Baccalaureat ES 2014

[ Baccalaurat ES 2014\

Lintgrale davril novembre 2014

Pour un accs direct cliquez sur les liensbleus

Pondichry 7 avril 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Liban 27 mai 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Amrique du Nord 30 mai 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Centres trangers 12 juin 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Polynsie 13 juin 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Antilles-Guyane 19 juin 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Asie 19 juin 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Mtropole 20 juin 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Polynsie 10 septembre 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Antilles-Guyane 12 septembre 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Mtropole 12 septembre 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Amrique du Sud 14 novembre 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Nouvelle-Caldonie 16 novembre 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . 73

la fin index des notions abordes la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller lindex

Baccalaurat ES/L : lintgrale 2014 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalaurat ES Pondichry \7 avril 2014

Exercice 1 4 pointsCommun tous les candidats

Pour chacune des propositions, dterminer si la proposition est vraie ou fausse etjustifier la rponse.

1.

La courbeCh reprsentative dunefonction h dfinie et drivable surR est reprsente ci-contre.On a trac la tangente T Ch aupoint A(1 ; 3).T passe par le point B(0 ; 2).Proposition : le nombre drivh(1) est gal 2.

1

2

3

1

2

1 212

-2 -1 1-3

-2

-1

0

1

2

3

4

+

+

ChT

O

x

y

A

B

2.On dsigne par f une fonctiondfinie et deux fois drivable sur[0 ; +[.La courbe reprsentative de lafonction f , drive seconde de lafonction f , est donne ci-contre.Le point de coordonnes (1 ; 0)est le seul point dintersection decette courbe et de laxe des abs-cisses.Proposition : la fonction f estconvexe sur lintervalle [1 ; 4].

1

1 2 3 4O

x

y

3. Proposition : on a lgalit

e5ln2e7ln4 = 219.

4. La courbe reprsentative dune fonction g dfinie et continue sur lintervalle[0 ; 2] est donne en fig. 1.

La courbe reprsentative dune de ses primitives, G, est donne sur la fig. 2.La courbe reprsentative deG passe par les points A(0 ; 1), B(1 ; 1) et C(2 ; 5).

Baccalaurat ES/L A. P. M. E. P.

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2O

fig. 1

1

2

3

4

5

1 2

b b

b

A B

C

fig. 2

O

Proposition : la valeur exacte de laire de la partie grise sous la courbe de gen fig. 1 est 4 units daires.

*Exercice 2 5 pointsCandidats ES nayant pas suivi lenseignement de spcialit et candidats L

Uneassociationdcide douvrir un centre de soinpour les oiseaux sauvages victimesde la pollution. Leur but est de soigner puis relcher ces oiseaux une fois guris.Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.Les spcialistes prvoient que 40% des oiseaux prsents dans le centre au 1er janvierdune anne restent prsents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sontaccueillis dans le centre chaque anne.On sintresse au nombre doiseaux prsents dans le centre au 1er janvier des annessuivantes.La situation peut tre modlise par une suite (un ) admettant pour premier termeu0 = 115, le termeun donnant une estimationdunombredoiseaux lanne 2013+n.

1. Calculer u1 et u2. Avec quelle prcision convient-il de donner ces rsultats ?

2. Les spcialistes dterminent le nombre doiseaux prsents dans le centre au1er janvier de chaque anne laide dun algorithme.

a. Parmi les trois algorithmes proposs ci-dessous, seul lalgorithme 3 per-met destimer le nombredoiseauxprsents au 1er janvier de lanne 2013+n.

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le r-sultat attendu.

Variables : Variables : Variables :U est un nombre rel U est un nombre rel U est un nombre reli et N sont des nombresentiers

i et N sont des nombresentiers


Dbut Dbut DbutSaisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour NAffecter 115 U Pour i de 1 N faire Affecter 115 UPour i de 1 N faire Affecter 115 U

Affecter 0,4U +115 UPour i de 1 N faire

Affecter 0,6U +120 U Affecter 0,4U +120 UFin Pour Fin Pour Fin PourAfficherU AfficherU AfficherUFin Fin Fin

algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3

b. Donner, pour tout entier naturel n, lexpression de un+1 en fonction deun .

3. On considre la suite (vn) dfinie pour tout entier naturel n par vn =un200.

Pondichry 4 7 avril 2014


a. Montrer que (vn) est une suite gomtrique de raison 0,4. Prciser v0.

b. Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

c. En dduire que pour tout entier naturel n,un = 200850,4n .

d. La capacit daccueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justi-fier la rponse.

4. Chaque anne, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau pr-sent au 1er janvier.

Calculer le montant total des subventions perues par le centre entre le 1er

janvier 2013 et le 31dcembre 2018 si lon suppose que lvolutiondunombredoiseaux se poursuit selon les mmes modalits durant cette priode.

*Exercice 2 5 pointsCandidats ES ayant suivi lenseignement de spcialit

Les parties A et B sont indpendantes

Deux socits, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le march des fontainesdeau bonbonnes dans les entreprises dune grande ville.

Partie A

En 2013, lentreprise U avait 45% du march et lentreprise V le reste. Chaque an-ne, lentreprise U conserve 90% de ses clients, les autres choisissent lentreprise V.Quant lentreprise V, elle conserve 85% de ses clients, les autres choisissent len-treprise U.On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel n :

un la probabilit quil soit un client de lentreprise U lanne 2013+n, ainsi

u0 = 0,45 ;

vn la probabilit quil soit un client de lentreprise V lanne 2013+n.

1. Reprsenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V.

2. Donner v0, calculer u1 et v1

3. On considre lalgorithme (incomplet) donn en annexe. Celui-ci doit don-ner en sortie les valeurs de un et vn pour un entier naturel n saisi en entre.

Complter les lignes (L5) et (L8) de lalgorithme pour obtenir le rsultat at-tendu.

4. On admet que, pour tout nombre entier naturel n,un+1 = 0,75un +0,15. Onnote, pour tout nombre entier naturel n,wn =un 0,6.

a. Montrer que la suite (wn) est une suite gomtrique de raison 0,75.

b. Quelle est la limite de la suite (wn) ? En dduire la limite de la suite (un ).Interprter le rsultat dans le contexte de cet exercice.

Partie B

Lentreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines eau et dispose desrsultats antrieurs suivants :

Nombre de recharges en milliers 1 3 5Cot total annuel de production en centaines deuros 11 27,4 83



Le cot total de production estmodlis par une fonctionC dfinie pour tout nombrerel x de lintervalle [0 ; 10] par :

C (x)= ax3+bx2+cx+10 a,b et c sont des nombres rels.

Lorsque le nombre x dsigne le nombre de milliers de recharges produites, C (x) estle cot total de production en centaines deuros.On admet que le triplet (a,b,c) est solution du systme (S).

(S)

a+b+c = 127a+9b+3c = 17,4125a+25b+5c = 73

et on poseX =

a

b

c

.

1. a. crire ce systme sous la formeMX = Y oM et Y sont desmatrices quelon prcisera.

b. On admet que la matrice M est inversible. Dterminer, laide de la cal-culatrice, le triplet (a,b,c) solution du systme (S).

2. En utilisant cette modlisation, quel serait le cot total annuel de productionpour 8000 recharges deau produites ?

Annexe lexercice 2Recopier sur la copie la partie traitement (lignes L3 L9) en compltant les lignesL5 et L8.

Variables : N est un nombre entier naturel non nul L1U et V sont des nombres rels L2

Traitement : Saisir une valeur pour N L3Affecter U la valeur 0,45 L4Affecter V la valeur . . . . . . L5Pour i allant de 1 jusqu N L6

Affecter U la valeur 0,9U +0,15VAffecter V la valeur . . . . . .

L7L8

Fin Pour L9Sortie : AfficherU et Afficher V L10

*Exercice 3 5 pointsCommun tous les candidats

Les parties A, B et C sont indpendantes

Partie A

Une socit sest intresse la probabilit quun de ses salaris, choisi au hasard,soit absent durant une semaine donne de lhiver 2014.On a valu 0,07 la probabilit quun salari ait la grippe une semaine donne. Sile salari a la grippe, il est alors absent.Si le salari nest pas gripp cette semaine l, la probabilit quil soit absent est esti-me 0,04.On choisit un salari de la socit au hasard et on considre les vnements sui-vants :

G : le salari a la grippe une semaine donne ; A : le salari est absent une semaine donne.

1. Reproduire et complter larbre en indiquant les probabilits de chacune desbranches.



G. . . A. . .

G. . .

A. . .

A. . .

2. Montrer que la probabilit p(A) de lvnement A est gale 0,1072.

3. Pour une semaine donne, calculer la probabilit quun salari ait la grippesachant quil est absent. Donner un rsultat arrondi au millime.

Partie B

Onadmet que le nombre de journes dabsence annuel dun salari peut tremod-lis par une variable alatoire X qui suit la loi normale demoyenne = 14 et dcarttype = 3,5.

1. Justifier, en utilisant un rsultat du cours, que p(76 X 6 21) 0,95.

2. Calculer la probabilit, arrondie au millime, quun salari comptabilise aumoins 10 journes dabsence dans lanne.

Partie C

Une mutuelle dclare que 22% de ses adhrents ont dpass 20 journes dabsenceau travail en 2013.Afin dobserver la validit de cette affirmation, un organisme enqute sur un chan-tillon de 200 personnes, choisies au hasard et de faon indpendante, parmi lesadhrents de la mutuelle.Parmi celles-ci, 28 ont comptabilis plus de 20 journes dabsence en 2013.Le rsultat de lenqute remet-il en question laffirmation de la mutuelle ? Justifierla rponse. On pourra saider du calcul dun intervalle de fluctuation. *Exercice 4 6 pointsCommun tous les candidats

Les parties A et B peuvent tre traites indpendamment

Un artisan glacier commercialise des sorbets bio . Il peut en produire entre 0 et300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalit.Le cot total de fabrication est modlis par la fonction f dfinie pour tout nombrerel x de lintervalle I = ]0 ; 3] par

f (x)= 10x220x ln x.

Lorsque x reprsente le nombre de centaines de litres de sorbet, f (x) est le cot totalde fabrication en centaines deuros.La recette, en centaines deuros, est donne par une fonction r dfinie sur le mmeintervalle I.

Partie A

La courbe C reprsentative de la fonction f et la droiteD reprsentative de la fonc-tion linaire r sont donnes en annexe.

1. Rpondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification.

a. Donner le prix de vente en euros de 100 litres de sorbet.

b. Donner lexpression de r (x) en fonction de x.



c. Combien lartisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pourque lentreprise dgage un bnfice ?

2. On admet que3

120x lnx dx = 90ln340.

a. En dduire la valeur de3

1f (x)dx.

b. Endduire, pour uneproduction comprise entre 100 et 300 litres, la valeurmoyenne (arrondie leuro) du cot total de production.

Partie B

Onnote B(x) le bnfice ralis par lartisan pour la vente de x centaines de litres desorbet produits. Daprs les donnes prcdentes, pour tout x de lintervalle [1 ; 3],on a :

B(x)=10x2+10x+20x ln x

o B(x) est exprim en centaines deuros.

1. OnnoteB la fonctiondrive de la fonctionB .Montrer que, pour tout nombrex de lintervalle [1 ; 3], on a : B (x)=20x+20ln x+30.

2. On donne le tableau de variation de la fonction drive B sur lintervalle[1 ; 3].

x 1 3

B (x)

B (1)

B (3)

a. Montrer que lquation B (x)= 0 admet une unique solution dans lin-tervalle [1 ; 3]. Donner une valeur approche de 102.

b. En dduire le signe de B (x) sur lintervalle [1 ; 3] puis dresser le tableaude variation de la fonction B sur ce mme intervalle.

3. Lartisan a dcid de maintenir sa production dans les mmes conditions silpeut atteindre un bnfice dau moins 850 euros. Est-ce envisageable ?

*



ANNEXE

Annexe lexercice 4

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

centaines de litres

centaines deuros

D

C

O


Dure : 4 heures

[ Baccalaurat ES/L Liban \27mai 2014


Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque quenmoyenne, 40% des clientssont des familles, 25% des clients sont des personnes seules et 35% des clients sontdes couples.Il note aussi que :

70% des familles laissent un pourboire ; 90% des personnes seules laissent un pourboire ; 40% des couples laissent un pourboire.

Un soir donn, ce serveur prend au hasard une table occupe dans la pizzeria.On sintresse aux vnements suivants :F : la table est occupe par une famille S : la table est occupe par une personne seule C : la table est occupe par un couple R : le serveur reoit un pourboire On note A lvnement contraire de A et pB (A) la probabilit de A, sachant B .

Partie A

1. Daprs les donnes de lnonc, prciser les probabilits p(F ) et pS (R).

2. Recopier et complter larbre pondr suivant :

F

R0,70

R

C

R

R

S

0,35

R

R

3. a. Calculer p(F R).

b. Dterminer p(R).

4. Sachant que le serveur a reu un pourboire, calculer la probabilit que cepourboire vienne dun couple. Le rsultat sera arrondi 103 .

Partie B

Onnote X la variable alatoire qui, un soir donn, associe lemontant total en eurodes pourboires obtenus par le serveur.On admet que X suit la loi normale desprance = 15 et dcart-type = 4,5.Dans les questions suivantes, les calculs seront effectus la calculatrice et les rsultats

arrondis 102.


1. Calculer :

a. la probabilit que lemontant total des pourboires reus par le serveur soitcompris entre 6 et 24 euros.

b. p(X > 20).

2. Calculer la probabilit que le montant total des pourboires du serveur soitsuprieur 20 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 24 euros.

*EXERCICE 2 4 pointsEnseignement obligatoire et L

Cet exercice est un questionnaire choix multiples.

Chaque question ci-aprs comporte quatre propositions de rponse.

Pour chacune de ces questions, une seule des rponses proposes est exacte. Indiquer

sur la copie le numro de la question et recopier la rponse choisie. On ne demande

pas de justification.

Chaque rponse exacte rapportera 1 point, une rponse fausse ou labsence de rponsenapporte ni nenlve de point.

Un fumeur est dit fumeur rgulier sil fume aumoins une cigarette par jour.En 2010, en France, la proportion note p de fumeurs rguliers, gs de 15 19 ans,tait de 0,236

(Source : Inpes)

On a p = 0,236.

1. La probabilit que, sur un groupe de 10 jeunes gs de 15 19 ans choisis auhasard et demanire indpendante, aucun ne soit fumeur rgulier est, 103

prs :

a. 0,136 b. 0 c. 0,068 d. 0,764

2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la frquence defumeurs rguliers dans un chantillon de 500 jeunes gs de 15 19 ans est :

(Les bornes de chaque intervalle sont donnes 103 prs)

a. [0,198 ; 0,274] b. [0,134 ; 0,238] c. [0,191 ; 0,281] d. [0,192 ; 0,280]

3. La taille n de lchantillon choisi afin que lamplitude de lintervalle de fluc-tuation au seuil de 0,95 soit infrieure 0,01, vaut :

a. n = 200 b. n = 400 c. n = 21167 d. n = 27707

4. Dans un chantillon de 250 jeunes fumeurs rguliers, gs de 15 19 ans, 99sont des filles.

Au seuil de 95%, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmiles fumeurs rguliers gs de 15 19 ans est :

(Les bornes de chaque intervalle sont donnes 102 prs)

a. [0,35 ; 0,45] b. [0,33 ; 0,46] c. [0,39 ; 0,40] d. [0,30 ; 0,50]*

Liban 11 27 mai 2014


EXERCICE 3 5 pointsCandidats de la srie ES nayant pas suivi lenseignement de spcialit et candi-dats de la srie L

Lamdiathque dune petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistr2500 inscriptions en 2013.Elle estime que, chaque anne, 80% des anciens inscrits renouvelleront leur inscrip-tion lanne suivante et quil y aura 400 nouveaux adhrents.Onmodlise cette situation par une suite numrique (an).On note a0 = 2500 le nombre dinscrits la mdiathque en 2013 et an reprsente lenombre dinscrits la mdiathque pendant lanne 2013+n.

1. a. Calculer a1 et a2.

b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a la relation an+1 = 0,8 an +400.

2. On pose, pour tout entier naturel n, vn = an 2000.

a. Dmontrer que la suite (vn) est une suite gomtrique de premier termev0 = 500 et de raison q = 0,8.

b. En dduire que le terme gnral de la suite (an) est an = 5000,8n+2000.

c. Calculer la limite de la suite (an).

d. Que peut-on en dduire pour le nombre dadhrents la mdiathque sile schma dinscription reste le mme au cours des annes venir ?

3. On propose lalgorithme suivant :

Variables : N entierA rel

Initialisation : N prend la valeur 0A prend la valeur 2500

Traitement : Tant que A2000> 50A prend la valeur A0,8+400N prend la valeur N +1

Fin du Tant queSortie : Afficher N .

a. Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.

b. laide de la calculatrice, dterminer le rsultat obtenu grce cet algo-rithme et interprter la rponse dans le contexte de lexercice.

*EXERCICE 3 5 pointsES Candidats ayant suivi lenseignement de spcialit

Ona schmatis ci-dessous le planduneMJC (Maison de la Jeunesse et de laCulture)par un graphe dont les sommets sont les salles et les artes sont les passages (portes,couloirs ou escaliers) entre les salles. On appelle H le hall dentre et B le bureau dudirecteur.



b

b b

b

b

b

b

F A

H B

C

E

D

En fin de journe, un agent de service fait le tour de la MJC pour rcuprer danschaque salle (bureau du directeur et hall inclus) les objets oublis par les enfants.

1. Prciser si ce graphe est connexe en justifiant la rponse.

2. Dterminer, en justifiant, si lagent de service peut passer par toutes les sallesen utilisant une fois et une seule chaque passage.

3. On range les sommets par ordre alphabtique.

Donner la matrice dadjacence M associe au graphe.

4. On donne :

M4 =

31 15 26 21 27 18 1215 12 15 12 18 12 626 15 31 18 27 21 1221 12 18 20 17 18 527 18 27 17 34 17 1618 12 21 18 17 20 512 6 12 5 16 5 10

En dduire le nombre de chemins de longueur 4 entre les sommets B et H.

5. On a indiqu sur le graphe ci-dessous le temps en minute mis pour passerentre les diffrentes salles en ouvrant et fermant les portes cl.

b

b b

b

b

b

b

F A

H B

C

E

D

1

3

2

2

1

2

1 2

1 1

4

*

EXERCICE 4 6 pointsCommun tous les candidats

Partie A



On considre la fonction f dfinie sur lintervalle [0 ; 5] par

f (x)= x+1+ex+0,5.

On a reprsent en annexe, dans un plan muni dun repre orthonorm : la courbe C reprsentative de la fonction f ; la droite dquation y = 1,5x.

1. a. Vrifier que pour tout x appartenant lintervalle [0 ; 5], on a f (x) = 1ex+0,5 o f dsigne la fonction drive de f .

b. Rsoudre dans lintervalle [0 ; 5] lquation f (x)= 0 .

c. tudier le signe de f (x) sur lintervalle [0 ; 5].

d. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur lintervalle [0 ; 5].

2. On note labscisse du point dintersection de C et .

a. Donner, par lecture graphique, un encadrement de 0,5 prs.

b. Rsoudre graphiquement sur lintervalle [0 ; 5] linquation f (x)< 1,5x.

Partie B Application

Une entreprise fabrique des cartes puces lectroniques raide dune machine.La fonction f , dfinie dans la partie A, reprsente le cot dutilisation de la machineen fonction de la quantit x de cartes produites, lorsque x est exprim en centainesde cartes et f (x) en centaines deuros.

1. a. Dduire de la partie A, le nombre de cartes produire pour avoir un cotminimal dutilisation de la machine.

b. Chaque carte fabrique par la machine est vendue l,50 (.

La recette perue pour la vente de x centaines de cartes vaut donc 1,5xcentaines deuros. Vrifier que le bnfice obtenu, en centaines deuros,par la vente de x centaines de cartes est donn par

B(x)= 0,5x1ex+0,5.

2. a. Montrer que la fonction B est strictement croissante sur lintervalle [0 ; 5].

b. Montrer que, sur lintervalle [0 ; 5], lquation B(x)= 0 admet une uniquesolution comprise entre 2,32 et 2,33.

3. On dira que lentreprise ralise un bnfice lorsque B(x)> 0.

Indiquer la quantit minimale qui doit figurer sur le carnet de commandesde lentreprise pour que celle-ci puisse raliser un bnfice.

*



ANNEXE

EXERCICE 4

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

b

b

O

C


Dure : 3 heures

[ Baccalaurat ES/L Amrique du Nord \30mai 2014


Cet exercice est un questionnaire choix multiples.

Une rponse exacte rapporte un point. Une rponse fausse ou labsence de rponse ne

rapporte ni nenlve aucun point.

Pour chacune des questions poses, une seule des quatre rponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numro de la question et recopier la rponse choisie. Aucune

justification nest demande.

La courbeC ci-dessous est la reprsentation graphique, dans un repre orthonorm,dune fonction f dfinie et drivable sur lintervalle [5 ; 5].On note f la fonction drive de f .

1

2

-1

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 x

y

0

1. Sur lintervalle [5 ; 5] :a. f est une fonction de densit deprobabilit

b. f est positive

c. f nest pas continue d. lquation f (x) = 0 admet deuxsolutions

2. Sur lintervalle [5 ; 5] :

a. f (1)= 0 b. f (0)= 1 c. f (0)= 0 d. f (1)= 1

3. On admet quune quation de la tangente la courbe C au point dabscisse

4 est y =x

e2+

5

e2.

Le nombre driv de f en 4 est :

a. f (4)=5

e2b. f (4)=

1

e2c. f (4)=

1

e2d. f (4)= e2

4. On pose A =2

2f (x)dx . Un encadrement de A est :

a. 0< A < 1 b. 1< A < 2 c. 3< A < 4 d. 4< A < 5

5. On pose A =2

2f (x)dx . Un encadrement de A est :

a) 0< A < 1 b) 1< A < 2 c) 3< A < 4 d) 4< A < 5


*EXERCICE 2 6 pointsCommun tous les candidats

Un investisseur souhaite acheter un appartement dans lobjectif est de le louer. Pourcela, il sintresse la rentabilit locative de cet appartement.Les trois parties peuvent tre traites indpendamment. Les rsultats seront arron-dis, si ncessaire, 104.

PARTIE A

On considre deux types dappartement : Les appartements dune ou deux pices nots respectivement T1 et T2 ; Les appartements de plus de deux pices.

Une tude des dossiers dappartements lous dans un secteur ont montr que : 35% des appartements lous sont de type T1 ou T2 ; 45% des appartements lous de type T1 ou T2 sont rentables ; 30% des appartements lous, qui ne sont ni de type T1 ni de type T2, sont

rentables.On choisit un dossier au hasard et on considre les vnements suivants :

T : lappartement est de type T1 ou T2 ; R : lappartement lou est rentable ; T est lvnement contraire de T et R est lvnement contraire de R.

1. Traduire cette situation par un arbre pondr.

2. Montrer que la probabilit quun appartement lou soit rentable est gale 0,3525.

3. Calculer la probabilit que lappartement soit de type T1 ou T2, sachant quilest rentable.

PARTIE B

Onconsidre X la variable alatoire gale aunombredappartements rentables dansun chantillon alatoire de 100 appartements lous. On admet que toutes les condi-tions sont runies pour assimiler X une variable alatoire qui suit la loi normalede moyenne = 35 et dcart type = 5. laide de la calculatrice :

1. Calculer P (256 X 6 35).

2. Calculer la probabilit quau moins 45 appartements parmi les 100 apparte-ments lous soient rentables.

PARTIE C

Linvestisseur se rend dans une agence immobilire pour acheter un appartement etle louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60% des appartements sontrentables.Pour vrifier son affirmation, on a prlev au hasard 280 dossiers dappartementslous. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

1. Dterminer la frquence observe sur lchantillon prlev.

2. Peut-on valider laffirmation du responsable de cette agence ? Justifier cetterponse. On pourra saider du calcul dun intervalle de fluctuation asympto-tique au seuil de 95%.


Amrique du Nord 17 30 mai 2014


Un site est spcialis dans la diffusion de vidos sur internet. Le responsable du sitea constat que la dure de chargement des vidos voluait en fonction dinternautesconnects simultanment.On cherche estimer la dure de chargement en fonction du nombre de personnesconnectes simultanment. Deux fonctions sont proposes pour modliser cette si-tuation.

PARTIE A : Modle exponentiel

Dans le repre orthogonal ci-dessous, on a trac la courbe reprsentative dune fonc-tion f qui modlise la situation prcdente.On note x le nombre, exprim enmillier, dinternautes connects simultanment etf (x) la dure de chargement exprime en seconde.

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

1 2 3 4 5 6 7 8 90

1. Par lecture graphique, estimer la dure de chargement, en seconde, pour8000 personnes connectes.

2. a. Dterminer graphiquement un antcdent de 15 par f .

b. Donner une interprtation de ce rsultat.

PARTIE B : Modle logarithmique

On considre une autre fonction g pour modliser la situation prcdente. On notex le nombre, exprim en millier, dinternautes connects simultanment. La durede chargement exprime en seconde est alors g (x) avec g (x) = 10x 8ln(x) pour xappartenant [0,5 ; +[.

1. Calculer g (x).



2. Dresser le tableau de variations de g sur lintervalle [0,5 ; +[.

3. Justifier que la fonctionG dfinie sur [0,5 ; +[ parG(x)= 5x2+8x8x ln(x)est une primitive de g sur [0,5 ; +[.

4. On pose I =1

2

4

2g (x)dx

a. Montrer que la valeur exacte de I peut scrire sous la forme a+b ln(2) oa et b sont deux rels que lon dterminera.

b. Dterminer une valeur approche 102 prs de I puis donner une inter-prtation de ce rsultat.

PARTIE C

Une vido particulirement demande a attir simultanment 8000 personnes. Ona constat que le temps de chargement tait de 92 secondes.Dterminer, en justifiant, celui des deux modles qui dcrit le mieux la situationpour cette vido.*

EXERCICE 4 5 pointsEnseignement obligatoire et L

Afindentretenir une fort vieillissante, un organisme rgional dentretien des fortsdcide dabattre chaque anne 5% des arbres existants et de replanter 3000 arbres.Le nombre darbres de cette fort est modlis par une suite note u o un dsignele nombre darbres au cours de lanne (2013+n).En 2013, la fort compte 50000 arbres.

1. a. Dterminer le nombre darbres de la fort en 2014.

b. Montrer que la suite u est dfinie par u0 = 50000 et pour tout entier natu-rel n par la relation

un+1 = 0,95un +3000.

2. On considre la suite v dfinie pour tout entier naturel n par vn = 60000un .

a. Montrer que la suite v est une suite gomtrique de raison 0,95.

Dterminer son premier terme.

b. Exprimer vn en fonction de n.

c. En dduire que pour tout entier naturel n, un = 10000(60,95n ).

d. Dterminer la limite de la suite u.

e. Interprter le rsultat prcdent.

3. a. Rsoudre dans lensemble des entiers naturels linquation un > 57000

b. Interprter ce rsultat.

4. a. Onsouhaite crire un algorithmeaffichant pour un entier natureln donn,tous les termes de la suite du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmessuivants, un seul convient. Prciser lequel.



Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3Variables : Variables : Variables :A,U ,N sont des nombres U , I , N sont des nombres U , I , N sont des nombresDbut de lalgorithme : Dbut de lalgorithme : Dbut de lalgorithme :Saisir la valeur de A Saisir la valeur deN Saisir la valeur de NN prend la valeur 0 U prend la valeur 50 000 U prend la valeur 50 000U prend la valeur 50 000 Pour I variant de 1 N Pour I variant de 1 NTant queU < A U prend la valeur

0,95U +3000AfficherU

N prend la valeur N +1 Fin Pour U prend la valeur0,95U +3000

U prend la valeur0,95U +3000

AfficherU Fin Pour

Fin tant que AfficherUAfficher NFin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

b. Lorsque A = 57000 lalgorithme 1 affiche 24. Interprter ce rsultat dansle contexte de lnonc.

*EXERCICE 4 5 pointsCandidats ayant suivi lenseignement de spcialit

Lors dune campagne lectorale, un homme politique doit effectuer une tournedans les villes A, B, C, D, E, F, G et H, en utilisant le rseau autoroutier. Le graphe Gci-dessous, reprsente les diffrentes villes de la tourne et les tronons dautoroutereliant ces villes (une ville est reprsente par un sommet, un tronon dautoroutepar une arte) :

A

B

C

D

E F

G

H

PARTIE A

1. Dterminer, en justifiant, si le graphe G est :

a. complet ;

b. connexe.

2. a. Justifier quil est possible dorganiser la tourne en passant aumoins unefois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule chaquetronon dautoroute.

b. Citer un trajet de ce type.

3. On appelle M la matrice dadjacence associe au graphe G (les sommetstant pris dans lordre alphabtique).

a. Dterminer la matrice M .



b. On donne la matrice

M3 =

0 5 3 5 1 1 4 15 2 7 2 8 3 3 53 7 6 4 9 3 9 105 2 4 0 9 2 3 81 8 9 9 4 4 10 41 3 3 2 4 2 6 64 3 9 3 10 6 6 91 5 10 8 4 6 9 4

Dterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant E H.

Prciser ces chemins.

PARTIE B

Des contraintes dorganisation obligent cet homme politique se rendre dans laville F aprs la ville A.Le grapheG est complt ci-dessous par les longueurs en kilomtre de chaque tron-on dautoroute.

A

B

C

D

E F

G

H

400600

550

200

400300

400350

600

300

900

600 450

Dterminer, en utilisant lalgorithme de Dijkstra, le trajet autoroutier le plus courtpour aller de A F.Prciser la longueur en kilomtre de ce trajet. *


[ Baccalaurat ES Centres trangers 12 juin 2014\


Une grande entreprise vient de clturer sa campagne de recrutement qui sest d-roule en deux temps :

premier temps : tude du dossier prsent par le candidat ; deuxime temps : entretien en vue du recrutement.

Le processus de recrutement mis en uvre par lentreprise est le suivant : si le dossier est jug de bonne qualit, alors le candidat est reu en entretien

par le directeur des ressources humaines ; si le dossier nest pas jug de bonne qualit, alors le candidat subit des tests

puis est reu en entretien par le directeur de lentreprise.Dans les deux cas, lissue de lentretien, le candidat est recrut ou ne lest pas.

lissue de cette campagne de recrutement, lentreprise publie les rsultats sui-vants :

30% des candidats avaient un dossier jug de bonne qualit ; 20% des candidats nayant pas un dossier jug de bonne qualit ont t re-

cruts ; 38% des candidats ont t recruts.

1. On prend un candidat au hasard et on note :

D lvnement le candidat a un dossier jug de bonne qualit ; R lvnement le candidat est recrut par lentreprise .

a. Reprsenter cette situation laide dun arbre pondr.

b. Calculer la probabilit que le candidat nait pas un dossier de bonne qua-lit et ne soit pas recrut par lentreprise.

c. Montrer que la probabilit de lvnement DR est gale 0,24.

d. En dduire la probabilit quun candidat soit recrut sachant que sondossier est jug de bonne qualit. Complter larbre pondr ralis dansla question a.

2. Dix personnes postulent pour un emploi dans lentreprise. Les tudes deleurs candidatures sont faites indpendamment les unes des autres. On d-signe par X la variable alatoire donnant le nombre de personnes recrutesparmi les 10 personnes.

a. Justifier que X suit une loi binomiale de paramtres n = 10 et p = 0,38.

b. Calculer la probabilit quau moins une des dix personnes soit recrute.On donnera la valeur exacte puis une valeur du rsultat arrondie 103.

3. Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqus le mme jour pour un entre-tien avec la direction des ressources humaines.

Coralie arrive 8 h 30 alors quAymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h.

On dsigne par T la variable alatoire donnant lheure darrive dAymeric eton admet que T suit la loi uniforme sur lintervalle [8 ; 9].

Dterminer la probabilit pour que Coralie attende Aymeric plus de dix mi-nutes.


Partie A : tude dune fonction


Soit f la fonction dfinie sur R par

f (x)= xex21.

C f est la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre orthonorm du plan.On note f la fonction drive de f et f la fonction drive seconde de f .

1. a. Montrer que pour tout rel x, f (x)=(

2x2+1)

ex21.

b. En dduire le sens de variation de f sur R.

2. On admet que pour tout rel x, f (x)= 2x(

2x2+3)

ex21.

Dterminer, en justifiant, lintervalle sur lequel la fonction f est convexe.

3. Soit h la fonction dfinie sur R par

h(x)= x(

1ex21

)

.

a. Justifier que linquation 1ex21 > 0 a pour ensemble de solutions lin-

tervalle [1 ; 1].

b. Dterminer le signe de h(x) sur 1intervalle [1 ; 1].

c. En remarquant que pour tout rel x, on a lgalit h(x)= x f (x), dduirede la question prcdente la position relative de la courbe C f et de ladroiteD dquation y = x sur lintervalle [0 ; 1].

4. SoitH la fonction dfinie sur R parH(x)=1

2x2

1

2ex

21 et soit I =

1

0h(x)dx.

On admet que H est une primitive de la fonction h sur R.

Calculer la valeur exacte de I .

Partie B : Applications

Sur le graphique suivant, sont traces sur lintervalle [0 ; 1] : la courbe C f reprsentative de la fonction tudie en partie A ; la courbe Cg reprsentative de la fonction dfinie par g (x)= x3 ; la droiteD dquation y = x.

Centres Etrangers 23 12 juin 2014


0,5

1,0

0,5 1,0x

y

C f

Cg

+0,125M

D

Les courbes C f et Cg illustrent ici la rpartition des salaires dans deux entreprises Fet G :

sur laxe des abscisses, x reprsente la proportion des employs ayant les sa-laires les plus faibles par rapport leffectif total de lentreprise ;

sur laxe des ordonnes, f (x) et g (x) reprsentent pour chaque entreprise laproportion de la masse salariale (cest--dire la somme de tous les salaires)correspondante.

Par exemple :

Le point M(0,5 ; 0,125) est un point appartenant la courbe Cg . Pour lentreprise Gcela se traduit de la faon suivante :

si on classe les employs par revenu croissant, le total des salaires de la premiremoi-

ti (cest--dire des 50% aux revenus les plus faibles) reprsente 12,5% de la massesalariale.

1. Calculer le pourcentage de la masse salariale dtenue par 80% des employsayant les salaires les plus faibles dans lentreprise F. On donnera une valeurdu rsultat arrondie lunit.

2. On note A f laire du domaine dlimit par la droite D, la courbe C f et lesdroites dquations x = 0 et x = 1.

On appelle indice de Gini associ la fonction f , le nombre rel not I f etdfini par I f = 2A f .

a. Montrer que I f =1

e.



b. On admet que, plus lindice de Gini est petit, plus la rpartition des sa-laires dans lentreprise est galitaire. Dterminer, en justifiant, lentre-prise pour laquelle la distribution des salaires est la plus galitaire.

*EXERCICE 3 5 pointsCandidats de la srie ES nayant pas suivi lenseignement de spcialit et candi-dats de la srie L

Dans une ville, un nouveau lyce vient douvrir ses portes et accueille pour sa pre-mire rentre 500 lves. Dune anne sur lautre, le proviseur du lyce prvoit uneperte de 30% de leffectif et larrive de 300 nouveaux lves.Onmodlise cette situationpar une suite numrique (un ) oun reprsente le nombredlves inscrits au lyce pour lanne 2013+n, avec n entier naturel. On a doncu0 = 500.

1. a. Calculer le nombre dlves qui seront inscrits au lyce en 2014.

b. Calculer Je nombre dlves qui seront inscrits au lyce en 2015.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,7un +300.

3. On souhaite, pour un entier n donn, afficher tous les termes de la suite (un )du rang 0 au rang n.

Lequel des trois algorithmes suivants permet dobtenir le rsultat souhait ?Justifier.

Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3Variables : Variables : Variables :

n, i entiers naturels, n, i entiers naturels, n, i entiers naturels,u nombre rel u nombre rel u nombre rel

Dbut algorithme Dbut algorithme Dbut algorithmeLire n Lire n Lire n

u prend la valeur 500 u prend la valeur 500 u prend la valeur 500Pour i allant de 1 n Pour i allant de 1 n Pour i allant de 1 n

Afficher u Afficher u u prend la valeur0,7u+300

u prend la valeur0,7u+300

u prend la valeur0,7u+300

Fin Pour

Fin Pour Fin Pour Afficher uAfficher u

Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

4. On considre la suite (vn) dfinie pour tout entier naturel n par : vn = un 1000.

a. Dmontrer que la suite (vn) est une suite gomtrique de raison q = 0,7.

b. En dduire que, pour tout entier naturel n, un = 10005000,7n .

c. Dterminer la limite de la suite (un ).

d. Interprter le rsultat prcdent.

5. a. Rsoudre dans lensemble des entiers naturels linquation un > 990.

b. Interprter le rsultat trouv prcdemment.


Partie A : tude dun graphe

On considre le graphe G ci-dessous.



A

B

C

D

E

F G

H

I

1. a. Dterminer en justifiant si le graphe G est complet.

b. Dterminer en justifiant si le graphe G est connexe.

2. a. Donner le degr de chacun des sommets du graphe G .

b. Dterminer en justifiant si le graphe G admet un cycle eulrien ou unechane eulrienne.

3. a. Donner la matrice M associe au graphe G (les sommets seront rangsdans lordre alphabtique).

b. On donne :M2 =

4 2 2 1 2 2 2 1 12 5 1 3 1 1 1 2 02 1 4 2 1 1 1 2 21 3 2 4 1 1 0 1 02 1 1 1 2 2 0 0 02 1 1 1 2 2 0 0 02 1 1 0 0 0 3 2 11 2 2 1 0 0 2 4 11 0 2 0 0 0 1 1 2

.

Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septime ligne et quatrimecolonne de la matrice M3 est gal 3.

Partie B : Applications

Dans cette partie, on pourra justifier les rponses en saidant de la partie A

On donne ci-dessous le plan simplifi dun lyce

ADMINISTRATIONVIE SCOLAIREET INFIRMERIE

SALLE DESPROFESSEURS

CANTINE

C. D. I.

HALL 1HALL 2

BTIMENT 1

BTIMENT 2



1. Le graphe G donn en partie Amodlise cette situation.

Recopier et complter le tableau suivant :

Sommet du graphe G A B C D E F G H ILieu correspondant dans le lyce

2. Un lve a cours de mathmatiques dans le btiment 1. la fin du cours, ildoit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez vous avec ses parents.

Dterminer le nombre de chemins en trois tapes permettant llve derejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins.

3. Le lyce organise une journe portes-ouvertes.

a. Dterminer, en justifiant, sil est possible de visiter le lyce en empruntantune seule fois chaque passage entre les diffrents lieux.

b. Sur les artes du graphe G sont indiqus les temps de parcours exprimsen seconde entre deux endroits du lyce.

A

B

C

D

E

F G

H

I

30

45

70 60

80

50

35

30

25

90

60

35

20

4025

Dterminer, laide de lalgorithme de Dijkstra, le chemin permettant derelier le sommet G au sommet D en un temps minimal.

Dterminer ce temps minimal, exprim en seconde.


Lentreprise Printfactory fabrique, en grande quantit, des cartouches dencre noirepour imprimante.Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausseen justifiant votre rponse.

1. On considre la variable alatoire X qui, chaque cartouche produite, asso-cie sa dure de vie exprime en nombre de pages.

On admet que X suit la loi normale desprance = 250 et dcart-type

= 10.

a. Affirmation 1 : Environ 95% des cartouches produites ont une dure devie comprise entre 230 et 270 pages.

b. Affirmation 2 :Moins de 50% des cartouches produites ont une dure devie infrieure 300 pages.



2. Lentreprise Printfactory a amlior son procd industriel et dclare que80% des cartouches produites ont une dure de vie suprieure 250 pages.

Un contrleur dsign par lentreprise effectue un test en prlevant de faonalatoire un chantillon de cartouches dans la production.

Dans un chantillon de taille 1 000, le contrleur a obtenu 240 cartouchesvides dencre avant limpression de 250 pages.

Affirmation 3 : Le contrleur valide la dclaration de lentreprise.

3. Lentreprise Printfactory souhaite connatre lopinion de ses 10000 clientsquant la qualit dimpression de ses cartouches.

Pour cela, elle souhaite obtenir, partir dun chantillon alatoire, une esti-mation de la proportion de clients satisfaits au niveau 0,95 avec un intervallede confiance damplitude infrieure ou gale 4%.

Affirmation 4 : Lentreprise doit interroger aumoins un quart de ses clients.

*


[Baccalaurat ES Polynsie 13 juin 2014\


Partie A

Document 1 : En France, pendant lanne scolaire 2009-2010, sur 81135 tudiantsinscrits en classe prparatoire aux grandes coles (CPGE), on pouvait trouver 34632filles. (Source : Repres et rfrences statistiques sur les enseignements, la formation et la

recherche Edition 2010)

Selon lINSEE, la proportion de filles parmi les jeunes entre 15 et 24 ans est de 49,2%.

Peut-on considrer, en sappuyant sur le document 1 que les filles inscrites sontsous-reprsentes en CPGE? Justifier la rponse.On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.

Partie B

Les tudiants des CPGE se rpartissent en 3 filires : la filire scientifique (S) accueille 61,5% des tudiants ; la srie conomique et commerciale (C) accueille 24% des tudiants ; les autres tudiants suivent une filire littraire (L).

Document 2 : En classes littraires, la prpondrance des femmes semble bien im-plante : avec trois inscrites sur quatre, elles y sont largement majoritaires. Inverse-

ment, dans les prparations scientifiques, les filles sont prsentes en faible proportion

(30%) alors quon est proche de la parit dans les classes conomiques et commer-ciales. (Mme source)

On considre que parmi tous les inscrits en CPGE en 2009-2010, la proportion defille est 42,7%. On interroge au hasard un tudiant en CPGE. On considre les v-nements suivants :

F : ltudiant interrog est une fille ;

S : ltudiant interrog est inscrit dans la filire scientifique ;

C : ltudiant interrog est inscrit dans la filire conomique et commerciale ;

L : ltudiant interrog est inscrit dans la filire littraire.

1. Donner les probabilits P (S), P (C ), PL(F ),PS(F ) et P (F ).

Construire un arbre pondr traduisant cette situation. Cet arbre sera com-plt au fur et mesure de lexercice.

2. a. Calculer la probabilit que ltudiant interrog au hasard soit une fille ins-crite en L.

b. Calculer la probabilit de lvnement F S.

c. En dduire que la probabilit de lvnement F C est 0,13375.

3. Sachant que ltudiant interrog suit la filire conomique et commerciale,quelle est la probabilit quil soit une fille ? On arrondira le rsultat au mil-lime.

Confronter ce rsultat avec les informations du document 2.

4. Sachant que ltudiant interrog est une fille, quelle est la probabilit quellesoit inscrite dans la filire littraire L ? On arrondira le rsultat au millime.

*


EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES nayant pas suivi lenseignement de spcialit et candidats L

Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dpasser700 objets par jour.Onmodlise le cot total de production par une fonction C .Lorsque x dsigne le nombre dobjets fabriqus, exprim en centaines, C (x), le cottotal correspondant, est exprim en centaines deuros.La courbe reprsentative de la fonction C est donne en annexe.

Partie A

Par lecture graphique, rpondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux.On laissera apparents les traits de construction sur la figure donne en annexe.

1. Quel est le cot total de production pour 450 objets ?

2. Combiendobjets sont produits pour un cot total de 60 000 euros ?On consi-dre que le cot marginal est donn par la fonction C drive de la fonctionC .

a. Estimer le cot marginal pour une production de 450 objets puis de 600objets.

b. Quepensez-vous de laffirmation : le cotmarginal est croissant sur lin-tervalle [0 ; 7] ?

Partie B

Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.

1. On note r la fonction recette . Pour tout nombre rel x dans lintervalle[0 ; 7], r (x) est le prix de vente, en centaines deuros, de x centaines dobjets.

Reprsenter la fonction r dans le repre donn en annexe.

2. En utilisant les reprsentations graphiques portes sur lannexe, rpondreaux questions qui suivent.

a. En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pourlentreprise, la fourchette maximale de rentabilit ? Justifier la rponse.

b. Que penser de laffirmation : il est prfrable pour lentreprise de fabri-quer 500 objets plutt que 600 objets ?


Partie A

Le graphe ci-dessous reprsente, dans un aroport donn, toutes les voies emprun-tes par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles circulent les avions avant ouaprs atterrissage, sont appeles taxiways.Les artes du graphe reprsentent les voies de circulation (les taxiways ) et lessommets du graphe sont les intersections.

Polynsie 30 13 juin 2014


A

B

C

D

E

F

T

1. Dterminer le nombre de voies de circulation au total.

2. Afinque laroport soit dneig le plus rapidement possible, est-il possible deplanifier un parcours pour que les chasse-neige passent par toutes les voiessans emprunter plusieurs fois la mme route ? Justifier la rponse et donnerun tel parcours.

Partie B

Dans le graphe ci-dessous, on a indiqu le sens de circulation pour les avions dansles diffrentes voies ainsi que le temps de parcours pour chacune en minute( s).

A

B

C

D

E

F

T

4

3

4

1,5

0,5

1

2

0,5

3

0,5

0,54

0,5

1. a. crire la matriceM associe ce graphe (ranger les sommets dans lordrealphabtique).

b. Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A T.

2. Lavion qui a atterri est en bout de piste en A et doit se rendre le plus rapide-ment possible au terminal situ au point T.

Dterminer litinraire le plus rapide et en donner la dure.


La suite (un ) est dfinie pour tout nombre entier naturel n par :

{

u0 = 5

un+1 =1

2un +1

Partie A



1. On souhaite crire un algorithme affichant, pour un entier naturel n non nuldonn, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner lersultat attendu.

Variables : Variables : Variables :U est un nombre rel U est un nombre rel U est un nombre reli et N sont des nombresentiers



Dbut Dbut DbutSaisir une valeur pour N Saisir une valeur pour N Saisir une valeur pour NU prend la valeur 5 Pour i de 0 N faire U prend la valeur 5Pour i de 0 N faire U prend la valeur 5 Pour i de 0 N faire

Affecter U la valeur1

2U +1

AfficherU AfficherU

Fin Pour Affecter U la valeur1

2U +1

Affecter U la valeur1

2U +1

AfficherU Fin Pour Fin PourFin Fin Fin

algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3

2. On saisit la valeur 9 pour N , laffichage est le suivant :

5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059

Quelle conjecture peut-on mettre sur le sens de variation de cette suite ?

Partie B

On introduit une suite auxiliaire (vn) dfinie, pour tout entier naturel n, par vn =un 2.

1. Montrer que (vn) est une suite gomtrique. Prciser sa raison q et son pre-mier terme v0.

2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a un = 2+3

(

1

2

)n

.

3. tudier les variations de la suite (un ).

4. Dterminer la limite de la suite (un ).

5. partir de quel rang a-t-on : un 26 106 ?


Les antibiotiques sont desmolcules possdant la proprit de tuer des bactries ouden limiter la propagation.Le tableau ci-dessous donne la concentration dans le sang en fonction du tempsdun antibiotique inject en une seule prise un patient.

Temps en heure 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10Concentration en mg/l 1,6 2 1,9 1,6 1,2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4

Ces donnes conduisent lamodlisation de la concentration en fonction du tempspar la fonction g dfinie sur lintervalle [0 ; 10] par

g (t)=4t

t2+1.

Lorsque t reprsente le temps coul, en heures, depuis linjection de lantibiotique,g (t) reprsente la concentration en mg/l de lantibiotique.



Le graphique suivant reprsente les donnes du tableau et la courbe reprsentativede la fonction g .

1. Par lecture graphique donnersans justification :

a. les variations de la fonc-tion g sur [0 ; 10] ;

b. la concentration maximaledantibiotique lors des 10premires heures ;

c. lintervalle de temps pen-dant lequel la concentra-tion de lantibiotique dansle sang est suprieure 1,2 mg/l.

2. a. La fonction g est drivablesur lintervalle [0 ; 10] et sadrive est g .

Montrer que :

g (t)=4(

1 t2)

(

t2+1)2

.

b. En utilisant lexpressionde g (t), montrer que laconcentration maximaleserait, avec cette modlisa-tion, atteinte exactement 1heure aprs linjection.

0,5

1,0

1,5

2,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

t

+

++

+

+

++

++

++ +

3. On admet que G dfinie sur [0 ; 10] par G(t) = 2ln(

t2+1)

est une primitivede g sur cet intervalle.

Quelle est la concentration moyenne de lantibiotique pendant les 10 pre-mires heures ? Donner la valeur exacte et la valeur arrondie aumillime.

Rappel : la valeur moyenne dune fonction f sur [a ; b] est donne par

1

ba

b

af (x)dx.

4. On dfinit la CMI (Concentration Minimale Inhibitrice) dun antibiotiquecomme tant la concentration au dessus de laquelle les bactries ne peuventplus se multiplier.

La CMI de lantibiotique inject est 1,2 mg/l.

Dterminer, par le calcul, le temps dantibiotique utile cest--dire la durependant laquelle la concentration de lantibiotique tudi est suprieure sa CMI.

*



ANNEXE

Exercice 2 enseignement obligatoire et spcialit L

1 2 3 4 5 6 70

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

0 x

centaines dobjets

centaines deuros

*


Dure : 3 heures

[ Baccalaurat ES AntillesGuyane \19 juin 2014


Cet exercice est un questionnaire choix multiples (QCM). Pour chacune des ques-

tions suivantes, une seule des quatre rponses proposes est exacte.

Aucune justification nest demande.

Une bonne rponse rapporte un point. Unemauvaise rponse ou labsence de rponse

napporte ni nenlve aucun point.

Indiquer sur la copie le numro de la question et recopier la rponse choisie

1. La somme S = 1+2+22 +23+ +230 est gale :

a. 1+231

b. 1231

c. 1+230

d. 1230

2. Lquation x3

3+ x2+3x = 0 admet sur R :

a. la solution 2

b. trois solutions distinctes

c. aucune solution

d. une unique solution

3. Soit la fonction f dfinie sur ]0 ; +[ par f (x)= lnx.

Une primitive de f est la fonction F dfinie sur ]0 ; +[ par :

a. F (x)=1

x

b. F (x)= x lnx

c. F (x)= x lnx x

d. F (x)= ex

4. Les nombres entiers n solutions de linquation( 12

)n< 0,003 sont tous les

nombres entiers n tels que :

a. n> 8

b. n> 9

c. n6 8

d. n6 9

EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES nayant pas suivi lenseignement de spcialit et candidats L

Un oprateur de tlphonie mobile constate que, chaque anne, il perd 8% de sesprcdent abonns et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonns.En 2013 le nombre dabonns est de 20 millions.On sintresse au nombre dabonns, en millions, pour lanne 2013+n. En suppo-sant que cette volution se poursuit de la mme faon, la situation peut tre mod-lise par la suite (un ) dfinie pour tout entier naturel n, par :


{

u0 = 20un+1 = 0,92un +3.

Le terme un donne une estimation du nombre dabonns pour lanne 2013+n.

Partie A

1. a. En utilisant cette modlisation, loprateur dcide darrondir les rsultats 103.

quoi correspond ce choix darrondi ?

b. Dterminer le nombre dabonns en 2014 et en 2015.

On dfinit la suite (vn) par vn =un 37,5 pour tout entier naturel n.

2. Dmontrer que (vn) est une suite gomtrique de raison 0,92. Prciser sonpremier terme.

3. Exprimer vn en fonction de n.

En dduire que, pour tout entier naturel n, un =17,50,92n +37,5.

4. Dterminer le nombre dabonns en millions en 2020. Arrondir les rsultats 103.

5. Dterminer la limite de la suite (un ).

6. Loprateur peut-il esprer dpasser 30 millions dabonns ?

Partie B

Compte tenu des investissements, loprateur considre quil ralisera des bnficeslorsque le nombre dabonns dpassera 25 millions.

1. Recopier et complter lalgorithme suivant afindedterminer le nombredan-nes ncessaires partir de 2013 pour que loprateur fasse des bnfices.

Variables : N un nombre entier naturel non nulU un nombre rel

Traitement : Affecter U la valeur 20Affecter N la valeur 0Tant que ....

affecter U la valeur 0,92U +3affecter N la valeur N +1

Fin Tant queSortie : Afficher ....

2. En quelle anne loprateur fera-t-il des bnfices pour la premire fois ?

EXERCICE 2 5 pointsCandidats ayant suivi lenseignement de spcialit

Les services commerciaux dune grande surface de produits alimentaires ont dfiniun profil de client qui a t appel consommateur bio .

Sur la base dobservations ralises les annes prcdentes, il a t constat que :

90% des clients consommateur bio maintenaient cette pratique lanne sui-vante ;

15% des clients nayant pas le profil de consommateur bio entraient dans lacatgorie consommateur bio lanne suivante.

AntillesGuyane 36 19 juin 2014


On suppose que cette volution se poursuit dune anne lautre partir de 2013,anne au cours de laquelle il a t constat que 20%des clients ont le profil consom-mateur bio .Par un tirage alatoire effectu tous les ans, on choisit un client de cette grande sur-face.Pour tout nombre entier naturel n on note :

bn , la probabilit que le client choisi lors de lanne 2013 + n soit un consom-mateur bio ;

cn , la probabilit que le client choisi lors de lanne 2013+n ne soit pas un consommateur bio ;

Pn , la matrice ligne (bn cn ) donnant ltat probabiliste lors de lanne 2013+n.

1. a. Reprsenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et C oB correspond ltat consommateur bio .

b. Donner P0 ltat probabiliste en 2013 et la matrice M de transition cor-respondant ce graphe, les sommets B et C tant classs dans cet ordre.

c. On donne la matrice M2 :

M2 =

(

0,825 0,1750,2625 0,7375

)

.

En prcisant la mthode de calcul, dterminer la probabilit que le clientchoisi en 2015 soit un consommateur bio .

d. Dterminer ltat stable (b c) du graphe probabiliste.

2. Le directeur du supermarch affirme que, dans un futur proche, plus de lamoiti de sa clientle aura le profil de consommateur bio .

a. Recopier et complter lalgorithme suivant qui doit permettre de dter-miner le nombre minimal dannes pour que laffirmation du directeursoit vrifie.

Variables : N un nombre entier naturel non nulB un nombre rel

Traitement : Affecter N la valeur 0Affecter B la valeur 0,2Affecter C la valeur 0,8Tant que ...

affecter B la valeur 0,9B +0,15Caffecter C la valeur 1Baffecter N la valeur N +1

Fin Tant queSortie : Afficher ...

b. Dterminer le nombre minimal dannes recherch en expliquant la d-marche.


Daprs une tude rcente il y a 216762 mdecins en France mtropolitaine parmilesquels 0,6% pratiquent lostopathie et on compte 75164 kinsithrapeutes parmilesquels 8,6% pratiquent lostopathie,

Partie A

On choisit une personne au hasard parmi les mdecins et les kinsithrapeutes.On note les vnements suivants :



M : la personne choisie est mdecin ; K : la personne choisie est kinsithrapeute ; O : la personne choisie pratique lostopathie .

On reprsente la situation laide de larbre pondr suivant :

M0,74

O

O

K0,26

O

O

1. Reproduire larbre de probabilit puis le complter.

2. Montrer que la probabilit P (O) de lvnement O est gale 0,0268.

3. Un patient vient de suivre une sance dostopathie chez un praticien dunedes deux catgories.

Dterminer la probabilit que le praticien soit un kinsithrapeute. Donnerle rsultat arrondi au centime.

Partie B

On note T la variable alatoire associant chaque patient la dure de visite, en mi-nutes, chez unmdecin-ostopathe. Onadmet queT suit la loi normale desprance30 et dcart-type 10.Dans cette partie, les rsultats seront arrondis au centime.

1. Dterminer la probabilit P (206 T 6 40).

2. Dterminer la probabilit quune visite dure plus de trois quart dheure.

Partie C

On rappelle quen France mtropolitaine 0,6% des mdecins pratiquent lostopa-thie. Une rgion compte 47000 mdecins dont 164 mdecins-ostopathes.On note I lintervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la frquencede mdecins ostopathes de la rgion.

1. a. Vrifier que les conditions dutilisation de cet intervalle sont remplies.

b. Justifier que I = [0,0053 ; 0,0067], les bornes ayant t arrondies 104

prs.

Peut-on considrer que pour la pratique de lostopathie par les mde-cins, cette rgion est reprsentative, privilgie ou dfavorise par rap-port la situation en France mtropolitaine ? Justifier la rponse.


Une entreprise fabrique et vend aux coles primaires des lots constitus de cahierset de stylos.

Partie A

Lentreprise possde une machine qui peut fabriquer au maximum 1500 lots parsemaine. Le cot total de fabrication hebdomadaire est modlis par la fonction gdfinie sur [0 ; 15] par



g (x)= 18x+e0,5x1.

Lorsque x reprsente le nombre de centaines de lots, g (x) est gal au cot total ex-prim en centaines deuros.

1. Calculer g (x) o g dsigne la fonction drive de g .

2. Justifier que g est strictement croissante sur [0 ; 15].

Partie B

Lentreprise acquiert une nouvelle machine qui permet dobtenir un cot total defabrication hebdomadaire modlis par la fonction f dfinie sur [0 ; 15] par

f (x)= e0,5x1 x2+20x+20,

Lorsque x reprsente le nombre de centaines de lots, f (x) est gal au cot total ex-prim en centaines deuros.On note Cg et C f les reprsentations graphiques respectives des fonctions g et f .

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

centaines de lots

centaines deuros

0

C f

Cg

1. Par lecture graphique, donner un encadrement damplitude 100 du nombrek de lots partir duquel cette nouvelle machine permet de diminuer le cottotal de production,

2. On cherche prciser le rsultat prcdent par le calcul.

a. Montrer que la dtermination de k conduit rsoudre linquation x2+2x+206 0.

b. Rsoudre cette inquation sur lintervalle [0 ; 15].

c. En dduire le nombre entier de lots partir duquel cette nouvelle ma-chine permet de diminuer le cot total de production.



3. On rappelle que le cot marginal obtenu avec cette nouvelle machine estdonn par la fonction f .

Dterminer la valeur moyenne, arrondie leuro, du cotmarginal lorsquonfabrique entre 5 centaines et 8 centaines de lots.

Rappel : la valeurmoyenne dune fonctionh sur [a ; b] est donne par1

ba

b

ah(x)dx.

*


[ Baccalaurat ES Asie 18 juin 2014\


On considre une fonction f dfinie et drivable sur lintervalle [2 ; 5], croissantesur [2 ; 2] et dcroissante sur [2 ; 5].On note f la fonction drive de la fonction f .La courbe (C ) trace ci-dessous reprsente la fonction f dans le plan muni dunrepre orthonorm ; elle passe par les points A(2 ; 0) ; B

(

2 ; 43)

et C(4 ; 0).Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallle laxe des abscisseset sa tangente (T ) au point C passe par le point D(2 ; 3).

1

2

3

1

2

1 2 3 4 5120

(C )

(T )

D

C

B

A

b

bb

b

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausseet justifier la rponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou surun calcul.

Proposition 1 : f (4)=2

3Proposition 2 : La fonction f est concave sur [2 ; 2].

Proposition 3 : 263

1f (x)dx 6 3

Proposition 4 : Lquation f (x)= ln2 nadmet pas de solution sur [2 ; 5].

*EXERCICE 2 5 pointsEnseignement obligatoire et spcialit L

On sintresse aux rsultats dun concours o lon ne peut pas se prsenter plus dedeux fois.

Partie A : tude des rsultats demai 2013

Les statistiques dresses partir des rsultats de la session de mai 2013 ont permisdtablir que :

60% des personnes qui prsentaient le concours le prsentaient pour la pre-mire fois ;

10% de ceux qui le prsentaient pour la premire fois ont t admis ; 40% de ceux qui le prsentaient pour la seconde fois lont russi.


On interroge au hasard une personne parmi toutes celles ayant pass ce concoursenmai 2013.On note :

C1 lvnement : La personne prsentait le concours pour la premire fois ; R lvnement : La personne a t reue ce concours .

On note A lvnement contraire de lvnement A.

1. Dterminer les probabilits suivantes : PC1 (R) ; PC1 (R) et P (C1).

Aucune justification nest attendue.

Pour traiter la suite de lexercice, on pourra saider dun arbre.

2. Dterminer la probabilit que cette personne se soit prsente au concourspour la premire fois et ait t admise.

3. Montrer que la probabilit que cette personne ait t admise ce concoursen mai 2013 est de 0,22.

4. Sachant que cette personne a russi le concours, dterminer la probabilitquelle lait prsent pour la premire fois. Donner une valeur arrondie aucentime.

Partie B : rsultats dun tablissement

Dans cette partie, les valeurs numriques sont arrondies au centime.

Dansun tablissement, parmi les 224 tudiants inscrits la prparation ce concours,26% ont t admis la session demai 2013.On admet que dans cette population, on a galement 60% des personnes qui seprsentaient pour la premire fois.Le directeur de ltablissement prtend que ce rsultat, suprieur au taux de russiteglobal de 22%, ne peut tre simplement d au hasard et il affirme que la qualitde lenseignement dispens dans son tablissement a permis ses lves de mieuxrussir que lensemble des candidats.

1. Dterminer lintervalle defluctuation asymptotique au seuil de 95%dupour-centage dtudiants admis dans un groupe de 224 personnes.

2. Que penser de laffirmation du directeur de ltablissement ? Justifier.

*EXERCICE 2 5 pointsEnseignement de spcialit

Partie A

Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprs de deux four-nisseurs A et H.Les constats faits les premires semaines conduisent modliser lvolutiondu choixdu fournisseur pour les commandes dune semaine lautre par un graphe proba-biliste de sommets A et H o :

A dsigne ltat : La commande est passe auprs du fournisseur A ; H dsigne ltat : La commande est passe auprs du fournisseur H .

La matrice de transition M de ce graphe, en considrant les sommets dans lordre A

et H, est M =

(

0,95 0,050,1 0,9

)

.

1. Dessiner le graphe probabiliste associ la matriceM .

2. Donner la signification du nombre 0,95 dans la matrice M .

Pour tout entier naturel n, on note :

Asie 42 18 juin 2014


an la probabilit de lvnement : La semaine n, lentreprise E commandeses fournitures auprs du fournisseur A ;

hn la probabilit de lvnement : La semaine n, lentreprise E commandeses fournitures auprs du fournisseur H ;

Pn la matrice(

an hn)

correspondant ltat probabiliste pour la semainen.

3. Vrifier que lamatrice ligneP =( 23

13

)

correspond ltat stable du systme.En donner une interprtation.

4. On donne P0 =(

0,4 0,6)

et on rappelle que Pk = P0 Mk , pour k entier

naturel.

Dterminer la semaine o, pour la premire fois, la probabilit que lentre-prise E commande ses fournitures auprs du fournisseur A dpasse la proba-bilit quelle les commande auprs du fournisseur H.

Partie B

Le directeur de lentreprise E rend visite ses fournisseurs, il se rend du fournisseurA au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomtres possible.Son assistant dresse le graphe suivant qui schmatise les trajets, en kilomtres, entreles six villes de la rgion, notes B ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H.

A

B

C

D

E

F

G

H

100

175

158

114

150

95

65

70

107

82113

31112

49

Dterminer litinraire le plus court reliant les deux sites A etH et indiquer le nombrede kilomtres effectuer. Justifier la rponse.*EXERCICE 3 5 pointsCommun tous les candidats

On tudie la propagation dune maladie lors dune pidmie.

Partie A

Des relevs statistiques ont permis de modliser, par une fonction f , le nombre demalades durant lpidmie.Cette fonction f est dfinie sur [1 ; 26] par :

f (t)= 24t ln(t)3t2+10

o t est le nombre de semaines coules depuis le premier cas constat et f (t) est lenombre de milliers de malades comptabiliss aprs t semaines.

1. On note f la fonction drive de la fonction f .

Montrer que, pour tout rel t de lintervalle [1 ; 26], f (t)= 24ln(t)6t +24.

2. Les variations de la fonction f sont donnes dans le tableau suivant :



t 1 4 26

f (t)

a. Montrer que lquation f (t)= 0 admet, dans lintervalle [1 ; 26], une so-lution et une seule quon notera et donner lencadrement de par deuxentiers naturels conscutifs.

b. En dduire le signe de f (t) sur [1 ; 26] et les variations de f sur [1 ; 26].

3. Le rel f (t) reprsente la vitesse de propagation de la maladie au bout de tsemaines.

a. Dans le contexte du problme, donner une interprtation de lexpressionmathmatique suivante : sur [4 ; 26], f est dcroissante.

b. partir des questions prcdentes, dterminer le nombre de semainescoules partir duquel le nombre demalades par semaine a commenc diminuer.

Partie B

On admet que la fonction G dfinie par :

G(t)= 12t2 ln(t)6t2

est une primitive sur [1 ; 26] de la fonction g dfinie par : g (t)= 24t ln(t).

1. Dterminer, sur [1 ; 26], une primitive F de la fonction f .

2. On a trouv que larrondi lentier de 1261[

F (26)F (1)]

est 202. Donner uneinterprtation de ce rsultat dans le contexte du problme.


On tudie lvolution de la population dune ville, depuis le 1er janvier 2008.

Partie A : un premiermodle

Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5% par an depuis le1er janvier 2008.

1. Dterminer le pourcentage daugmentation de la population entre le 1er jan-vier 2008 et le 1er janvier 2014. Donner une rponse 0,1% prs.

2. partir de 2008, onmodlise la population de cette ville au 1er janvier laidedune suite :

Pour tout entier natureln, on noteun le nombre dhabitants, exprim en cen-taines de milliers dhabitants, au 1er janvier de lanne 2008+n.

Au 1er janvier 2008, cette ville comptait 100000 habitants.

a. Que vaut u0 ?

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 1,035n .

c. Suivant cemodle, en quelle anne la population aura-t-elle doubl ? Jus-tifier la rponse.



Partie B : un secondmodle.

Onmodlise la population de cette ville partir du 1er janvier 2008 par la fonction fdfinie sur [0 ; +[ par :

f (x)=3

1+2e0,05x

o x dsigne le nombredannes coules depuis le 1er janvier 2008 et f (x) le nombredhabitants en centaines de milliers.On admet que f est croissante sur [0 ; +[.

On considre lalgorithme suivant :

Initialisation : X prend la valeur 0Traitement : Tant que f (X )6 2

X prend la valeur X +1Fin Tant que

Sortie : Afficher X

Si lon fait fonctionner cet algorithme, alors le rsultat affich en sortie est 28. Inter-prter ce rsultat dans le contexte de ce problme.*


[ Baccalaurat ES/LMtropole 20 juin 2014\


Cet exercice est un questionnaire choix multiples (QCM).

Pour chacune des questions poses, une seule des quatre rponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numro de la question et la lettre correspondant la rponse

choisie.

Aucune justification nest demande. Une rponse exacte rapporte 1 point.Une rponse fausse, une rponsemultiple ou labsence de rponse ne rapporte ni nen-

lve aucun point.

1. Larbre de probabilits ci-dessous reprsente une situation o A et B sontdeux vnements, dont les vnements contraires sont respectivement notsA et B .

A0,6

B0,3

B. . .

A

. . . B0,2

B. . .

Alors

a. PA(B)= 0,18 b. P (A B) =0,9

c. PA(

B)

= 0,7 d. P (B)= 0,5

2. Avec le mme arbre, la probabilit de lvnement B est gale :

a. 0,5 b. 0,18 c. 0,26 d. 0,38

3. On considre une fonction f dfinie et continue sur lintervalle [1 ; 15]. Sontableau de variation est indiqu ci-dessous.

x 1 3 4 12 15

f (x)

3

2

1

3

0

Soit F une primitive de la fonction f sur lintervalle [1 ; 15]. On peut trecertain que :

a. La fonction F est ngative sur lintervalle [3 ; 4].

b. La fonction F est positive sur lintervalle [4 ; 12].

c. La fonction F est dcroissante sur lintervalle [4 ; 12].

d. La fonction F est dcroissante sur lintervalle [1 ; 3].

4. Pour tout rel x de lintervalle ]0 ; +[ :lquation lnx+ ln(x+3)= 3ln2 est quivalente lquation :

a. 2x+3= 6 b. 2x+3= 8 c. x2+3x = 6 d. x2+3x = 8


5. g est la fonction dfinie sur lintervalle ]0 ; +[ par g (x)=5

x.

On note C sa courbe reprsentative.

Laire, exprime en units daire, du domaine dlimit par la courbe C , laxedes abscisses, et les droites dquations x = 2 et x = 6, est gale :

a. 5(ln6 ln2) b.1

62

6

2g (x)dx c. 5ln6+5ln2 d. g (6) g (2)

*EXERCICE 2 5 pointsCandidats nayant pas choisi la spcialit et L

lautomne 2010, Claude achte une maison la campagne ; il dispose dun ter-rain de 1500 m2 entirement engazonn. Mais tous les ans, 20% de la surface enga-zonne est dtruite et remplace par de la mousse. Claude arrache alors, chaqueautomne, la mousse sur une surface de 50 m2 et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel n, on note un la surface enm2 de terrain engazonnau bout de n annes, cest--dire lautomne 2010+n. On a donc u0 = 1500.

1. Calculer u1.

2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = 0,8un +50.

3. On considre la suite (vn) dfinie pour tout nombre entier naturel n par :vn =un 250.

a. Dmontrer que la suite (vn) est gomtrique. Prciser son premier termeet sa raison.

b. Exprimer vn en fonction de n.

En dduire que, pour tout nombre entier natureln, un = 250+12500,8n .

c. Quelle est la surface de terrain engazonn au bout de 4 annes ?

4. a. Dterminer par le calcul la plus petite valeur de lentier naturel n telleque :

250+12500,8n < 500

Interprter le rsultat obtenu.

b. Complter lalgorithme fourni en annexe 1 pour quil affiche la solutionobtenue la question prcdente.

5. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalit deson terrain.

A-t-il raison ? Justifier la rponse.

Annexe rendre avec la copie

Initialisationu prend la valeur 1500n prend la valeur 0

TraitementTant que . . . . . . . . . faire

u prend la valeur . . . . . . . . .n prend la valeur . . . . . . . . .

Fin Tant queSortie

Afficher n

Mtropole 47 20 juin 2014


*EXERCICE 2 5 pointsCandidats ayant choisi la spcialit

Alice participe une comptition de tir larc ; elle effectue plusieurs lancers deflches.Lorsquelle atteint la cible un lancer, la probabilit quelle atteigne la cible au lan-cer suivant est gale 0,9.Lorsquelle a manqu la cible un lancer, Alice se dconcentre et la probabilitquelle atteigne la cible au lancer suivant est gale 0,4.On suppose quau premier lancer, elle a autant de chances datteindre la cible quede la manquer.Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :

an la probabilit quAlice atteigne la cible au n-ime lancer ;

bn la probabilit quAlice manque la cible au n-ime lancer ;

Pn =(

an bn)

la matrice ligne traduisant ltat probabiliste au n-ime lancer.

1. a. Reprsenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B(A reprsentant ltat Alice atteint la cible et B ltat Alice manque sacible ).

b. Indiquer la matrice de transition M associe ce graphe. On prendra lessommets A et B dans lordre (A, B).

c. Justifier que P1 =(

0,5 0,5)

et P2 =(

0,65 0,35)

.

2. a. Montrer que, pour tout nombre entiern strictement positif, an+1 = 0,9an+0,4bn .

b. En dduire que, pour tout nombre entier n strictement positif, an+1 =0,5an +0,4.

3. a. Complter lalgorithme fourni en annexe 1 de faon ce quil affiche ltatprobabiliste au n-ime lancer.

b. Dterminer laffichage de cet algorithme pour n = 5.

4. a. On considre la suite (un ) dfinie pour tout nombre entier naturel n stric-tement positif par : un = an 0,8.Montrer que la suite (un) est une suite gomtrique dont on prcisera laraison et le premier terme.

b. Donner lexpression de un en fonction de n, puis en dduire que pourtout nombre entier naturel n strictement positif, an = 0,80,30,5n1 .

c. long terme, que peut-on penser de la probabilit quAlice atteigne lacible ?

d. Par quelle autre mthode aurait-on pu trouver le rsultat prcdent ?

Annexe rendre avec la copie

EntresSaisir n

Traitementa prend la valeur 0,5b prend la valeur 0,5Pour i allant de 2 na prend la valeur . . . . . .a+ . . .b prend la valeur 1a

Fin PourSortie

Afficher a,b




Les trois parties de cet exercice peuvent tre traites de faon indpendante.

Partie A :

Chaque jour, Antoine sentraine au billard amricain pendant une dure compriseentre 20 minutes et une heure. On modlise la dure de son entrainement, en mi-nutes, par une variable alatoire X qui suit la loi uniforme sur lintervalle [20 ; 60].

1. Calculer la probabilit p pour que lentrainement dure plus de 30 minutes.

2. Calculer lesprance de X . Interprter ce rsultat

Partie B :

Dans cette partie les probabilits seront, si besoin, arrondies au millime.

Les boules de billard amricain avec lesquelles Antoine sentraine sont dites de pre-mier choix si leur diamtre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm; sinon ellessont dites de second choix.

On note D la variable alatoire qui, chaque boule prleve au hasard dans la pro-duction de lentreprise, associe son diamtre, en millimtres.On suppose que D suit la loi normale desprance 57 et dcart-type 0,11.

1. Dterminer la probabilit p1 que la boule prleve ait un diamtre infrieur 57 mm.

2. Dterminer la probabilit p2 que la boule prleve soit une boule de premierchoix.

3. En dduire la probabilit p3 que la boule prleve soit une boule de secondchoix.

Partie C :

Le prsident de la fdration franaise de billard (FFB) souhaite estimer le niveau desatisfaction de ses 14000 licencis quant lorganisation des tournois.

Antoine estime que les 80 adhrents de son club constituent un chantillon repr-sentatif des licencis de la FFB. Il est charg de faire une tude au sein de son club :les 80 adhrents ont rpondu, et 66 ont dclar quils taient satisfaits.

1. Quelle est, sur cet chantillon, la frquence observe f de personnes satis-faites de la FFB ?

2. Dterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la pro-portion p de licencis satisfaits de la FFB. Les bornes de lintervalle serontarrondies aumillime.


On injecte unpatient unmdicament et onmesure rgulirement, pendant 15 heures,la concentration, en grammes par litre, de ce mdicament dans le sang.

On obtient la courbe fournie en annexe 2.

A. tude graphique

Avec la prcision permise par le graphique, indiquer :



1. la concentration linstant initial ;

2. lintervalle de temps pendant lequel la concentration est suprieure ou gale 0,4 gramme par litre.

On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction ncessaires.

B. tude thorique :

Onadmet que la concentration peut tremodlise par la fonction f dfinie sur lin-tervalle [0 ; 15] par f (x)= (x+2)e0,5x , o x reprsente le nombre dheures coulesdepuis linstant initial et f (x) la concentration, en grammes par litre, du mdica-ment dans le sang.

1. Onnote f la fonctiondrive de la fonction f . Justifier que f (x)=0,5xe0,5x

et en dduire le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 15].

2. Justifier que lquation f (x) = 0,1 admet une unique solution sur linter-valle [0;15].

3. Dterminer un encadrement de damplitude un dixime.

4. Un logiciel de calcul formel donne le rsultat ci-dessous :

1 deriver ((x+2)exp(0.5x))

exp(0.5x)0.5exp(0.5x) (x+2)

2 deriver (exp(0.5x)0.5exp(0.5x)(x+2))

exp(0.5x)+0.25exp(0.5x) (x+2)

3 factoriser (exp(0.5x)+0.25exp(0.5x)(x+2))

(0.25x0.5)exp(0.5x)

En vous appuyant sur ces rsultats, tudier la convexit de la fonction f surlintervalle [0 ; 15] et prciser labscisse dun ventuel point dinflexion.

C. Interprtation des rsultats :

En vous aidant des rsultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphiqueet sans justifier, rpondre aux questions ci-dessous.

1. On estime que le mdicament nest plus actif lorsque la concentration eststrictement infrieure 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps lemdicament est-il actif ?

2. Au bout de combien dheures la baisse de concentration ralentit-elle ?

*



Annexe 2 rendre avec la copie

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Temps (en heure)

Concentration (g/L)

O


[ Baccalaurat ES Polynsie\10 septembre 2014


Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre rponses proposes est

exacte. Aucune justification nest demande. Une bonne rponse rapporte un point.

Unemauvaise rponse ou labsence de rponse napporte, ni nenlve aucun point.

Indiquer sur la copie le numro de la question et recopier la rponse choisie.

1. On a reprsent ci-dessous la courbe reprsentative dune fonction f dfinieet drivable sur [0 ; 3] ainsi que la tangente au point A dabscisse 1.

En x = 1, le nombre driv de f est :

a. 2e

b. 3

c.1

e

d. 1

e

1

1 2 3x

y

A

O

2. On a reprsent ci-dessous la courbe reprsentative dune fonction g dfinieet drivable sur [0 ; 5] ainsi que sa tangente horizontale au point A dabscisse3.

Le signe de la fonction drive de g est :

a. ngatif sur [0 ; 1]

b. positif sur [3 ; 4]

c. ngatif sur [1 ; 4]

d. change en x = 4

1

1

1 2 3 4Ox

y

A

3. La fonction H dfinie sur R par H(x) = ex22 est une primitive de la fonction

h dfinie par :

a. ex22 b. e

x22 c. xe

x22 d. 2xe

x22

4. Soit j la fonction dfinie sur ]0 ; +[ par f (x)= 1+ lnx.

Lquation j (x)= 0 a pour solution :

a. e b. 1 c.1

ed. 1

5. On considre la fonction k dfinie sur R par k(x)= 3x+5.

Laire, en units daire, du domaine compris entre la courbe reprsentativede k, laxe des abscisses, et les droites dquation x = 0 et x = 1 est :

a. 6,5 b. 8 c. 4,5 d. 8,5


*EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES nayant pas suivi lenseignement de spcialit et candidats L

Une enqute a t ralise auprs des lves inscrits la demi-pension dun lyce.Les rsultats rvlent que :

95% des lves dclarent manger rgulirement la cantine et parmi ceux-ci70% sont satisfaits de la qualit des repas ;

20% des lves qui nemangent pas rgulirement sont satisfaits de la qualitdes repas.

On choisit un lve au hasard parmi les lves inscrits la demi-pension.On note les vnements suivants :

R lvnement : llve mange rgulirement la cantine ;

S lvnement : llve est satisfait .

On notera R et S les vnements contraires de R et S.

1. Construire un arbre pondr dcrivant la situation.

2. Calculer la probabilit que llve mange rgulirement la cantine et soitsatisfait de la qualit des repas.

3. Montrer que la probabilit de lvnement S est gale 0,675.

4. Sachant que llve nest pas satisfait de la qualit des repas, calculer la pro-babilit quil mange rgulirement la cantine. Donner le rsultat arrondi 103.

5. On interroge successivement et de faon indpendante quatre lves pris auhasard parmi les lves inscrits la demi-pension.

On note X la variable alatoire gale au nombre dlves dclarant tre satis-faits de la qualit des repas. Le nombre dlves tant suffisamment grand,on considre que X suit une loi binomiale.

Les rsultats seront arrondis au millime.

a. Prciser les paramtres de cette loi binomiale.

b. Calculer la probabilit de lvnement A : les quatre lves sont satisfaitsde la qualit des repas .

c. Dcrire laide dune phrase lvnement A et calculer sa probabilit.

*EXERCICE 2 5 pointsCandidats ES ayant suivi lenseignement de spcialit

Partie A

Le graphe suivant reprsente le plan dune ville. Les artes du graphe reprsententles principales avenues et les sommets du graphe les carrefours entre ces avenues.

1. Donner lordre du graphe puis le degrde chacun des sommets.

2. Un piton peut-il parcourir toutes cesavenues sans emprunter plusieurs foisla mme avenue :

a. en partant dun carrefour et en re-venant son point de dpart ? Jus-tifier la rponse.

b. en partant dun carrefour et en arri-vant un carrefour diffrent ? Justi-fier la rponse.

A B

CD

E F

Polynsie 53 10 septembre 2014


Partie B

Dans le graphe ci-contre, on a indiqu, pour cette mme ville, le sens de circulationpour les vhicules sur les diffrentes

Baccalaureat ES 2014

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