Bases Set Theory

La Set Theory, méthode d’analyse et de composition prend sa genèse dans lestravaux du compositeur américain Milton Babbit (théorie de la musique sérielleet du sérialisme intégral : The Function of Set Structure in the Twelve-ToneSystem, 1946) puis poursuivi, formalisé par le théoricien Allen Forte dans sonouvrage fondateur The Structure of Atonal Music publié en 1973, un travailqui fut prolongé par des musiciens/chercheurs/musicologues comme GeorgesPerle (Serial Composition And Atonality et Twelve Tone Tonality), JosephN. Strauss (Introduction to Post-Tonal Theory), John Rahn (Basic AtonalTheory), ou plus actuel comme Richard Cohn (Introduction to Neo-RiemannianTheory : A Survey and a Historical Perspective) ou David Lewin (GeneralizedMusical Intervals and Transformations et Musical Form and Transformation -deux ouvrages distribués en Google Books (via Google Play) - ou encore Ste-phen Heinemann (Pitch-Class set multiplication in Boulez’s Le marteau sansmaître) qui permet avec les outils de la Set Theory de comprendre pas à paset calculer les multiplications d’accords à partir de la méthode développée parPierre Boulez dans le Marteau sans Maître et Tombeau composé à la mémoired’Igor Stravinski.

Toutefois, même si la Set Theory a pris naissance aux Etats-Unis, un cer-tain nombre de travaux similaires ont été entrepris par des théoriciens eu-ropéens comme Sergueï Tanaïev, Ferruccio Busoni, Joseph Mathias Hauer,Edmond Costère, Heinrich Simbringer, Anatol Vieru, etc. En France, dès ledébut des années 2000, l’Ircam a implémenté les outils de la Set Theory dé-veloppés par Janusz Podrazik (créateur du logiciel de Composition Assistéepar Ordinateur Opusmodus) dans son logiciel phare Open Music. Et le musi-cien/mathématicien/chercheur à l’Ircam, Moreno Andreatta qui militait pourune musicologie computationnelle, mettait en ligne un grand nombre de docu-ments très complets et très pédagogiques sur la Set Theory.

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Notation modulo12 et Classes de Hauteurs :

L’échelle chromatique de Do à Do est représentée par une notation en entiersde 0 à 11, modulo 12. Concrètement cela correspond à la division horaire d’uncadran d’horloge ou aéronautique avec conversion mod 12 intégrée pour celui-ci=> 15-12 = 3,17-12 = 5, 19-12 = 7, 21-12 = 9 :

Et avec la particularité que les Classes de Hauteurs sont représentées, commele souligne Moreno Andreatta (1), via une double simplification. C’est à direavec l’équivalence enharmonique d’une part :

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et d’octave contrairement à la disposition des notes d’un clavier :

Notation des intervalles et Classes d’intervalles (Ic) :

La notation des intervalles s’effectue par demi-ton et elle est de fait similaireà la notation des hauteurs. Pour effectuer des opérations de transposition, parexemple, obtenir la gamme de Do en additionnant trois quintes à partir de Fa,on sélectionne dans la table la quinte et la colonne du Fa : 5 + 7 = 0, 0 + 7= 7, 7 + 7 = 14-12 = 2 puis trois tierces à partir des résultats obtenus, onsélectionne dans la table la tierce et la colonne du Fa soit : 5 + 4 = 9, 0 + 4= 4, 7 + 4 = 11. Soit : [5, 9, 0, 4, 7, 11] / [Fa, La, Do, Mi, Sol, Si, Ré] ouordonné par rapport à Do : [0, 2 4 5, 7 9, 11] / [Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si].

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Si les intervalles notés en 1/2 tons et correspondent à la notation en entiersdes hauteurs (0 à 11), le système de notation des classes d’intervalles (ic) estdifférent, il tient compte du renversement des intervalles comme on peut leconstater sur le tableau ci-dessus. Cette notation est notamment utilisée parleVecteur d’intervalle. Ce dernier recense le nombre d’instance d’un inter-valle dans un accord ou d’une segmentation d’un motif ou d’un Ensemble deClasses de Hauteurs (pc set) en tricorde (3 hauteurs), tétracorde (4), penta-corde (5), hexacorde (6), heptacorde (7), octocorde (8)...

Prenons l’exemple de deux ECH, le premier comprenant les hauteurs de[Mi3, Do#4, Do5, Fa#5]/[4, 1, 0, 6] et le second [Mi3, Sol4, Do5, Fa#5]/[4, 7, 0, 6].Soit trois notes communes et une quatrième différente.

Les deux représentations circulaires - obtenues avec l’utilitaire de PierreCouprie distribué gratuitement dans ses deux logiciels d’analyse, iAnalyse 3 ou4 - affichent plusieurs informations intéressantes sur les deux ECH. La premièreest visuelle et permet une comparaison à partir des deux formes géométriquesdifférentes. Tout comme leur notation Forte. Ce dernier, Allen Forte, a réfé-rencé les Ensembles de Hauteurs dans un tableau à partir du nombre de leurséléments, leur cardinalité. Ici, il s’agit d’un 4-Z29 et d’un 4-Z15. Leurs struc-tures intervalliques (SI) sont différentes (1, 3, 2, 6) et (4, 2, I, 5) soit en lectureascendante par rapport aux cercles chromatiques ou dodécaphoniques, dans

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le sens d’une aiguille d’une montre : 1 demi-ton, 3 demi-tons, 2 demi-tons, 6demi-tons et 4 demi-tons, deux demi-tons, 1 demi-tons, et 5 demi-tons.

En revanche, le Vecteur Intervallique (VI) est semblable : (111111).C’est d’ailleurs la raison pour laquelle leur référencement 4-Z29 et 4-Z15 af-fiche un Z. Cela signifie que ces deux ECH sont en relation Z en raison de leurmême vecteur Intervallique.

Vecteur d’Intervalle (VI) :

Le Vecteur d’intervalle est un outil particulièrement intéressant car il re-cense dans un accord, un motif, un agrégat, une segmentation le nombre d’oc-currences des intervalles classes (ic) et il peut mettre en exergue des liens entreintervalles sans qu’apparaisse forcément un rapport immédiat de proximité. Ildonne aussi et immédiatement une idée de la densité tonale ou atonale d’unaccord, d’un ECH. Le VI a six entrées qui correspondent à la seconde mineure,seconde majeure, tierce mineure, tierce majeure, quarte, quinte, triton. Maisil prend en compte les renversements des intervalles. Ainsi, comme on peut leconstater sur le tableau récapitulatif des ic ci-dessus la quinte soit 7 devient 5(12-7=5), la septième majeure soit 11 devient 1 (12-11=1). Pour calculer à lamain l’Intervalle Vecteur, on peut se créer un petit tableau comme ci-dessous.

Dans le cas d’une gamme par ton [0, 2, 4, 6, 8, 10], on recense les occurrencescomme suit :

0 - 2 = 2, 0 - 4 = 4, 0 - 6 = 6, 0 - 8 = 8-12= 4, 0 -10 = 10-12= 22 - 4 = 2, 2 - 6 = 4, 2 - 8 = 6, 2 - 10 = 8-12= 44 - 6 = 2, 4 - 8 = 4, 4 - 10 = 66 - 8 = 2, 6 - 10 = 48 - 10 = 2

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On recense zéro 1, six 2, zéro 3, six 4, zéro 5, trois 6 soit : 060603. Muni decet IV on peut vérifier sur le tableau en ligne qui recense l’ensemble des PitchClass Set ([http://solomonsmusic.net/pcsets.htm) et on recherche dans lacolonne Interval Vector les Ensembles à cardinalité 6 puis le Vecteur d’Inter-valle 060603. Il est référencé à la 192e position et il s’agit d’un hexacorde 6-35 :

Intervalle de Hauteur (Pi) et Classe d’Intervalle de Hauteurs (Pic)

L’intervalle de Hauteurs (Pitch Interval) et la Classe d’Intervalle de Hau-teurs (Pitch-Interval Class) sont relativement semblables. Tous deux calculententre deux hauteurs leur intervalle en demi-tons. L’Intervalle de Hauteur (Pi) semesure dans un sens ascendant ou descendant avec le nombre exact de demi-tons séparant deux hauteurs et sans équivalence d’octave. Ainsi, l’intervalleentre Do 4 et Mi 5 aura un Pi de 16 demi-tons tandis que l’intervalle de Do4 etSol 3 aura un Pi de 5 demi-tons. Tandis que la Classe d’Intervalle de Hauteursva mesurer ces deux intervalles modulo 12 soit pour Do4-Mi5 un Pic de + 4demi-tons et pour Do 4-Sol3 in Pic de - 5 demi-tons.

La notion d’intervalle ordonné et d’intervalle non-ordonné doit être prise encompte, notamment dans le cadre d’une analyse musicale ou d’une analyse desstructures intervalliques. L’intervalle ordonné (Ordered Pitch Interval) prenden compte son aspect ascendant ou descendant, et dans le cas descendant,l’intervalle est précédé du signe négatif -. Le signe positif + peut être indiquémais il est implicite. En revanche, dans le cas d’un intervalle non ordonné(Unordered Pitch Interval), aucun signe positif ou négatif n’est indiqué. Toutcomme la notation de l’intervalle class (Ic) soit Ic 4 pour Do4-Mi5 et ic 5pour C4-G3. Les deux figures ci-dessus (calculateur en ligne d’intervalles duBain Atonal Assistant) illustrent à partir d’un intervalle donné ces différencesde notation.

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Cardinalité des Ensembles de Classes de HauteursLa cardinalité d’un Ensemble de Classes de Hauteurs est représentée par le

1er chiffre de son référencement Forte. Ainsi, pour le 6-35, le 6 indique qu’ilcomprend 6 éléments et qu’il se situe à la 35e place de la table pour les ECHde 6 éléments. Une formule permet de calculer le nombre d’ensembles dans unecardinalité donnée :

12!

n!⇥ (12� n)!

soit pour un ensemble de 6 éléments, puis de 3 éléments :

12!

6!⇥ (12� 6)!= 924

12!

3!⇥ (12� 3)!= 220

Soit au total 4096 ECH (PC Set) :

Les ECH (Pc Set) sont répertoriés dans un tableau mis en ligne sur le Netà partir de leur classement dans la table, de 0 à 351. La table affiche le réfé-rencement Forte - dans l’exemple, de 0-1 à 4-1 - la forme première sur la basede 0, le Vecteur d’Intervalle ainsi qu’une brève description.

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Transpositions et Inversions modulo 12

Les opérations de transpositions dans un sens ascendant sont simples à cal-culer. Si on souhaite transposer l’ECH 3-11 0, 4, 7], accord majeur de Do, d’unequinte, il suffit d’additionner 7 demi-tons à l’ECH : [0 4 7] + [7 7 7] = 7 11 2

=> L’addition est modulo 12, donc 7 + 7 = 14 -12 = 2 soustraire une quinte :[0 4 7] - [7 7 7] = 5 9 0 => Il en est de même pour la soustraction mo-dulo 12, ces deux opérations correspondent à une rotation sur le cercle chroma-tique dans un sens ascendant (sens d’une aiguille d’une montre) ou descendant(sens inverse d’une aiguille d’une montre). Un petit patch avec le logiciel OpenMusic distribué gratuitement par l’Ircam explicite ces deux opérations :

On peut aussi se servir d’une table d’addition modulo 12 pour effectuer l’opé-ration 7 + 7 = 2 :

Et se servir d’un cercle chromatique pour bien assimiler la différence entrel’addition (sens de l’aiguille d’une montre) et la soustraction (sens inverse d’uneaiguille d’une montre) : 7 - 7 = 0

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Pour l’inversion, il suffit de soustraire 12 à chacune des hauteurs de l’ECH :12 - 0 = 0, 12 - 4 = 8, 12 - 7 = 5 => [0, 8, 5], ce qui correspond au renversementdes accords. En fait, on inverse l’axe do - fa# en fa# - do pour obtenir uneffet miroir, ou passer de l’autre côté du miroir :

Sans cercle chromatique, on dispose tout simplement les hauteurs en relationd’inversion :

0

11 <-> 1

10 <-> 2

9 <-> 3

8 <-> 4

7 <-> 5

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Prenons l’exemple d’une écriture en "miroir", aux mesures 17 et 18 de lapremière partie de l’Opus 22 d’Anton Webern :

Pour le premier tricorde à la mesure 17 :

[La, Sol#, Do][9, 8, 0]

9/La => le 3/Ré#, le 8/Sol# => 4/Mi et le 0/Do ne change pas, il est invariant.

A la mesure 18, pour le second tricorde :[Sol, Dol#, Sol#]

[7, 1, 8] le 7/Sol => le 5/Fa, le 1/Dol# => 11/Si et le 8/Sol#/ => 4 .

Et ce qui correspond aussi à 12 - 9 = 3, 12 - 8 = 4, 12 - 0 = 0 ; 12 -7 = 5,12 - 1 = 11, 12 - 8 = 4.

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ECH, segmentation, transposition, permutation

Prenons maintenant l’exemple de cette suite de l’interlude de Salt Peanuts deDizzy Gillespie. On la segmente en quatre tricordes (3 notes) et on numérotechacune des hauteurs en notation modulo 12 puis on soustrait chacun destricordes au précédent, des Ensembles de Classes de Hauteurs (ECH) afin devérifier la nature de la transposition qui semble apparaître. On peut effectuerces soustractions en les insérant dans une petite matrice de calcul.

Et le résultat sur les trois transpositions est semblable, sur chacun des ECHDizzy Gillespie a procédé à une transposition d’un demi-ton : [5, 0, 11] - [4, 11,10] = [1, 1, 1] ; [4, 11, 10] - [3, 10, 9] = [1, 1, 1] ; [3, 10, 9] - [2, 9, 8] = [1, 1, 1].On peut aussi calculer ces transpositions à partir du premier tricorde commesuit :

A partir de l’ECH [5, 0, 11] on peut définir sa structure intervallique. L’opé-ration consiste à calculer l’intervalle entre chaque élément puis à partir de lahauteur de base, de départ, on additionne ou on soustrait cette suite d’inter-valles et on obtient la structure intervallique. Pour des transpositions, il suffitd’appliquer à la hauteur de base la structure intervallique comme ci-dessoustout en vérifiant le nombre de demi-tons entre chaque intervalle à partir ducercle chromatique :

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L’exemple complet de l’interlude de Salt Peanuts après la seconde expositiondu thème ajoute un cinquième tricorde mais qui se constitue après ce qu’onappelle une segmentation, on ajoute à la croche Réb-Do le Solb de la dyadeDo-Mib soit [1, 0 , 6].

L’affichage des cinq ECH en représentation circulaire fait apparaître queDizzy Gillespie à une note près - le Sol - décline le total chromatique. De mêmela disposition du tricorde [1, 0, 6] démontre qu’il ne s’inscrit pas dans la mêmetransposition que les précédents. Si le Réb est bien dans la suite descendanteet chromatique (1 demi-ton) du Ré de l’ECH qui le précède, l’intervalle quisuit n’est pas une quarte (5 demi-tons) mais une seconde mineure (un demi-ton) puis d’un intervalle de quinte diminuée (6 demi-tons), le triton et enfin laquarte. La structure intervallique est respectée mais son ordre a été permutéde façon circulaire :

5 1 6

1 6 5

6 5 1

Et si on reprend le calcul des transpositions successives [Ré, La, Lab] [2, 9,8] - [1, 1, 1] = [1, 8, 7] on se rend compte immédiatement que la transpositionest différente puisque ce dernier ECH [1, 0, 3] ne correspond pas au résultat dela dernière opération : [1, 8, 7].

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La segmentation est une méthode utile pour l’analyse musicale, notammentdans le cadre d’une analyse à partir des outils de la Set Theory. Elle peut-êtreutilisée pour rechercher des liens sous-jacents entre différents éléments, déter-miner les ECH utilisés par un compositeur via la classification d’Allen Fortecomme ci-dessus dans cet exemple personnel sur les mesures 5 à 10 de l’opus 22d’Anton Webern ou comme dans l’exemple ci-dessous issu de la même analysesur l’Op. 22, après une notation conjointe hauteurs et modulo 12, identifier ettracer une cartographie des séries utilisées par Webern.

Un exemple d’analyse des segments avec Python Music 21 - référencementForte, Interval Vecteur et cardinalité :c= music21.chord.Chord( ["G#", "D", "G"])

c1= music21.chord.Chord( ["G", "E", "F", "A-"])

hexa= music21.chord.Chord( ["E", "B-", "F","G#", "D", "G" ])

hexa1= music21.chord.Chord( ["G", "E", "F", "A-", "E-", "A"])

print (c.forteClass, c1.forteClass, hexa.forteClass)

print (hexa1.forteClass, hexa.intervalVector, hexa1.pitchClassCardinality)

=> 3-5B 4-3 6-23 6-4 [2, 3, 4, 2, 2, 2] 6

Didier DEBRIL, janvier 2017.

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Des liens sur des utilitaires en ligne :

Le tableau des ECH- Pitch Class Sets : http://solomonsmusic.net/pcsets.htmUne suite d’outils particulièrement intéressante sur le site de http://composertools.com/Tools/avec entre autres, le Twelve Tone Row Analyser qui analyse un Ensemble deClasses de hauteurs et affiche ses différents éléments constitutifs. Le TwelveTone Matrix Calculator calcule pour sa part une matrice de transposition àpartir du nombre de notes d’une série tonale ou atonale.

Le Bain Atonal Assistant déjà cité pour illustrer les Intervalles de hauteursPI et les classes d’intervalles de Hauteurs PIC affiche les différentes caracté-ristiques d’un ECH : classification Forte, forme première, Vecteur d’Intervalle,opci (pi) et ic (pic) transpositions Tn et TnI : http://in.music.sc.edu/fs/bain/software/aa-v2.20d/default.htm,et un Twelve Tone Assistant disponible avec des matrices de transposition :http://in.music.sc.edu/fs/bain/software/tta-v2.3d/default.htm.

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http://www.teoria.com/en/tutorials/chords/07-geom.php GeometricChord Constructor => Les accords en représentation circulaire.

http://www.teoria.com/en/tutorials/intervals/12-geom.php Geomé-tric Interval Constructor => Les intervalles en représentation circulaire.

Des liens sur textes sur la Set Theory :http://www.music.utk.edu/theorycomp/courses/murphy/documents/NonserialAtonality.pdf

Non-serial atonalityhttp://architexte.ircam.fr/textes/Andreatta03e/index.pdf => Une

introduction à la Set Theory, les concepts à la base des théories d’Allen Forteet de David Lewin (J’ai commencé mon apprentissage de la Set Theory avecce texte de Moreno Andreatta)

http://repmus.ircam.fr/_media/moreno/Andreatta_Deliege_2015_Draft.pdf

=> Autour de la Set Theory et de l’analyse de la musique atonalehttp://www.kirstenvolness.com/straus.pdf => A Primer for Atonal

Set Theory, Joseph N. Straus (texte important)http://ems.music.illinois.edu/courses/tipei/M202/Notes/setTh.pdf

=> Set Theory Conceptshttp://www.clt.astate.edu/tcrist/theory4/pcsetanalysis.pdf Intro-

duction to Pitch Class Set Analysishttp://mathworld.wolfram.com/ModularArithmetic.html Modular Arith-

metichttp://in.music.sc.edu/fs/bain/vc/musc525/ De nombreux liens sont

accessibles, notamment sur des PDF très intéressants.http://in.music.sc.edu/fs/bain/vc/musc525/pub/overviews/StrausCh1_4e.pdf

Basic Concepts of Pitch and Interval avec notamment cet exemple sur les typesd’intervalles dans la Set Theory d’après Joseph N. Strauss :

http://in.music.sc.edu/fs/bain/vc/musc525/pub/525Syllabus.pdf Ficheprésentant le Cours de Post Tonal Theory au département Musique de l’Uni-versité de la Caroline du Sud aux USA.

http://in.music.sc.edu/fs/bain/vc/musc525/pub/software.html Desliens sur des logiciels ou applications Post-Tonal Theory Software.

http://www.entretemps.asso.fr/maths/Andreatta-doc.pdf Fiches desynthèse sur le Séminaire Musique, mathématiques et philosophie à l’Ircam(18/11/2006)