Ballottement des liquides dans les réservoirs cylindriques soumis à une oscillation harmonique...

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Ballottement des liquides dans les réservoirs cylindriques soumis à une oscillation harmonique Aude Royon-Lebeaud Thèse financée par le CNES et le CNRS Thèse encadrée par E. Hopfinger et A. Cartellier 15 mars 2005

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Ballottement des liquidesdans les réservoirs cylindriques

soumis à une oscillation harmonique

Aude Royon-LebeaudThèse financée par le CNES et le CNRS

Thèse encadrée par E. Hopfinger et A. Cartellier15 mars 2005

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Sommaire

A. Introduction à la problématique

B. Ballottement hors résonance

C. Mode tournant

D. Brisure à résonance

E. Conclusions et Perspectives

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3

A.1 Motivations et position du problème

• A l’origine des sollicitations externes (vent, changement de trajectoire…) peuvent engendrer :– de forts mouvements du liquide et donc

des efforts conséquents sur les structures – des phénomènes de brisure, donc une

augmentation de la surface d’échange et des variations de pression significatives

• Ceci a une forte incidence sur le pilotage

• Initiation du projet franco-allemand COMPERE (2000)

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Données du problème réel - Phase propulsée

Hypothèse adiabatique

az≈1-4g

Sollicitations latérales de basse fq f≈0.5-1 Hzde faibles amplitudesavec ax/az≈10-3

Ergols 0.1 10-6<< 10-6 m2/s10-5 </<3.5 10-5 m3/s2

Gaz

h

H ~4 m

R~1 m

Anneau anti-ballottant

Coupole

Vidange Cuve emboîtée

ax

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Liquide : eau (essentiellement)o Hauteur h > Ro Tension superficielle //=72 10-6 m3/s2

o Viscosité =10-6 m2/s

• Paramètres du problème

Excitation sinusoïdalex(t)=Af cos t

(ax=Af 2)

Ondeo Amplitude bo Longueur λ

Rayon de la cuveR ≈ 10 cm

az=g

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• Nombres adimensionnels Réel Exp.– Le Bond Bo=ρgR2/ 106 103 – L’Ohnesorge Oh=√(2/R) 5 10-5 3 10-4

– Profondeur du liquide h/R0.2 - 4 >1– La fréq. d’excitation /√(g/R)

ou /11 0.7 – 1.7

– L’amplitude d’excitation Af/R 10-3 - 10-2

Similitude en isotherme hors brisure

•Similitude garantie pour les phénomènes à grandes échelles•Etude de l’influence de Af/R et /11 suivant les gammes associées au problème réel

Conservation du Froude Fr=V/√(gR)=Af/R 2/(gR)

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A.3 Modes et pulsations propres

• Ondes de gravité en eau profonde– Relation de dispersion

2=kg (1+k2R2/Bo) tanh(kh)≈kg• Modes propres antisymétriques en

cuve cylindrique kR = 1.84 , 5.33 pour les deux 1ers

modes11= √(1.84g/R) , 12= √(5.33g/R)

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A.2 Etat de l’art• Abramson et al. (1966) : domaines d’existence des

différents régimes

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• Faltinsen et al. (2002) (cuve rectangulaire) et Miles (1984)– Non-linéarité négative du mode plan– Domaine d’existence et non-linéarité positive du

mode tournant

Af=constant

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Objectifs

• Etablir les amplitudes et le temps d’établissement du mode antisymétrique hors résonance

• Spécifier le domaine d’existence du mode tournant et déterminer les conditions de transition

• Caractériser le régime chaotique. Préciser les conditions de brisure. Détailler le scénario qui mène à la création d’interface

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A.2 Banc expérimental

• Cuve cylindrique – R=15 ou 7.8 cm – remplie d’eau à h/R>1

• Excitation imposée par un moteur linéaire – réglage en amplitude et en fréquence depuis le

PC– Fréquence ≈ 0 – 3 Hz– Amplitude ≈ 0 – 5 mm

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A.4 Régimes d’ondes

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• Instrumentation– Déplacement de la table : sonde optique – Elévation de la surface libre : sondes

capacitives– Déformation de la surface libre :

visualisation en lumière blanche

θ=90°

Sondes capacitives

θ=0°

x(t)=Af cos t

Sonde optique

Caméra

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Af/R=2.7 10-2

Af/R=0.7 10-2

Courbes de résonance homothétiques avec Af/R

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• Comparaison des domaines d’existence avec les résultats de Faltinsen et al. (2002)

Royon et al.Af/R=1.3 10-2

Faltinsen et al. Af/L=1.6 10-2

2L

2R

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Sommaire

A. Introduction à la problématique

B. Ballottement hors résonance

C. Mode tournant

D. Brisure à résonance

E. Conclusions et Perspectives

1. Installation du mode forcé

2. Analogie avec les oscillateurs

3. Régime stationnaire

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B. Ballottement hors résonance

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B.1 Installation du mode forcé

= 0.86 11 = 1.17 11

Dans ces deux cas: fort battement initial qui disparaît après environ 80 périodes

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=

0.8

6

11

Mode propre 1

Mode forcé

• Composition en fréquence:– Fréquence d’excitation – Fréquence du mode propre 11

– Fréquence du battement -11

• Evolution en temps :– Décroissance exponentielle du mode propre 1– Maintien du mode forcé

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B.2. Analogie avec les oscillateurs• Modèle mécanique:

– oscillateur à 1 ddl– amorti– de fréquence propre 11 – forcé à

• Equation du mouvement :

• Solution :x(t) = a e-κt cos(11t+α)+b cos(t+δ)

– Amortissement exponentiel du mode propre – Maintien en amplitude du mode forcé

m

tFxxx

)(2 11

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B.3. Régime stationnairepour différentes amplitudes de forçage

0.3 10-2<Af/R<2.7 10-2

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B.3 Régime stationnaire• Amplitude stationnaire (analogue aux

oscillateurs)

• Déphasage par rapport à l’excitation < 11 système en phase

> 11 système hors phase

11

2

2

12

K

K

K

A

b

f

Coefficient empirique valable pour Af>Afc

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Mode forcé : Principaux résultatsAnalogie avec oscillateur linéaire amorti donne

les principales propriétés :

• Superposition initiale mode forcé et mode propre

• Décroissance exponentielle du mode propre b=b0exp(-γt)

• Temps d’installation du régime stationnaire

• Amplitude stationnaire=f(Af,/11)

112

2

1

2

KK

K

A

b

f

41

43

21

8.0

gR 21

11

211

R

RC

ou

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Sommaire

A. Introduction à la problématique

B. Ballottement hors résonance

C. Mode tournant

D. Brisure à résonance

E. Conclusions et Perspectives

1. Description du mode tournant

2. Etude de la transition

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D. Mode tournant

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D.1 Description du mode tournant

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Mod

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–Mode robuste de très grandes amplitudes

–Existence du mode jusqu’à 1.311

–Croissance du déphasage avec l’excitation de 0 à /2 (mode tournant s’écroule)

Af/R=2.3 10-

2

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• Transition du mode 1 vers le mode tournant à fréquence fixée en augmentant l’amplitude d’excitation

D.2 Etude de la transition

Amplitude d’excitation

Am

plit

ude d

u m

ode t

ourn

ant

=1.071

1

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Mod

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nt

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Am

plit

ud

e s

ur

les

son

des

Sonde à 90°(amplitude du mode tournant)

Sonde à 0°(amplitude du mode plan)

Temps

légère augmentationde Af

Croissance exponentielle de l’amplitude du mode tournant à transition

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Mod

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urna

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Trajectoires de particules (vue de dessous. T exposition = 2π/)

(1-2) Mise en place du mode tournant.

(3-5) Croissance de son amplitude

(6) Mise en rotation du liquide

1

5 6

3 4

2

Af cos t

1 2

3

4

5 6

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Mode tournant : Principaux résultats

• Mode tournant existe pour ≈> 11 jusqu’à ≈1.3 11

• Stable à de grandes amplitudes • Croissance exponentielle du mode• Transition sous-critique vers le mode

tournant• Mise en rotation du liquide par l’onde

azimutale

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Sommaire

A. Introduction à la problématique

B. Ballottement hors résonance

C. Mode tournant

D. Brisure à résonance et régime chaotique

E. Conclusions et Perspectives

1. Description du régime chaotique

2. Croissance à résonance

3. Scénario de déstabilisation de l’interface

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C. Brisure à résonance

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C.1. Description du régime chaotique

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–Phase 1 : croissance du mode 1–Phase 2 : croissance du mode tournant suivi d’un court mode tournant stable–Phase 3 : brisure de l’onde

Am

plit

ude à

Am

plit

ude à

90

°

Temps

=

0.9

8

11

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C.2. Croissance à résonance

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• Croissance linéaire:– Taux de croissance prédit par la théorie

des oscillateurs linéaires R

AC

TtRb

f

Am

plit

ude

Temps

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• Modification du profil de l’onde et déstabilisation pour b>bc=g/2 i.e. a>g

Profil théorique suivant Penney et Price (1952)

b<bcb>bc

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C.3. scénario de déstabilisation de l’interface

a et b Déstabilisation de courte longueur d’onde type Rayleigh-Taylor

c Superposition d’une instabilité de grande longueur d’onde

d-f Croissance de la grande longueur d’onde à l’origine de la création d’interface

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• Caractéristiques expérimentales des ondes ≈1/2 largeur de la cuve ou largeur de la cuve– Pulsation identique à celle de l’onde antisymétrique

• Instabilité transverse observée de type Faraday excitée par l’onde plane antisymétrique à fréquence 211

21111

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• Diagramme de stabilité des ondes de Faraday (Benjamin et Ursell 1954) (théorie non-visqueuse)

np

4

)tanh(2 hkkbq nnf

2

4

6 12

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Splashing

Paquets fluideretardés

Déformationen chapeau

Entraînement d’air et création de gouttes

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• Déformation du profil et triplement de périodes Jiang et al. (1998) : oscillation vertical d’un canal 2D (l<<L)

Mode A Mode B Mode C

t=0, 3T …

t=T, 4T …

t=2T, 5T …

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Temps de création d’interface

Temps

Am

plit

ude

Et en 3D (l=L)

Vue face Vue côté

Vue faceVue côté Vue faceVue côté

η< ηmaxη< ηmax

η< ηmax

ηma

x

ηmax

ηma

x

C

Pseudo-période

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ue 45Splashing

Entraînement d’air et création de gouttes

Paquets fluideretardés

Cuve Ronde

Instabilité Faraday

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Régime chaotique : Principaux résultats

• Régime chaotique quasi-périodique – de pseudo-période 1/30<chaos< 1/10 croissant

avec Af

– d’amplitude moyenne croissant avec Af

• La croissance en amplitude à résonance linéaire

• Déstabilisation du front pour b>bc=g/2 (Af>Afc)

• Déstabilisation du front par instabilité de type Faraday

• Entraînement d’air et création de gouttes par splashing et déferlement de l’onde

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Sommaire

A. Introduction à la problématique

B. Ballottement hors résonance

C. Brisure à résonance

D. Mode tournant

E. Conclusions et Perspectives

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• Une analogie avec oscillateur linéaire amorti donne les principales propriétés du mode forcé :– Superposition initiale des mode forcé et mode

propre,– Décroissance exponentielle du mode propre– Amplitude stationnaire=f(Af,/11))

• Le mode tournant existe pour ≈> 11 :– Grande amplitude. – Transition sous-critique. Croissance exponentielle.

Mise en rotation du liquide par l’onde azimutale.• Le régime chaotique est quasi-périodique. Il

comprend : – Un court mode tournant– Un mode plan déferlant : phase de croissance en

amplitude linéaire, déstabilisation par onde transverse de type Faraday, modification du profil de l’onde, d’où par splashing et déferlement génération de gouttes et de bulles

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• Détermination des temps caractéristiques– Temps d’installation du régime forcé stationnaire– Temps de transition vers le mode tournant– Temps d’amortissement

• Efforts– A partir de l’amplitude en mode forcé : F varie en b2

– Etude expérimentale et numérique de EADS pour le mode tournant

• Création d’interface– Identification des phénomènes – Estimation de temps caractéristique des phases de

brisure du régime chaotique ? Possible mise en défaut de la similitude

Transposition possible aux réservoirs de fusée en respectant Af/R et /11

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• Perspectives

– Détermination du champ de vitesse en vue de l’élaboration d’un scénario pour la modification du profil de l’onde

– Etude de l’influence du taux de remplissage

– Estimation de la quantité d’interface créée ??

– Etude pour des sollicitations impulsionnelles

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Merci de votre attention

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• Evolution des caractéristiques du mode chaotique en fonction de Af à =(1-ε)11

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Régime chaotique à faible Af

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Amortissement libre=0.8111=1.2111

•Transfert d’énergie 2-3 périodes après l’arrêt. conservation du rapport Energie cinétique / Energie potentielle donc bi/bf≈(11/)2 •Décroissance exponentielle de l’amplitude b=b0exp(-γt)

41

43

21

8.0

gR

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Amortissement en eau peu profonde

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Effet d’un dôme

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Effet d’un anneau