Ballottement des liquides dans les réservoirs cylindriques soumis à une oscillation harmonique...
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Ballottement des liquidesdans les réservoirs cylindriques
soumis à une oscillation harmonique
Aude Royon-LebeaudThèse financée par le CNES et le CNRS
Thèse encadrée par E. Hopfinger et A. Cartellier15 mars 2005
Sommaire
A. Introduction à la problématique
B. Ballottement hors résonance
C. Mode tournant
D. Brisure à résonance
E. Conclusions et Perspectives
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
blém
atiq
ue
3
A.1 Motivations et position du problème
• A l’origine des sollicitations externes (vent, changement de trajectoire…) peuvent engendrer :– de forts mouvements du liquide et donc
des efforts conséquents sur les structures – des phénomènes de brisure, donc une
augmentation de la surface d’échange et des variations de pression significatives
• Ceci a une forte incidence sur le pilotage
• Initiation du projet franco-allemand COMPERE (2000)
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
blém
atiq
ue
4
Données du problème réel - Phase propulsée
Hypothèse adiabatique
az≈1-4g
Sollicitations latérales de basse fq f≈0.5-1 Hzde faibles amplitudesavec ax/az≈10-3
Ergols 0.1 10-6<< 10-6 m2/s10-5 </<3.5 10-5 m3/s2
Gaz
h
H ~4 m
R~1 m
Anneau anti-ballottant
Coupole
Vidange Cuve emboîtée
ax
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
blém
atiq
ue
5
Liquide : eau (essentiellement)o Hauteur h > Ro Tension superficielle //=72 10-6 m3/s2
o Viscosité =10-6 m2/s
• Paramètres du problème
Excitation sinusoïdalex(t)=Af cos t
(ax=Af 2)
Ondeo Amplitude bo Longueur λ
Rayon de la cuveR ≈ 10 cm
az=g
A.
Intr
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tion
à la
pro
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atiq
ue
6
• Nombres adimensionnels Réel Exp.– Le Bond Bo=ρgR2/ 106 103 – L’Ohnesorge Oh=√(2/R) 5 10-5 3 10-4
– Profondeur du liquide h/R0.2 - 4 >1– La fréq. d’excitation /√(g/R)
ou /11 0.7 – 1.7
– L’amplitude d’excitation Af/R 10-3 - 10-2
Similitude en isotherme hors brisure
•Similitude garantie pour les phénomènes à grandes échelles•Etude de l’influence de Af/R et /11 suivant les gammes associées au problème réel
Conservation du Froude Fr=V/√(gR)=Af/R 2/(gR)
A.
Intr
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tion
à la
pro
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ue
7
A.3 Modes et pulsations propres
• Ondes de gravité en eau profonde– Relation de dispersion
2=kg (1+k2R2/Bo) tanh(kh)≈kg• Modes propres antisymétriques en
cuve cylindrique kR = 1.84 , 5.33 pour les deux 1ers
modes11= √(1.84g/R) , 12= √(5.33g/R)
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
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ue
8
A.2 Etat de l’art• Abramson et al. (1966) : domaines d’existence des
différents régimes
A.
Intr
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tion
à la
pro
blém
atiq
ue
9
• Faltinsen et al. (2002) (cuve rectangulaire) et Miles (1984)– Non-linéarité négative du mode plan– Domaine d’existence et non-linéarité positive du
mode tournant
Af=constant
A.
Intr
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tion
à la
pro
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atiq
ue
10
Objectifs
• Etablir les amplitudes et le temps d’établissement du mode antisymétrique hors résonance
• Spécifier le domaine d’existence du mode tournant et déterminer les conditions de transition
• Caractériser le régime chaotique. Préciser les conditions de brisure. Détailler le scénario qui mène à la création d’interface
A.
Intr
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tion
à la
pro
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atiq
ue
11
A.2 Banc expérimental
• Cuve cylindrique – R=15 ou 7.8 cm – remplie d’eau à h/R>1
• Excitation imposée par un moteur linéaire – réglage en amplitude et en fréquence depuis le
PC– Fréquence ≈ 0 – 3 Hz– Amplitude ≈ 0 – 5 mm
A.
Intr
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tion
à la
pro
blém
atiq
ue
12
A.4 Régimes d’ondes
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
blém
atiq
ue
13
• Instrumentation– Déplacement de la table : sonde optique – Elévation de la surface libre : sondes
capacitives– Déformation de la surface libre :
visualisation en lumière blanche
θ=90°
Sondes capacitives
θ=0°
x(t)=Af cos t
Sonde optique
Caméra
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
blém
atiq
ue
14
Af/R=2.7 10-2
Af/R=0.7 10-2
Courbes de résonance homothétiques avec Af/R
A.
Intr
oduc
tion
à la
pro
blém
atiq
ue
15
• Comparaison des domaines d’existence avec les résultats de Faltinsen et al. (2002)
Royon et al.Af/R=1.3 10-2
Faltinsen et al. Af/L=1.6 10-2
2L
2R
Sommaire
A. Introduction à la problématique
B. Ballottement hors résonance
C. Mode tournant
D. Brisure à résonance
E. Conclusions et Perspectives
1. Installation du mode forcé
2. Analogie avec les oscillateurs
3. Régime stationnaire
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
17
B. Ballottement hors résonance
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
18
B.1 Installation du mode forcé
= 0.86 11 = 1.17 11
Dans ces deux cas: fort battement initial qui disparaît après environ 80 périodes
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
19
=
0.8
6
11
Mode propre 1
Mode forcé
• Composition en fréquence:– Fréquence d’excitation – Fréquence du mode propre 11
– Fréquence du battement -11
• Evolution en temps :– Décroissance exponentielle du mode propre 1– Maintien du mode forcé
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
20
B.2. Analogie avec les oscillateurs• Modèle mécanique:
– oscillateur à 1 ddl– amorti– de fréquence propre 11 – forcé à
• Equation du mouvement :
• Solution :x(t) = a e-κt cos(11t+α)+b cos(t+δ)
– Amortissement exponentiel du mode propre – Maintien en amplitude du mode forcé
m
tFxxx
)(2 11
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
21
B.3. Régime stationnairepour différentes amplitudes de forçage
0.3 10-2<Af/R<2.7 10-2
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
22
B.3 Régime stationnaire• Amplitude stationnaire (analogue aux
oscillateurs)
• Déphasage par rapport à l’excitation < 11 système en phase
> 11 système hors phase
11
2
2
12
K
K
K
A
b
f
Coefficient empirique valable pour Af>Afc
B.
Bal
lott
emen
t ho
rs r
éson
ance
23
Mode forcé : Principaux résultatsAnalogie avec oscillateur linéaire amorti donne
les principales propriétés :
• Superposition initiale mode forcé et mode propre
• Décroissance exponentielle du mode propre b=b0exp(-γt)
• Temps d’installation du régime stationnaire
• Amplitude stationnaire=f(Af,/11)
112
2
1
2
KK
K
A
b
f
41
43
21
8.0
gR 21
11
211
R
RC
ou
Sommaire
A. Introduction à la problématique
B. Ballottement hors résonance
C. Mode tournant
D. Brisure à résonance
E. Conclusions et Perspectives
1. Description du mode tournant
2. Etude de la transition
C.
Mod
e to
urna
nt
25
D. Mode tournant
C.
Mod
e to
urna
nt
26
D.1 Description du mode tournant
C.
Mod
e to
urna
nt
27
–Mode robuste de très grandes amplitudes
–Existence du mode jusqu’à 1.311
–Croissance du déphasage avec l’excitation de 0 à /2 (mode tournant s’écroule)
Af/R=2.3 10-
2
C.
Mod
e to
urna
nt
28
• Transition du mode 1 vers le mode tournant à fréquence fixée en augmentant l’amplitude d’excitation
D.2 Etude de la transition
Amplitude d’excitation
Am
plit
ude d
u m
ode t
ourn
ant
=1.071
1
C.
Mod
e to
urna
nt
29
Am
plit
ud
e s
ur
les
son
des
Sonde à 90°(amplitude du mode tournant)
Sonde à 0°(amplitude du mode plan)
Temps
légère augmentationde Af
Croissance exponentielle de l’amplitude du mode tournant à transition
C.
Mod
e to
urna
nt
30
Trajectoires de particules (vue de dessous. T exposition = 2π/)
(1-2) Mise en place du mode tournant.
(3-5) Croissance de son amplitude
(6) Mise en rotation du liquide
1
5 6
3 4
2
Af cos t
1 2
3
4
5 6
E.
Con
clus
ions
et
pers
pect
ives
31
Mode tournant : Principaux résultats
• Mode tournant existe pour ≈> 11 jusqu’à ≈1.3 11
• Stable à de grandes amplitudes • Croissance exponentielle du mode• Transition sous-critique vers le mode
tournant• Mise en rotation du liquide par l’onde
azimutale
Sommaire
A. Introduction à la problématique
B. Ballottement hors résonance
C. Mode tournant
D. Brisure à résonance et régime chaotique
E. Conclusions et Perspectives
1. Description du régime chaotique
2. Croissance à résonance
3. Scénario de déstabilisation de l’interface
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 33
C. Brisure à résonance
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 34
C.1. Description du régime chaotique
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 35
–Phase 1 : croissance du mode 1–Phase 2 : croissance du mode tournant suivi d’un court mode tournant stable–Phase 3 : brisure de l’onde
Am
plit
ude à
0°
Am
plit
ude à
90
°
Temps
=
0.9
8
11
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 36
C.2. Croissance à résonance
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 37
• Croissance linéaire:– Taux de croissance prédit par la théorie
des oscillateurs linéaires R
AC
TtRb
f
Am
plit
ude
Temps
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 38
• Modification du profil de l’onde et déstabilisation pour b>bc=g/2 i.e. a>g
Profil théorique suivant Penney et Price (1952)
b<bcb>bc
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 39
C.3. scénario de déstabilisation de l’interface
a et b Déstabilisation de courte longueur d’onde type Rayleigh-Taylor
c Superposition d’une instabilité de grande longueur d’onde
d-f Croissance de la grande longueur d’onde à l’origine de la création d’interface
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 40
• Caractéristiques expérimentales des ondes ≈1/2 largeur de la cuve ou largeur de la cuve– Pulsation identique à celle de l’onde antisymétrique
• Instabilité transverse observée de type Faraday excitée par l’onde plane antisymétrique à fréquence 211
21111
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 41
• Diagramme de stabilité des ondes de Faraday (Benjamin et Ursell 1954) (théorie non-visqueuse)
np
4
)tanh(2 hkkbq nnf
2
4
6 12
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 42
Splashing
Paquets fluideretardés
Déformationen chapeau
Entraînement d’air et création de gouttes
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 43
• Déformation du profil et triplement de périodes Jiang et al. (1998) : oscillation vertical d’un canal 2D (l<<L)
Mode A Mode B Mode C
t=0, 3T …
t=T, 4T …
t=2T, 5T …
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 44
Temps de création d’interface
Temps
Am
plit
ude
Et en 3D (l=L)
Vue face Vue côté
Vue faceVue côté Vue faceVue côté
η< ηmaxη< ηmax
η< ηmax
ηma
x
ηmax
ηma
x
C
Pseudo-période
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 45Splashing
Entraînement d’air et création de gouttes
Paquets fluideretardés
Cuve Ronde
Instabilité Faraday
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
et r
égim
e ch
aotiq
ue 46
Régime chaotique : Principaux résultats
• Régime chaotique quasi-périodique – de pseudo-période 1/30<chaos< 1/10 croissant
avec Af
– d’amplitude moyenne croissant avec Af
• La croissance en amplitude à résonance linéaire
• Déstabilisation du front pour b>bc=g/2 (Af>Afc)
• Déstabilisation du front par instabilité de type Faraday
• Entraînement d’air et création de gouttes par splashing et déferlement de l’onde
Sommaire
A. Introduction à la problématique
B. Ballottement hors résonance
C. Brisure à résonance
D. Mode tournant
E. Conclusions et Perspectives
E.
Con
clus
ions
et
pers
pect
ives
48
• Une analogie avec oscillateur linéaire amorti donne les principales propriétés du mode forcé :– Superposition initiale des mode forcé et mode
propre,– Décroissance exponentielle du mode propre– Amplitude stationnaire=f(Af,/11))
• Le mode tournant existe pour ≈> 11 :– Grande amplitude. – Transition sous-critique. Croissance exponentielle.
Mise en rotation du liquide par l’onde azimutale.• Le régime chaotique est quasi-périodique. Il
comprend : – Un court mode tournant– Un mode plan déferlant : phase de croissance en
amplitude linéaire, déstabilisation par onde transverse de type Faraday, modification du profil de l’onde, d’où par splashing et déferlement génération de gouttes et de bulles
E.
Con
clus
ions
et
pers
pect
ives
49
• Détermination des temps caractéristiques– Temps d’installation du régime forcé stationnaire– Temps de transition vers le mode tournant– Temps d’amortissement
• Efforts– A partir de l’amplitude en mode forcé : F varie en b2
– Etude expérimentale et numérique de EADS pour le mode tournant
• Création d’interface– Identification des phénomènes – Estimation de temps caractéristique des phases de
brisure du régime chaotique ? Possible mise en défaut de la similitude
Transposition possible aux réservoirs de fusée en respectant Af/R et /11
E.
Con
clus
ions
et
pers
pect
ives
50
• Perspectives
– Détermination du champ de vitesse en vue de l’élaboration d’un scénario pour la modification du profil de l’onde
– Etude de l’influence du taux de remplissage
– Estimation de la quantité d’interface créée ??
– Etude pour des sollicitations impulsionnelles
51
Merci de votre attention
D.
Bris
ure
à ré
sona
nce
52
• Evolution des caractéristiques du mode chaotique en fonction de Af à =(1-ε)11
53
Régime chaotique à faible Af
54
Amortissement libre=0.8111=1.2111
•Transfert d’énergie 2-3 périodes après l’arrêt. conservation du rapport Energie cinétique / Energie potentielle donc bi/bf≈(11/)2 •Décroissance exponentielle de l’amplitude b=b0exp(-γt)
41
43
21
8.0
gR
55
Amortissement en eau peu profonde
56
Effet d’un dôme
57
Effet d’un anneau