BONJOUR et BIENVENUE - LSMS | EPFL · Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures...

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ÉCOLE POLYTECHNI QUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Laboratoire de simulation en mécanique des solides - LSMS Mécanique des structures I Cours du 3 ème semestre bachelor Dr E. Davalle 1 BONJOUR et BIENVENUE Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL Chef du Service de l’électricité de la Ville de Lausanne avec les assistants du LSMS

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Laboratoire de simulation en mécaniquedes solides - LSMS

Mécanique des structures I

Cours du 3ème semestre bachelorDr E. Davalle

1

BONJOUR et BIENVENUE

Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL

Chef du Service de l’électricité de la Ville de Lausanne

avec les assistants du LSMS

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Mardi 11,1 Sollicitations composées12.1 - 12.5 et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements

Jeudi 12.6 , 12.8 - 12.9 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements

Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples

17.1 -17.5 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite

Jeudi 17.6 -17.10 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite

Mardi 20.1 - 20.3 Flambement des poutres

Jeudi 20.4 - 20.5 Flambement des poutres

Mardi 20,8 Flambement des poutres

Jeudi compléments / révisions

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8

O d éfé Mé i d t t V l 2 F i FREY t Mé i d lid V l 3 MS (V3)

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Programme des semaines 5 à 8

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17. Théorèmes fondamentaux de l’analyse limite

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But des théorèmes

3 x H

4 x R

. . . mais, où ?

84

8!C 704!(8! 4!)

= =−

8 possibilités de positiondes rotules plastiques

Conditions à remplir pour calculer la solution exacte (comme en élasticité) :

l’équilibre statique

la comptabilité cinématique

la loi constitutive élasto-plastique

! DIFFICILE !

2 Théorèmes indépendants et un théorème combiné de l’analyse limite donnant des valeurs approchées et la voie vers la solution exacte (mieux qu’en élasticité !)

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La loi constitutive et rotules plastiques

)(

si 0

si 0

si 0

θ

θ

θ

θ

fM

MM

MM

MMM

pl

pl

plpl

=

−=<

=>

<<−=

loi la oùd'

Cette loi constitutive rigide parfaitement plastique renferme deux conditions :

condition statique de plasticité :

condition cinématique de plasticité :plpl MxMM ≤≤− )(

int 0θ= >plT MMpl et θ tournent dans le même sens ! Loi rigide parfaitement plastique

Concept de rotule plastique

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Statique et cinématique licites

(a) Statique licite (b) Cinématique licite

tous les efforts en équilibre

conditions statiques de plasticité (conformité avec le diagramme des M)

mécanisme de ruine continu et compatible avec les appuis

conditions cinématiques de plasticité

On se souvient des hypothèses de validité de l’analyse limite, dont celle sur le chargement extérieur des forces Fi grandissant proportionnellement

Il existe donc unmultiplicateur des charges λ

(de la forme λFi)Le problème d’analyse limite revient donc

à trouver le multiplicateur limite λlim

(c)Mpl et θ tournent dans le même sens !

plpl MxMM ≤≤− )(

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Théorème statique (basé sur une statique licite seulement)

L’objectif est de trouverle multiplicateur limite λlim sur la base

d’une statique licite (en équilibre)

Diagrammes des moments M -On fait appel au théorème des travaux virtuels :

∑ ∑∑ ∑

=

= −−

uFM

uFM

pl limλθ

λθ Statique licite(équilibre)

Mécanisme réel

limλλ ≤⇒≤ −−plMM

Mécanismede ruine réel

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Théorème statique (exemple)

Diagrammes des momentsM imaginés ∑ ∑

∑ ∑=

= −−

uFM

uFM

pl limλθ

λθ

216 plMq

L=

2

1 2 ( )2 2

8

pl

pl

LM q L

Mq q

L

θ θ−

=

= <

et

2 2

oubien12 10qL qL

Mpl

On travaille vis-à-vis du mécanisme réel

Aire du triangle (travail de q)θ

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Théorème statique (synthèse)

Toute charge limite statique est inférieure ou égale à la charge limite réelle. On a toujours limλλ ≤−

Ce résultat est d’une grande valeur pour les futurs calculs de structure car :

là où la plasticité s’applique, on peut calculer par simple équilibre

on est nécessairement du côté de la sécurité

c’est valable pour tout, en négligeant les conditions de compatibilité

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Théorème cinématique (basé sur une cinématique licite seulement)

L’objectif est de trouverle multiplicateur limite λlim sur la base d’une cinématique licite (mécanisme)

int 0plM θ= >T(Attention, le principe des déplacements virtuels ne s’applique

pas car la statique n’est pas nécessairement licite, soit en équilibre avec les forces extérieures ! )

int

:

pl

ext

M

F u

θ

λ

+

++

=

=

∑∑

On peut écrire l'égalité des travaux

T

T

+

+

u

θ

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Théorème cinématique (basé sur une cinématique licite seulement)

∑ ∑∑ ∑

++

+++

=

=

uFM

uFM pl

limλθ

λθ

limλλ ≥⇒≤ +plMM+

+

u

θ

Dépl. virtuel

Équation du travail(approximation)

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Théorème cinématique (synthèse)

Toute charge limite cinématique est supérieure ou égaleà la charge limite réelle. On a toujours limλλ ≥+

Bien qu’au-delà de la valeur limite, ce résultat est précieux car :

là où la plasticité s’applique, on peut calculer sur la base d’un simple mécanisme de ruine

c’est une méthode simple et on visualise le mécanisme de ruine

ATTENTION, on n’est pas du côté de la sécurité

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Théorème combiné (d’unicité)

Si la statique est licite (équilibre garanti), si la cinématique est licite (mécanisme assuré) et si la loi constitutive est conforme à la plastique, alors limcalculé λλ =

+

+−

≤≤

≥≤

λλλ

λλλλ

lim-

limlim

alors siet Si

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Exemple d’application des deux méthodesMéthode cinématique

Mécanisme 1 Mécanisme 2

Mécanisme 1 Mécanisme 2

3 ( ) (2 )

43

pl pl

pl

M M Q a Q aM

Qa

θ θ θ θ

+

+ = +

=

2 3 (2 ) ( )

53

pl pl

pl

M M Q a Q aM

Qa

θ θ θ θ

+

+ = +

=

Choisir 2 positionsde rotules plastiques

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Exemple d’application des deux méthodesMéthode statique

C

1 a

pl y

y

pl

M M aDD Q

MQ−

= =

=

=

B

2

0 (2 )

323a

y

ply

pl

M a D aQM

D Qa

MQ−

= = −

= −

=

Diagramme 1

Choisir des diagrammesM licites (en équilibre)

Diagramme 3Diagramme 2

C

3

343a

pl y

ply

pl

M M aDM

D Qa

MQ−

= =

= −

=

plpl MxMM ≤≤− )(