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Automatique ISMIN 1A P2017 Examen – 12 juin 2015, 1h30 Aucun document n’est autorisé. Téléphone interdit. La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte 3 exercices (4 pages). Un certain nombre de résultats relatifs à la réponse indicielle d’un système du 2nd ordre sont rappelés en annexe. Note sur 20.

Exercice 1 : (5 pts)

Etude de la stabilité d’un système. On considère un système à retour unitaire de FTBO :

€

T(p) =K

(p +1)(p + 6)2 tel que K > 0

1. Déterminer les conditions de stabilité de ce système (en boucle fermée).

Un correcteur intégrateur est introduit dans la chaîne directe (en amont du système).

2. Quel est le but recherché par l’introduction de ce correcteur ?

3. Déterminer les nouvelles conditions de stabilité. Conclure.

Exercice 2 : Correcteur à avance/retard de phase (10 pts) On considère le correcteur de la figure 1 réalisé avec des amplificateurs opérationnels considérés comme parfaits.

Figure 1

1. Calculer la transmittance de Laplace de ce correcteur C(p) = U(p)/ E(p) dans le cas

R1 = R2 (on pose K = R’ / R).

R2 v+

v-

U(p)

R’

R

v+

v-

E(p) V(p)

C2 R1

C1

2

2. On pose τ1 = R1C1 et τ2 = R2C2 avec τ2 = a.τ1 tel que a > 1.

a. Quelle est la nature du correcteur ?

b. On veut obtenir une avance de phase maximale de 30° pour une fréquence de 2 Hz.

Calculer les constantes de temps correspondantes. En déduire C1 et C2 si

R1 = R2 = 4,7 kΩ.

c. Calculer K pour obtenir un gain correspondant de 10 dB (à 2 Hz).

3. On prend maintenant τ1 = b.τ2 tel que b > 1.

a. Quelle est la nature du correcteur ?

b. On souhaite que le correcteur abaisse de 6 dB les hautes fréquences, et soulève les

basses fréquences de 10 dB. En déduire K et b.

c. Quel est le retard de phase maximal et à quelle fréquence se produit-il pour

τ1 = 0,48 s ?

Exercice 3 : (5 pts)

1. Donner les marges de phase et de gain du système à retour unitaire dont la FTBO

(graduée en pulsation [rad.s-1]) est donnée dans le lieu de Black de la figure 2.

Commenter.

2. Tracer le module exprimé en dB de sa FTBF (1er graphe du diagramme de Bode). Quel

est le facteur de résonance ?

3. Tracer la réponse temporelle de ce système à un échelon unitaire (vous préciserez

l’approximation utilisée).

3

Figure 2.

Annexe – Réponse indicielle des systèmes linéaires du 2nd ordre.

Pulsation de résonance

€

ω r =ω 0 1− 2.m2

Pulsation de coupure

€

ω c =ω 0 1− 2.m2 + 1+ 1− 2.m2( )2

Facteur de résonance

€

M =1

2m 1−m2

ΦBO

ω = +∞

ω = 0

TBO dB

0° -180° -150° -120° -90° -60° -30°

ω!=!0,35!rad.s,1!

ω!=!0,20!rad.s,1!

ω!=!0,42!rad.s,1!

ω!=!0,09!rad.s,1!

4

Temps de montée

€

tm =1

ω 0 1−m2. π − arccosm( )

Temps de réponse à n% (m<0,7)

€

tr ≅1

ω 0 .m.ln 100

n$

% &

'

( )

Temps de pic

€

tpic =π

ω 0 1−m2

Pseudo-période

€

Tp =2π

ω 0 1−m2

Dépassement

€

D% =100.e−π .m

1−m 2

Nombre d’oscillations complètes

€

n ≅Q =12m

m

€

tr 5%ω 0 D % MdB m

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

1,68

1,74

1,81

1,88

1,97

2,06

2,16

2,28

2,42

2,58

2,77

3

30

20

14

11

10,1

7,9

7,7

5,4

5,3

5,3

5,2

5

3,16

3,18

3,21

3,24

3,29

3,35

3,43

3,52

3,63

3,76

3,93

4,13

6,31

6,36

6,41

6,49

6,59

6,71

6,86

7,04

7,26

7,52

7,85

8,27

73

62

53

44

37

31

25

21

16

12,6

9,5

6,8

0,99

0,98

0,96

0,94

0,91

0,87

0,82

0,77

0,71

0,63

0,53

0,39

1,54

1,53

1,51

1,48

1,45

1,42

1,37

1,33

1,27

1,21

1,15

1,08

1,56

1,56

1,57

1,59

1,61

1,63

1,67

1,72

1,8

1,93

2,17

2,74

14

10,5

8,1

6,3

4,8

3,6

2,7

1,9

1,2

0,7

0,3

0,1

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7 3,29 3 4,4 8,8 4,6 0,14 1,01 7,14 0 0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

3,66

4,16

4,91

6,17

9,09

3,1

3,4

3,7

4

4,1

4,75

5,24

5,96

7,21

10,06

9,5

10,5

11,93

14,41

20,12

2,84

1,52

0,63

0,15

0,01

-

-

-

-

-

0,94

0,87

0,81

0,75

0,69

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95