprietes generales de linearite, de symetries, d' invariance par decalage de phasedes cumulants et du bispectre sont presentees en detail dans [12].

Nous nous contenterons de rappeler qu'il suffit de connaitre le bispectre dans le triangleC02;:::0COI;:::C02OI+C02~1 : pour le connaitre dans tout l'espace. De plus, il est it noter que Iecumulant d'ordre 3 d'un signal gaussien est toujours nul. Le bispectre associe est doneegalement identiquement nul.

La principale propriete qui interessera la suite de notre etude concerne le couplagequadratique de phase. En effet, nous savons que la Densite Spectrale de Puissance ne tient pascompte des relations de phase contenues dans le signal. Lorsque I'on utilise la DSP, une partiede I'information vehiculee par Ie signal est donc perdue. Par contre, comme nous Ie montrentNikias et Raghuveer dans [13], Ie bispectre est capable de detecter et de quantifier cescouplages.Considerons les deux signaux: Xl=cos(flk+

5/13/2018 bouillaut

6/10

2.2.2. Estimation non parametrique du bispectre.Nous presenterons ici les estimations non parametriques qui sont celles que nous avons

choisi pour nos applications. Les proprietes de ces estimateurs et les modes d'estimationspararnetriques du bispectre sont presentes dans [12].

2.2.2.1. Estimation de classe indirecte.Soit J'echantillormage {x(l) ... x(N)} utilise precedernrnent. L'estimation du bispectre se

fait selon les etapes suivantes :Le signal est coupe en K portions de M elements, sans recouvrement. (on a done

K*M=N). Chaque couche est alors recentree et 1'0n calcule Ie cumulant d'ordre 3 sur chaquetranche du signal :

1 S2V iE [1 .. K] : r(i)(m;n) = c~i)(m;n) = -Lx(i) (l).X(i)(l +m).x(i)(l + n)M SI

ou S2et Sl sont pris tels que: S, = Max(O ; -m ; -n)S2= Min(M-I ; M-l-m; M-l-n)

A 1 ~ (")Le cumulant 'global' est obtenu par moyennage des K precedents: C3(m;n) = K.t( I (m;n)La double transformee de Fourrier de cette expression (par rapport it m et n), fourni

I' estimateur du bispectre :L LB(OJ,;w2) = L LC3(m;n).W(m;n).e-f( 1 I J1m+lll2n) W(m;n) etant une fenetre it deux

m=-Ln=-Ldimensions ayant des proprietes de symetries permettant de conserver celles du bispectre.

2.2.2.2. Estimation de classe directe.Nous disposons a nouveau d'un enregistrement divise en K tranches de M points sans

recouvrement.Le mode d' estimation que nous presentons ici peut etre rapproche du moyennage

temporel utilise pour I' estimation de la correlation spectrale. En effet, chaque portion designal est recentree et, si necessaire, nous ajoutons des zeros afin d'avoir suffisamment depoints pour calculer la FFT sur chaque tranche. Nous disposons alors de K realisations de Nopoints (No etant generalement pris sous forme d'une puissance de deux).

Nous calculons dans un premier temps y{i)(f) et b(i) (w, ; w J ,respectivement la FFT et lebispectre de la ieme tranche du signal. L'estimateur du bispectre sera alors obtenu par Iemoyennage:

A 1 A(i)B ( O J , ; O J 2) = K ' Lb (O J, ; O J2 )La resolution de cet estimateur est done L 1 0 = fs / No .

328

5/13/2018 bouillaut

7/10

3. Applications de la correlation spectrale et du bipectre.

Nous synthetisons trois signaux de la forme yet) = a(t).e2JIrjI t + b(t).e2Jlfh t en faisantevoluer la correlation entre les deux modulations damplitudes ; b(t)=c(t) independant de a(t) ,b(t)=a(t)+c(t), puis b(t)=a(t). Cette evolution entraine une augmentation de I'indice decyclostationnarite, [7]

Les figures 1it 3 presentent les correlations spectrale des ces signaux, obtenues par unmoyennage frequentiel. Nous avons choisi f1=O.lSHz f2=O.25Hz et Fs=IHz.

3.1. Applications it . des signaux synthetises.

3.1.1. Signaux cyclostationnaires.

Figure 1.Correlation spectrale pour a et b independants

Figure 3.Correlation spectrale pour b=a

Figure 2.Correlation spectrale pour b=a+c

a et c .. lU'"'I-',",'.lua"'Li'

Figure 4.Indices de cyclostationarite

Nous pouvons remarquer que plus les modulations d'amplitude aCt)et bet) sont correlees,plus Ie pic apparaissant dans la correlation spectrale it ( J , ~ J 2 ; J 2 - J , ) est important. Nousretrouvons done bien la propriete d' interpretation en terme de frequence statistiquement liees,

329

5/13/2018 bouillaut

8/10

C' est it dire, lorsque deux frequences fl et f2 sont statistiquement liees, il apparait dans lacorrelation spectrale un pic it < I ; a ) = ( I I ~ 1 2 ; 1 2 - I I ) .

Toutefois, l'evolution de ce pic est essentiellement remarquable pour a(t)=b(t) ; c'est itdire lorsque les deux frequences sont totalement correlees. Afin de mieux observer lesmodifications apportees par une correlation partielle entre a et b, nous presentons, sur lafigure 4, les indices de cyclostationnarite de ces trois signaux.Nous pouvons remarquer que pour a.=f2-fl=0_10 Hz, l'indice de cyclostationnarite augmenteregulierement avec Ie degre de correlation des modulations d'amplitudes aCt)et bet).

3.1.2. Signal bilineaire.Pour cette seconde etude, nous synthetisons Ie signal bilineaire it couplage quadratique de

phase (QPC): yet) = a(t).e2j.1f(!tt+I) + b(t).e2j.1f(N+2) +a(t).e2j.1f(f31+3) ou les modulationsd'amplitudes sont toutes independantes; fl et f2 sont independantes ainsi que 1t 2.arcontre, f3=fl+f2 et 3=1+2.ous prendrons it nouveau fl=0.15Hz et f2=0.25Hz et Fs=lHz.Les figures 5 et 6 presentent deux vues de la correlation spectrale de ce signal.

Pour 0.=0, nous retrouvons bien la DSP du signal, et les trois pies correspondants it fl, f2et f3. Cependant, il apparait egalement trois frequences cyciiques pour lesquelles la correlationspectrale est non nulle: a.l=fz-fl, a.2=f3-fl et a.3=f3-f2, pour les frequences spectralessuivantes : respectivement (fl+f2)/2, (fl+f3)/2 et (f2+f3)/2.

Figure 5.Correlation spectrale du signal it QPC

... .. . ..: ,~ {.

: : : : : : : 1 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : , : :: :: :: I :. . . . . . . . . ; : - 1

Figure 6.Vue du dessus de la figure 5.

Nous detectons ainsi des relations statistiques entre les frequences (fl ;f2), (f ;f3) et (f2;f3).Toutefois, Ie principal couple de frequences est (f ;f2). En effet, les deux autres ne sont qu'un'reflet' du premier couple puisque f3 est une combinaison de fl et f2. Nous pouvons done direque dans Ie des frequences cyciiques, ce signal a les memes proprietes qu'un signal purementcyciostationnaire.

330

5/13/2018 bouillaut

9/10

3.2. Applications a des signaux reels.

La figure 7 presente les correlations spectrales des enregistrements aux jours 2, 4, 6, 8, 10et 12 pour 0.=3*fr20=3*16.67Hz.Nous pouvons remarquer quejusqu'au 4emejour, le niveau des pies nevarie pas significativement.Par contre, au 6eme Jour, le piccorrespondant a f=25Hz doublepratiquement de puissance. La correlationentre la frequence centrale, : 3 fe, etf=25hz= 3*fr20/2est done plus importante.Or, nous utilisons une representationsymetrique de la correlation spectrale.L'apparition d'un pic en (f;a.) signifieque les frequences f+a./2 et f-a./2 sontcorrelees.Du fait du recentrage du signal autour de3fe, nous pouvons conclure qu' a partir du6emejour, il existe une forte correlationentre les harmoniques de fr20 et del'engrenement, du fait de l'apparition d'undefaut sur la roue 20.Dans le rneme temps, la Correlationspectrale it a.=3fr21 ne presente aucunchangement reellement significatif. Laroue 21demeurantant intacte.

Nous nous interessons a une serie d'enregistrements provenant d'un dispositif composed'un premier reducteur de bouclage (rapport 40142) et d'un second reducteur sous test(rapport 20/21). Les signaux comportent 60000 points echantillonnes a Fo=20kHz. Lesfrequences de rotation des roues testees sont fr20=16.67Hz et fr2!=17.50Hz; la frequenced'engrenement est fe=330Hz. II est effectue un enregistrement tous les jours et nous savonsqu'un defaut de denture apparait au io= jour sur la roue 20. Le but de cette etude est depresenter les travaux de [1] concernant un diagnostic precoce du defaut.

Apres filtrage autour de la Jeme dengrenernent (car les harmoniques paires sontperturbees par Ie reducteur de bouclage dont les frequences sont doubles de celles dureducteur teste) et demodulation pour recentrer Ie signal autour de 3fe, le signal comprend4096 points echantillonnes it Fs=1365Hz. Comme nous l'avons explique precedernment(2.1. 3.1. et plus precisement dans [1D , it la difference de la resolution spectrale, la resolutioncyclique est la resolution maximale qu'autorisent ces valeurs; soit Lla.=0.33 Hz et permetdone de separer fr20et fr2!.

4. Conclusion.

Figure 7.Correlation spectrale pour les differents jours,0.=3* fr20=50Hz.

En conclusion, nous avons presente differentes methodes d' estimation de la correlationspectrale. Nous avons alors applique l'une d'entre elies a des signaux synthetises :

331

5/13/2018 bouillaut

10/10

Cyclostationnaires, afin de presenter la propriete dinterpretation en terme de frequencesstatistiquement liees, propre a la correlation spectrale.

Bilineaire, afin de souligner un premier lien entre les aspects non-lineaire et non-sationnaireen vue de nouveaux travaux.

Puis, a des signaux reels dans un souci de prediction de defaut. II s'avere que la correlationspectrale (ou Ie degre de cyclostationnarite) permet d' effectuer un diagnostic precoce dedefaut de denture sur machine tournante. La cyclostationnarite des signaux d'engrenagepourrait etre par ailleurs utili see pour d'autres applications plus complexes telles que desboites de vitesse, moteurs d'helicoptere ...

Reference:[1] C.Capdessus et M.Sidahmed, 'Analyse des vibrations d'un engrenage: Cepstre,

Correlation, Spectre', Traitement du signal, Vol 8, nOS,pp 365-372.[2] M.Sidahmed et G.Dus, 'Detection de defauts dans les engrenages par analyse vibratoire' ,

Congres 'Engrenages et Transmissions Mecaniques', Paris, Fevrier 1992.[3] M.Sidahmed et C.Garnier , 'detection de defauts dans les engrenages', Cetim

Informations, Octobre 1991.[4] W.A.Gardner, 'The spectral correlation theory of cy~lostationnary time-series', nOll,pp13-36, 1986.[5] W.A.Gardner, 'Measurement of Spectral Correlation', Trans. IEEE, vol. 34, n? 5,

pp. 1111-1123, 1986.[6] R.Rubini and M.Sidahmed, 'Diagnostic of Gears Systems using the Spectral Correlation

Density of Vibration Signal', Congress SAFE Process'97, Hull, August 1997.[7] C.Capdessus, 'Aide au diagnostic des machines tournantes par traitement du signal',

These INPG, 1992.[8] P.Prieur et M.Cai, 'Modelisation non lineaire des signaux d'engrenages', Quatorzieme

colloque GRETSI, Juan-les-pins, Septembre 1993.[9] Raoof, 'Etude de la fonction de correlation spectrale', DEA CEPHAG, 1990.[10] W.A.Brown and H.H.Loomis, 'Digital Implementation of Spectral Correlation

Analysers', Trans. IEEE, vol 41, n? 2, pp703-720, 1993.[11] R.S.Roberts, W.A.Brown, and H.H.Loomis, 'Computationally efficient algorithms for

cyclic spectral analysis', IEEE Signal Processing Mag., vol.8, n02, pp 38-49, April 1991.[12] L. Bouillaut, 'Approche Cyclostationnaire et Bilineaire des Signaux Vibratoires

d'Engrenages', DEA Universite de Technologie de Cornpiegne, 1997[13] c.L. Nikias and M.R. Raghuveer, 'Bispectrum estimation: A digital signal processing

framework', Proc. IEEE, vol. 75, pp. 869-891,1987.

332