BASES D’EXERCICES DE MATHÉMATIQUES EN LIGNE ET …BASES D’EXERCICES DE MATHÉMATIQUES …...

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BASES D’EXERCICES DEMATHÉMATIQUES ENLIGNE ET PHÉNOMENESD’ENSEIGNEMENT-A P P R E N T I S S A G E

Magali HERSANT, IUFM des Pays de La Loire& CREN Université de Nantes

Fabrice VANDEBROUCK, IUFM de Versailles,Université d’Evry & Equipe Didirem

REPERES - IREM. N° 62 - janvier 2006

2004). Dans nos hypothèses de travail, l’acti-vité mathématique des élèves, c’est-à-diretout ce qu’ils peuvent dire, faire ou penser,est essentielle pour l’apprentissage ; c’est cequi nous pousse à nous intéresser à ces pro-duits. Par ailleurs, les mêmes études met-tent en avant le fait que le rythme des élèvesest plus facilement respecté en séancesmachines avec ces logiciels qu’en séances clas-siques et le fait que les aides des ensei-gnants sont plus individualisées.

L’objet de cet article est double : questionnerl’activité mathématique potentielle des élèveslorsqu’ils travaillent sur des bases d’exer-cices et interroger les incidences sur l’activi-té de l’enseignant (en termes de scénariod’utilisation notamment). Pour cela nousavons choisi de nous intéresser à deux basesd’exercices :

1. — Introduction

L’utilisation de logiciels se répand dansl’enseignement des mathématiques à tous lesniveaux, sous la pression institutionnelle. Deplus en plus de ressources en ligne se déve-loppent, avec sans nul doute un impact surl’enseignement et l’apprentissage. Parmi cesressources, nous nous intéressons aux basesd’exercices d’accès libre, c’est-à-dire consti-tuées d’exercices ou de problèmes, organiséesselon un certain classement, avec pour chacuneun environnement qui peut comporter desaides de différents types, des outils (gra-phiques, calculatrices…) mais aussi la solutiondes exercices ou des problèmes.

Les études concernant ces types de logi-ciels font apparaître une augmentation de lamotivation des élèves qui se traduit par uneplus forte activité (Ruthven et Henessy, 2002,Cazes, Gueudet, Hersant, Vandebrouck,


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BASES D’EXERCICES DEMATHÉMATIQUES …

Math en Poche,http://www.sesamath.hautesavoie.net

et Wims, http://wims.unice.fr.

Après une première comparaison généra-le de ces deux bases illustrée par des exemplessur les fonctions numériques au niveau 3ème-2nde, nous effectuerons une étude didactiqueplus fine à partir d’exercices sur la propor-tionnalité au niveau 6ème. Nous termineronspar une réflexion sur les scénarios d’utilisa-tion de ces bases d’exercices.

2. — Les logiciels étudiés, leurs structures

Nous proposons ci-dessous une présen-tation des deux logiciels qui permettra déjà

de mettre en évidence des différences d’acti-vités potentielles des élèves et des inci-dences sur celle de l’enseignant liées à la struc-ture des logiciels. Pour cela, nous utilisonsune grille d’analyse qui permet de préciserce que nous entendons par structure dulogiciel (Cazes, Gueudet, Hersant, Vande-brouck, 2005).

• Math en Poche s’adresse au public del’enseignement obligatoire (de l’élémentai-re au lycée). Il s’agit d’une base d’exercicescoopérative en constante évolution et entiè-rement dédiée aux mathématiques. Dans cequi suit, nous nous intéresserons seule-ment à la version publique de Math enPoche (Mep) :

Public visé : école élémentaire, collège, seconde

Organisation didactique : des séries d’exercices sont programmées. Les questions des exercices (par-fois appelés « problèmes » dans Mep) sont à variables numériques aléatoires et à énoncés variables.L’idée est que les élèves recommencent les exercices pour améliorer leur score.

Type de réponses : brèves expressions algébriques, valeurs numériques ou QCM.

Feed-back à chaque question : « bonne réponse » si c’est juste , « faux, tu as encore un essai » lorsd’une première erreur, avec apparition de l’icône « aide » ; « encore faux, regarde bien l’aide » avecla bonne réponse et l’écran d’aide ouvert lors d’une deuxième erreur. En fin d’exercice, on suggère àl’élève de refaire le même exercice s’il a fait plus d’une erreur. Quelquefois des messages complémentaires(apport d’information mathématique) sont donnés à la suite d’une réponse correcte.

Notation : chaque exercice comporte 5 ou 10 questions. Le score à chaque exercice (sur 5 ou 10) esttrès apparent.

Classification des exercices : organisation arborescente par niveaux scolaires puis par thèmes mathé-matiques puis par séries d’exercices correspondant chacun à un type de tâche mathématique. Voirannexe 1 pour ce qui concerne les fonctions numériques à la liaison 3ème-2nde.

Interactivité cognitive : Mep indique si la réponse à chaque question est juste ou pas et note les élèves.Une aide est disponible.

Enregistrement de traces : pas de trace dans la version non test

Connaissances mathématiques abordées : tous les thèmes du primaire à la fin du collège, plus lien col-lège-lycée

Types de tâches : variés entre application immédiate de connaissance 1 et problèmes plus complexes

Environnement des exercices : selon les exercices, calculatrice disponible, aide disponibleet conseillée.

Stru

ctu

re d

idac

tiqu

eSt

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ure

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ciel

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onte

nu

1 Au sens de Robert (Robert, 2003)MEP


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• La base d’exercices Wims a été développéeà l’origine par Xiao Gang. Le site originel sesitue à l’Université de Nice mais plusieurs sitesmiroirs existent maintenant en France. Lesressources proposées sont essentiellementmathématiques mais commencent à concer-ner d’autres disciplines (physique, chimie,SVT, géographie, grammaire). Une commu-nauté d’utilisateurs et de développeurs seconstitue depuis 1998 (Xiao, 2000) (voir des-criptif au verso).

• Mep est organisé de façon arborescente,tandis que Wims est plutôt une bibliothèqued’exercices. Ainsi, dans la rubrique « fonc-tions » au niveau liaison 3ème-2nde, Mep pro-pose le chapitre « généralité sur les fonc-tions » avec six séries d’exercices : « prendreun bon départ », « valeur (lecture) », « valeur(calcul) », « signe et variation », « optimisation »et « pour aller plus loin ». Les exercices pro-posés font plutôt intervenir l’aspect outil 2

des fonctions numériques, ce qui permet untravail à la fois dans le cadre fonctionnel etle cadre géométrique pour certains exercices.Ils mettent en jeu les registres graphique,tableau, écriture algébrique.

Dans Wims, les exercices sur le thème desfonctions s’obtiennent en utilisant le moteurde recherche ou en entrant par les pro-grammes d’enseignement. Avec les mots-clés« fonction numérique », « classe de 2nde » eten recherchant les exercices mis en lien avecles programmes de 2nde, on obtient une cin-quantaine d’exercices proposant un travail surl’aspect objet des fonctions numériques, dansle cadre fonctionnel, avec les registres dereprésentation tableau, graphique et écritu-re algébrique. Un exemple est donné enannexe 2. On trouve des exercices sur lesdomaines de définition d’une fonction, sur lestableaux de variation d’une fonction, la lec-ture graphique… mais pas d’exercice d’opti-

WIMS

Public visé : tous les niveaux scolaires, avec un enseignant

Organisation didactique : accès libre par thème ou bien feuilles de TD-Wims préparées par l’ensei-gnant dans une classe virtuelle. Les exercices sont programmés et donc à variables aléatoires, par-fois la forme des énoncés change aussi.

Type de réponses, feed-back : brèves expressions algébriques, valeurs numériques, QCM.

Feed-back : Wims annonce « juste » ou « faux » mais ne donne pas en général la méthode pourobtenir la bonne réponse

Notation : note entre 0 et 10 à chaque essai ; l’élève peut faire plusieurs fois chaque exercice pouraugmenter sa note mais a aussi la possibilité sur les feuilles de TD-Wims de s’entraîner « à blanc »

Classification des exercices : par thèmes et/ou par niveaux scolaires

Interactivité cognitive : Wims donne pour chaque essai « juste » ou « faux » et note les élèves entre 0 et 10

Enregistrement de traces : journaux de traces des activités de chaque élève lorsqu’ils sont dans uneclasse virtuelle et recueil des notes

Connaissances mathématiques abordées : tous les thèmes du primaire à l’enseignement supérieur

Types de tâches : des applications immédiates mais aussi de véritables problèmes qu’il est parexemple possible de construire en regroupant plusieurs exercices techniques sous un seul.

Environnement des exercices : selon les exercices, quelques documents de cours accessibles, surtout desoutils graphiques, calculatrices numériques, fonctionnelles… de rares aides pour quelques exercices

Stru

ctu

re d

idac

tiqu

eSt

ruct

ure

logi

ciel

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onte

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2 au sens de Douady (Douady, 1986).


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misation. Il faut revenir au moteur de rechercheavec le mot-clé « minimum » pour en voirapparaître, mais ils ne semblent pas corres-pondre au niveau 2nde. Sur ce thème desfonctions les deux bases d’exercices sont fina-lement très fournies. L’enseignant peut éven-tuellement les compléter 3.

Cette différence de structure influe sur letravail de préparation et d’exploitation d’uneséance machine sur au moins trois aspects. Toutd’abord, l’enseignant utilisant Wims doit faireune recherche approfondie (avec plusieursmots-clés) puis doit faire un tri importantpour concevoir une feuille de TD-Wims. Ilpeut grouper certains exercices pour en fairedes problèmes plus conséquents et plus aléa-toires au niveau des énoncés. Par ailleurs, cetteorganisation du logiciel permet au profes-seur une marge de manœuvre plus grande quedans Mep. Il peut donc insérer plus facilementsa séance machine dans ses séances tradi-tionnelles. Nous verrons dans les parties sui-vantes les difficultés que peuvent représen-ter ce travail et les connaissances didactiquessollicitées pour cela. Enfin, le recueil desnotes des élèves et l’enregistrement des tracespermises par Wims permettent au profes-seur un suivi de l’activité de tous ses élèves.Nous reverrons, dans la partie 4, toutes cesquestions liées aux scénarios d’utilisation.

Du côté des élèves, la présentation arbo-rescente de Mep suggère fortement un parcoursde travail aux élèves qu’ils peuvent cependantsuivent à leur rythme. Dès qu’ils entament unexercice, ils doivent répondre à toutes lesquestions pour avoir leur score final. Dans Wims,les exercices d’une feuille de TD-Wims sontsur un même plan et l’ordre de travail semblemoins imposé, ce qui permet aux élèves nonseulement d’aller à leur rythme mais aussi de

suivre leur propre parcours. Ces marges demanœuvre ont probablement une incidence entermes d’apprentissage, mais nous n’avons pasd’éléments tangibles à ce sujet. Par ailleurs,le fait d’avoir des parcours plus individuali-sés dans Wims modifie le travail de l’ensei-gnant dans les aides individuelles qu’il peutapporter à ses élèves au cours de la séance.Avec Mep, l’enseignant peut mieux s’appuyersur les exercices précédents pour aider lesélèves en difficultés, ce qui n’est pas toujourspossible avec Wims, à moins de consulter lesjournaux de traces en direct.

Une dernière différence nous sembleimportante : l’aide proposée dans Mep peutmodifier de façon importante l’activité desélèves ou les interventions possibles du pro-fesseur. En effet, pour un exercice, il y a uneseule aide disponible, quelle que soit laquestion de l’exercice. Cette aide n’est pasune solution immédiate et nécessite uneadaptation par rapport à la question encours. Elle peut même correspondre à larésolution d’une question plus difficile quecelle en cours comme on en verra un exempledans la partie suivante.

3. — Le thème de la proportionnalité au niveau sixième

Dans cette partie, nous effectuons uneanalyse des deux logiciels en ce qui concernele thème de la proportionnalité en 6ème. Pourcela, nous utilisons en particulier des variablesdes problèmes de proportionnalité préciséesdans Hersant (Hersant, 2001, pp. 56-77).Tous les exercices proposés par les deux logi-ciels sont dans le cadre 4 arithmétique (avecquelques références au cadre géométriquepour Mep) et la proportionnalité est toujoursutilisée comme outil (sauf les trois derniers

3 Pour Mep il faut être inscrit comme testeur. 4 Au sens de Douady (Douady, 1986)


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exercices de Wims et le dernier de Mep), cequi est normal à ce niveau scolaire. Lescontextes des exercices sont variés. Lesdomaines numériques sont les entiers, lesdécimaux et les rationnels. On observe essen-tiellement des différences de contenus auniveau des relations de proportionnalité en jeu,des tâches (Robert, 2003) et des registres dereprésentation sémiotique.

• Dans Mep, l’un des chapitres de la rubrique« numérique » est intitulé « proportionnalité ».

Il est divisé en trois séries : « proportionnalité »,« échelle » et « pour aller plus loin ». La série«proportionnalité » comprend six exercices : «petitsproblèmes », « trouver le coefficient », « pro-portionnalité ou pas ? », « problèmes et tableaux »et « sur un graphique ». « Échelle » comprendcinq exercices et « pour aller plus loin » deux exer-cices. On recense ainsi cent questions sur la pro-portionnalité. Quelle que soit la série, les rela-tions de proportionnalité sont toujours simpleset mettent en jeu des grandeurs discrètes et conti-nues ou des suites de nombres (exercices « coef-

Exercices

Petits problèmes(10 questions)

Trouver le coefficient(10 questions)

Proportionnalité oupas (5 questions)

Pb. et tableaux (10 questions)

Sur un graphique(10 questions)

Calculer échelle (10 questions)

Calculer la dimen-sion réelle (10 q.)

Calculer la distancereprésentée (10 q.)

Mesurer pour calculerdes échelles (5 q.)

Mesurer pour calc. desgrandeurs réelles (5 q.)

Tableaux sans coef-ficient (5 questions)

Coefficients frac-tionnaires (5 q.)

Tâche

Calculer une 4ème proportionnelle

Calculer un ou des coefficients de proportionnalité

Reconnaître si une situation est de proportionnalité ou pas

Remplir un tableau de proportionnalité, et calculerdes images, des antécédents et un coefficient

Lire graphiquement des images et des antécédents

Calculer un coefficient (et changer d’unité)

Calculer un antécédent (et changer d’unité)

Calculer une image (et changer d’unité)

Mesurer un segment, changer d’unité, calculer un coeff.

Mesurer un segt., changer d’unité, calculer un antécédent

Calculer des 4e proportionnelles en utilisant la linéarité

Calculer les deux coefficients sous forme de fraction

Registre(s)

Langage naturel

Langage naturel et tableaux

Langage naturel et tableaux et graphiques

Langage naturel → tableau

Graphique → langage naturel

Langage naturel et fraction



Langage naturel et dessin

Langage naturel et dessin

Langage naturel et tableau

Tableau

Série « Proportionnalité »

Série « Échelle »

Série « Pour aller plus loin »


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ficients fractionnaires » de la série « pour allerplus loin »). Le tableau suivant résume lestâches de chaque exercice ainsi que les registresutilisés pour représenter les données ou leschangements de registre 5 (→).

Les exercices sont le plus souvent proposésde façon assez graduée. Par exemple, dans l’exer-cice « petits problèmes », on trouve d’abord unequestion de multiplication (valeur de l’unitédonnée) puis de division avant d’avoir à cal-culer réellement une 4ème proportionnelle. Demême, dans l’exercice « trouver le coefficient »,

il s’agit d’abord de calculer un coefficient quiest entier, puis deux coefficients entiers, puisdes coefficients rationnels. Lorsque les valeursnumériques le nécessitent, le logiciel propo-se la calculatrice comme outil.

• Dans Wims (Cf. tableau page ci-dessous),la recherche d’exercices par les mots-clés« proportionnalité » et « sixième » donne 21 exer-cices aux titres plus ou moins évocateurs dela tâche. La plupart d’entre eux mettent enjeu une proportionnalité entre des grandeursdiscrètes ou continues mais on trouve à nou-

5 au sens de Duval (Duval, 1995)

Exercices Tâche Registre(s)

CD-Rom Résoudre un problème arithmétique sans proportionnalité Langage naturelCourses Résoudre un problème arithmétique sans proportionnalité Langage naturelDensité Calculer un antécédent (et changer d’unité) Langage naturelDensité 2 Calculer un coefficient (et changer d’unité) Langage naturelDensité 3 Calculer une image (et changer d’unité) Langage naturelÉchelle Calculer un antécédent (et changer d’unité) Langage naturelÉchelle 2 Calculer une image (et changer d’unité) Langage naturelEssence Calculer une quatrième proportionnelle Langage naturelMolière Résoudre un problème arithmétique sans proportionnalité Langage naturelPoids Calculer des images avec plusieurs relations

de proportionnalités indépendantes Langage naturelPourcentages Calculer un pourcentage de répartition

et calculer une répartition Langage naturelPyramide Calculer une image avec changement d’unité et

données inutiles Langage naturelSolde Calculer un antécédent, situation de pourcentage

d’augmentation-réduction Langage naturelTapis Enchaînement d’isomorphismes, calculer une image,

pourcentage d’augmentation-réduction Langage naturelTemps de parcours Calculer une image ou utiliser une formule de vitesse Langage naturelTour du monde Calculer une image ou utiliser de formule

de vitesse - donnée inutile Langage naturelÂges Résoudre un problème arithmétique à 2 inconnues Langage naturelPartages Calculer une part dans un problème de partage Langage naturelTableau de proportion Calculer une quatrième proportionnelle

et un coefficient de proportionnalité TableauTableau de proportionnalité Calculer des images et des antécédents et calculer un coefficient TableauTableau deproportionnalité 2 Reconnaître si une situation est de proportionnalité ou pas Tableau


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veau un travail à partir de suites numériques(les exercices « tableau de… »). Certains exer-cices mettent cependant en jeu plus de deuxgrandeurs et des relations de proportionna-lité de type « enchaînements d’isomorphismes » ;certains ne sont pas des exercices de propor-tionnalité (tâche « résoudre un problème arith-métique » par exemple). Voici notre analyseconcernant les tâches et registres.

• Les deux bases de problèmes mettentdonc à disposition une grande variété d’exer-cices, tant du point de vue des domaines quedes tâches. Le fait que les interventions del’enseignant en séances machines soient plusindividualisées permet en outre de fairemieux vivre toutes les adaptations de connais-sances existantes et favorisent a priori uneactivité « riche » des élèves. Parfois, le tra-vail dans des cadres nouveaux, favorisé parl’usage du logiciel, permet d’engendrer denouvelles activités impossibles en environ-nement papier-crayon 6.

Cependant, pour le thème de la propor-tionnalité, on constate l’absence, dans lesdeux bases, de problèmes de comparaison decoefficient, comme dans la question « Maca-rons » suivante : Mariam fait des macarons.Pour une première fournée elle met 12 gouttesde colorant vert pour 250 g de pâte et pour uneseconde 7 gouttes de colorant vert pour 200g de pâte. Quels seront les macarons les plusverts ? Or ces problèmes nous semblent toutà fait intéressants à ce niveau. De même, onne trouve pas d’exercices de type « illustrer parune situation réelle un tableau de propor-tionnalité », ce qui peut sembler compréhen-sible à ce niveau. Par ailleurs, dans Mep, onnote l’absence totale de problèmes de pour-

centage alors que les programmes actuels yfont référence. Ces remarques nous amènentà envisager des questions sur l’activité del’enseignant notamment pour ce qui concer-ne l’organisation des séances classiques parrapport aux séances machines. Nous y revien-drons dans le paragraphe suivant. Par ailleurs,on remarquera aussi que, même si ce type d’ana-lyse demande de mettre en œuvre des connais-sances didactiques que l’on peut supposerdéveloppées au moins implicitement chez lesenseignants, il semble plus facile de cerner lestypes de tâches travaillés et les manquesavec Mep qu’avec Wims. C’est une différen-ce essentielle pour ce qui concerne le travailde l’enseignant.

La comparaison des deux tableaux pré-cédents permet aussi d’inférer que l’activitémathématique des élèves relative à la pro-portionnalité sera différente avec les deuxbases d’exercices. Tout d’abord, les exercicesde Mep sont plus proches des applicationsimmédiates que ceux de Wims, sauf peut-être dans la série « échelle », avec souvent uncaractère répétitif des questions. En outre, endehors de la série « proportionnalité ou pas ? »Mep ne propose que des problèmes de pro-portionnalité : cela n’incite pas les élèves à seposer la question de la proportionnalité etpeut les conduire à penser que tous les exer-cices sont des problèmes de proportionnalité.Au contraire, dans Wims, les exercices proposésdemandent plus de disponibilité de connais-sances, avec souvent des étapes intermé-diaires à résoudre non annoncées ou des don-nées inutiles. Certains de ces problèmes noussemblent d’ailleurs assez difficiles à résoudrepour un élève de 6ème, par exemple « Poids »7.De leur côté, les exercices de Mep mettent en

6 Il s’agit essentiellement d’activités dans le cadre gra-phique : par exemple les élèves peuvent faire varier descurseurs pour simuler des situations… Dans l’exercice Wimsde l’annexe 2, les élèves doivent retrouver l’expression dela fonction affine et ont plusieurs essais possibles en s’appuyant

sur les rétroactions de Wims.7 Poids : Un camion est 10 fois plus lourd qu’une voiture tan-dis qu’un camion est 4 fois moins lourd qu’un char. Sachantqu’un camion pèse 11 tonnes, calcule le poids d’une voitu-re et d’un char (en tonnes).


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jeu plus de changements de registres queceux de Wims et plus souvent des représen-tations dans des registres différents d’unemême relation de proportionnalité. On peutpenser que cette richesse permet à l’élève,au delà de l’activité de résolution de l’exerci-ce, de faire des liens entre ces différentsregistres pour la proportionnalité.

Concernant toujours l’activité mathé-matique potentielle des élèves, évoquons la ques-tion de l’aide dans Mep. Pour un exercice,l’aide proposée est toujours la même, quelleque soit la question. Elle correspond généra-lement à la résolution d’une des questions laplus avancée de l’exercice, avec l’introduc-tion éventuelle d’une autre registre que celuiproposé dans l’énoncé de la question en cours.Ainsi pour l’exercice 1 « petits problèmes » dela série « proportionnalité », l’aide est toujoursla résolution d’un problème de robinet dontnous reproduisons quelques écrans sur lapage ci-contre.

Du coup, une bonne partie de l’activitémathématique d’un élève en difficultés peutrésider non seulement dans la compréhensionde cette aide mais aussi dans sa transpositionpour remarquer qu’il s’agit du même type deproblème et comprendre comment résoudre laquestion en cours. La présentation des don-nées dans un tableau alors que les questions

sont proposées dans le registre du langage natu-rel suggère aussi à l’élève un travail papier-crayon, avec représentation des données dansun tableau. Enfin, l’aide propose d’utiliser lecoefficient de proportionnalité pour la résolutionde la question alors que la procédure linéai-re est plus naturelle.

Toujours à propos de l’activité mathé-matique des élèves, on peut aussi remarquerque certains des exercices proposés dansWims ou dans Mep, peuvent engendrer unefausse activité mathématique des élèves.Ainsi dans Wims, pour l’exercice « Tapis »(représenté ci-dessous), la bonne réponse estsystématiquement « moins de…» car les pour-centages d’augmentation et de réduction sonttoujours identiques. Un élève peut donc com-prendre ce phénomène après quelques essaissans du tout comprendre l’enchaînement d’iso-morphismes en jeu.

Cette fausse activité mathématique n’estpas uniquement liée à la présentation sousforme de QCM de l’exercice Wims. En effet,il en est de même pour l’exercice « sur un gra-phique » de Mep donné en annexe 3. Latâche est de lire graphiquement des imagesou des antécédents, mais les valeurs numé-riques proposées aléatoirement à chaquequestion correspondent toujours à un seul choixpossible de lecture en fonction des échelles


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Énoncé de la question cherchée(appelée problème

dans ce cas)

Rappel sur la proportionnalité

et le type de problème

Les données de l’exercice sont

placées dans untableau

Calcul d’un coefficient de

proportionnalité

Calcul de la valeur cherchée


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et du quadrillage. Toutes ces analyses ren-voient encore à l’activité de l’enseignant.

4. — Choix du scénario : le difficile travail de l’enseignant

Compte tenu des analyses effectuéesdans les deux paragraphes précédents, nouscentrons maintenant notre analyse sur letravail de l’enseignant pour la conceptiondu scénario d’utilisation d’une base d’exer-cices dans sa spécificité. L’utilisation deWims nécessite particulièrement ce travailde préparation puisque l’enseignant doitconcevoir une feuille de TD-Wims pour cesélèves. Par exemple, l’enseignant doit faireun tri parmi les 21 exercices proposés par lesmoteurs de recherche de Wims autour de laproportionnalité, ce qui constitue un travailassez proche du travail de préparation avecun livre dans un environnement papier-crayon. Vu son organisation arborescente, onpourrait penser qu’un tel travail préparatoireavec Mep est superflu mais nous allons voirqu’il n’en est rien.

Pour l’usage des deux logiciels, le scé-nario d’utilisation se conçoit à trois échellesdifférentes : celle d’une séquence d’ensei-gnement (sur un thème donné, par exemplela proportionnalité), celle d’une phase (quicorrespond en général à une séance maisqui n’est pas figée à cette durée d’une heure)et celle d’une tâche mathématique propo-sée aux élèves.

Au niveau de la tâche mathématique,l’enseignant doit tout d’abord effectuer cha-cun des exercices qu’il veut proposer à ses élèvesafin d’évaluer les connaissances à mettre enfonctionnement et les types de mises en fonc-tionnement proprement dites (entre applica-tions immédiates et tâches plus complexes).

Il peut également prendre conscience a prio-ri des fausses activités mathématiques pos-sibles et écarter (ou modifier dans Wims) cer-tains exercices. Pour limiter autrement cesdérives, il peut cependant demander auxélèves de justifier sur papier leur réponse àun exemplaire particulier de l’exercice. AvecWims, l’enseignant peut également concevoirdes exercices en regroupant plusieurs exercicesWims pour jouer, au delà des valeurs numé-riques, sur l’aléatoire des formes d’énoncés etcomplexifier les tâches. Par exemple, pourles exercices de proportionnalité, il peutregrouper en un même exercice de sa feuillede TD-Wims les exercices « densité », « den-sité 2 » et « densité 3 » afin de faire travaillerla même situation dans plusieurs sens. Ilpeut au contraire mélanger les contextes ouencore alterner exercices mettant en jeu la pro-portionnalité ou ne la mettant pas en jeupour travailler le caractère disponible de cetteconnaissance. Il convient cependant d’êtreprudent dans les regroupements : trop d’adap-tations rendent la tâche trop complexe etl’exercice construit peut devenir trop diffici-le pour les élèves.

Au niveau de la phase (séance), l’ensei-gnant doit gérer les enchaînements de tâchesproposées aux élèves. L’organisation des acti-vités influe en effet très certainement sur lafaçon dont s’opère l’appropriation des connais-sances. Ceci ne semble nécessaire que surWims lors de la conception de la feuille de TD-Wims. Par exemple, compte tenu des 21 exer-cices Wims sur la proportionnalité, l’enseignantpeut choisir de faire travailler d’abord desexercices d’applications immédiates puis ame-ner les élèves à travailler successivement cer-taines adaptations de façon graduée commedans les séries Mep. Les élèves peuvent alorsdétourner le logiciel en ne travaillant essen-tiellement que les exercices faciles, quitte à


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les refaire de nombreuses fois afin d’aug-menter leur moyenne générale sans affronterles exercices difficiles. Ce détournement obser-vé chez de nombreux élèves n’est pas pos-sible avec Mep. Pour l’éviter, l’enseignantpeut regrouper au sein d’un unique exercicede sa feuille Wims un exercice d’applicationimmédiate et un exercice plus complexe.L’élève se verra proposer aléatoirement l’undes deux. Avec les deux bases d’exercices,l’enseignant peut enfin proposer aux élèves destâches supplémentaires adaptées à partird’exercices du logiciel (c’est à dire mettant enfonctionnement les mêmes connaissancesavec des adaptations différentes) à réaliser enenvironnement papier-crayon, ce qui consti-tue une véritable marge de manœuvre.

Toute cette organisation a priori est cepen-dant pilotée par le scénario d’usage au niveaude la séquence d’enseignement. Quel que soitle logiciel utilisé et comme il le fait classi-quement, l’enseignant doit définir ses objec-tifs : travail de connaissances nouvelles, réin-vestissement, révisions… Il doit cependant gérerl’articulation entre les séances classiquespapier-crayon et les séances machines. Si cer-taines tâches bien représentées semblentfaciles à proposer en nombre important surmachine, toutes les tâches ne sont pas réali-sables sur logiciel comme nous l’avons vudans le paragraphe précédent pour la pro-portionnalité. Le travail sur machine ne favo-rise pas non plus les tâches liées à la rédac-tion. L’enseignant peut par exemple faire lechoix de laisser les applications immédiatespour un travail sur machine de façon à cen-trer l’activité en environnement papier-crayonsur des tâches plus complexes. Il s’exposeainsi moins aux détournements possibles etaux fausses activités mathématiques. Avec unrecueil des scores reflétant véritablement uneactivité mathématique réelle, il peut alors

s’assurer que les applications demandées surmachine sont bien réalisées.

Dans tous les cas, partant du contenu plus oumoins limité de sa base d’exercices privilégiée,l’enseignant va chercher une répartition destypes de tâches cohérente avec les programmeset préservant les dynamiques entre les diffé-rents cadres et registres, les aspects outils etobjets des connaissances, leur caractère contex-tualisé ou décontextualisé, les mises en fonc-tionnement au niveau disponible ou mobili-sable et prévoir un jeu sur des échelles de temps(dynamiques entre ancien et nouveau…). Sonarticulation doit aussi tenir compte des liensà effectuer entre les différents types de séances,notamment pour ce qui concerne l’institu-tionnalisation des connaissances et les phasesde bilan. Ces phases seront plus faciles à pré-parer avec à disposition les scores des élèvesaux différents exercices. Enfin, les temps derecherche en séance machine étant plutôtenvisagés comme des moments de travailindividuel ou par binôme, l’enseignant auraprobablement à imaginer de nouvelles dyna-miques entre les moments d’oral et d’écrit, derecherche et de rédaction.

5. — Conclusion

Dans cet article, nous avons essayé demettre en évidence à partir de l’exemple dedeux bases d’exercices en ligne commentl’utilisation de ce type de ressources dansl’enseignement des mathématiques peutinfluencer l’activité mathématique potentielledes élèves et requiert une adaptation dansl’activité de l’enseignant. L’influence ducontenu du logiciel sur l’activité mathé-matique des élèves semble assez facile àinférer par les enseignants à partir de leursconnaissances élaborées pour les séancespapier-crayon. L’influence des structures


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didactiques et logicielles proprement ditessemble au contraire plus difficile à inféreret nécessite sans doute, en plus d’une étudefine des exercices dans leur environnement,une observation des élèves et des ensei-gnants au travail. Il apparaît du coup quetout ce qui relève de la conception du scé-

nario, à quelque échelle que ce soit est déli-cat. Pour les enseignants, les adaptationsdans les pratiques ne sont sûrement pas évi-dentes mais seront probablement facilitéesà l’avenir par les échanges entre ensei-gnants qui se développent avec les com-munautés de pratiques.

Références

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ANNEXE 1 Organisation arborescente de Math en Poche (fonctions 3ème-2nde)

ANNEXE 2 Exercice « Coïncidence libre » dans Wims


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ANNEXE 3 Exercice « Sur un graphique » du chapitre « proportionnalité »

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