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Bienvenue pour18 PC de MEC431
• B. Audoly - audoly(at)lmm.jussieu.fr
• Chercheur CNRSLabo de modélisation en mécanique (Jussieu)
• Intérêts scientifiques : formes et élasticité
• http://www.lmm.jussieu.fr/~audoly
Calcul tensorielMEC431 - TD n°1 - 23 août 2006
Notation
• Convention d’Einstein• Sommation implicite si indice répétés du même côté
du signe égal
• Les indices non répétés sont muets
• Symbole de Kronecker• si
• si
Rappels
• Espace euclidien de dimension
• Objets connus d’algèbre linéaire :• vecteur
• endomorphisme
• forme linéaire
• forme bilinéaire
• forme quadratique
Rappels
• Base
• Décomposition sur la base :
• Formes de coordonnées• Caractérisation
• NB: chaque dépend de tous les
• Dualité • Forme linéaire associée naturellement à
Base duale
• Par ce qui précède, on peut construire
• Concrètement,
• Dans toute la suite, on considère une base orthonormée• Base et base duales sont confondues
• On peut alors identifier vecteurs et formes linéaires par dualité
Produit externe
• Forme bilinéaire, notée , associée naturellement à deux formes linéaires et
• Les formes bilinéaires forment une base permettant de décomposer toute forme bilinéaire
Espacedes forme bilinéaires
• Noté , car engendré par les
• Décomposition • Les composantes sont dans cette base
• Décomposer le tenseur associé à la métrique
• Calculer en coordonnées
• Calculer en coordonnées la transposée
• Comparer et • Toute forme bilinéaire peut-elle s’écrire sous la forme ?
Extensionaux endomorphismes
• Par dualité, on peut identifier endomorphismes et formes bilinéaires• À on associe
• Propriétés• Les coordonnées de sont les éléments de matrice
• Décrire l’action de l’endomorphisme
• Si est une deuxième base orthonormale, interpréter l’endomorphisme
• Montrer que n’est autre que
Formes trilinéaires
• Même histoire• On définit le produit externe
• L’espace des formes trilinéaires a pour base
• Décomposition d’une forme trilinéaire en coordonnées (trois pattes, coordonnées)
• On peut identifier par dualité les formes trilinéaires et, par exemple, les applications bilinéaires à valeurs dans
• Exemple : l’opérateur produit vectoriel
• Exercice : calculer les composantes du tenseur associé ,appelé tenseur de permutations
Généralisation :les tenseurs
• Tenseur d’ordre 0• représente un scalaire
• Tenseur d’ordre 1• représente un vecteur ou une forme linéaire
• Tenseur d’ordre 2• représente une forme bilinéaire, un endomorphisme
• …
Changement de base
• Exemple d’un tenseur d’ordre deux• Le même tenseur est représenté dans les bases
orthonormées et par ses composantes et . Si le passage d’une base à l’autre est donné par
alors les composantes se transforment selon
• Ces formules sont déjà connues
• Le raisonnement s’applique à tout type de tenseur
Opérationssur les tenseurs
• Contraction
• Trace
• Produit doublement contracté
• Produit externe
• Transposée
• Déterminant
Contraction• Motivation : calculer en coordonnées
•
•
•
•
• Produit contracté• Généralise la trace
• Rendre égaux le dernier indice du premier tenseur et le premier indice du deuxième puis sommer. On obtient un tenseur de rang p+q-2 à partir de tenseurs de rang p et q
• Comme la trace, l’opération est indépendante du repère
Contraction
• Autres contractions• Contraction (interne)
• Part d’un tenseur d’ordre pour produire un tenseur d’ordre
• Si , il faut spécifier les indices concernés
• Produit doublement contracté
• Par défaut, on contracte les indices extérieurs d’une part et les indices intérieurs d’autre part, par exemple
• Trace
• La trace est une double contraction
Produit externe
• Définition sur un exemple plus général• Définition
• En coordonnées,
• Bilinéaire et associatif mais non commutatif
Transposée
• Déjà défini pour un tenseur d’ordre 2
• Pour un tenseur d’ordre supérieur, il faut spécifier les deux indices concernés par l’inversion
Déterminant
• C’est le déterminant de l’endomorphisme associé au tenseur…• et donc le déterminant de la matrice contenant les
composantes du tenseur
Exercices• Etablir, calculer ou répondre
• Calculer et
• étant unitaire, interpréter
• à quelle condition sur les représente-t-il une rotation ?
• Donner le tenseur représentant la projection sur le plan
• et
•
•
•
•
•
•
Calcul différentielsur les tenseurs
• On considère des champs tensoriels, tels que ou
• On aimerait pouvoir généraliser• le gradient
• la divergence
• le théorème de la divergence
Gradient• Gradient d’un champ scalaire
• En tout , on considère l’application linéaire tangente
• Par dualité, cette forme linéaire est représentée par un vecteur, qui n’est autre que le gradient
• Généralisation : gradient d’un champ vectoriel• L’application linéaire tangente est maintenant représentée par
un endomorphisme
• Etablir alors, en repère cartésien,
• NB: l’indice correspondant à la dérivée est le dernier
Exercices
• Calculer• et , où désigne la base cylindrique
• , où est un champ scalaire et un champ vectoriel
• Considérer le cas particulier où eten coordonnées cylindriques
Théorème de la divergence• Définition de la divergence
• C’est le gradient contracté sur les deux derniers indices
• Cas d’un champ de vecteur
• Cas d’un tenseur de rang plus élevé
• Théorème de la divergence (champ continu)
• Version connue
• Tenseur de rang plus élevé (preuve immédiate, fixer les premiers indices)
Conclusion• Outil pratique, rien de bien difficile
• Rester aux matrices ? Oui mais :• Pas pratique en présence de rotations
• Attention aux dérivées des vecteurs du repère s’il tourne
• Prolongements• Géométrie différentielle
• Robert M. Wald, General Relativity
• Nakahara, Geometry and Physics