Bloc 2 : Modèles d’optimisation par la programmation linéaire

Mohamed Ali Alouloualoulou@lamsade.dauphine.fr

Plan du bloc 2

1. Présentation générale et exemples

2. Forme générale d’un PL

3. Résolution géométrique (2 variables)

4. Les différents résultats d’un PL

5. Résolution et analyse de sensibilité avec le solveur Excel

6. Programmation linéaire en nombres entiers

1. Présentation générale et exemples

• Exemple 1 : Une usine fabrique 2 produits finis P1 et P2 à l’aide de 3 matières premières M1,M2 et M3 selon le procédé suivant

  M1 M2 M3Prix de vente

unitaire

P1 1 2 4 2 euros

P2 6 2 1 3 euros

Nombre d'unités disponibles

30 15 24  

Question Comment organiser la production de manière à atteindre le CA le plus élevé ?

1. Présentation générale et exemples

• Modélisation de l’exemple 1– Définition des variables de décision : ce sur

quoi porte la décision• x1 : nombre d’unités de P1 à produire• x2 : nombre d’unités de P2 à produire

– Spécification des contraintes du problème• Contraintes liées à la disponibilité des MP• Contraintes de non négativité

– Spécification de la fonction objectif• Maximiser CA = 2x1+3x2

– Écriture du modèle (récap)

1. Présentation générale et exemples

• Exemple 2 : Une raffinerie produit du super SP98 (P1) et du super SP95 (P2) à partir de 3 constituants C1,C2 et C3.

Question Chercher la structure de production journalière qui maximise la marge d’exploitation de la raffinerie.

  C1 C2 C3 Prix de vente par baril

P1au plus

30%au moins

40%au moins

50%18 euros

P2au plus

50%au moins

10%--- 22 euros

Nombre de barils disponibles par jour

3000 2000 1000  

Prix d'achat par baril 12 euros 24 euros 20 euros  

1. Présentation générale et exemples

• Modélisation de l’exemple 2– Définition des variables de décision

• Ui : Quantité journalière du constituant Ci utilisée (en baril), i=1,2,3

• Vj : Quantité journalière du carburants Pj produite (en baril), j=1,2

• Xij : Quantité journalière du constituant Ci intervenant dans le carburant Pj (en baril), i=1,2,3 et j=1,2

– Lien entre les variables de décision

1. Présentation générale et exemples

• Modélisation de l’exemple 2– Spécification des contraintes du problème

• Contraintes liées à la disponibilité des constituants• Contraintes liées au respect des proportions• Contraintes de non négativité

– Spécification de la fonction objectif

22V1+18V2 – (12U1+24U2+20U3)

CA Coût

2. Forme générale d’un PL

• Un PL peut s’écrire Max ou Min jcj xj

jaij xj ≤ bi pour i =1,…,m1

jaij xj ≥ bi pour i =m1+1,…,m1+m2

jaij xj = bi pour i =m1+m2+1,…,m1+m2+m3

xj ≥ 0 pour j =1,…, n1

xj ≤ 0 pour j =n1+1,…, n1+n2

xj s.r.s. pour j =n1+n2+1,…, n1+n2+n3

3. Résolution géométrique

• Illustration avec l’exemple 1 :

Max 2x1 + 3x2

x1 + 6x2 ≤ 30

2x1 + 2x2 ≤ 15

4x1 + x2 ≤ 24

x1,x2 ≥0

3. Résolution géométrique

a. Représentation géométrique de l’ensemble des solutions réalisables

• Chaque solution est un couple de valeurs (x1,x2). Elle est représentée par un point de IR²

• Chaque contrainte élimine un demi-plan de IR² délimité par la droite associée à la contrainte

• L’ensemble des solutions réalisables est un sous-ensemble de points EIR², appelé polyèdre des solutions réalisables

3. Résolution géométrique

a. Représentation géométrique de l’ensemble des solutions réalisables

3. Résolution géométrique

b. Résolution géométrique– Tous les points de la droite 2x1 + 3x2 = M (D)

donnent la même valeur M à la fonction objectif– On remarque qu’en déplaçant la droite (D) vers

le Nord-Est on obtient 2x1 + 3x2 = M’ (D) avec M’>M

– On continue jusqu’à ce qu’on trouve le dernier point admissible : ici c’est le point B.

3. Résolution géométrique

b. Résolution géométrique– D’une façon générale, la direction déterminée

par le gradient de la fonction objectif est une direction d’augmentation de cette fonction

– Vecteur gradient f(x1,x2) = (f/x1, f/x2)

– Si f(x1,x2)= 2x1+3x2 alors f(x1,x2) =(2,3)

3. Résolution géométrique

c. Introduction graphique à l’analyse de sensibilité

– Question 1 : Quelle modification sur les coefficients de la fonction objectif peut laisser invariant l’optimum ?

– Question 2 : Jusqu’à quelle quantité d peut on restreindre les disponibilités en matière première M3 sans changer de solution optimale

– Question 3 : On a la possibilité de disposer d’une quantité supplémentaire de M2. Est-ce intéressant ? Jusqu’à quelle quantité ?

3. Résolution géométrique

c. Introduction graphique à l’analyse de sensibilité

– Question 1 : Quelle modification sur les coefficients de la fonction objectif peut laisser invariant l’optimum ?• (D) : c1x1+c2x2• Il faut que la pente de (D) soit comprise entre celle

de (D1) et celle de (D2)

-1 ≤ -c1/c2 ≤ -1/6

3. Résolution géométrique

c. Introduction graphique à l’analyse de sensibilité

– Question 2 : Jusqu’à quelle quantité d peut on restreindre les disponibilités en M3 sans changer de solution optimale• La contrainte associée à M3 4x1+x2 ≤ d =24 n’est

pas active.• Si on diminue d, on déplace parallèlement la droite

vers l’ouest• La valeur limite est obtenue quand la droite passe

par B

3. Résolution géométrique

c. Introduction graphique à l’analyse de sensibilité

– Question 3 : On a la possibilité de disposer d’une quantité supplémentaire de M2. Est-ce intéressant ? Jusqu’à quelle quantité ?

4. Les différents résultats d’un PL

a. Cas usuel– Le PL a une solution optimale unique– Cette solution correspond à un somment du

polyèdre : ceci reste vrai même si n>2– Résultat général : Si un PL admet une ou

plusieurs solutions optimales alors une au moins de ces solutions est un sommet du polyèdre des solutions réalisable

4. Les différents résultats d’un PL

b. Plusieurs solutions optimales

Max x1 + x2

x1 + x2 ≤ 2

x1 ≤ 1

x1,x2 ≥0

– L’ensemble des solutions optimales se situe sur le segment [A,B] : ensemble infini

4. Les différents résultats d’un PL

c. Aucune solution optimale

c.1 E=videMax 2x1 + x2 x1 + x2 ≤ 2 x1 ≥ 3 x1,x2 ≥0

c.2 E non bornéMax 2x1 + x2 x1 + x2 ≥ 2 x1 ≤ 1 x1,x2 ≥0

Attention : E peut être non borné et admettre une solution optimale

5. Résolution et analyse de sensibilité avec le solveur Excel

6. Programmation linéaire en nombres entiers