Automatique numerique

download Automatique numerique

of 47

Transcript of Automatique numerique

AUTOMATIQUE

Systmes linaires numriques( temps discret)

B. Bergeon, Professeur

janvier 2010.

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

1

INTRODUCTION ............................................................................................................................................ 4 I. ORGANES ET STRUCTURE DE LA COMMANDE NUMERIQUE. .............................................. 5 I.1. SCHEMA GENERAL................................................................................................................................... 5 I.2. LE CONVERTISSEUR ANALOGIQUE-NUMERIQUE..................................................................................... 5 I.3. LE CONVERTISSEUR NUMERIQUE-ANALOGIQUE..................................................................................... 6 I.4. SPECTRE FREQUENTIEL DE SIGNAL ECHANTILLONNE. ........................................................................... 6 II. OUTILS DE MODELISATION DES SIGNAUX ET SYSTEMES ECHANTILLONNES. .......... 9 II.1. SEQUENCES NUMERIQUES ET TRANSFORMATION EN Z. ........................................................................ 9 II.2. THEOREMES FONDAMENTAUX ET PROPRIETES. .................................................................................. 10 1. Linarit.............................................................................................................................................. 10 2. Translation.......................................................................................................................................... 10 3. Valeur initiale..................................................................................................................................... 10 4. Valeur finale ....................................................................................................................................... 10 II.3. SYSTEME A TEMPS DISCRET, EQUATION RECURRENTE ET FONCTION DE TRANSFERT EN Z. .............. 10 II.4. TRANSMITTANCE EN Z DE SYSTEME ANALOGIQUE DISCRETISE.......................................................... 12 II.5. COMBINAISONS DE TRANSMITTANCES. ............................................................................................... 14 1. Cascade............................................................................................................................................... 14 2. Parallle ............................................................................................................................................. 14 3. Systme boucl ................................................................................................................................... 15 II.6. REPRESENTATION FREQUENTIELLE ET TRANSFORMATION EN W........................................................ 15 III. ANALYSE ET CARACTERISATION DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET. ....................... 19 III.1. STABILITE. .......................................................................................................................................... 19 III.2. LES SEQUENCES NUMERIQUES ELEMENTAIRES.................................................................................. 20 1. Impulsion ............................................................................................................................................ 20 2. Echelon ............................................................................................................................................... 21 3. Rampe ................................................................................................................................................. 21 III.3. SYSTEME DU 1 ER ORDRE...................................................................................................................... 21 1. Rponse impulsionnelle ..................................................................................................................... 22 2. Rponse indicielle .............................................................................................................................. 22 3. Rponse pseudo-frquentielle............................................................................................................ 23 III.4. INTEGRATEUR NUMERIQUE. ............................................................................................................... 24 1. Rponse impulsionnelle ..................................................................................................................... 24 2. Rponse indicielle .............................................................................................................................. 24 3. Rponse pseudo-frquentielle............................................................................................................ 24 III.5. SYSTEME DU 1 ER ORDRE AVEC RETARD.............................................................................................. 25 IV. SPECIFICATION DE COMMANDE NUMERIQUE. ..................................................................... 27 IV.1. STABILITE DE BOUCLE FERMEE .......................................................................................................... 27 IV.2. PRECISION ASYMPTOTIQUE. ............................................................................................................... 29 1. Poursuite de consigne. ....................................................................................................................... 29 2. Rejet de perturbation. ........................................................................................................................ 30 V. CONCEPTION DE REGULATEURS .................................................................................................. 33 V.1. CORRECTEUR PROPORTIONNEL ET INTEGRAL (PI)............................................................................. 33 1. Le schma fonctionnel ....................................................................................................................... 33 2. La transmittance en z ......................................................................................................................... 33 3. L'quation rcurrente......................................................................................................................... 33 4. La transmittance en w et la rponse pseudo-frquentielle. ............................................................. 33 5. Mthode frquentielle de rglage...................................................................................................... 34 V.2. CORRECTEUR PROPORTIONNEL ET DERIVEE (PD OU AP). ................................................................ 36 1. Le schma fonctionnel. ...................................................................................................................... 36 2. La transmittance en z. ........................................................................................................................ 36 3. L'quation rcurrente......................................................................................................................... 36

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

2

4. La transmittance en w et la rponse pseudo-frquentielle. ............................................................. 36 V.3. LE CORRECTEUR A ACTIONS PROPORTIONNELLE, INTEGRALE ET D ERIVEE (PID). .......................... 38 1. Le schma fonctionnel. ...................................................................................................................... 38 2. La transmittance en z. ........................................................................................................................ 38 3. L'quation rcurrente......................................................................................................................... 38 4. La transmittance en w et la rponse pseudo-frquentielle. ............................................................. 38 5. Mthode de calcul de PID numrique. ............................................................................................. 40 V.4. PROBLEMES D'IMPLANTATION............................................................................................................. 42 1. Structure srie. ................................................................................................................................... 42 2. Structure srie-parallle.................................................................................................................... 43 V.5. PLACEMENT DE POLES. ........................................................................................................................ 45

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

3

INTRODUCTIONDepuis l'apparition et le dveloppement des systmes informatiques (microprocesseurs, micro-ordinateurs, micro-contrleurs), leur utilisation en commande et rgulation des systmes industriels ne cesse de s'accrotre. Ce dveloppement rsulte essentiellement de la souplesse de ralisation des rgulateurs numriques : la mise au point et le rglage consistent essentiellement dterminer les coefficients d'une quation dite quation rcurrente, qui constitue le cur d'un programme de calcul excut en boucle par un processeur. Le cot de dveloppement et de maintenance d'un tel rgulateur est donc nettement plus avantageux que la ralisation de cartes analogiques spcifiques, ncessaires la ralisation de rgulateurs analogiques. Cependant, le traitement numrique prsente quelques diffrences importantes par rapport au traitement analogique: les valeurs des grandeurs physiques constituant les signaux analogiques doivent tre reprsentes par des nombres; les oprations numriques ralises par le processeur ne se font pas instantanment: il faut donc introduire la prise en compte de la dure du calcul. En fait, vu d'un calculateur numrique, le temps ne peut pas s'couler de faon continue tel qu'on le peroit dans le monde physique. Le temps se dfinit sur un ensemble discret (ensemble dnombrable, isomorphe l'ensemble des entiers) d'instants : les instants d'chantillonnage, spars par un intervalle de temps rgulier : la priode d'chantillonnage. Il est donc ncessaire de dfinir des outils mathmatiques nouveaux, adapts au temps discret, pour reprsenter ces signaux et systmes chantillonns, puis d'adapter les outils et mthodes de l'automatique analogique ( temps continu) la conception de rgulateurs numriques.

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

4

I. ORGANES ET STRUCTURE NUMERIQUE. I.1. Schma gnral.

DE

LA

COMMANDE

Programme de calcul

CNA

procd

CAN numrique

capteur analogique

Figure 1- 1 : structure gnrale de commande numrique.

I.2. Le convertisseur analogique-numrique.Il n'est pas question de dcrire ici le principe de fonctionnement de ce composant, il est dcrit dans le cours d'lectronique. On se contentera d'une description de sa fonction par un modle abstrait idal : l'chantillonneur. x(t) Te xe(kTe)

Figure 1- 2: l'chantillonneur. Dans ce modle idal on nglige l'erreur de quantification: l'interrupteur se ferme pendant un temps infiniment court, et le nombre xe(kTe) reprsente exactement la valeur du signal x(t) l'instant t = kTe. Ce nombre est le poids d'une impulsion de Dirac:xe (k Te ) = x (t )! (t " k Te )

1- 1

Le signal chantillonn est une suite de nombres apparaissant intervalles de temps rguliers : la priode d'chantillonnage Te. Cette suite de nombres est reprsente par une squence numrique:

{xe (k Te )} = " x(t ) # (t $ k Te )k=0

!

1- 2

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

5

I.3. Le convertisseur numrique-analogique.Pour le principe du fonctionnement, on se reportera au cours d'lectronique. La fonction du CNA est de transformer une suite cadence de nombres (la squence numrique) en un signal analogique, dfini temps continu. Le modle le plus simple et le plus utilis d'un tel systme est le bloqueur d'ordre zro (BOZ): il produit un signal lectrique (tension) constant entre 2 instants d'chantillonnage, dont la valeur est celle du dernier nombre prsent l'entre. xe(kTe) BOZ x(t)

Figure 1- 3: Bloqueur d'ordre zro. Le signal x(t) vrifie donc:!t " [kTe , (k + 1) Te[, x (t ) = x e (kTe )

1- 3

I.4. Spectre frquentiel de signal chantillonn.On montre (voir cours d'lectronique) que, si le signal analogique x(t) a un spectre frquentiel X() de la forme de la figure 4 ci-dessous: X()

- max max

Figure 1- 4: spectre X() du signal analogique le spectre du signal chantillonn reproduit ce spectre autour de chaque multiple de la pulsation d'chantillonnage e. Ces lobes multiples ne doivent pas se chevaucher si on veut pouvoir rcuprer toute l'information originale du signal analogique: la pulsation d'chantillonnage doit donc respecter le thorme de Shannon.

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

6

Xe()

- e max e-max e

Figure 1- 5: spectre priodis du signal chantillonn. Thorme de Shannon: le signal chantillonn contient la mme information spectrale que le signal analogique si et seulement si la pulsation (frquence) d'chantillonnage est strictement suprieure 2 fois la plus haute pulsation (frquence) contenue dans le spectre analogique. On voit en effet sur la figure 1-5, que 2 lobes successifs sont disjoints si et seulement si: ! e " ! max > ! max , c'est dire si et seulement si ! e > 2 ! max . Il est souvent ncessaire d'utiliser un filtre anti-repliement avant l'chantillonneur (CAN) pour diminuer les recouvrements de spectres. Systme rgler xe(kTe) x(t)

CAN (e)

Filtre Anti-repliement (e/2)

Figure 1- 6: Utilisation de filtre anti-repliement.

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

7

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

8

II. OUTILS DE MODELISATION DES SIGNAUX ET SYSTEMES ECHANTILLONNES. II.1. Squences numriques et transformation en z.Le signal chantillonn est matrialis, l'intrieur du systme informatique, par une suite de nombres, la squence numrique {xe (kTe )} . Remarque: On reprsentera dornavant cette squence par {xk } : xk = x (t ) ! (t " k Te ),#

{xk } = $ x(t ) ! (t " k Te ).k=0

2- 1

On dfinit une transformation (qui est une transformation de Laplace particulire), appele transformation en z (voir cours de mathmatiques) :

{xk } a X ( z),X (z ) = # xk z! kk=0 "

Z

2- 2

Dans la pratique, on utilise des tables de transformes en z. Celle que nous utilisons comporte 3 colonnes: la colonne centrale contient des expressions de fonctions du temps continu, dfinies pour t > 0, reprsentant des signaux analogiques; la colonne de gauche contient des fonctions de Laplace, qui sont les transformes des fonctions de la colonne centrale; la colonne de droite contient les transformes en z des squences numriques obtenues par chantillonnage priode Te des signaux analogiques reprsents dans la colonne centrale.

G(p) e-kTep 11 p 1 p2

g(t)

G(z) z-k 1z z!1 Te z 2 (z ! 1)

(t-kTe) (t)u(t) t

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

9

II.2. Thormes fondamentaux et proprits.Il s'agit de quelques rappels du cours de mathmatiques. 1. Linarit Z {a x k + b yk } = a X (z ) + bY (z) 2. Translation Avance: Z {xk +n } = zn X (z) ! zn x 0 ! z n!1 x1 ! K ! z x n!1 Retard Z {xk !n } = z! n X ( z) 3. Valeur initiale lim xk = lim X (z)k !0 z! "

2- 3

2- 4

2- 5

2- 6

4. Valeur finale lim x k = lim ( z # 1) X ( z)k !" z !1

2- 7

II.3. Systme temps discret, quation rcurrente et fonction de transfert en z.Un systme est dit temps discret si les signaux d'entre et de sortie de ce systme sont (ou sont reprsentables par) des fonctions discrtes du temps. C'est le cas, en particulier, des signaux chantillonns. ek Systme t. d. yk

Figure 2- 1: Systme temps discret. L'quation rcurrente joue un rle quivalent, dans l'tude des systme temps discret, celui que joue l'quation diffrentielle dans l'tude des systme temps continu: c'est un modle mathmatique de la relation entre le signal d'entre temps discret et le signal de sortie temps discret du systme. De faon formelle, l'quation rcurrente d'un systme temps discret s'crit:

yk + n + an!1 y k +n !1 + K + a0 yk = bm ek + m + bm!1 ek + m !1 + K + b0 e k

2- 8

Si on compare cette quation (2-8) avec une quation diffrentielle on s'aperoit: - que les signaux temps continu e(t) et s(t) sont remplacs par les signaux temps discret e(k Te) et y(k Te); - que les termes faisant intervenir des drives par rapport au temps des signaux temps continu sont remplacs par des termes faisant intervenir des dcalages dans le temps des signaux temps discret. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

10

Cette quation rcurrente permet de calculer le terme de rang k + n de la squence de sortie, si on connat tous les autres termes:

yk + n = ! an!1 yk +n! 1 ! K ! a0 y k + bm ek + m + bm !1 e k +m !1 + K + b0 ek

2- 9

22 Exemple: programme permettant de calculer des revenus de placements bancaires; le problme des intrts composs. Vous disposez, le 1 er Janvier 2009, d'un capital de 1000 la caisse d'Epargne. Le taux de rmunration annuel tant de 2,5 % ; il s'agit d'crire une quation permettant de modliser l'volution annuelle de votre capital. La variable tudier est bien une variable (signal) temps discret si on cherche valuer le capital au 1er Janvier de chaque anne; la priode d'chantillonnage (Te) est alors de 1 an. Soit Y(0 Te) votre capital initial (1000 au 1/01/2009), soit Y(kTe) votre capital au 1/01/(2009 + k ans); on peut crire la relation de rcurrence qui exprime votre capital au 1/01/(2009+k+1): Y[(k + 1)Te] = Y(k Te) + 0,025 Y(k Te); ou encore: Y[(k + 1)Te] =1,025 Y(k Te). Il est alors facile de calculer votre capital et son volution. La seule chose que nous ayons oublie est la possibilit que vous apportiez vos conomies, toujours le 1/01 de chaque anne, ou que, au contraire, vous retiriez de l'argent. Appelons E(k Te) la somme (en grandeur algbrique: positive pour un apport, ngative pour un retrait) correspondant cette opration, alors: Y[(k + 1)Te] =1,025 Y(k Te) + E[(k+1) Te].

On peut appliquer la transformation en z sur l'quation rcurrente 2-8:

zn Y( z) + an!1 zn !1 Y( z) + K + a0 Y( z) = bm zm E (z ) + K + b0 E (z)

2- 10

On dfinit alors la fonction de transfert G(z) du systme temps discret comme le rapport de la transforme en z de la squence de sortie sur la transforme en z de la squence d'entre:

G (z ) =

!

Y (z) bm z m + bm "1 zm "1 + K + b0 = n n"1 E (z ) z + an"1 z + K + a0

2- 11

Le systme temps discret peut donc tre reprsent par un schma fonctionnel: yk ek G(z) Figure 2- 2: Schma fonctionnel de systme temps discret. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

11

Remarque sur la causalit: Le sens des flches sur la figure 2-2 indique que ek est la squence d'entre, yk la squence de sortie. Dans l'quation 2-9, le terme de rang k+n de la squence de sortie ne peut pas dpendre de termes futurs de la squence d'entre. Le terme de rang k+m de la squence d'entre doit donc tre antrieur l'instant k+n:

(k + m ! k + n) " (m ! n)Par consquent, le degr du polynme en z numrateur de la fonction de transfert G(z), m, est toujours infrieur ou gal au degr du polynme en z dnominateur, n. La fraction rationnelle G(z) doit donc tre propre pour reprsenter un systme causal. Elle est strictement propre si m < n. Remarque sur le gain statique: Si la limite existe, le gain statique d'un systme temps discret est dfini par:

G0 =

!

lim y kk "#

lim ekk" #

;

en appliquant le thorme de la valeur finale (relation 2-7), on obtient:

G0 =soit:

lim ( z " 1)Y (z )z!1

lim (z " 1) E( z)z !1

= lim G(z)z!1

2- 12

m

G0 =

!bi=0

i i=0 n "1

.

2- 13

1 + ! ai

II.4. Transmittance en z de systme analogique discrtis.Il s'agit de calculer la transmittance en z d'un systme analogique, vu de l'entre d'un CNA et de la sortie d'un CAN, selon la figure 2-3. ek yk F(p) CNA CAN Figure 2- 3: systme analogique discrtis. Pour calculer cette transmittance, il suffit de calculer la transforme en z de la squence de sortie lorsque la squence d'entre est une impulsion de Dirac. Le schma de la figure 2-3 peut se transformer en celui de la figure 2-4:

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

12

ek

e(t) B0(p) F(p)

y(t) yk

Figure 2- 4: Systme analogique discrtis. On a vu que le bloqueur d'ordre zro produit un signal analogique dfini par la relation 1-3:!t " [kTe, (k + 1) Te[, x(t ) = xe (kTe )

ce qui donne ici, puisque ek est une impulsion de Dirac:!t "[0, Te[, e(t) = 1, !t #[0, Te[, e(t) = 0.

2- 14

soit e(t ) = !( t ) " !( t " Te ) , dont on peut dduire la transmittance du bloqueur d'ordre zro :1 ! e ! Te p B0 ( p ) = p

2- 15

On peut alors exprimer la transforme de Laplace de la sortie y(t) du systme analogique:1 ! e !Te p Y ( p) = F ( p) p

2- 16

! % -1 # F ( p) # & Soit y1 ( t ) = L " # p # , alors : $ 'L!1 {Y( p)} = y(t ) = y1 (t ) ! y1 (t ! Te )

2- 17

La squence de sortie du CAN est alors exprime par: yk = y1k ! z!1 y1k , o y1k est la squence qui correspond l'chantillonnage du signal y1(t) la priode Te. La transmittance en z du systme chantillonn s'crit alors :H( z) = (1! z!1 ) Z {y1k }

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

13

ou encore, puisque y1k est la squence correspondant l'chantillonnage de F( p) l'originale de : p " z ! 1% ( F ( p) , * * H( z) = $ 'Z) 2- 18 # z & * p * + .

II.5. Combinaisons de transmittances.1. Cascade. La mise en cascade de fonctions de transfert en z : ek F1(z) Figure 2- 5: cascade xk F2(z) yk

F( z) = F1 (z) F2 ( z)Par exemple: ek B0(p) F1(p) xk

2- 19

yk B0(p) F2(p)

Figure 2- 6: cascade

" F ( p) & " F ( p) & $ $ $ $ ' F( z) = (1 ! z !1 ) Z # 1 ' (1! z!1 ) Z # 2 $ p $ $ p $ % ( % (n Mais attention: ek

2- 20

B0(p)

F1(p)

F2(p)

yk

Figure 2- 7: cascade analogique

" F ( p) F2 ( p) & $ $ ' F( z) = (1 ! z !1 ) Z # 1 $ $ % p (2. Parallle F1(z)

2- 21

F2(z) Figure 2- 8: combinaison parallle _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

14

F( z) = F1 (z) + F2 (z)3. Systme boucl F1(z) F2(z) Figure 2- 9: systme bouclG (z ) = F1 ( z) 1 + F1 ( z) F2 (z)

2- 22

2- 23

II.6. Reprsentation frquentielle et transformation en w.Sur la table de transforme en z, on remarque que z correspond un oprateur d'avance d'une priode d'chantillonnage Te, dont la transforme de Laplace en p serait eTep. On peut donc obtenir une reprsentation frquentielle des fonctions de jT ! transfert de systmes temps discret en remplaant z par e e dans la fonction de transfert en z. Comme les squences d'entre et sortie reprsentent des signaux chantillonns respectant le thorme de Shannon, il suffit de faire varier de 0 !e pour obtenir la rponse harmonique complte. 2 Cette reprsentation n'est pas trs commode, car: - le calcul est relativement complexe, - on ne retrouve pas les comportements asymptotiques usuels en analogique. Pour ces raisons, on utilise plutt une transformation bilinaire base sur un changement de variable:w= 2 z !1 2 + wTe " z= Te z + 1 2 ! wTe

2- 24

Cette transformation, connue sous le nom de transformation de Tustin, transforme: - une fraction rationnelle F(z) en une fraction rationnelle F(w), $ ! ! ' - le cercle dfini par z = e j Te ! ; ! " & # e , e ) en l'axe imaginaire % 2 2 ( w = j v; v !]"#, # [. La variable v est alors une pseudo-pulsation, qui est relie la vraie pulsation par la relation:" !% 2 tan$ Te ' Te # 2 & On peut tablir facilement: v=

2- 25

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

15

si ! " 0, v " 0 2 et si ! 0

3- 15

Figure 3- 3: Rponse impulsionnelle pour b = 0.4877 et a = -0.9512. 2. Rponse indicielle b z Y (z ) = z ! a z !1 _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

3- 16

22

b (1 ! a k ); k > 0 1!a ou par rcurrence: yk =y1 = ay 0 + be0 = a.0 + b.1 = b y2 = ay1 + be1 = a.b + b.1 = (1 + a)b y3 = ay 2 + be2 = a(1+ a)b + b.1 = (1 + a + a2 )b L yk = ay k !1 + bek !1 LOn remarque que : b lim yk = k!" 1#a

3- 17

3- 18

b (1 ! ak ) = 1! a

Figure 3- 4: Rponse indicielle pour b = 0.4877 et a = -0.9512. 3. Rponse pseudo-frquentielle. En appliquant le changement de variable de la relation 2-24, on obtient : 4,999 ! 0,2499w G (w ) = , w + 0,4999 et le diagrammes de Bode et Black des figures 2-10 et 2-11. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

23

III.4. Intgrateur numrique.C'est un cas particulier de systme du 1er ordre pour lequel a = 1:

G (z ) =

b z !1

3- 19

L'quation rcurrente s'crit:

yk = yk !1 + be k !1La solution gnrale:k !1

3- 20

yk = " benn=0

3- 21

1. Rponse impulsionnelle

yk = b; !k > 02. Rponse indiciellek !1

3- 22

yk = " b = (k ! 1) bn=0

3- 23

3. Rponse pseudo-frquentielle

" T % b $ 1 ! e w' # 2 & G (w ) = TewLe diagramme de Bode pour b = 1:G( jv) = 10 ! 0,5j v jv

3- 24

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

24

Figure 3- 5: Diagramme de Bode d'un intgrateur numrique, en pseudopulsation.

III.5. Systme du 1er ordre avec retard.Soit un systme temps continu, du 1er ordre et retard de secondes:F( p) = k e "# p 1 + !p

3- 25

Ce systme est discrtis par un CNA et un CAN, de priode Te:$ k e !" p ( & & ) G(z ) = (1! z!1 ) Z % & p(1+ #p) & ' *

3- 26

On suppose que le retard est un multiple de la priode d'chantillonnage:

! = r Te ; r " Nalors:

G(z ) = z !r

b z! a

3- 27

La rponse en pseudo-pulsation: _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

25

" Te % r T 1! e w $ 1! w ' 2 ' k 2 G (w ) = $ $ 1+ Te w ' 1+ Te 1 + a w $ ' # 2 & 2 1!aor, si w = jv:r Te jv 2 = 1, Te 1+ j v 2 # Te & r %1 ! j v ( 2 ( = !2r Arctan# Te v & "% % ( Te ( % $2 ' %1 + j v ( $ 2 '

3- 28

1!

3- 29

d'o le diagramme de Bode suivant, pour r = 3:

Figure 3- 6: Diagramme de Bode de 1er ordre retard de 3 priodes.

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

26

IV. SPECIFICATION DE COMMANDE NUMERIQUE. IV.1. Stabilit de boucle fermeLe systme rgler est un systme analogique, donc temps continu, discrtis par CNA et CAN, et command par un calculateur numrique sur lequel est excut, en temps rel, un programme de calcul, sous la forme d'un quation rcurrente, reprsente par un transmittance en z, selon le schma de la figure 4-1 ci-dessous: rk Figure 4- 1: Schma de commande numrique en boucle ferme. Le systme rgler chantillonn est reprsent par sa transmittance en z, calcule selon la relation 2-18 : k C(z) ek e(t) CNA F(p) y(t) CAN yk

" z ! 1% ( F ( p) , * * G (z ) = $ 'Z) * p * # z & + .On dessine le schma fonctionnel quivalent: rk k C(z) ek G(z) yk

4- 1

Figure 4- 2: Schma quivalent de commande numrique en boucle ferme. Et on calcule la fonction de transfert en z entre la consigne rk et la variable rgler yk:H( z) = Y (z ) C(z) G( z) = R(z) 1+ C (z) G(z )

4- 2

Cette transmittance est stable si et seulement si ses ples ont un module strictement infrieur 1 ( z < 1). Pour la transmittance en w:H (w ) = C(w ) G( w) 1 + C(w ) G( w)

4- 3

elle est stable si et seulement si ses ples ont une partie relle strictement ngative. On peut donc appliquer le critre du revers sur la boucle ouverte si celle-ci est stable: _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

27

On trace le lieu de Black (respectivement Nyquist) de la rponse en pseudopulsation v de la boucle ouverte C(jv) G(jv), et on le parcourt dans le sens des pseudo-pulsations croissantes: la boucle ferme est : - stable si on laisse le point critique (0 dB, -180) droite (resp. gauche pour Nyquist); - oscillante si on passe sur le point critique; - instable si on laisse le point critique (0 dB, -180) gauche (resp. droite pour Nyquist).-180 instable juste oscillant 0

!

v

stable 0 dB

Figure 4- 3: Critre du revers dans le plan de Black.

Im

vinstabl e -1 Re

juste oscillan t

stable

Figure 4- 4: Critre du revers dans le plan de Nyquist. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

28

IV.2. Prcision asymptotique.1. Poursuite de consigne. Soit un systme de commande numrique, retour unitaire, dont la chane directe possde n intgrations:G (z ) = 1 n F( z ) (z ! 1)

%# 0 lim F (z ) = F (1) & z"1 '< $

4- 4

rk -

k

1 F( z) (z ! 1)n

yk

Figure 4- 5: Schma fonctionnel de boucle ferme retour unitaire, dont la chane directe possde n intgrations. La prcision asymptotique est dcrite par le comportement asymptotique de la squence d'erreur k pour diffrents types de consigne rk. Il faut donc calculer successivement: - la transmittance entre la consigne et l'erreur:

S (z ) =

! ( z) = R( z) 1 +

1 1 F( z) (z " 1)n

4- 5

- l'erreur asymptotique par le thorme de la valeur finale:k!"

lim # k = lim(z $ 1)# (z)z!1

= lim(z $ 1)S( z) R(z)z!1

4- 6

- si la consigne est un chelon,

R( z) =k!"

z R, R > 0 z !1z!1

lim # k = lim(z $ 1)

1 z R 1 1+ F ( z) z $ 1 ( z $ 1)n

(z $ 1)n R = lim n z!1 (z $ 1) + F (z )% R ' si n = 0 = &1 + F(1) ' 0 si n > 0 (

4- 7

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

29

- si la consigne est une rampe:R( z) =k!"

Te z R, R > 0 (z ! 1)2z!1

lim # k = lim(z $ 1)

1 z Te R 1 ( z $ 1) 2 1+ F ( z) ( z $ 1)n4- 8

= lim

(z $ 1)n $1 R n z!1 (z $ 1) + F (z )

% " si n = 0 ' R ' =& si n = 1 ' F (1) ' 0 si n > 1 (2. Rejet de perturbation. k dk1 F( z) (z ! 1)n

yk

Figure 4- 6 : Schma fonctionnel de boucle ferme retour unitaire, dont la chane directe possde n intgrations, rejet de perturbation. On suppose que la chane directe de la figure 4-6 vrifie les relations 4-4. Le rejet de perturbation asymptotique est dcrit par le comportement asymptotique de la squence de sortie yk pour diffrents types de perturbation de sortie dk. Il faut donc calculer successivement: - la transmittance entre la perturbation et la sortie:

S (z ) =

Y (z ) = D( z) 1 +

1 1 F( z) (z ! 1)n

4- 9

- la sortie par le thorme de la valeur finale:k!"

lim yk = lim(z # 1) y(z )z!1 z!1

= lim(z # 1)S( z)D(z)

4- 10

- si la perturbation est un chelon,

D( z) =

z D, D > 0 z !1

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

30

k!"

lim yk = lim(z # 1)z!1

1 z D 1 z #1 1+ F ( z) ( z # 1)n

= lim

( z # 1) n D n z!1 (z # 1) + F (z )

4- 11

$ D & si n = 0 = %1 + F(1) & 0 si n > 0 '

- si la perturbation est une rampe:D( z) =k!"

Te z D, D > 0 (z ! 1)2z!1

lim yk = lim(z # 1)

1 z Te 2 D 1 1+ F ( z) ( z # 1) ( z # 1)n4- 12

( z # 1)n#1 D = lim n z!1 (z # 1) + F (z )$ " si n = 0 & D & =% si n = 1 & F (1) & 0 si n > 1 '

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

31

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

32

V. CONCEPTION DE REGULATEURS V.1. Correcteur Proportionnel et Intgral (PI).C'est un correcteur numrique dcrit par: 1. Le schma fonctionnel ek Kpz Ti (z ! 1)

k

Figure 5- 1 : Schma fonctionnel du correcteur PI numrique. 2. La transmittance en z " % z ' CPI ( z) = K p $1 + $ ' # Ti ( z ! 1) &

" (1 + 1/ Ti )z ! 1% ' = Kp $ $ ' z !1 # &3. L'quation rcurrente. # 1+ T & i e`k = ek !1 + K p % " k ! " k !1 ( % ( $ Ti ' 4. La transmittance en w et la rponse pseudo-frquentielle.

5- 1

5- 2

CPI (w ) = Kp

1 + w Te ( Ti + 1/ 2) Ti Te w

5- 3

Sur la figure 5-2, on a remplac: - la pseudo-pulsation v par la pseudo-pulsation rduite u = v.(1+ 2Ti )Te /2 = pour la pseudo-pulsation T + 1/ 2 lim CPI ( ju ) = K p i = Ki u! " Ti ! On peut crire la transmittance en w:jv vi jv viAutomatique numrique

le

module

infinie

par

1,

v ; vi soit 0dB.:

5- 4

1+ CPI ( jv ) = K i

5- 5

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII,

33

!

Figure 5-2 : Diagramme de Bode en pseudo-pulsation rduite dun correcteur PI. 5. Mthode frquentielle de rglage. Le correcteur PI permet dapporter du gain en basses frquences, sans augmenter le dphasage en hautes frquences. Le rglage consiste donc dterminer les valeurs des paramtres Ki et vi telles que la boucle ouverte vrifie les marges de phase ou de gain. Soit par exemple une marge de phase dsire de 60 : il faut 1 chercher (par calcul ou mesure sur un lieu de Bode exprimental) v0 telle que "F ( j v 0 ) # $ 100 v 2 la relation (75) permet de calculer v i = 0 , pour que le dphasage du PI 3 soit de 20 la pseudo-pulsation v0 ; ! 3 calculer (ou mesurer sur un lieu de Bode exprimental) le module F ( j v 0 ) , pour calculer le gain Ki :! 1 Ki = F ( j v0 )!

On vrifie alors aisment que la pseudo-pulsation au gain unit est v0 et que la marge de phase est de 60 ! CPI ( j v 0 ) F ( j v 0 ) " 1

#[ CPI ( j v 0 ) F ( j v 0 )] " $1204 calculer Kp et Ti : 2v T " 1 Ti = i e 2 K i Ti Kp = Ti + 1 2Automatique numrique

!

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII,

34

!

Si par exemple le cahier des charges impose une marge de phase dsire de M et une pseudo-pulsation v0: il faut 1 chercher (par calcul ou mesure sur un lieu de Bode exprimental) la valeur de largument "F ( j v 0 ) 2 Calculer largument que doit apporter le rgulateur PI la pseudopulsation v0 : ! "CPI ( jv 0 ) = #180 + M$ # "F( jv 0 ) 3vi =

!

Calculer la valeur de vi :v0 tan("CPI ( jv 0 + 90)

!

4 Calculer (ou mesurer sur un lieu de Bode exprimental) le module F ( j v 0 ) , pour calculer le gain Ki : 1 Ki = F ( j v 0 ) .CPI ( j v 0 ) On vrifie alors aisment que la pseudo-pulsation au gain unit est v0 et que la marge de phase est de 60 ! CPI ( j v 0 ) F ( j v 0 ) " 1

!

#[ CPI ( j v 0 ) F ( j v 0 )] " $1205 calculer Kp et Ti : 2v T " 1 Ti = i e 2 K i Ti Kp = Ti + 1 2

!

!

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

35

V.2. Correcteur Proportionnel et Drive (PD ou AP).1. Le schma fonctionnel. kTd (z ! 1) (z ! " )

ek Kp

Figure 5- 2: Schma fonctionnel du correcteur PD numrique. 2. La transmittance en z. # T (z ! 1) & ( CPD ( z) = K p %1 + d % ( (z ! " ) ' $ # T +" & %z ! d ( Td + 1 ( % = K p (1 + Td ) % ( % z !" ( $ ' 3. L'quation rcurrente. $ ' T +! e`k = ! ek "1 + K p (1+ Td ) k " d # k "1 ) & ) Td + 1 % (

5- 6

5- 7

4. La transmittance en w et la rponse pseudo-frquentielle.1+ w CPD ( w) = K p Te 1 + 2Td + ! 2 1 "! Te 1+ ! 1+w 2 1 "!

5- 8

soit, en posant:v0 = 2 (1! " ) Te (1+ " )(1+ 2 Td + " )

1+ 2 Td + " a= 1+ "

5- 9

on obtient:w v0 5- 10 CPD ( w) = K p w 1+ a v0 qui est la transmittance d'un correcteur avance de phase en pseudo-pulsation. 1+ a

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

36

20 18 16 14 12 a=10 a=8 a=7 a=6 a=5 a=4 a=3

module

10 8 6 4 2 0 10-1 100

a=2

101

60 a=10 50 a=5 a=4 30 a=3 a=8 a=7 a=6

40

argument

20 a=2 10

0 10-1

100

101

Figure 5- 3: Diagramme de Bode en pseudo-pulsation (rduite) d'un correcteur PD. _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

37

V.3. Le correcteur actions Proportionnelle, Intgrale et Drive (PID).1. Le schma fonctionnel. k ekz Ti (z ! 1)Td (z ! 1) (z ! " )

Kp

Figure 5- 4: Schma fonctionnel du correcteur PID numrique. 2. La transmittance en z. # z T ( z ! 1) & ( CPID (z) = K p %1+ + d % Ti ( z ! 1) ( z ! " ) ( $ ' que l'on peut crire sous la forme:

5- 11

CPID (z) =

r2 z 2 + r1 z + r0 ( z ! 1) ( z ! " )

5- 12

en introduisant les changements de variables:! $ 1 r2 = K p # 1+ + Td & # & Ti " % # "& r1 = !K p % 1 + " + 2 Td + ( % Ti ( $ ' r0 = K p (! + Td )

5- 13 5- 14 5- 15

3. L'quation rcurrente. e`k = (1 + ! ) ek "1 " ! e k "2 + r2 # k + r1 # k "1 + r0 # k " 2 4. La transmittance en w et la rponse pseudo-frquentielle.

5- 16

! w$ # 1+ & # vi & " % CPID (w) = K w viobtenue en posant:

! #1 + # " ! # 1+ # "

aw $ & v0 & % w $ & av0 & %

5- 17

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

38

Te v a 2 0 (0 < ! < 1) != T 1+ e v0 a 2 T2 T v 0 vi a e + (v 0 a + vi a ) e + a 4 2 r2 = K Te 1+ v 0 a 2 " % Te2 2 $ v0 vi a ! a' # 4 & r1 = K T 1 + v0 a e 2 Te 2 T v 0 vi a ! (v 0 a + vi a ) e + a 4 2 r0 = K Te 1+ v 0 a 2 1"

5- 18

5- 19

5- 20

5- 21

v0 < v 0 a on trace le diagramme de Bode par addition des a diagrammes de PI et de PD:En fixant vi 7,5 f0 ,soit pratiquement

fe ! 10 f0

5- 32

V.4. Problmes d'implantation.1. Structure srie. ck yk CAN Figure 5- 6: Rgulateur PID srie. Le rgulateur PID peut s'crire: k CPID(z) ek CNA y(t) F(p)

CPID (z) =

r2 z 2 + r1 z + r0 r + r1 z!1 + r0 z!2 = 2 !1 ( z ! 1) ( z ! " ) (1! z ) (1 ! " z !1 )

5- 33

d'o on tire:

(1 ! " z ) (1 ! z )E (z) = ( r!1 !1

2

+ r1 z!1 + r0 z !2 )# (z)

or

5- 34!1 k

(1 ! z )E (z) = Z{e

! ek !1 } = Z{$e k }

o ek est l'incrment de commande l'instant k, selon l'quation rcurrente: _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

42

!ek = " !ek #1 + r2 ek + r1 e k #1 + r0 ek # 2 .La commande est donc:

5- 35

ek = e k !1 + "ekRemarque Pour rduire le temps de calcul, on calcule avant l'instant kTe:!ek "1 = ek "1 " ek "2 ek0 = ek "1 + # !ek "1 + r1 $ k" 1 + r0 $ k "2 puis, ds que l' on connat $ k = c k " yk : ek = e 0 + r2 $ k k

5- 36

Ce calcul peut se faire en introduisant un lger dcalage entre l'horloge du CAN et celle du CNA. 2. Structure srie-parallle. ck xk CPD(z) yk CAN k ek CNA y(t) F(p)

CPI(z)

Figure 5- 7: Rgulateur PID srie-parallle. En revenant la forme en w de la relation 5-17, on peut sparer les parties PI et PD:

w vi CPI (w ) = K w vi 1+ 1+ CPD ( w) = 1+ aw v0 w a v0

en remarquant que le correcteur PD est de gain statique unitaire. Les transmittances en z peuvent s'crire:

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

43

r1 z + r0 r1 + r0 z!1 CPI ( z) = = z !1 1 ! z !1 d z + d0 d1 + d0 z!1 CPD ( z) = 1 = z!" 1! " z !1

5- 37

avec:

! r1 = K # vi " ! r0 = K # vi " d1 = d0 =

Te $ + 1& % 2 Te $ ' 1& % 25- 38

a v 0 Te + 2a a v0 Te + 2 a v 0 Te ' 2a a v0 Te + 2 2 ' a v0 Te 2 + a v0 Te

(=

Les quations rcurrentes sont alors:

x k = ! x k "1 + d1 y k + d0 yk "1

# k = ck " x k $ek = r1 # k + r0 # k "1ek = ek "1 + $ekRemarque: On peut calculer, avant l'instant kTe :ek0 = ek !1 + r0 " k !1 ! r1 # x k! 1 ! r1 d0 yk! 1 et, ds t = k Te : ek = e 0 + r ck ! r1 d1 yk k 1

5- 39

5- 40

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

44

V.5. Placement de ples.Quelle que soit la forme d'implantation du rgulateur PID (srie ou srieparallle), les ples de la boucle ferme sont inchangs, et sont les racines d'une quation du type:

A( z) S( z) + B(z) R( z) = 0,o A(z), B(z), R(z) et S(z) sont des polynmes correspondant :G (z ) = CPID (z) = B( z) A( z) R( z) S (z )

5- 41

Le degr de l'quation 5-41 est:d[ A S + B R ] = Max {d[ A S],d[ B R]}

5- 42

Pour des raisons de causalit, d[ A] > d[ B]

d[S ] > d[ R] et donc, dans le cas d'un PID et d'un systme rgler du second ordre:

d[ A S + B R ] = d[ A S] = 4 .

5- 43

Il faut donc choisir 4 ples pour la boucle ferme. Gnralement, on les choisit stables, donc de module strictement infrieur 1, 2 proches de 1 ("lents", ce sont les ples de commande), 2 proches de 0 ("rapides", ce sont les ples de filtrage). Si les 4 ples sont rels, la boucle ferme ne prsentera pas de modes oscillants. Soient par exemple:G (z ) = b1 z + b0 , z + a1 z + a02

r z 2 + r1 z + r0 CPID (z) = 2 ( z ! 1) ( z ! " )

5- 44

et soient z1, z2, z3 et z4 les 4 ples choisis, on forme:P( z) = (z ! z1 ) ( z ! z2 ) (z ! z3 ) ( z ! z4 ) = z 4 + p3 z3 + p2 z 2 + p1 z + p0

5- 45

On calcule par ailleurs: _________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

45

A( z) S( z) + B(z) R( z) = z 4 + [a1 ! (1+ " ) + b1 r2 ] z3 + [r2 b0 + r1b1 + a0 + " ! a1 ! " a1 ]z 2 + [r1b0 + r0 b1 + "a1 ! a0 ! " a0 ]z + [r0 b0 + "a 0 ]Par identification, on peut crire l'quation matricielle: 5- 46

! p0 $ ! a0 # & # # p1 & # a1 ' a0 # &=# # p2 & # 1' a1 # p & # '1 " 3% "

b0 b1 0 0

0 b0 b1 0

0 $ !( $ ! 0 $ & # & 0 & # r0 & # 'a 0 & & + # & b0 & # r & # a0 ' a1 & 1 b1 & # r2 & # a1 ' 1 & %" % " %

5- 47

d'o on calcule les paramtres r2, r1, r0 et : "! % " a0 b0 0 0 % (1 " " p0 % " 0 % % $ ' $ ' $$ ' $ '' $r0 ' $ a1 ( a0 b1 b0 0 ' $ $ p1 ' $ ( a0 ' ' $ '= $ ' $$ ' ( $ '' $ r1 ' $ 1 ( a1 0 b1 b0 ' $ $ p2 ' $a0 ( a1 ' ' $r ' $ (1 0 0 b1 ' $ $ p3 ' $ a1 ( 1 ' ' # 2& # & ## & # &&

5- 48

____________________

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

46

_________________________________________________IUT Bordeaux 1, GEII, Automatique numrique

47