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7/21/2019 B Desjardins Inaug

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Analyse Mathématique des Ecoulements FluidesLes instabilités de Rayleigh–Taylor

Benoît Desjardins

Département de Mathématiques et Applications, Ecole Normale Supérieure

Fondation Hadamard, 18 Mai 2011

Collaborateurs :

Didier Bresch, LAMA, Université de Savoie

David Gérard-Varet, Université Paris 7

Jean-Michel Ghidaglia, CMLA E.N.S. Cachan

Emmanuel Grenier, UMPA, E.N.S. Lyon

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La dynamique des fluides

Les fluides sont des milieux matériels parfaitement déformables,

assemblages de molécules, pouvant se déplacer relativement les unes auxautres.

Une description microscopique de la dynamique des fluides , où l’on suivraitchaque molécule, est impossible.

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Les fluides sont des milieux matériels parfaitement déformables,

assemblages de molécules, pouvant se déplacer relativement les unes auxautres.

Une description microscopique de la dynamique des fluides , où l’on suivraitchaque molécule, est impossible.

On adopte une description macroscopique .

Le fluide est assimilé à un continuum, repéré par le temps t et la variabled’espace x = (x , y , z ).

L’évolution du fluide est décrite à l’aide de grandeurs moyennes ,dépendant de t et de x.

Par exemple : la vitesse du fluide u = (u , v , w ), la densité ρ, la pression p ,la température T , des traceurs (salinité S pour un océan, nature du fluide(phase). . .).

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Les grandeurs u (t , x), . . . , T (t , x) correspondent à des moyennes sur unvolume élémentaire, au temps t , autour du point x.

L’évolution de ces grandeurs est exprimée à l’aide d’équations aux dérivées partielles (EDP).

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Les grandeurs u (t , x), . . . , T (t , x) correspondent à des moyennes sur unvolume élémentaire, au temps t , autour du point x.

L’évolution de ces grandeurs est exprimée à l’aide d’équations aux dérivées partielles (EDP).

Dérivée et dérivées partielles : concepts introduits par

Isaac Newton (1643-1727) Gottfried Leibniz (1646-1716)

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Pour une fonction d’une seule variable f (t ) :

Le taux de variation de f entre t et t + ∆t est

∆f

∆t =

f (t + ∆t ) − f (t )

∆t

Le taux de variation instantané en t estdf

dt (t ) = lim

∆t →0

f (t + ∆t ) − f (t )

∆t

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Pour une fonction d’une seule variable f (t ) :

Le taux de variation de f entre t et t + ∆t est

∆f

∆t =

f (t + ∆t ) − f (t )

∆t

Le taux de variation instantané en t est

df

dt (t ) = lim

∆t →0

f (t + ∆t ) − f (t )

∆t

Pour une fonction de plusieurs variables f (t , x , y , z ) :

On peut dériver par rapport à chaque variable en figeant les autres.

Dérivée partielle par rapport à t , par rapport à x :

∂ f

∂ t (t , x , y , z ),

∂ f

∂ x (t , x , y , z ), etc.

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Une EDP est une équation qui relie les grandeurs étudiées et leurs dérivées

partielles.

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partielles.

Notation pratique : Le gradient ∇ =

∂

∂ x ,

∂

∂ y ,

∂

∂ z

est le vecteur des

dérivées partielles en espace. Se manipule presque comme un vrai vecteur :

u · ∇ = u ∂ ∂ x

+ v ∂ ∂ y

+ w ∂ ∂ z

,

∇ · u = ∂ u

∂ x +

∂ v

∂ y +

∂ w

∂ z ,

∇ · ∇ = ∂ ∂ x

∂ ∂ x

+ ∂ ∂ y

∂ ∂ y

+ ∂ ∂ z

∂ ∂ z

, etc

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partielles.

Notation pratique : Le gradient ∇ =

∂

∂ x ,

∂

∂ y ,

∂

∂ z

est le vecteur des

dérivées partielles en espace. Se manipule presque comme un vrai vecteur :

u · ∇ = u ∂ ∂ x

+ v ∂ ∂ y

+ w ∂ ∂ z

,

∇ · u = ∂ u

∂ x +

∂ v

∂ y +

∂ w

∂ z ,

∇ · ∇ = ∂ ∂ x

∂ ∂ x

+ ∂ ∂ y

∂ ∂ y

+ ∂ ∂ z

∂ ∂ z

, etc

Pour un fluide homogène et incompressible, tel l’eau ou l’air à bassealtitude, les EDP de référence sont les équations de Navier-Stokes .

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Les équations de Navier-Stokes

Claude-Louis Navier (1785-1836) George Stokes (1819-1903)

Il s’agit d’un système de deux équations, sur u et p :

La première traduit la relation fondamentale de la dynamique.

ρ

∂

∂ t + u · ∇

u

accélération

= ν ∇ · ∇u

diffusion

−∇p

pression

+ ρg

gravité

La deuxième traduit l’incompressibilité

∇ · u = 0

incompressibilité

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Ecoulements complexes à plusieurs phases

Deux fluides de densités ρ+ (lourd) et ρ− (léger) séparés par une interfaceen présence de

forces de gravité.cisaillement U + = U − ou U + = U − = 0 ?

Pour des fluides non visqueux, l’interface plane est solution stationnaireexacte des équations d’évolution du système.

En général, pas de solutions analytique pour ce système.12/31



Ecoulements complexes à plusieurs phases : stabilité

Stabilité d’un système dynamique en dimension infinie

dZ

dt = f (Z ), Z (0) = z

dont Z (t , z ) = z ∗ est un point singulier (solution stationnaire f (z ∗) = 0).

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dZ

dt = f (Z ), Z (0) = z


Stabilité sur [0, T ] : pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que siZ (0) − z ∗1 < α alors

supt ∈[0,T ]

Z (t ) − z ∗2 < ε.

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dZ

dt = f (Z ), Z (0) = z


Stabilité sur [0, T ] : pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que siZ (0) − z ∗1 < α alors

supt ∈[0,T ]

Z (t ) − z ∗2 < ε.

Système linéarisé autour de z = z ∗ :

d Z̃

dt = f (z ∗) · Z̃ , Z̃ (0) << 1.

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Instabilités de Rayleigh–Taylor

L’analyse de stabilité de cette solution z ∗ consiste à perturber l’interfacepar une onde plane y = a 0 sin(kx ) de longueur d’onde λ = 2π/k et

d’amplitude a 0 "petite" :

Lord Rayleigh (1842-1919)

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I b l é d R l h T l



Instabilités de Rayleigh–Taylor

L’analyse de stabilité de cette solution z ∗ consiste à perturber l’interfacepar une onde plane y = a 0 sin(kx ) de longueur d’onde λ = 2π/k et

d’amplitude a 0 "petite" :

Lord Rayleigh (1842-1919)

Dans le régime linéaire, on cherche une solution sous la formey = a (t )sin(kx )

a (t ) = a 0 exp(γ t ) avec γ = Agk , A =

ρ+ − ρ−

ρ+ + ρ− (Atwood)17/31

F i fi i i l



Fusion par confinement inertiel

Instabilités de Rayleigh–Taylor dans le régime linéaire ou faiblement non

linéaire. 18/31

D li é i li é i



Du linéaire au non linéaire...

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é i t b l t



... au régime turbulent

Expériences d’instabilités de Rayleigh–Taylor

S. Dalziel (1992)

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é i t b l t



... au régime turbulent

G. Dimonte (1999)

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Expériences d’instabilités de Rayleigh Taylor



Expériences d instabilités de Rayleigh–Taylor

Mesures de la taille de la zone de mélange turbulent (ZMT) : croissancede la taille des bulles Lb (t )

Lb (t ) = αAgt 2, A = ρ+ − ρ−

ρ+ + ρ− (nombre d’Atwood),

où α ∼ 0.06.

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Instabilités de Rayleigh Taylor en Astrophysique



Instabilités de Rayleigh–Taylor en Astrophysique

Explosion de Supernovae de type II

Nébuleuse du Crabe 23/31

Simulation numérique



Simulation numérique

Discrétisation des équations aux dérivées partielles (différences finies,volumes finis, éléments finis...)

calcul parallèle : décomposition de domaines

TERA 100, CEA Bruyères le Châtel :

4 370 serveurs, 138 368 coeurs Intel Xeon 7500.

1.05 Petaflops (1015 flops)

300 To de RAM 24/31

Simulations numériques d’instabilités de Rayleigh–Taylor



Simulations numériques d instabilités de Rayleigh–Taylor

Simulations numériques (LLNL)

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Simulations numériques d’instabilités de Rayleigh–Taylor



Simulations numériques d instabilités de Rayleigh–Taylor

Cabot (2006)

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Comparaison expériences / Simulations numériques



Comparaison expériences / Simulations numériques

Croissance de la taille des bulles dans la zone de mélange turbulent :Lb (t ) = αb Agt 2 αb ∼ 0.06 :

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Influence des schémas numériques



Influence des schémas numériques

Van Leer Superbee 5ème ordre WENO

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Influence du pas de discrétisation



Influence du pas de discrétisation

1283 2563

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Influence des conditions initiales



Influence des conditions initiales

16 × 16 32 × 32 64 × 64

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Conclusions / Directions de recherche



Conclusions / Directions de recherche

Pistes de recherche :

Prise en compte des phénomènes physiques aux petites échelles

Méthodes numériques et calcul scientifique

Analyse mathématique des solutions

Modélisation : modèles statistiques, moyennés. . .

Merci pour votre attention !

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