Terminale S B. Chap 05 : La cinématique Page 1/4

B. Comprendre : Temps, mouvement et évolution Chap 05 : La cinématique

Comment exploite-t-on des phénomènes périodiques pour accéder à la mesure du temps ? Comment décrit-on le mouvement d’un solide ?

1. LA MESURE DU TEMPS ............................................................................................................................................................... 1 2. DESCRIPTION DU MOUVEMENT D’UN POINT ................................................................................................................................... 1 2.1. Centre d’inertie .................................................................................................................................................................................. 1 2.2. Système mécanique .......................................................................................................................................................................... 1 2.3. Référentiel ......................................................................................................................................................................................... 1 2.4. Repère d’espace et de temps ............................................................................................................................................................ 2 2.5. Vecteur position ................................................................................................................................................................................ 2 2.6. Vecteur vitesse.................................................................................................................................................................................. 2 2.7. Vecteur accélération.......................................................................................................................................................................... 3 3. LES DIFFÉRENTS TYPES DE MOUVEMENT ...................................................................................................................................... 3 3.1. Etude d’un mouvement ..................................................................................................................................................................... 3 3.2. Mouvement de translation d’un solide ............................................................................................................................................... 3 3.3. Mouvement circulaire ►Activité 07.................................................................................................................................................... 4 3.3.1. Mouvement circulaire............................................................................................................................................................... 4 3.3.2. Caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération .............................................................................................................. 4 3.3.3. Mouvement circulaire uniforme ................................................................................................................................................ 4 4. CE QU’IL FAUT SAVOIR… ............................................................................................................................................................ 4

1. La mesure du temps

Définition : Un phénomène est périodique s’il se répète identique à lui-même au bout d’un intervalle de temps identique, appelé période et noté T.

Définition : Le nombre de phénomènes par unité de temps est appelé la fréquence, on la note f. Elle s’exprime en Hz (Hertz). D’où :

f =

Exemples :

Les marées sur Terre font un peu moins de 12H

Le rythme cardiaque

2. Description du mouvement d’un point

2.1. Centre d’inertie

Le point, noté G, du solide dont le mouvement est le plus simple est le centre d’inertie. Si la symétrie du solide est suffisante, il est possible de prévoir sans calcul la position de G. Exemples :

Le centre d’inertie d’une sphère homogène est le centre de la sphère

Le centre d’inertie d’une plaque carrée d’épaisseur constante est le barycentre de la plaque

2.2. Système mécanique

Un système mécanique est le solide ou l’ensemble des solides dont on étudie le mouvement. Tout ce qui n'est pas le système étudié est appelé l'extérieur. Exemples :

Lors de l’étude de la chute du parachutiste, le système est le parachutiste ;

Lors de l’étude du mouvement de la balle de tennis au cours d’un match, le système est la balle elle-même. Attention la raquette sera considérée comme l’extérieur

2.3. Référentiel

Un objet peut être en mouvement par rapport à un observateur et immobile par rapport à un autre. Pour définir le mouvement d’un objet, il est nécessaire de préciser le référentiel d’étude et le repère de temps.

Définition : Un référentiel est le solide ou tout point du solide par rapport auquel on décrit le mouvement d’un mobile. Ce solide est muni d’un repère d’espace et d'un moyen pour mesurer le temps. Exemples :

Le référentiel terrestre lié à la Terre ou au sol,

Le référentiel géocentrique lié et centré sur la Terre,

Le référentiel héliocentrique lié et centré sur le soleil

Ex 22, 23, 33, 35

p.144 à 153

Ex 24 p.144 à 153

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2.4. Repère d’espace et de temps

À un référentiel, on associe un repère d’espace : c'est un système d'axes muni d'une base constituée de 1, 2 ou 3 vecteurs unitaires et d’un point origine lié au référentiel. On choisit souvent un repère cartésien orthonormé muni

de la base ( ) et du point origine O.

Pour définir la position d’un objet dans le temps, il est nécessaire de définir un repère de temps. Ce repère est constitué d’un instant ou d’une date origine t0 (début de l’expérience ou de l’observation par exemple) et d’une unité de durée. Dans le système international (S.I.), l’unité de temps est la seconde (s).

2.5. Vecteur position

Tout point M de l’espace est alors repéré (dans le repère cartésien choisi), à une date t, par le vecteur position :

( ) ( ). ( ). ( ).OM t x t i y t j z t k

Remarque : Chaque coordonnée du vecteur position dépend du temps d’où la notation x(t), y(t) et z(t) Dans un repère orthonormé, la distance (OM) est alors égale à :

² ² ²OM x y z

Dans le système international (SI), elle s’exprime en mètre (m).

2.6. Vecteur vitesse

Entre les instants t et t + Δt, le mobile se déplace de M en

M’ suivant un vecteur déplacement qui correspond à une variation du vecteur position :

'OM OM OM La vitesse instantanée est définie comme étant le taux de variation de la position par rapport au temps, pour une durée Δt la plus petite possible :

0( ) lim

t

OM dOMv t

t dt

Remarque : t

OM

représente la vitesse pour un intervalle

de temps t petit. Le passage à la limite nous permet de définir la vitesse instantanée.

Le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Dans un repère fixe ( )

( ) . . . . . .dx dy dz

v t i j k x i y j z kdt dt dt

Remarque : la notation avec et permet d’alléger l’écriture. La valeur de la vitesse (appelée norme en mathématiques) est

2 2 2

( )dx dy dz

v tdt dt dt

Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :

direction : la tangente à la trajectoire au point occupé par M à la date t

sens : celui du mouvement à cet instant

intensité: la valeur positive )()( tvtv

Dans le système international, elle s’exprime en mètre par seconde (m.s

-1).

y y

z z

x

��

𝑖 O

𝑗

M

x

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2.7. Vecteur accélération

L’accélération représente le taux de variation de la vitesse par rapport au temps, pour une durée Δt la plus petite possible. Le vecteur accélération est égal à la dérivée première du vecteur vitesse par rapport au temps.

( )

L’expression du vecteur accélération est donc 2 2 2

2 2 2

d x d y d za i j k

dt dt dt

Remarque : De la même manière on peut simplifier l’écriture tel que :

;

et

La valeur de l’accélération est :

2 2 2a x y z

Le vecteur accélération instantanée a les caractéristiques suivantes :

direction et sens : vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire

intensité : la valeur positive aa

Son unité dans le système international est le mètre par seconde au carré (m.s

–2).

3. Les différents types de mouvement

3.1. Etude d’un mouvement

Pour étudier les variations de la vitesse en fonction du temps on peut considérer celles de ² = . Or ( )

. Donc étudier les variations de la vitesse revient à étudier les variations de

On en déduit : si > 0 , alors augmente : le mouvement est accéléré ;

si < 0 , alors diminue : le mouvement est retardé ; si = 0 , alors = cte : le mouvement est uniforme. Remarques : on parle de mouvement uniformément varié lorsqu’il est accéléré ou retardé Exemples : Une voiture qui démarre est en mouvement uniformément accéléré, au contraire une voiture qui ralentit est en mouvement uniformément retardé

3.2. Mouvement de translation d’un solide

Un solide est animé d'un mouvement de translation lorsque tout segment joignant deux points quelconques de ce solide reste parallèles à lui-même c’est-à-dire si, à chaque instant, tous ses points ont même vitesse.

La translation est rectiligne si le vecteur vitesse garde une direction fixe. La translation est uniforme si le vecteur vitesse garde une norme constante. Remarques :

Le mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse a même direction, même sens et même intensité au cours du temps.

Le mouvement est rectiligne uniformément varié si le vecteur vitesse a même direction, même sens mais une intensité qui change au cours du temps.

Translation rectiligne : à l'instant t : ( ) ( ) ( )

À t : À t’ : Ici la valeur de la vitesse a diminué entre l’instant t et t’ mais on a : ( ) ( ) ( )

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Exemples :

La nacelle d’une grande roue est en translation circulaire ;

un skieur qui dévale la piste est en mouvement rectiligne uniformément accéléré ;

un tapis roulant (dans le métro, l’aéroport) est en mouvement rectiligne uniforme.

3.3. Mouvement circulaire ►Activité 07

3.3.1. Mouvement circulaire

On appelle mouvement circulaire lorsque tous les points de la trajectoire sont équidistants d'un point particulier. La droite qui passe par ce point et qui est perpendiculaire au plan de la trajectoire est appelée l'axe de rotation.

3.3.2. Caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération

La vitesse instantanée linéaire est définie par

.v R v en m/s ; R en m et ω est la vitesse de rotation instantanée ou vitesse angulaire en rad.s

-1

Remarque :. Tous les points du solide ont même vitesse de rotation à tout instant. Exemple : Une voiture de course sur une piste circulaire réalise un mouvement circulaire Pour traiter un mouvement circulaire, les coordonnées cartésiennes sont mal adaptées. On choisit alors deux axes qui tournent en même temps que le point matériel le long de la trajectoire. On utilise alors la base de Frenet qui est constituée :

Un vecteur tangent à la trajectoire Un vecteur normal à la trajectoire

Dans ce repère, les composantes de l’accélération sont :

( ) (

)

Où r est le rayon de la trajectoire

Ici = 0 , alors = cte : le mouvement est uniforme.

3.3.3. Mouvement circulaire uniforme

Un mouvement de rotation est uniforme si ω = constante. Le temps mis pour effectuer un tour est T la période de rotation du mouvement. On a :

ω

π.2T

T en s, ω en rad/s

Le nombre de tours parcouru, par un point du solide, pendant une seconde est appelé la fréquence :

f en Hz, T en s, ω en rad/s

Remarque : dans un mouvement de rotation uniforme ω est constant et donc la vitesse linéaire v est aussi constante. Mais le vecteur vitesse linéaire instantanée n'est pas constant. Exemple : La trotteuse d’une horloge fait un mouvement circulaire uniforme.

4. Ce qu’il faut savoir…

Extraire et exploiter des informations relatives à l’évolution de la mesure du temps et de la

définition de la seconde.

Choisir un référentiel d’étude.

Définir et reconnaître des mouvements (rectiligne uniforme, rectiligne uniformément varié,

circulaire uniforme, circulaire non uniforme) et donner dans chaque cas les caractéristiques du

vecteur accélération.

O

trajectoire du point P

trajectoire du point Q

Q P

sens de rotation