bilan annuel

PTSI B 2012-2013 : Un an de maths

Guillaume LAFON

4 aot 2013

Table des matires

Lanne la plus dure xv

I Cours 1

1 Fonctions usuelles 51.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Ensembles et logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 La fonction logarithme nprien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles quelconques . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Rappels sur les fonctions puissances entires et racines n-mes . . . . . . . . . 131.3.2 Puissances quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Limites et drives utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Drivation de fonctions issues dexponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Fonctions trigonomtriques et trigonomtriques rciproques . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Rappels de trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 Fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.3 Fonctions trigonomtriques rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Fonctions hyperboliques et hyperboliques rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.2 Fonctions hyperboliques rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Formulaire de drives connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Nombres complexes 292.1 Lensemble des nombres complexes, structure et oprations . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Complexes et trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Groupe des complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.3 Applications en trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 quations complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Racines n-mes de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Complexes et gometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

iv TABLE DES MATIRES

2.4.1 Affixes dobjets gomtriques du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2 Produit scalaire et dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.3 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Gomtrie plane 413.1 Reprage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Rappels sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2 Repres cartsiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.3 Rprage polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Produit scalaire et dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2 Dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Droites et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.1 quations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.3 quations de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 quations diffrentielles 554.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Quelques rappels sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 quations linaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.1 Rsolution de lquation homogne associe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.2 Rsolution de lquation complte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4.3 Mthode dEuler pour la rsolution approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5 quations linaires du deuxime ordre coefficients constants . . . . . . . . . . . . . 62

5 Gomtrie dans lespace 675.1 Reprage dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.1 Reprage cartsien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.2 Reprage cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.3 Reprage sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Produit scalaire ; produit vectoriel ; produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Plans, droites et sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.1 quations de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.2 Droites dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3.3 quations de sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Courbes planes 816.1 Complments sur les fonctions relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1.1 Convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.1.2 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.1 Drivation de fonctions deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.2 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.3 Fonctions polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

TABLE DES MATIRES v

7 Coniques 977.1 Dfinition monofocale des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.1.1 quations cartsienne et polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.1.2 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.1.3 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.1.4 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.2 Dfinition bifocale des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.3 Courbes algbriques du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8 Ensembles 1078.1 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.2 Rcurrence, sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.1 Dmonstration par rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.2.3 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3.1 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3.2 Listes, arrangements et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.3.3 Proprits des coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9 Suites 1219.1 Structure de lensemble R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.1.1 Relations dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.1.2 Borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.2 Gnralits sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.2.2 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.3 Convergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3.1 Limites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.3 Oprations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.4 Ingalits et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.4 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.4.1 Ngligeabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.4.2 Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.4.3 Rsultats classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.5 Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5.1 Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5.2 Suites implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.5.3 Suites rcurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10 Structures algbriques 14110.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.1.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.1.2 Groupes et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.1.3 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.2 Anneaux et arithmtique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2.1 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2.2 Arithmtique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.3 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

vi TABLE DES MATIRES

10.3.1 Lanneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.3.2 Factorisation de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

11 Continuit 15711.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.2 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3 Proprits globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

12 Calcul matriciel 16712.1 Un exemple amusant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2 Structure et oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.2.1 Somme et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16812.2.2 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.2.3 Matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.3 Inversion et systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.3.1 Inversion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.3.2 Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

12.4 Dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13 Drivation 18313.1 Dfinitions et formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.1.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18313.1.2 Oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18513.1.3 Drives de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

13.2 Drives successives ; convexit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713.3 Throme des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

14 Espaces vectoriels 19114.1 Espaces et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

14.1.1 Dfinitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19214.1.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19214.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19414.1.4 Espaces vectoriels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

14.2 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19814.2.1 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19814.2.2 Applications linaires classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20114.2.3 Aspect matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

15 Intgration 20715.1 Construction de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

15.1.1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20915.1.2 Intgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21015.1.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

15.2 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.2.1 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21815.2.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21915.2.4 Rgles de Bioche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22115.2.5 Racines carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

15.3 Calcul numrique dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22215.3.1 Mthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22315.3.2 Mthode des trapzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22415.3.3 Mthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

TABLE DES MATIRES vii

16 Dimension des espaces vectoriels 22716.1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

16.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22716.1.2 Sous-espaces vectoriels et dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

16.2 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

17 Dveloppements limits 23517.1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23517.2 Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

17.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23917.2.2 Formulaire, premire partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24017.2.3 Oprations sur les dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24117.2.4 Formulaire, deuxime partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

17.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24417.3.1 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24417.3.2 tude locale de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24417.3.3 Dveloppements asymptotiques de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24517.3.4 Points stationnaires de courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

18 Gomtrie euclidienne 24718.1 Gomtrie euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

18.1.1 Produits scalaires et normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24818.1.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25018.1.3 Projections et symtries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25218.1.4 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25318.1.5 Isomtries du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25518.1.6 Isomtries de lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

18.2 Gomtrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25918.2.1 Espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25918.2.2 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26018.2.3 Isomtries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

19 tude mtrique des courbes planes 26919.1 Longueur dune courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26919.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20 Fonctions deux variables 27920.1 Continuit, drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

20.1.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27920.1.2 Exemples de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28120.1.3 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28320.1.4 Drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28520.1.5 Drives partielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28720.1.6 quations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

20.2 Intgrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28920.3 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

II Exercices 297

TD1 : Fonctions 300Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

viii TABLE DES MATIRES

Fonctions usuelles 307Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

TD2 : Fonctions 324Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Nombres complexes 329Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Gomtrie plane 351Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

TD3 : Complexes 366Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

quations diffrentielles 372Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

TD4 : Gomtrie dans lespace. 387Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Gomtrie dans lespace 393Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

TD5 : rvisions DS3 406Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Courbes planes. 415Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

Coniques. 456Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458


Ensembles 481Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Suites 497Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

Structures algbriques 524Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528


Limites et continuit 548Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

TD8 : matrices et systmes 559Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

TABLE DES MATIRES ix

Calcul matriciel 562Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

TD9 : bte et (pas si) mchant 584Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

Drivation 593Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597


Espaces vectoriels 621Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

Intgration 637Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642


Dimension 671Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

Dveloppements limits 681Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

TD12 : rvisions diverses 699Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

Gomtrie euclidienne 705Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

TD13 : sujet dannales 715Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

tude mtrique des courbes planes 721Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722

TD14 : sujet dannales 735Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

Fonctions deux variables 749Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

III Devoirs 759

QCM de rentre 762QCM de rentre : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

DS1 766DS1 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

x TABLE DES MATIRES

DS2 775DS2 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

DS3 784DS3 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

DS4 794DS4 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

DS5 803DS5 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

DS6 812DS6 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

DS7 819DS7 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

DS8 829DS8 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

Concours Blanc 838Concours Blanc : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

DM1 848DM1 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850

DM2 853DM2 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854

DM3 858DM3 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

DM4 869DM4 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871

DM5 875DM5 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876

DM6 881DM6 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883

DM7 890DM7 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892

DM8 896DM8 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897

DM9 900DM9 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903

IE1 908IE1 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909

TABLE DES MATIRES xi

IE2 910IE2 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

IE3 912IE3 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913

IE4 914IE4 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915

IE5 918IE5 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

IE6 920IE6 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

IE7 922IE7 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923

IE8 925IE8 : Corrig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926

IV Colles 927Programme semaine 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930Programme semaine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931Programme semaine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932Programme semaine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933Programme semaine 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934Programme semaine 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935Programme semaine 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936Programme semaine 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937Programme semaine 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938Programme semaine 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939Programme semaine 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940Programme semaine 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941Programme semaine 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942Programme semaine 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943Programme semaine 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944Programme semaine 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945Programme semaine 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946Programme semaine 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947Programme semaine 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948Programme semaine 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949Programme semaine 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950Programme semaine 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951Programme semaine 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952Programme semaine 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953Programme semaine 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954Programme semaine 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955Programme semaine 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956Programme semaine 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957Programme semaine 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958Programme semaine 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

xii TABLE DES MATIRES

A Trombinoscope 961

B Pique-nique de fin danne 965

Lanne la plus dure

xiii

TABLE DES MATIRES xv

Je vais partager un petit secret avec vous. La course piedfut lorigine de ma force. Trs tt dans ma carrire,jai appris courir au-del de la fatigue. Tant que je neressentais ni lassitude ni douleur, je considrais cela commeun simple chauffement. Il fallait que je dpasse mon seuilde tolrance pour que lentranement devienne profitable.Cest ce moment-l que je mettais les bouches doubles.Chaque kilomtre supplmentaire mapportait un surcrot dnergie.Ce qui fait la diffrence sur le ring, cest ce dont on estcapable une fois quon est fatigu. Cest la mme chosedans la vie. Ne vous laissez pas arrter par ceux qui abandonnentquand ils se sentent mal, par ceux qui se dsesprent facilement,par ceux que lchec et linjustice dmoralisent, par ceuxqui perdent de vue leur objectif. Si vous voulez gagner,votre volont ne doit jamais flchir, votre foi ne jamais faiblir.Vous ne devez jamais cesser de vous battre.

Muhammad Ali

Aprs avoir instaur comme tradition la citation (on passera sous silence les trs mauvaises blaguesqui les ont accompagnes) en dbut de chapitre, je ne pouvais pas chapper une dernire citationdigne de ce nom pour chpeauter ce bilan. Bon, l, au moins, je pense que vous navez pas t vols.Cest bien, elle prend tellement de place quil en restera moins pour moi pour dire nimporte quoi.Mais plus srieusement, je pense que cette citation est fort adapte pour les prparationnaires quevous tes (dailleurs, je lai honteusement pompe sur un blog consacr la prpa). Je vous laisseraila mditer loisir la prochaine fois que serez dcourag par lampleur de la tche quon demande devous pour prparer vos concours.

Eh oui, ne loublions pas, votre objectif est encore devant vous, les concours ce sera lan prochain.Cest dailleurs pourquoi mon titre ne sadresse pas du tout vous, mais bel et bien moi (quel gostece prof quand mme). Oui, cette anne de prpa (ok, ce nest pas vraiment la mme chose pour nousque pour vous, mais on refait quand mme une anne de prpa par an) aura t la plus dure. Nonpas cause de vous, mme si jai certainement laiss beaucoup trop de libert dexpression aux plusbavards dentre vous pendant les cours du vendredi matin, mais en raison dun tas de facteurs qui ontconverg, tels de vilaines suites adjacentes, pour rendre ces dix mois particulirement fatigants pourmoi. Il y a, bien sr, les gamins la maison qui bouffent normment dnergie (il faudra encorequelques annes avant quils ne bouffent normment tout court quand ils feront leur pousse decroissance). Jai dailleurs un bon conseil donner ceux dentre vous qui envisagent de se muteren parents un jour ou lautre (ou qui lenvisageront un peu plus tard) : allez-y, faites-vous plaisir, lesgamins cest gnial, mais si vous pouvez, essayez de faire des marmottes. Des gamins qui dorment la

xvi TABLE DES MATIRES

nuit, genre dix heures de suite, qui ne font jamais de cauchemar, qui nont pas envie de se prendre unpetit biberon trois heures du matin parce que cest fun, bref qui vous laissent de temps en tempsfaire une nuit complte dun seul tenant. Parce quon a beau tre un trs bon dormeur, les nuitshaches, la longue, a use terriblement.

Autre gros facteur de fatigue vident, le fait de changer de classe. Mme si je connais bien leprogramme de premire anne scientifique (celui de PTSI nest pas foncirement diffrent de celuique jai moi-mme connu il y a 15 ans), prparer les cours, les exos etc prend un temps fou. Sauf tre capable de tout organiser pendant les vacances dt avant la rentre (et a, je sais que ce nesera jamais mon cas !), on finit forcment un moment ou un autre par faire des cours larrache peine prpars ou par poser un exo quon na mme pas pris le temps de vrifier. Pire, javais cetteanne un gros facteur aggravant, le fait que je savais trs bien que le programme allait changer ensuiteet que je prparais donc plein de choses dont je ne me resservirais pas ! Je comprends maintenantun peu mieux tous ceux dentre vous qui se demandent pourquoi on les force pendant leur prpa faire des maths compliques dont ils nutiliseront pas le dizime ensuite. Jespre en tout cas queje naurai pas eu trop souvent dabsences au moment des dmonstrations, pas trop fait derreurs decalculs atroces au tableau, et pas trop racont nimporte quoi en TD de Maple.

propos de Maple dailleurs, jai dcid de purement et simplement supprimer de ce bilan toutela partie concernant linformatique. Je pense ne jamais trouver la motivation ncessaire pour taperdes corrigs des TP dignes de ce nom, alors vous vous contenterez daller retrouver les noncs surma page si vous y tenez. Pour la partie mathmatiques, par contre, cest bel et bien complet, remisen forme, et sans une seule faute de frappe. Non, je plaisante, je nai absolument pas repris tout ceque javais tap pendant lanne, les trs nombreuses coquilles sont donc toujours prsentes. Maisje compte sur monsieur Maire pour menvoyer un compte-rendu dtaill de mes nombreuses erreursaprs relecture attentive ( propos, rien avoir, mais nous avons dgust la bouteille amene pourle pique-nique, cest assez surprenant mais fort agrable). Bien sr, je ne doute pas que vous fereztous une relecture trs attentive de ces presque 1000 pages de contenu. Grosse dception pour moitout de mme, je nai pas atteint la barrire symbolique des quatre chiffres cette anne, malgr uneinflation trs nette par rapports aux annes prcdentes. Mais oui, je sais, il ne fallait pas sacrifierce pauvre Maple.

Tout de mme, quand on y rflchit, plusieurs centaines de pages pour seulement quelques mois,cest beaucoup. Trop, srement. Trop en tout cas pour que a puisse tre compltement et parfai-tement assimil par le commun des mortels. Et mme si vous ntes pas tout fait le commun desmortels, je sais bien que beaucoup de subtilits dans tout ce quon a pu voir ensemble vous aurontpass largement au-dessus de la tte. Ce nest pas grave. Ce qui est important pour vous, cest quevous ayez assez assimil pour tre bien prpars pour lan prochain, et je pense sincrement quece sera le cas pour tous, quitte bien sr se replonger un petit peu dedans avant septembre. Maissurtout, ce qui est important, cest que vous ayez compris que la prpa ne sert pas seulement vous gaver de connaissances de faon un peu brutale, mais aussi vous faire comprendre que laconnaissance brute nest pas le but, mais quil y a une organisation du savoir, une comprhensionfine du monde qui nous entoure, une curiosit de lagencement extraordinairement subtil de tous lescomposants qui constituent notre environnement de tous les jours, de la simplicit de latome lacomplexit de votre smartphone, qui justifie les heures passes souffrir sur des formules immondeset autres thormes aux noms barbares. Jespre avoir pu contrubuer vous clairer un peu sur cettefabuleuse science que sont les mathmtiques. Jespre mme que vous aurez un peu de gratititudepour avoir tent de vous en faire dcouvrir quelques aspects. En ce qui me concerne, en tout cas, jevous remercie une dernire fois de mavoir cout, avoir plus ou moins dintrt, de bonne volontou de comprhension, mais toujours dans la bonne humeur, pendant un nombre de secondes que jelaisse le soin aux plus masochistes dntre vous de se remmorer !

Guillaume Roupoil Lafon4 aot 2013

TABLE DES MATIRES xvii

Dsol pour le retard, tout est de ma faute !

xviii TABLE DES MATIRES

Premire partie

Cours

1

3

- Ouiiiiiiiiiin.- Chrie, tu peux y aller ? Je finis de prparer mon cours pour demain !

Chapitre 1

Fonctions usuelles

Logarithme et exponentielle dnent ensemble au resto.Cest exponentielle qui paye tout la note, pourquoi ?Parce que logarithme nprien !

Ce premier chapitre de lanne a pour principal objectif de constituer un catalogue des fonctionsque nous considrerons comme suffisamment classiques pour que leur matrise soit indispensable.Certaines de ces fonctions ont dj t tudies au lyce (logarithme nprien et exponentielle ;fonctions trigonomtriques), les autres ne font intervenir aucune thorie supplmentaire, si ce nestla notion de bijection qui sera aborde en dbut de chapitre. On en profitera dailleurs pour donnerquelques notations sur les ensembles qui seront rutilises en permanence tout au long de lanne, etdont la matrise parfaite devra donc tre immdiate.

Objectifs du chapitre :

matrise de lutilisation des quantificateurs et : comprhension dun nonc faisant intervenirune succession de quantificateurs, capacit donner la ngation dun nonc quantifi. matrise des rgles de calcul sur lexponentielle, le logarithme et les puissances : rsolution

dquations se ramenant du second degr, manipulation aise des racines carres. connaissance des drives et reprsentations graphiques des fonctions trigonomtriques et hy-

perboliques, et de leurs rciproques (y compris limites et asymptotes).

1.1 Vocabulaire

1.1.1 Ensembles et logique

La logique est un domaine un peu part au sein des mathmatiques, essentiel la construc-tion mme de lensemble de la thorie mathmatique. notre petit niveau, nous ne ferons rien debien compliqu, contentons-nous de considrer la logique comme une sorte de grammaire des ma-thmatiques. Pour bien comprendre le sens exact que lon attribue chaque nonc que contientun texte mathmatique, il est important de sappuyer sur des bases rigoureuses. En ce qui concerneles ensembles, ils forment les briques lmentaires de la grande thorie des mathmatiques qui esten cours aujourdhui. Tous les objets mathmatiques que vous manipulerez cette anne (y comprisles fonctions, ou mme les nombres entiers par exemple) peuvent tre vus comme des ensembles. Lencore, rien de compliqu dans ce chapitre, simplement quelques dfinitions, que nous complteronsdans un chapitre ultrieur.

Ensembles

Dfinition 1. Un ensemble est une collection dobjets mathmatiques. Il peut tre dcrit en don-nant la liste de tous ses lments, mais sera plus souvent (notamment pour les ensembles infinis)

5

6 CHAPITRE 1. FONCTIONS USUELLES

dfini par une proprit commune de ces objets, par exemple [2; 3[= {x R | 2 6 x < 3}. Le symbole signifie appartient et le symbole | signifie tels que . La notation entre accolades dsignetoujours un ensemble en mathmatiques.

Dfinition 2. Deux ensembles E et F sont gaux sils contiennent exactement les mme lments.Lensemble F est inclus dans lensemble E si tout lment de F appartient aussi E. On le noteF E.

Mthode : Pour montrer que deux ensembles E et F sont gaux, on peut procder par doubleinclusion, cest--dire prouver sparment le fait que E F et F E.

Remarque 1. Il ne faut pas confondre appartenance et inclusion. Ainsi,

7 [2; 3[, mais [1;

7] [2; 3[.

Dfinition 3. Lensemble ne contenant aucun lment, appel ensemble vide, est not .

Quantificateurs et quivalences

Dfinition 4. Nous utiliserons tout au long de lanne dans nos noncs de thormes et de pro-positions les deux symboles suivants, appels un peu pompeusement quantificateur existentiel etquantificateur universel : le symbole signifie il existe ; ainsi, le fait quune fonction f sannule sur lintervalle [0; 1]

peut scrire plus mathmatiquement x [0; 1], f(x) = 0. le symbole signifie quel que soit ; ainsi, le fait quune fonction f soit nulle sur lintervalle

[0; 1] scrit x [0; 1], f(x) = 0. Notez bien la diffrence entre ces deux exemples, il estvidemment essentiel de ne pas confondre les deux symboles.

Remarque 2. Dans les cas o a besoin de plusieurs quantificateurs pour exprimer une proprit (aarrive souvent), lordre dans lequel on les dispose est aussi trs important. On les lit naturellementde gauche droite, ce qui donne par exemple : x R, y 6= x R, f(x) > f(y) signifie que f admet un maximum (global) en x (f(x) est

plus grand que toutes les autres images par f). y R, x 6= y R, f(x) > f(y) signifie que f nadmet pas de maximum (quelle que soit la

valeur de y, on peut trouver un x ayant une image plus grande par f).En gnral, il faut retenir que, dans un nonc commenant par x, y, la variable y dpend de x,alors que dans le cas o lnonc stipule y, x, le y est universel, il doit fonctionner pour toutes lesvaleurs de x possibles.

Dfinition 5. Le symbole est un symbole dimplication : A B signifie que la proprit Best vraie ds que A lest (par contre, si A est fausse, B peut bien tre vraie ou fausse, a na pasdimportance). Le symbole est un symbole dquivalence : A B signifie que A implique B et Bimplique A. Autrement dit, ds que lune est vraie, lautre aussi, et ds que lune est fausse lautreaussi. Autre faon de voir les choses : A B et sa rciproque B A sont toutes les deux vraies.

Exemple (thorme de Pythagore et rciproque) : Un triangle ABC est rectangle en A AB2 +AC2 = BC2.

Remarque 3. Quand on calcule les longueurs des cts dun triangle, et quon invoque labsencedgalit de Pythagore pour prouver que le triangle nest pas rectangle, on nutilise pas la rciproquedu thorme, mais bel et bien le thorme lui-mme, ou plutt sa contrapose : si A B, lacontrapose stipule que la ngation de B implique la ngation de A. Lorsquune implication estvraie, sa contrapose lest galement.

Mthode : Pour prouver une quivalence A B, on procde souvent en prouvant sparment lesdeux implications A B, et B A. Faites trs attention ne pas vous contenter de prouver lunedes deux implications.

1.1. VOCABULAIRE 7

1.1.2 Fonctions

Le vocabulaire de base sur les fonctions tant suppos acquis au lyce, ce paragraphe est simple-ment loccasion dnoncer certaines dfinitions essentielles laide des quantificateurs. En particulier,les dfinitions suivantes ne sont pas rappeles : image et antcdents dun rel par une fonction, li-mites, asymptotes, continuit, drive et lien entre le signe de la drive et le sens de variations dela fonction. Tous ces points sont supposs matriss sur le bout des doigts. Nous reviendrons sur lesnotions de continuit et de drivabilit (avec une approche beaucoup plus rigoureuse quau lyce)ultrieurement.

Domaine de dfinition

Dfinition 6. Une fonction f : Df 7 R est un objet mathmatique associant tout rel xappartenant un sous-ensemble Df de R, un rel y galement not f(x). Lensemble Df est appeldomaine de dfinition de la fonction f .

Mthode : Pour dterminer un domaine de dfinition, on fera notamment attention au trois pro-blmes suivants : annulation dun dnominateur : si f(x) = x+ 1

x2 4, alors Df = R\{2; 2}.

positivit sous une racine : si f(x) =

4 2x, alors Df =]; 2]. stricte positivit sous un ln : si f(x) = ln(x2 9), alors Df =];3[]3; +[

Parit, priodicit

Dfinition 7. Une fonction f est paire si son domaine de dfinition est symtrique par rapport 0et x Df , f(x) = f(x). Elle est impaire si son domaine de dfinition est symtrique par rapport 0 et x Df , f(x) = f(x).

Remarque 4. La condition sur la symtrie de lensemble de dfinition est ncessaire pour assurer quex appartienne toujours au domaine de dfinition de f .Mthode : Pour prouver quune fonction est paire (ou impaire), on exprime f(x) en fonction dex et on essaie de le mettre sous une forme permettant de constater que f(x) = f(x). Pour prouverquune fonction nest pas paire, il suffit de trouver un contre-exemple, donc une valeur de x pourlaquelle f(x) 6= f(x). Attention tout de mme, le fait que f(2) = f(2) par exemple ne prouverien.

Proposition 1. La courbe reprsentative dune fonction paire dans un repre orthogonal est sy-mtrique par rapport laxe (Oy) du repre. La courbe reprsentative dune fonction impaire estsymtrique par rapport lorigine 0 du repre.

Dmonstration. Graphiquement, la parit sexprime comme ceci : si un point A(x; f(x)), le pointA(x, f(x)) appartiendra galement la courbe (et vice-versa). Or, A nest autre que le symtriquede A par rapport laxe (Oy). Le raisonnement est le mme pour les fonctions impaires.

Dfinition 8. Une fonction f est priodique de priode T si, quel que soit x appartenant Df ,x+ T appartient Df et f(x+ T ) = f(x).

Remarque 5. Une fonction priodique possde plusieurs priodes diffrentes, puisque tout multipledune priode est galement une priode. Ainsi, la fonction cos est priodique de priode 2, maisaussi 4 ou encore 56. Il existe toutefois toujours une priode qui sera la plus petite priodepositive de la fonction f , et quon appelle par abus de langage la priode de la fonction f .

Proposition 2. La courbe reprsentative dune fonction f priodique de priode T est invariantepar translation de vecteur T

i .

Dmonstration. Le point (x, f(x)) ayant pour image par cette translation le point (x+T, f(x)), cestune consquence immdiate de la dfinition.


Monotonie

Dfinition 9. Une fonction relle f est croissante (resp. dcroissante) sur un intervalle I si,(x, y) I2, x < y f(x) 6 f(y) (resp. f(x) > f(y)). Je vous pargne les dfinitions de croissanceet dcroissance stricte.

Dfinition 10. Une fonction relle f admet un maximum (local) en x sur lintervalle I si x Iet y I, f(y) 6 f(x). On parle de maximum global si I = Df . On dfinit de mme minimumlocal et global.

Dfinition 11. Le rel m est un minorant de la fonction f sur lintervalle I si x I, f(x) > m.De mme, M est un majorant de f sur I si x I, f(x) 6 M . On dit que f est borne sur I sielle y admet la fois un majorant et un minorant.

Remarque 6. Un minorant nest pas la mme chose quun minimum. Par exemple, la fonction x 7 x2a pour minimum 0 sur R, mais elle est aussi minore par 2, 15 et beaucoup dautres valeurs. Unefonction peut mme tre minore sans avoir de minimum, par exemple la fonction inverse sur R+.

Bijections

Dfinition 12. Une fonction f : I J est une bijection de lintervalle I dans lintervalle J si toutlment de J admet exactement un antcdent par la fonction f dans lintervalle I.

Dfinition 13. Si f est une fonction bijective de I dans J , on appelle bijection rciproque def la fonction g : J I qui, un rel y appartenant I, associe son unique antcdent x par lafonction f . Lapplication g est alors une bijection de lintervalle J dans lintervalle I. On la note f1.

Exemple : La notion de rciproque est intuitivement simple, il sagit simplement de crer unefonction g qui fait le contraire de la fonction f . Mais pour cela, la condition sur lunicit desantcdents est indispensable, sinon on aura plusieurs possibilits pour la dfinition de la fonction g.Un exemple que vous connaissez dj est celui de la racine carre, qui est la rciproque de la fonctioncarr f : x 7 x2. Attention tout de mme, la fonction f nest pas une bijection de R dans R, puisqueles rels ngatifs nont pas dantcdent par f , mais que les rels strictement positifs en ont deux.Par contre, cette mme fonction f est bijective de R+ dans R+. Cest pour cela que la racine carreest une fonction dfinie seulement sur R+, valeurs dans R+ (dans la dfinition de la racine carre,on prcise bien quil sagit dun nombre positif).

Remarque 7. Pour tout x appartenant I, on a f1(f(x)) = x ; pour tout x dans J , f(f1(x)) = x.De plus, les reprsentations graphiques des fonctions f et f1 dans un repre orthogonal sont descourbes symtriques par rapport la droite dquation y = x.

Thorme 1. Soit f : I J une fonction continue et strictement monotone. Alors f effectue unebijection de I dans J . De plus, sa rciproque f1 est galement continue et strictement monotone,de mme monotonie que f .

Proposition 3. Soit f : I J une bijection drivable sur I et telle que x I, f (x) 6= 0, alors sabijection rciproque est drivable sur J et y J , (f1)(y) = 1

f (f1(y)).

Exemple : Si on reprend lexemple de la racine carre, on trouve en utilisant le fait que (x2) = 2x,

la formule bien connue (x) =

1

2x.

1.2 Logarithmes et exponentielles

ternel dilemme du professeur de maths au moment daborder cette partie du cours : exponentielledabord ou logarithme en premier ? Quel que soit le choix, soyez conscients que la construction

1.2. LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 9

sappuiera ce stade sur des rsultats puissants que nous ne serons pas en mesure de dmontrer :existence dune primitive une fonction continue pour le logarithme, existence dune solution une quation diffrentielle pour lexponentielle. Nous commencerons avec le logarithme (cest le plustraditionnel) car les dmonstrations sont plus faciles enchaner dans ce sens, mais je vous donneraigalement des dfinitions indpendantes de lexponentielle.

1.2.1 La fonction logarithme nprien

Dfinition 14. La fonction ln (logarithme nprien) est lunique primitive de la fonction inverse

x 7 1x

sur lintervalle ]0; +[ sannulant pour x = 1.

Proposition 4. Principales proprits de la fonction ln : Pour tous nombres rels strictement positifs x et y, ln(xy) = ln(x) + ln(y).

Les formules suivantes dcoulent de la premire proprit : ln(

1

x

)= ln(x) ; ln

(x

y

)=

ln(x) ln(y) ; pour tout entier relatif n, ln(xn) = n ln(x). La fonction ln est strictement croissante sur R+. limx0

ln(x) = et limx+

ln(x) = + Il existe un unique rel, not e, vrifiant ln(e) = 1.

Dmonstration. Puisque tout ce que nous savons pour linstant sur le logarithme est quil est une primitive

de1

x, la dmonstration va passer par une drivation. Fixons donc une valeur de y > 0, et

posons g(x) = ln(xy) ln(x) ln(y). La fonction g est dfinie et drivable sur ]0; +[, dedrive g(x) =

y

xy 1x

= 0. La fonction g est donc constante sur R+. Comme g(1) =

ln(y) ln(1) ln(y) = 0, on en dduit que x > 0, ln(x + y) ln(x) ln(y) = 0, ce qui estquivalent notre proprit.

En choisissant y = 1xdans la formule prcdente, on obtient ln(1) = ln(x)+ln

(1

x

), soit ln(x)+

ln

(1

x

)= 0, ce qui prouve le premier point. Il suffit ensuite dcrire ln

(x

y

)= ln

(x 1

y

)=

ln(x) + ln

(1

y

)= ln(x) ln(y) pour obtenir le deuxime. La dernire formule se prouve, pour

les valeurs positives de n, par rcurrence. Pour n = 0, ln(x0) = ln(1) = 0 = 0 ln(x). Ensuite,si on suppose vraie la proptit au rang n, alors ln(xn+1) = ln(xn x) = ln(xn) + ln(x) =n ln(x)+ln(x) = (n+1) ln(x), ce qui prouve lhrdit de la proprit. Pour les valeurs ngatives

de n, on crit simplement ln(xn) = ln(

1

xn

)= ln(xn) = n ln(x).

Sa drive tant strictement positive, cest clair. La fonction tant croissante, elle admet ncessairement une limite (finie ou infinie) en +, il

suffit donc de prouver quelle nest pas majore pour obtenir une limite infinie. Or, en prenantun x pour lequel ln(x) > 0 (par exemple x = 2), on a ln(xn) = n ln(x), qui a pour limite +lorsque n tend vers +. La fonction ne peut donc tre majore, et ln

x+(x) = +. En posant

X =1

x, on a alors lim

x0ln(x) = lim

X+ln(X) = .

La fonction ln tant continue et strictement croissante, et au vu des limites calcules prc-demment, elle effectue une bijection de R+ vers R. Le nombre rel 1 admet donc un uniqueantcdent par la fonction ln.

Ajoutons la courbe reprsentative de la fonction, que je couple avec celle de la fonction exponentielleque nous allons maintenant aborder.


0 1 2 3 4 512345

0

1

2

3

1

2

3

e^x

ln(x)

1.2.2 La fonction exponentielle

Dfinition 15. La fonction exponentielle, que lon notera exp, est dfinie sur R comme la rci-proque de la fonction ln.

Remarque 8. On peut dfinir la fonction exponentielle de faon indpendante, sans rfrence aulogarithme. Par exemple, la fonction exponentielle est lunique fonction drivable sur R solution delquation diffrentielle et vrifiant de plus f = f . Une autre dfinition nettement plus maniable mais

faisant intervenir des sries (vous la reverrez lan prochain) est la suivante : x R, exp(x) =+n=0

xn

n!.

Proposition 5. Principales proprits de la fonction exponentielle : La fonction exponentielle est valeurs strictement positives, et strictement croissante sur R.

Sa drive est la fonction exponentielle elle-mme. limx

exp(x) = 0 et limx+

exp(x) = +.

Pour tous nombres rels x et y, exp(x+y) = exp(x)exp(y). En particulier, exp(x) = 1exp(x)

,

et (exp(x))n = exp(nx). Pour tout entier n, exp(n) = en (o e, rappelons-le, est lunique relvrifiant ln(e) = 1 ; on tendra comme vous en avez lhabitude la notation ex toutes lesvaleurs de lexponentielle).

Dmonstration. On peut appliquer le thorme de la bijection rappel plus haut. La fonction exp est dfinie

sur R, valeurs dans R+, et de mme monotonie que ln. De plus, sa drive est donne parexp(x) =

1

ln(exp(x))= exp(x).

Les limites dcoulent galement du thorme de la bijection. Le but ici est dutiliser les rgles de calcul vues sur le logarithme. Notons a et b les antcdents

(uniques chaque fois par bijectivit du ln) de x et y par la fonction ln, on peut crireexp(x + y) = exp(ln(a) + ln(b)) = exp(ln(ab)) = ab = exp(x) exp(y). Comme ln(1) = 0,on a par ailleurs exp(0) = 1, donc exp(x) exp(x) = exp(x x) = 1, soit exp(x) =

1

exp(x)(on peut aussi revenir au logarithme pour dmontrer cette formule). Ensuite, exp(nx) =

exp(n ln a) = exp(ln(an)) = an = (exp(x))n. En particulier, exp(n) = (exp(1))n = en, puisqueln(e) = 1 exp(1) = e.

1.2. LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 11

1.2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles quelconques

Logarithmes en base a

Dfinition 16. Soit a R+\{1}, la fonction logarithme en base a est dfinie sur R+ par

loga(x) =lnx

ln a.

Remarque 9. La fonction ln correspond en fait au logarithme en base e. Un autre logarithme est assezfrquemment employ, le logarithme en base 10, aussi appel logarithme dcimal et not simplementlog (cest cette fonction que correspond la touche log des calculatrices).

Proposition 6. Principales proprits des fonctions logarithmes : Lorsque a > 1, la fonction loga est strictement croissante et admet les mmes limites que le

logarithme nprien. Lorsque 0 < a < 1, la fonction loga est strictement dcroissante ; lim

x0loga(x) = + et

limx+

loga(x) = . Toutes les rgles de calcul vues sur le logarithme nprien restent valables pour le logarithme

en base a.

Dmonstration. La fonction loga tant proportionnelle au logarithme nprien, elle est drivable, de drive

loga(x) =1

x ln(a). Lorsque a > 1, ln(a) > 0, la fonction est donc strictement croissante, et les

limites dcoulent de celles de la fonction ln par simple application des rgles usuelles de calculsde limites. Cette fois-ci, ln(a) < 0, ce qui explique la fois le changement de sens de variation, et le

changement de signe des limites. Il suffit de reprendre chacune des formules pour le ln, et de diviser partout par ln(a), pour

obtenir les quivalents pour le logarithme en base a.

Pour finir, quelques exemples de courbes, qui ont la mme allure que celle de la fonction ln :

0 1 2 3 4 5 6 7 81

0

1

2

3

1

2

3

ln(x)

log(x)

ln(x)/ln(0.5)


Exponentielles de base a

Dfinition 17. Soit a R+\{1}, la fonction exponentielle en base a est dfinie sur R commela rciproque de la fonction loga. On la note expa.

Proposition 7. Principales proprits des exponentielles : On dispose de la formule explicite suivante : expa(x) = ex ln(a). Lorsque a > 1, la fonction expa est strictement croissante et admet les mmes limites que

lexponentielle. Lorsque 0 < a < 1, la fonction expa est strictement dcroissante ; lim

xexpa(x) = + et

limx+

expa(x) = 0. Toutes les rgles de calcul vues sur lexponentielle restent valables pour lexponentielle en

base a. On notera gnralement, similairement ce quon fait pour lexponentielle de base e,expa(x) = a

x.

Dmonstration.

En effet, loga(ex ln(a)) =ln(ex ln(a))

ln(a)= x, donc ex ln(a) est bien lunique antcdent de x par la

fonction loga. On peut au choix utiliser le thorme de la bijestion comme on la fait pour lexponentielle, ou

simplement utiliser la formule explicite vue ci-dessus. Cf le point prcdent. L encore, on peut reprendre la mthode utilise dans le cas de lexponentielle, ou utiliser la

formule explicite. Par exemple, expa(x+ y) = e(x+y) ln(a) = ex ln(a)+y ln(a) = ex ln(a) ey ln(a) =expa(x) expa(y).

Remarque 10. En utilisant la notation introduite en fin de proposition prcdente, on peut crireles rgles de calcul sous une forme plus simple, par exemple ax+y = axay. Toutes ces formulescorrespondent des proprits classiques de manipulation des puissances, qui se gnralisent ainsisans difficult des exposants et des bases non entiers.

Et pour changer, on conclut avec quelques courbes :

0 1 2 3 41234

0

1

2

3

4

1

(1/3)^x

2^x

6^x e^x

1.3. FONCTIONS PUISSANCES 13

1.3 Fonctions puissances

1.3.1 Rappels sur les fonctions puissances entires et racines n-mes

Fonctions puissances entires

Dfinition 18. Soit x un nombre rel. Les puissances positives de x sont dfinies par rcurrence :x0 = 1 et n N, xn+1 = xn x. Lorsque x 6= 0, on peut galement dfinir des puissancesngatives comme inverses des puissances positives : xn =

1

xn. Les fonctions puissances x 7 xn

sont donc dfinies sur R lorsque n > 0, et sur R lorsque n < 0.

Proposition 8. Principales proprits des fonctions puissances entires :

Les fonctions puissances sont continues et drivables sur leur domaine de dfinition, de drivenxn1 lorsque n 6= 0 (la drive de la fonction constante x0 tant nulle).

Lorsque n est un entier pair strictement positif, la fonction puissance n est paire, dcroissantesur ]; 0] et croissante sur [0; +[. Elle a pour limite + en et en +. Lorsque n est impair positif, la fonction est impaire, croissante sur R, de limites respectives et + en et en +. Lorsque n est pair strictement ngatif, la fonction est paire, strictement croissante sur ]; 0[

et dcroissante sur ]0; +[. De plus, limx

xn = 0+ et limx0

xn = +. Lorsque n est impair ngatif, la fonction est impaire, dcroissante sur ]; 0[ et sur ]0; +[.

De plus, limx

xn = 0 ; limx0

xn = et limx0+

xn = +.

Dmonstration. Nous nous contenterons de dmontrer la formule pour la drive, les limites tant videntes ce stade de lanne (on reviendra sur ces calculs aprs avoir rigoureusement dfini leslimites dans un chapitre ultrieur). Prouvons donc la formule quand n > 0 par rcurrence, ce qui nousdonnera une occasion de rviser un peu la thorie de la drivation. Pour n = 1, la fonction x 7 x apour taux dacroissement au point dabscisse x lexpression x(h) =

x+ h xh

= 1. Cette expressionayant videmment pour limite 1 quand h tend vers 0, la drive de la fonction x 7 x est constantegale 1. Supposons dsormais la formule vraie pour un certain entier n, et appliquons la formule dedfivation dun produit la fonction f : x 7 xn+1 = xnx : f (x) = nxn1x+xn1 = nxn+xn =(n + 1)xn, ce qui prouve lhrdit et achve la rcurrence. Pour les puissances ngatives, on peut

utiliser la drive dun inverse. Si n > 0, xn =1

xna pour drive nx

n1

(xn)2= nx

n1

x2n= nxn1.

La formule annonce est donc toujours valable.

Vous commencez avoir lhabitude, quelques petites courbes pour illustrer tout cela :


0 1 2 3123

0

1

2

3

1

2

3

x^0

x

x^2

x^3

x^6

1/x

1/x^2

1/x^5

Racines n-mes

Dfinition 19. Soit n un entier pair strictement positif. On dfinit la fonction racine n-me commela rciproque de la fonction puissance n sur lintervalle [0; +[. On la note n

x. Lorsque n est impair

strictement positif, on peut dfinir la fonction racine n-me sur R puisque la puissance n est alorsbijective de R dans R. La notation reste la mme.

Remarque 11. Lorsque n = 2, comme vous en avez lhabitude, on notera la racine carrex.

Encore quelques exemples de courbes :

0 1 2 3 4 512345

0

1

2

1

2

x^(1/2)

x^(1/10)

x^(1/3)

1.3.2 Puissances quelconques

Dfinition 20. Soit a R, la fonction puissance en base a est dfinie sur R+ par xa = ea lnx.

1.4. LIMITES ET DRIVES UTILES 15

Remarque 12. Cette dfinition prolonge bien celle donne pour les puissances entires et les racinesn-mes. Pour les puissances entires par exemple, on a vu que n lnx = ln(xn), donc en lnx = xn.

Proposition 9. Principales proprits des fonctions puissances : La fonction x 7 xa est drivable sur R+, de drive axa1. Si a > 0, la puissance en base a est strictement croissante sur R+. De plus, lim

x0+xa = 0 et

limx+

xa = +. Si a < 0, la puissance en base a est strictement dcroissante sur R+. De plus, lim

x0+xa = +

et limx+

xa = 0.

Les fonctions puissances en base a et en base 1asont rciproques lune de lautre. En particulier,

la fonction puissance en base1

nconcide avec racine n-me.

Les proprits algbriques des puissances entires restent valables pour les puissances quel-conques : xa xb = xa+b ; (xa)b = xab ; 1a = 1.

Dmonstration. En effet, ea ln(x) se drive comme une compose, et a pour drive a

xea ln(x) =

a

eln(x)ea ln(x) =

ae(a1) ln(x) = axa1. En effet, la drive est alors positive. Les limites se calculent via les rgles usuelles de calculs

de limites. Par exemple, limx0

a ln(x) = , et par composition limx0

ea ln(x) = limX

eX = 0.

Mme principe que ci-dessus. Vrifions : ea ln(x) = y est quivalent a ln(x) = ln(y), soit ln(x) = 1

aln(y) ou encore x =

e1a

ln(y), ce qui prouve le proposition. Tout cela se vrifie aisment laide des proprits du logarithme et de lexponentielle. Par

exemple, xa xb = ea ln(x) eb ln(x) = e(a+b) ln(x) = xa+b. De mme, (xa)b = eb ln(ea ln(x)) =eab ln(x) = xab. Quant au 1a = 1, cest une consquence directe du fait que ln(1) = 0.

Remarque 13. La fonction puissance en base a est prolongeable par continuit en 0 en posant 0a = 0lorsque a > 0. Si a > 1, sa drive est galement prolongeable par 0 en 0 (cf les rsultats decroissance compare), ce qui prouve que la courbe reprsentative de ces fonctions admet en 0 unetangente verticale (on reviendra sur ce genre de calculs dans un chapitre ultrieur sur la drivation.

Vous attendiez les courbes ? Il ny en aura pas, les fonctions puissances quelconques ayant des allurestrs similaires celles des puissances entires et des racines n-mes vues plus haut.

1.4 Limites et drives utiles

1.4.1 Limites classiques

Proposition 10. Les deux limites suivantes en 0 peuvent permettre de lever des indterminations

complexes : limx0

ln(1 + x)

x= 1 ; et lim

x0

ex 1x

= 1.

Dmonstration. Ce sont des consquences des formules pour les drives des fonctions ln et exp. Le

taux daccroissement de la fonction f : x 7 ln(1+x) en 0 vaut 0(h) =ln(1 + h) ln(1)

h=

ln(1 + h)

h.

La fonction f tant drivable, de drive1

x+ 1, lexpression converge donc quand h tend vers 0 vers

f (0) = 1. De mme, en considrant simplement le taux daccroissement de la fonction exponentielleen 0, la deuxime limite est gale e0 = 1.

Proposition 11. Croissances compares :


a > 1, b > 0, limx+

ax

xb= +

b > 0, c > 0, limx+

xb

(ln(x))c= +

a > 1, c > 0, limx+

ax

(ln(x))c= +

Autrement dit, on peut rpartir de la faon suivante les fonctions usuelles en +, les croissances lesplus rapides se situant droite :(lnx)

12 lnx (lnx)2 (lnx)47

x x x2 x2436525 1, 2x 2x ex 12x

Dmonstration. Toutes ces proprits se ramnent la plus simple des proprits de croissance

compare, savoir que limx+

ln(x)

x= 0, ce que nous ne pouvons pas prouver aisment avec notre

dfinition du logarithme.

Constatons par exemple que ax

xb=ex ln(a)

eb ln(x)= ex ln(a)b ln(x) = ex(ln(a)b

ln(x)x

). En admettant lalimite prcdente, lexposant dans lexponentielle a pour limite + en + (avec la conditiona > 1), donc lim

x+

ax

xb= +.

La deuxime est exactement du mme type en posant X = ln(x), puisquon a alors xb

(ln(x))c=

ebX

ec ln(X)= eX(bc

ln(X)X

). La dernire dcoule des deux premires par un simple produit de limites.

Remarque 14. On peut dduire de ces rsultats les autres proprits suivantes : a > 1, n N, lim

xax xn = 0

b > 0, c > 0, limx0+

xb(lnx)c = 0.

1.4.2 Drivation de fonctions issues dexponentielles

Proposition 12. Rappelons les deux cas particuliers suivants de la formule de drivation dunecompose :

(ln |u|) = u

u (eu) = ueu

Nous y ajouterons une troisime formule utilisant les puissances quelconques tudies ci-dessus :

lorsque u est une fonction valeurs strictement positives, (uv) =(v ln(u) +

vu

u

)uv.

Dmonstration. Il est totalement inutile dapprendre cette dernire formule par coeur, il faut sim-plement se rappeler que, pour tudier une fonction de ce type, il est indispensable de lcrire dabordsous forme exponentielle : uv = ev ln(u). La formule est alors une simple application de drivationdexponentielle.

Exemple : tudions en dtail la fonction f : x 7 x1x .

Le premier rflexe avoir est dcrire f sous la forme f(x) = e1x

ln(x). Cela permet notammentde justifier de faon immdiate que Df = R+.

On peut ensuite calculer la drive : f (x) =( 1x2

ln(x) +1

x 1x

)e

1x

ln(x) =1 ln(x)

x2e

1x

ln(x).

Lexponentielle tant toujours positive, et x2 galement, le signe de f est celui de 1 ln(x),qui sannule lorsque ln(x) = 1, soit x = e. La fonction f est croissante sur ]0; e] et dcroissantesur [e; +[. Elle admet un maximum pour x = e, de valeur f(e) = e

1e (a ne se simplifie pas).

1.5. FONCTIONS TRIGONOMTRIQUES ET TRIGONOMTRIQUES RCIPROQUES 17

Dterminons dsormais les limites de f aux bornes de son ensemble de dfinition. Commelimx0+

1

xln(x) = (pas de forme indtermine ici), lim

x0+f(x) = 0. De lautre ct, comme

limx+

1

xln(x) = 0 (par croissance compare), on a lim

x+f(x) = e0 = 1. Il y a en particulier

une asymptote horizontale dquation y = 1 en +. Si on est courageux, on peut tenter de dterminer la prsence dune ventuelle tangente en

0 (o la fonction est prolongeable par continuit), en cherchant si f y admet une limite.Le calcul est loin dtre vident, mais on peut faire une factorisation ingnieuse : f (x) =ln(x)2

x2

(1

ln(x)2 1

ln(x)

)e

ln(x)x . En posant X =

ln(x)

x, X a pour limite quand x tend vers

0, donc le produit X2eX tend vers 0 (cest de la croissance compare). La parenthse restanteavec les inverses de ln tendant elle aussi manifestement vers 0, on en dduit que lim

x0f (x) = 0,

ce qui prouve lexistence dune tanngente horizontale la courbe en 0. On achve naturellement par une jolie courbe, en indiquant les tangentes connues :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

1.5 Fonctions trigonomtriques et trigonomtriques rciproques

1.5.1 Rappels de trigonomtrie

Nous dbuterons cette partie de cours par un retour sur les bases de la trigonomtrie, que vousavez du voir de faon un peu parpille au collge, puis en seconde. Les dmonstrations serontvolontairement brves, puisque ces premiers paragraphes sont censs tre constitus de rvisions.

Cercle trigonomtrique, radians

Dfinition 21. Le cercle trigonomtrique, dans un repre orthonorm, est le cercle de centre O(origine du repre) et de rayon 1. tout rel x, on associe un point M du cercle trigonomtriqueen parcourant le cercle sur une distance x partir du point (1, 0), et x est appel mesure enradians de langle orient (

i ,OM). Labscisse et lordonne du point M associ x sont appeles

respectivement cosinus et sinus de ce rel. On dfinit par ailleurs la tangente quand cest possible,

cest dire si x 6= 2

+ k, k Z, par tanx = sinxcosx

. Pour une interprtation gomtrique de latangente (expliquant dailleurs le nom de tangente), cf le dessin ci-dessous.


0 11

0

1

1

x

cos (x)

sin (x)

tan (x)

Remarque 15. Le reprage du cercle trigonomtrique suppose le choix dune orientation sur ce cercle.On appelle sens trigonomtrique (ou positif) le sens oppos celui des aiguilles dune montre.

Proposition 13. Valeurs remarquables connaitre :

x 0 64

3

2

32

cosx 1

32

2

212 0 1 0

sinx 0 12

2

2

3

2 1 0 1tanx 0

3

3 1

3 0

Dmonstration. Pour les multiples de

2, il suffit de regarder le cercle trigonomtrique. Pour

4, on

obtient les valeurs facilement en se plaant dans un demi-carr de ct 1 (en revenant la dfinitionpurement gomtrique du cosinus et du sinus dans les triangles rectangles, que vous avez vue aucollge). La diagonale a pour longueur

2, donc le cosinus comme le sinus de chacun des deux angles

de mesure

4valent

12

=

2

2. Pour

3et

6, on se place dans un demi-triangle quilatral de ct

1. Les longueurs des trois cts sont donc 1 ;1

2et

3

2(un petit coup de thorme de Pythagore),

dont on dduit sans difficult les valeurs des lignes trigonomtriques.

Proposition 14. Proprits de symtrie du cosinus, du sinus et de la tangente : cos(x+ 2) = cosx sin(x+ 2) = sinx tan(x+ 2) = tanx cos(x+ ) = cosx sin(x+ ) = sinx tan(x+ ) = tanx cos(x) = cosx sin(x) = sinx tan(x) = tanx cos( x) = cosx sin( x) = sinx tan( x) = tanx cos(x+ 2 ) = sinx sin(x+

2 ) = cosx tan(x+

2 ) =

1

tan(x)

cos(2 x) = sinx sin(2 x) = cosx tan(

2 x) =

1

tan(x)


Dmonstration. Cest toujours une question de symtries du cercle trigonomtrique : x+2 corres-pond le mme point qu x ; x+ le symtrique par rapport 0 ; x le symtrique par rapport laxe des abscisses ; x celui par rapport laxe des ordonnes ; x+

2limage par une rotation

de centre 0 et dangle

2, et enfin

2x limage par la compose de cette rotation et de la symtrie

par rapport laxe des abscisses (en commenant par la symtrie).

Formules trigonomtriques

Proposition 15. Pour tout rel x, sin2 x+ cos2 x = 1.

Dmonstration. Soit M le point associ x sur le cercle trigonomtrique. La distance OM , qui vaut1, est gale

cos2 x+ sin2 x, ce qui lev au carr donne notre galit.

Les formules suivantes sont toutes connaitre parfaitement et surtout ne pas confondre les unesavec les autres. Nous verrons un peu plus tard comment les retenir plus facilement laide desexponentielles complexes.

Proposition 16. Formules daddition : cos(a+ b) = cos a cos b sin a sin b sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b

tan(a+ b) = tan a+ tan b1 tan a tan b

cos(a b) = cos a cos b+ sin a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b

tan(a b) = tan a tan b1 + tan a tan b

Dmonstration. Soient M et N les points du cercle trigonomtrique de coordonnes respectives(cos a, sin a) et (cos(a+ b), sin(a+ b)) et M limage de M par rotation autour de lorigine dangle

2.

Le triplet (O,OM,

OM ) est un repre (orthonormal direct). Les coordonnes de N dans ce repre

sont (cos b, sin b) (puisque N appartient toujours au cercle trigonomtrique dans ce nouveau repre,et (OM,

ON) = a + b a = b), donc

ON = cos b

OM + sin b

OM = cos b (cos a

i + sin a

j ) +

sin b ( sin ai + cos aj ) = (cos a cos b sin a sin b)i + (sin a cos b cos a sin b)j . Comme on saitpar ailleurs, par dfinition du point N , que ces coordonnes sont gales (cos(a+ b), sin(a+ b)), unepetite identification donne les formules daddition du sinus et du cosinus. On a ensuite tan(a+ b) =sin(a+ b)

cos(a+ b)=

sin a cos b+ cos a sin b

cos a cos b sin a sin b=

sin acos a +

sin bcos b

1 sin a sin bcos a cos b=

tan a+ tan b

1 tan a tan b. Pour obtenir les formules de

soustraction, on reprend les formules prcdentes en remplaant b par b.

Mthode : Ces formules permettent de calculer les valeurs exactes des lignes trigonomtriquesdangles qui peuvent sexprimer comme sommes ou diffrences dangles classiques, par exemple

12:

on utilise le fait que

12=

3

4, donc cos

12= cos

3cos

4+ sin

3sin

4=

6 +

2

4. De mme,

sin

12=

3

2.

2

2 1

2.

2

2=

6

2

4.

Proposition 17. Formules de duplication : cos(2a) = cos2 a sin2 a = 2 cos2 a 1 = 1 2 sin2 a sin(2a) = 2 cos a sin a cos(3a) = 4 cos3 a 3 cos a sin(3a) = 3 sin a 4 sin3 a


Dmonstration. Ce ne sont que des cas particuliers des formules daddition, mais il est bon debien les connaitre. Pour obtenir cos(3a), on applique la formule daddition a et 2a : cos(3a) =cos(2a) cos a sin(2a) sin a = 2 cos3 a cos a 2 cos a sin2 a = 2 cos3 a cos a 2 cos a(1 cos2 a) =4 cos3 a 3 cos a.

Remarque 16. On peut calculer les valeurs de cos(na) et sin(na) de proche en proche de cette manire,mais on verra une mthode plus efficace utilisant les nombres complexes.

Proposition 18. Transformations de sommes en produits (et vice versa) :

cos a cos b = 12

(cos(a+ b) + cos(a b))

sin a cos b = 12

(sin(a+ b) + sin(a b))

sin a sin b = 12

(cos(a b) cos(a+ b))

cos p+ cos q = 2 cos(p+ q

2

)cos

(p q

2

) cos p cos q = 2 sin

(p+ q

2

)sin

(p q

2

) sin p+ sin q = 2 sin

(p+ q

2

)cos

(p q

2

) sin p sin q = 2 cos

(p+ q

2

)sin

(p q

2

)Dmonstration. Rien de compliqu, par exemple cos(a + b) + cos(a b) = cos a cos b sin a sin b +cos a cos b + sin a sin b = 2 cos a cos b. On obtient de mme les deux formules suivantes, puis lesquatre dernires sobtiennent directement en partant du membre de droite et en utilisant les troispremires.

1.5.2 Fonctions trigonomtriques

Proposition 19. La fonction cosinus est dfinie sur R par x 7 cos(x). Elle est paire et 2-priodique, continue et drivable, et sa drive est gale sin(x). Sur lintervalle [;], sontableau de variations est le suivant :

x 2

0

2

cosx

1*

0

*

1HHHj 0HH

Hj1

La courbe bien connue du cosinus :

0 1 2 3 4 512345

0

1

1

Dmonstration. La priodicit et la parit dcoulent des proprits cos(x+2) = cosx et cos(x) =cosx. Le calcul de drive peut seffectuer en revenant au taux daccroissement et en utilisant desencadrements exploitant la dfinition gomtrique des lignes trigonomtriques, nous verrons cettedmonstration en exercice.


Proposition 20. La fonction sinus est dfinie sur R par x 7 sin(x). Elle est impaire, 2-priodique,continue et drivable, sa drive est la fonction cosinus, et voici son tableau de variations sur [;] :

x 2

0

2

sinx 0HHHj1

*

0

*

1HHHj0

Et une autre courbe bien connue :

0 1 2 3 4 512345

0

1

1

Dmonstration. Mmes remarques que pour le sinus.

Proposition 21. La fonction tangente est dfinie sur R\{

2+ k | k Z

}par x 7 tan(x). Elle est

impaire, -priodique, continue et drivable sur son domaine de dfinition, et tan = 1+tan2 =1

cos2.

Do le tableau de variations suivant sur]

2;

2

[:

x 2

0

2

tanx

*

0

*

+

Et une dernire courbe peut-tre moins bien connue :

0 1 2 3 41234

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5


Dmonstration. Encore une fois, tout a t vu sauf la drive et les limites, qui se calculent facile-

ment. Par exemple, tan(x) =(

sin

cos

)(x) =

cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

1

cos2(x)en utilisant la formule de

drivation dun quotient. Par ailleurs, 1 + tan2(x) = 1 +sin2(x)

cos2(x)=

1

cos2(x), do la deuxime forme

possible.

1.5.3 Fonctions trigonomtriques rciproques

Dfinition 22. La fonction sin tant strictement croissante sur[

2,

2

], elle y est bijective vers

lintervalle image [1; 1]. La fonction rciproque du sinus sur cet intervalle est appele arcsinus etnote arcsin.

Proposition 22. La fonction arcsin est impaire, dfinie et continue sur [1; 1] et drivable sur ]1; 1[,de drive arcsin(y) =

11 y2

. Elle est strictement croissante sur son domaine de dfinition.

0 11

0

1

1

Dmonstration. Limparit et la croissance darcsin dcoulent de celles du sinus via le thorme dela bijection. Pour la drive, appliquons la formule de drivation dune rciproque : arcsin(y) =

1

sin(arcsin y)=

1

cos(arcsin y). La fonction arcsin tant valeurs dans

[

2;

2

], et le cosinus tant

positif sur cet intervalle, on a cos(arcsin y) =

1 sin2(arcsin y)) =

1 y2, ce qui prouve laformule.

Remarque 17. Le fait que sin(arcsin y) = y, utilis dans la dmonstration, nest vrai que si y [1; 1](sinon arcsin(y) nexiste pas). De mme, arcsin(sin(x)) = x seulement si x

[

2;

2

](mais cette

expression est dfinie quelle que soit la valeur de x).

Dfinition 23. La fonction cos est strictement dcroissante sur [0;], elle y est donc bijective versson intervalle image [1; 1]. On dfinit la fonction arccosinus sur [1; 1] (note arccos) comme larciproque de cos sur cet intervalle.

Proposition 23. La fonction arccos est paire, continue sur [1; 1] et drivable sur ]1; 1[, de drivearccos(y) = 1

1 y2. Elle est strictement dcroissante sur son domaine de dfinition.


0 11

0

1

2

3

Dmonstration. La preuve est totalement similaire la prcdente.

Proposition 24. Pour tout rel y [1; 1], arccos(y) + arcsin(y) = 2.

Dmonstration. Notons g : y 7 arccos(y) + arcsin(y). La fonction g est dfinie sur [1; 1], drivableet de drive nulle sur ]1; 1[. Elle est donc constante gale g(0) = arccos(0)+arcsin(0) =

2+0 =

2.

Dfinition 24. La fonction tan est strictement croissante sur]

2;

2

[, elle y effectue donc une

bijection vers son intervalle image R. La fonction arctangente est dfinie sur R comme sa rciproque,on la note arctan.

Proposition 25. La fonction arctan est impaire, continue et drivable sur R, de drive arctan(y) =1

1 + y2. Elle est strictement croissante sur R, avec pour limites respectives

2et

2en et +.

0 1 2 3 4 512345

0

1

2

1

2

Dmonstration. Comme dhabitude, contentons-nous du calcul de la drive, qui est ici facile :

arctan(y) =1

tan(arctan y)=

1

(1 + tan2)(arctan y)=

1

1 + y2.


1.6 Fonctions hyperboliques et hyperboliques rciproques

Les fonctions hyperboliques sont de la mme famille que les fonctions trigonomtriques dans lesens o elles ont une interprtation gomtrique trs similaire en remplaant le cercle trigonomtriquepar une hyperbole, ce qui explique le nom de ces fonctions. Je ne vous donnerai toutefois pas cetteinterprtation immdiatement, car ces fonctions peuvent sexprimer trs simplement partir duneautre fonction que vous connaissez bien, lexeponentielle.

1.6.1 Fonctions hyperboliques

Dfinition 25. Les fonctions cosinus, sinus et tangente hyperbolique sont dfinies sur R par

les quations suivantes : cosh(x) =ex + ex

2; sinh(x) =

ex ex

2et tanh(x) =

sinh(x)

cosh(x)=ex ex

ex + ex.

Remarque 18. Nous verrons quand nous reverrons les proprits classiques des nombres complexesque les formules dEuler donnent une forme extrmement similaires aux fonctions trigonomtriques.Par ailleurs, les fonctions trigonomtriques interviennent naturelles dans le cadre de certains pro-blmes physiques simples : la courbe forme par un cable fix en deux points et soumis la forcegravitationnelle (cable tlphonique mal tendu entre deux poteaux, par exemple) est une courbe decosinus hyperbolique.

Proposition 26. Pour tout rel x, on a cosh2(x) sinh2(x) = 1.

Dmonstration. cosh2(x) + sinh2(x) =1

4(e2x + e2x + 2 e2x e2x + 2) = 1.

Remarque 19. Il existe beaucoup dautres formules de trigonomtrie hyperbolique, ressemblant sou-vent aux formules de trigonomtrie classiques, nous en verrons quelques exemples en exercice.

Proposition 27. La fonction cosh est paire, la fonction sinh impaire. Les fonctions cosh et sinh sontdrivables sur R et cosh = sinh ; sinh = cosh. Le cosinus hyperbolique est dcroissant sur R etcroissant sur R+, alors que le sinus hyperbolique est croissant sur R. Les courbes sont les suivantes :

0 1 2 3 4 512345

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

sh

ch

1.6. FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RCIPROQUES 25

Dmonstration. Tout ceci est assez facile : cosh(x) = ex + ex

2= coshx ; sinh(x) = e

x ex

2=

sinhx ; cosh(x) = ex ex

2= sinhx, et de mme pour sinh. Quand aux signes, cosh est positive

comme somme de deux exponentielles, sinh est donc croissante et sannule en 0, elle est donc ngativesur R et positive sur R+.

Proposition 28. La fonction tanh est impaire, drivable sur R et de drive tanh = 1 tanh2 =1

cosh2. Elle est croissante sur R, et admet pour asymptotes horizontales les droites dquation y = 1

en et y = 1 en +. La courbe :

0 1 2 3 4 512345

0

1

1

Dmonstration. tanh est impaire comme quotient dune fonction paire et dune impaire. De plus,

tanh =cosh2 sinh2

cosh2=

1

cosh2= 1 tanh2. Les calculs de limites sont lmentaires, par exemple

tanh(x) =ex(1 e2x)ex(1 + e2x)

=1 e2x

1 + e2x, qui a bien pour limite 1 en +. On peut dduire la limite en

de limparit de la fonction.

1.6.2 Fonctions hyperboliques rciproques

Dfinition 26. La fonction sinh tant bijective de R dans R, on dfinit la fonction argument sinushyperbolique, ou Argsh, sur R comme tant sa rciproque.

Proposition 29. La fonction Argsh est impaire, continue et drivable sur R, de drive Argsh(x) =1

1 + x2. Elle est strictement croissante sur R.

0 1 2 3 4 512345

0

1

2

3

1

2

3


Dmonstration. Comme dhabitude, le thorme de la bijection fournit une grande partie des r-sultats, et la formule de la drive dune rciproque permet dobtenir la drive : Argsh(x) =

1

cosh(Argsh(x). Or, cosh(Argsh(x)) =

1 + sinh2(Argsh(x)) =

1 + x2 en utilisant la formule

sinh2(x) cosh2(x) = 1.

Dfinition 27. La fonction cosh tant strictement croissante, donc bijective sur R+, on peut dfinirla fonction argument cosinus hyperbolique, ou Argch, sur [1; +[ comme sa rciproque.

Proposition 30. La fonction Argch est continue sur [1; +[ et drivable sur ]1; +[, de driveArgch(x) =

1x2 1

. Elle est strictement croissante sur [1; +[.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

Dmonstration. Dmonstration tout fait similaire la prcdente.

Dfinition 28. La fonction tanh tant bijective de R dans ] 1; 1[, on dfinit la fonction argumenttangente hyperbolique, ou Argth, sur ] 1; 1[ comme sa rciproque.

Proposition 31. La fonction Argth est impaire, continue et drivable sur ] 1; 1[, de driveArgth(x) =

1

1 x2. Elle est strictement croissante sur ] 1; 1[.

0 11

0

1

2

3

4

1

2

3

4

Dmonstration. Ici aussi, la preuve est la mme que dans le cas darctan, un petit signe prs dansle calcul de la drive.

1.7. FORMULAIRE DE DRIVES CONNAITRE 27

1.7 Formulaire de drives connaitre

Pour terminer, un petit tableau rcapitulatif des drives savoir par coeur :

fonction drive Df Df conditionc 0 R R c Rxn nxn1 R R n N1

xn nxn1

R R n N

xa axa1 R+ R+ a > 1xa axa1 R+ R+ 0 < a < 1xa axa1 R+ R+ a < 0ex ex R R

ln(x)1

xR+ R+

ax ax ln a R R a > 0

loga(x)1

x ln(a)R+ R+

cos(x) sin(x) R Rsin(x) cos(x) R R

tan(x) 1 + tan2(x) =1

cos2(x)R\{

2+ Z

}R\{

2+ Z

}arcsin(x)

11 x2

[1; 1] ] 1; 1[

arccos(x) 11 x2

[1; 1] ] 1; 1[

arctan(x)1

1 + x2R R

sinh(x) cosh(x) R Rcosh(x) sinh(x) R R

tanh(x) 1 tanh2(x) = 1cosh2(x)

R R

Argsh(x)1

1 + x2R R

Argch(x)1

x2 1[1; +[ ]1; +[

Argth(x)1

1 x2] 1; 1[ ] 1; 1[

Chapitre 2

Nombres complexes

Les nombres remarquables sont de sortie en discothque.e et samusent comme des fous, mais i reste scotch au bar.e va alors voir i et lui dit : Allez, viens dans C !

Introduction

Pour ce deuxime chapitr

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