BONJOUR et BIENVENUE - LSMS | EPFL · Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures...
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ÉC OLE POLY TEC H NIQU EFÉDÉRALE D E LAUSANNE
Laboratoire de simulation en mécaniquedes solides - LSMS
Mécanique des structures I
Cours du 3ème semestre bachelorDr E. Davalle
1
BONJOUR et BIENVENUE
Intervenants : Eric DAVALLE, Dr Ingénieur civil EPFL
Chef du Service de l’électricité de la Ville de Lausanne
avec les assistants du LSMS
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Mardi 11,1 Sollicitations composées12.1 - 12.5 et 12.7 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements
Jeudi 12.6 , 12.8 - 12.9 Principe des travaux virtuels et calcul des déplacements
Mardi 16.1 - 16.7 Calcul de la charge limite des structures hyperstatiques simples
17.1 -17.5 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite
Jeudi 17.6 -17.10 Théorèmes fondamentaux de l'analyse limite
Mardi 20.1 - 20.3 Flambement des poutres
Jeudi 20.4 - 20.5 Flambement des poutres
Mardi 20,8 Flambement des poutres
Jeudi compléments / révisions
7
8
O d éfé Mé i d t t V l 2 F i FREY t Mé i d lid V l 3 MS (V3)
5
6
Programme des semaines 5 à 8
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17. Théorèmes fondamentaux de l’analyse limite
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But des théorèmes
3 x H
4 x R
. . . mais, où ?
84
8!C 704!(8! 4!)
= =−
8 possibilités de positiondes rotules plastiques
Conditions à remplir pour calculer la solution exacte (comme en élasticité) :
l’équilibre statique
la comptabilité cinématique
la loi constitutive élasto-plastique
! DIFFICILE !
2 Théorèmes indépendants et un théorème combiné de l’analyse limite donnant des valeurs approchées et la voie vers la solution exacte (mieux qu’en élasticité !)
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La loi constitutive et rotules plastiques
)(
si 0
si 0
si 0
θ
θ
θ
θ
fM
MM
MM
MMM
pl
pl
plpl
=
−=<
=>
<<−=
loi la oùd'
Cette loi constitutive rigide parfaitement plastique renferme deux conditions :
condition statique de plasticité :
condition cinématique de plasticité :plpl MxMM ≤≤− )(
int 0θ= >plT MMpl et θ tournent dans le même sens ! Loi rigide parfaitement plastique
Concept de rotule plastique
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Statique et cinématique licites
(a) Statique licite (b) Cinématique licite
tous les efforts en équilibre
conditions statiques de plasticité (conformité avec le diagramme des M)
mécanisme de ruine continu et compatible avec les appuis
conditions cinématiques de plasticité
On se souvient des hypothèses de validité de l’analyse limite, dont celle sur le chargement extérieur des forces Fi grandissant proportionnellement
Il existe donc unmultiplicateur des charges λ
(de la forme λFi)Le problème d’analyse limite revient donc
à trouver le multiplicateur limite λlim
(c)Mpl et θ tournent dans le même sens !
plpl MxMM ≤≤− )(
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Théorème statique (basé sur une statique licite seulement)
L’objectif est de trouverle multiplicateur limite λlim sur la base
d’une statique licite (en équilibre)
Diagrammes des moments M -On fait appel au théorème des travaux virtuels :
∑ ∑∑ ∑
=
= −−
uFM
uFM
pl limλθ
λθ Statique licite(équilibre)
Mécanisme réel
limλλ ≤⇒≤ −−plMM
Mécanismede ruine réel
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Théorème statique (exemple)
Diagrammes des momentsM imaginés ∑ ∑
∑ ∑=
= −−
uFM
uFM
pl limλθ
λθ
216 plMq
L=
2
1 2 ( )2 2
8
pl
pl
LM q L
Mq q
L
θ θ−
−
=
= <
et
2 2
oubien12 10qL qL
Mpl
On travaille vis-à-vis du mécanisme réel
Aire du triangle (travail de q)θ
2θ
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Théorème statique (synthèse)
Toute charge limite statique est inférieure ou égale à la charge limite réelle. On a toujours limλλ ≤−
Ce résultat est d’une grande valeur pour les futurs calculs de structure car :
là où la plasticité s’applique, on peut calculer par simple équilibre
on est nécessairement du côté de la sécurité
c’est valable pour tout, en négligeant les conditions de compatibilité
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Théorème cinématique (basé sur une cinématique licite seulement)
L’objectif est de trouverle multiplicateur limite λlim sur la base d’une cinématique licite (mécanisme)
int 0plM θ= >T(Attention, le principe des déplacements virtuels ne s’applique
pas car la statique n’est pas nécessairement licite, soit en équilibre avec les forces extérieures ! )
int
:
pl
ext
M
F u
θ
λ
+
++
=
=
∑∑
On peut écrire l'égalité des travaux
T
T
+
+
u
θ
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Théorème cinématique (basé sur une cinématique licite seulement)
∑ ∑∑ ∑
++
+++
=
=
uFM
uFM pl
limλθ
λθ
limλλ ≥⇒≤ +plMM+
+
u
θ
Dépl. virtuel
Équation du travail(approximation)
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Théorème cinématique (synthèse)
Toute charge limite cinématique est supérieure ou égaleà la charge limite réelle. On a toujours limλλ ≥+
Bien qu’au-delà de la valeur limite, ce résultat est précieux car :
là où la plasticité s’applique, on peut calculer sur la base d’un simple mécanisme de ruine
c’est une méthode simple et on visualise le mécanisme de ruine
ATTENTION, on n’est pas du côté de la sécurité
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Théorème combiné (d’unicité)
Si la statique est licite (équilibre garanti), si la cinématique est licite (mécanisme assuré) et si la loi constitutive est conforme à la plastique, alors limcalculé λλ =
+
+−
≤≤
≥≤
λλλ
λλλλ
lim-
limlim
alors siet Si
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Exemple d’application des deux méthodesMéthode cinématique
Mécanisme 1 Mécanisme 2
Mécanisme 1 Mécanisme 2
3 ( ) (2 )
43
pl pl
pl
M M Q a Q aM
Qa
θ θ θ θ
+
+ = +
=
2 3 (2 ) ( )
53
pl pl
pl
M M Q a Q aM
Qa
θ θ θ θ
+
+ = +
=
Choisir 2 positionsde rotules plastiques
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Exemple d’application des deux méthodesMéthode statique
C
1 a
pl y
y
pl
M M aDD Q
MQ−
= =
=
=
B
2
0 (2 )
323a
y
ply
pl
M a D aQM
D Qa
MQ−
= = −
= −
=
Diagramme 1
Choisir des diagrammesM licites (en équilibre)
Diagramme 3Diagramme 2
C
3
343a
pl y
ply
pl
M M aDM
D Qa
MQ−
= =
= −
=
plpl MxMM ≤≤− )(