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- Automatique - Mod´ elisation par fonction de transfert et Analyse des syst ` emes lin´ eaires continus invariants M1/UE ICCP/CSy (1` ere partie) Jean-Jos´ e ORTEU 2019-2020

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- Automatique -

Modelisation par fonction de transfert etAnalyse des systemes lineaires continus

invariants

M1/UE ICCP/CSy (1ere partie)

Jean-Jose ORTEU

2019-2020

2 Avant-propos

Avant-propos

Le cours d’automatique situe en M1 a ete structure en 2 modules :— Modelisation, Analyse et Commande des Systemes Lineaires Continus (avec

TP)— Projet de commande/simulation sous MATLAB (*)

Les modules marques d’une (*) sont des modules au choix.

Le present support de cours concerne la 1ere partie du cours « Modelisation, Analyseet Commande des Systemes Lineaires Continus ». Il est incomplet mais il a semble al’auteur qu’il avait neammoins le merite d’exister...

Les etudiants sont vivement encourages a emettre toutes les critiques qu’ils jugerontnecessaires pour en ameliorer le contenu tant sur le plan de la forme que du fond.

Enfin, ce support de cours ne dispense ni de la presence en cours et TD, ni de lalecture des ouvrages de base dont la liste (non exhaustive) est fournie dans l’annexebibliographique.

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Jean-Jose ORTEU

Table des matieres

I Notions generales 7

1 Introduction 8

1.1 Objet de l’automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Classification des systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Systemes continus ou systemes discrets . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Systemes lineaires ou non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Systemes variants ou invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Finalite d’un systeme de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Outils Mathematiques 10

2.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Proprietes des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 Representation d’un nombre complexe dans le plan reel . . . . . 11

2.1.4 Representation trigonometrique d’un nombre complexe . . . . . 11

2.1.5 Representation exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . 12

2.2 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

4 Table des matieres

2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Transformee de Laplace de signaux usuels . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Table des transformees de Laplace usuelles . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5 Inversion de la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 21

II Representation des systemes par fonction de transfert 22

3 Fonction de transfert d’un systeme lineaire stationnaire 23

3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Exemple electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Exemple mecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3 Exemple thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4 Exemple hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Utilisation de variables d’ecart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Interpretation physique de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Classe et gain d’un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6 Structure et stabilite de la reponse d’un systeme . . . . . . . . . . . . . 30

3.6.1 Etude deA

p− a, a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6.2 Etude deAp+B

(p− a)2 + b2, a ∈ R et b ∈ R . . . . . . . . . . . . 31

3.6.3 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6.4 Regle de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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Jean-Jose ORTEU

Table des matieres 5

3.7 Methodes d’analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle etanalyse frequentielle des sytemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7.2 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Systeme du 1er ordre 37

4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Echelon de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.3 Exercice : Creneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.4 Echelon de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.5 Signal sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Plan de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Plan de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.3 Plan de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Influence d’une variation de τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4.2 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5 Relation entre tr5% et BP (−3dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.1 Exemple 1 : oscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5.2 Exemple 2 : table tracante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Systeme du second ordre 58

5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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6 Table des matieres

5.2 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.1 Echelon de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2.2 Echelon de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.3 Signal sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.1 Lieu de transfert dans le plan de Bode . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3.2 Le coefficient de surtension Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Comparaison d’un systeme du 1er ordre et du second ordre . . . . . . . 72

6 Autres systemes 73

6.1 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.1 Analyse temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1.2 Analyse frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Systemes d’ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.4 Systemes avec zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Stabilite 79

7.1 Critere de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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Premiere partie

Notions generales

7

Chapitre 1

Introduction

1.1 Objet de l’automatique

L’automatique a pour objet l’etude des methodes permettant d’assurer, dans des condi-tions donnees, la commande d’un systeme quelconque.Le terme « commande »designe toute action exercee sur un systeme pour influencerson evolution dynamique.

1.2 Classification des systemes

1.2.1 Systemes continus ou systemes discrets

Dans un systeme continu, les grandeurs caracterisant ce systeme sont presentes a toutinstant.Dans un systeme discret une grandeur au moins n’est connue que pour certaines va-leurs du temps (instants d’echantillonnage).On rencontre cette derniere classe de systemes des que l’on insere un calculateur nu-merique dans une boucle.

1.2.2 Systemes lineaires ou non lineaires

Dans un systeme lineaire, on peut appliquer le principe de superposition.

Si e1(t) −→ s1(t)et e2(t) −→ s2(t)

alors e1(t) + e2(t) −→ s1(t) + s2(t)

8

1.3. Finalite d’un systeme de commande 9

Les systemes decrits par des equations differentielles lineaires homogenes et a coeffi-cients constants sont lineaires.

1.2.3 Systemes variants ou invariants

Un systeme variant est tel que l’equation differentielle qui le decrit a des coefficientsfonction du temps alors que les coefficients sont constants pour un systeme invariant.

1.3 Finalite d’un systeme de commande

Commander un systeme consiste a choisir un systeme de commande qui exerce une loide commande afin que la sortie evolue pour repondre a un certain but.

Ce signal de commande u(t) sera fourni a partir de la loi de commande en fonction dubut poursuivi.

✲But

poursuivi

Systeme decommande

✲signal de

commande

u(t)

SYSTEME ✲sortie

Figure 1.1

1.3.1 Exemple

(voir cours)

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Chapitre 2

Outils Mathematiques

2.1 Rappels sur les nombres complexes

2.1.1 Definition

C : corps des nombres complexes.

z ∈ C z = (a, b) = a + j b

j est le nombre complexe (0, 1) tel que j2 = −1

On appelle :— a la partie reelle de z notee Re(z).— b la partie imaginaire de z notee Im(z).

On rappelle que C est muni :— d’une loi additive :

z1 + z2 = z3

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2)

— d’une loi multiplicative :

z1.z2 = z3

(a1, b1).(a2, b2) = (a1 a2 − b1 b2, a1 b2 + a2 b1)

10

2.1. Rappels sur les nombres complexes 11

2.1.2 Proprietes des nombres complexes

— conjugue de z : z

z = a+ j b −→ z = a− j b

— module de z :

A = |z| =√z z =

√a2 + b2

— argument de z :

ϕ = Arg(z) defini modulo 2 π

si A 6= 0 sinϕ =b

Acosϕ =

a

Atanϕ =

b

a

(2 des 3 relations precedentes suffisent a definir ϕ sans ambiguıte)

— module et argument du produit de 2 nombres complexes z et z′ :

|z z′| = |z| |z′|

Arg(z z′) = Arg(z) + Arg(z′)

— module et argument du quotient de 2 nombres complexes z et z′ :

∣∣∣∣

z

z′

∣∣∣∣ =

|z||z′|

Arg

(z

z′

)

= Arg(z)−Arg(z′)

2.1.3 Representation d’un nombre complexe dans le plan reel

La representation d’un nombre complexe (et du nombre complexe conjugue) dans leplan reel est donnee sur la Figure 2.1.

Plan complexe = Plan de Nyquist (en automatique)

2.1.4 Representation trigonometrique d’un nombre complexe

z = a+ j b = A cosϕ+ j A sinϕ

= A (cosϕ+ j sinϕ)

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12 2.2. Transformation de Laplace

0✲ Re(z)

Im(z)

✑✑✑✑✑✑

◗◗◗◗◗◗

M d’affixe z

M ′ d’affixe z

a

b

−b

ϕ

−ϕ

Figure 2.1

2.1.5 Representation exponentielle d’un nombre complexe

cosϕ = 1− ϕ2

2!+

ϕ4

4!− ϕ6

6!+ · · ·

sinϕ = ϕ− ϕ3

3!+

ϕ5

5!− ϕ7

7!+ · · ·

cosϕ+ j sinϕ = 1 + j ϕ− ϕ2

2!− j

ϕ3

3!+

ϕ4

4!+ j

ϕ5

5!+ · · ·

= 1 + j ϕ+(j ϕ)2

2!+

(j ϕ)3

3!+

(j ϕ)4

4!+ · · ·

= ejϕ

z = a + j b = A ej ϕ

2.2 Transformation de Laplace

2.2.1 Definition

Soit f une fonction reelle de la variable t.

t ∈ R f−→ f(t)

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2.2. Transformation de Laplace 13

f croit moins vite qu’une exponentielle quand t → ∞(

limt→+∞

f(t) e−pt = 0)

.

On appelle transformation de Laplace (monolatere) l’application telle que :

f(t)L−→ L[f(t)] = F (p) =

∫ +∞

0f(t) e−pt dt p ∈ C

La fonction F , de la variable complexe p 1 , est appelee transformee de Laplace de f .

Remarque : Cette integrale converge si Re(p) > σ appele rayon de convergence.

Exemple

Considerons le signal suivant, appele echelon de Heaviside (ou echelon de positionunite) et calculons sa transformee de Laplace.

0

✲ t

✻1

echelon unite

Figure 2.2

f(t) = 1 pour t ∈ [0,+∞[

F (p) =∫ +∞

0e−pt dt =

[

−1

pe−pt

]+∞

0

=1

p

Remarque :

Nous verrons plus loin que dans le cas de signaux «simples», le calcul de la transformeede Laplace peut etre effectue sans recourir au calcul integral, a la condition de connaıtrela transformee de Laplace de quelques signaux de base.

1. les anglophones designent par s la variable de Laplace.

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14 2.2. Transformation de Laplace

2.2.2 Proprietes

— L est lineaire :

L[a f1 + b f2] = a L[f1] + b L[f2] = a F1 + b F2

— Calcul de L[

df

dt

]

Considerons une fonction f continue et derivable pour t ≥ 0 (elle admet unelimite a droite quand t → 0+)

Posons :

F (p) = L[f(t)]

L[

df(t)

dt

]

=∫ +∞

0

df(t)

dte−pt dt

En integrant par partie :

v = e−pt du =df(t)

dtdt

dv = −p e−pt dt u = f

L[

df

dt

]

= [f(t) e−pt]+∞0 + p

∫ +∞

0f(t) e−pt dt

= limt→+∞

f(t) e−pt

︸ ︷︷ ︸

=0

− limt→0

f(t) e−pt + p F (p)

L[

df

dt

]

= p F (p)− f(0)

En tant que fonction f(0) = limt→0+

f(t) = f(0+).

Attention :Dans le cas d’un signal que l’on ne peut plus considerer comme unefonction (Cf. theorie des distributions), on montre, et nous l’admettrons,que pour prendre en compte une eventuelle discontinuite en t = 0 laformule precedente devient :

L[

df

dt

]

= p F (p)− f(0−)

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2.2. Transformation de Laplace 15

— Calcul de L[∫ t

0f(ξ) dξ

]

Posons g(t) =∫ t

0f(ξ) dξ

L[g(t)] =∫ +∞

0g(t) e−pt dt

Integrons par partie :

v = g(t) du = e−pt dt

dv = f(t) dt u = −1

pe−pt

L[∫ t

0f(ξ) dξ

]

=

[

−1

pe−pt g(t)

]+∞

0

−∫ +∞

0−1

pe−pt f(t) dt

=

[

−1

pe−pt

∫ t

0f(ξ) dξ

]+∞

0︸ ︷︷ ︸

=0

−∫ +∞

0−1

pe−pt f(t) dt

=1

p

∫ +∞

0e−pt f(t) dt

L[∫ t

0f(ξ) dξ

]

=F (p)

p

— Theoreme du retard :On suppose que f(t) = 0 pour t < 0.Considerons un retard de τ (τ > 0) applique au signal f(t).

t0 τ

f(t-τ)f(t)

τ

Figure 2.3

L[f(t− τ) u(t− τ)] =∫ +∞

0f(t− τ) e−pt dt

On fait le changement de variable : t′ = t− τ

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16 2.2. Transformation de Laplace

L[f(t− τ) u(t− τ)] =∫ +∞

−τf(t′) e−p(t′+τ) dt′

= e−pτ∫ 0

−τe−pt′ f(t′) dt′

︸ ︷︷ ︸

=0

+e−pτ∫ +∞

0f(t′) e−pt′ dt′

= e−pτ F (p)

L[f(t− τ) u(t− τ)] = e−pτ L[f(t) u(t)]

— Theoreme de la valeur initiale :

f(0+) = limp→+∞

p F (p) ∀F (p)

— Theoreme de la valeur finale :

f(+∞) = limp→0

p F (p)

valable que si p F (p) a tous ses poles a partie reelle strictement negative.

2.2.3 Transformee de Laplace de signaux usuels

Impulsion de Dirac

Soit le signal δτ (t) represente sur la Figure 2.4.

0

✲ t

✻1

τ

τ

Figure 2.4

On definit l’impulsion de Dirac δ(t) comme la limite de δτ (t) lorsque τ tend vers 0.

∫ +∞

−∞δ(t) dt = 1

Nous demontrerons plus loin que :

L[δ(t)] = 1

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2.2. Transformation de Laplace 17

Echelon de position unite

On considere l’echelon de position unite u(t) represente sur la Figure 2.5.

0

✲ t

✻1

echelon unite

Figure 2.5

L[u(t)] = 1

p

Echelon de vitesse unite (ou rampe de vitesse de pente 1)

r(t) = t u(t)

0

✲ t

✻1

1������

rampe

Figure 2.6

L[r(t)] = 1

p2

Exercice

Cet exercice est destine a montrer comment le calcul de la transformee de Laplace peutetre simplifie dans le cas de signaux «simples»

Soit a calculer la transformee de Laplace du signal f(t) represente sur la Figure 2.7.

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18 2.2. Transformation de Laplace

0

✲ t

f(t)

1

τ

����

Figure 2.7

Ce signal peut etre considere comme resultant de la somme de 2 signaux f1(t) et f2(t)comme indique sur la Figure 2.8.

0

✲ t

f(t)

1

τ

��������

f1(t)

❅❅❅❅❅❅❅

f2(t)

����

Figure 2.8

Ces 2 signaux possedent des transformees de Laplace «connues» :

f1(t) est un echelon de vitesse de pente1

τ.

L[f1(t)] =1

τ p2

f2(t) est un echelon de vitesse de pente −1

τdecale de τ (on applique le theoreme du

retard).

L[f2(t)] = − 1

τ p2e−pτ

On en deduit la transformee de Laplace de f(t) :

L[f(t)] = 1

τ p2(1− e−pτ )

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2.2. Transformation de Laplace 19

2.2.4 Table des transformees de Laplace usuelles

Cf. Figure 2.9.

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20 2.2. Transformation de Laplace

Figure 2.9 – Table des transformees de Laplace usuelles

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2.2. Transformation de Laplace 21

2.2.5 Inversion de la transformee de Laplace

Il existe essentiellement 3 techniques :

1) consulter une table de transformees de Laplace (Cf. Figure 2.9).

2) decomposer en elements simples si la transformee de Laplace est une fractionrationnelle (voir exemples en cours).

3) utiliser la formule de Bramwich.

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Deuxieme partie

Representation des systemes parfonction de transfert

22

Chapitre 3

Fonction de transfert d’un systemelineaire stationnaire

3.1 Definition

✲e(t)

SYSTEME ✲s(t)

Figure 3.1

Le systeme est lineaire stationnaire et e(t) et s(t) sont lies par une equation differen-tielle lineaire a coefficients constants, homogene de type :

amdme

dtm+ am−1

dm−1e

dtm−1+ · · ·+ a1

de

dt+ a0e = bn

dns

dtn+ bn−1

dn−1s

dtn−1+ · · ·+ b1

ds

dt+ b0s

a) Cas des conditions initiales nulles.

Les hypotheses :

e(0−) = 0 ,de

dt(0−) = 0 , . . . ,

dm−1e

dtm−1(0−) = 0

et :

s(0−) = 0 ,ds

dt(0−) = 0 , . . . ,

dn−1s

dtn−1(0−) = 0

permettent d’ecrire que :

23

24 3.1. Definition

e(t)L−→ E(p)

die

dtiL−→ pi E(p) ∀ i = 1, 2, . . . , m

et :

s(t)L−→ S(p)

djs

dtjL−→ pj S(p) ∀ j = 1, 2, . . . , n

La transformee de Laplace de l’equation differentielle s’ecrit alors :

am pm E(p) + am−1 pm−1 E(p) + · · ·+ a1 p E(p) + a0 E(p) =

bn pn S(p) + bn−1 p

n−1 S(p) + · · ·+ b1 p S(p) + b0 S(p)

donc :

S(p)

E(p)=

a0 + a1 p+ · · ·+ am−1 pm−1 + am pm

b0 + b1 p+ · · ·+ bn−1 pn−1 + bn pn= T (p)

T (p) est la fonction de transfert du systeme.

b) Cas des conditions initiales non nulles.

Si les hypotheses precedentes ne sont pas satisfaites :

de

dt

L−→ p E(p)− e(0−)

d2e

dt2L−→ p [p E(p)− e(0−)]− de

dt(0−) = p2 E(p)− p e(0−)− de

dt(0−)

......

dme

dtmL−→ pm E(p) + Pm−1(p)

avec Pm−1(p) un polynome de degre (m− 1) fonction des conditions initiales.

En remplacant dans l’equation differentielle, il vient :

S(p) =a0 + a1 p + · · ·+ am−1 p

m−1 + am pm

b0 + b1 p+ · · ·+ bn−1 pn−1 + bn pnE(p)+

I(p)

b0 + b1 p+ · · ·+ bn−1 pn−1 + bn pn

avec I(p) polynome de degre (m− 1) fonction des conditions initiales.

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3.2. Exemples 25

On retiendra que dans le cas general :

S(p) =N(p)

D(p)︸ ︷︷ ︸

T (p)

E(p) +I(p)

D(p)

I(p) depend de l’etat initial du signal de sortie et du signal d’entree.

Remarque :

Si les conditions initiales sont nulles :

I(p) = 0 =⇒ S(p) =N(p)

D(p)E(p) =⇒ S(p)

E(p)=

N(p)

D(p)= T (p)

3.2 Exemples

3.2.1 Exemple electrique

Circuit CR

(voir cours)

3.2.2 Exemple mecanique

Chariot

(voir cours)

3.2.3 Exemple thermique

Enceinte

(voir cours)

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26 3.3. Utilisation de variables d’ecart

3.2.4 Exemple hydraulique

Cuve

(voir cours)

3.3 Utilisation de variables d’ecart

La presence de conditions initiales non nulles peu poser des problemes dans l’utilisationde la transformation de Laplace.Une maniere elegante de contourner le probleme est de travailler avec des variablesdites d’ecart qui representent la difference entre une grandeur donnee x(t) et savaleur initiale x(0−).Par exemple, si θ(t) designe une temperature et θ(0−) designe la valeur initiale de cettetemperature, nous designerons par θ∗(t) = θ(t)− θ(0−) la variable d’ecart associee.

En utilisant les variables d’ecart, on se ramene a un systeme a conditions initialesnulles (dans l’exemple precedent θ∗(0−) = 0), ce qui simplifie la mise en œuvre de latransformation de Laplace.

De plus, nous verrons en TD que l’on est parfois confronte au cas de systemes nonlineaires que l’on linearise autour d’un point de fonctionnement (etat d’equilibre) enutilisant des variables d’ecart par rapport au point de fonctionnement.

3.3.1 Exemple

On considere le systeme regi par l’equation differentielle :

ds(t)

dt+ 2 s(t) = e(t) (3.1)

On suppose que l’entree e(t) varie en echelon comme indique sur la figure 3.2.

Premiere partie : resolution classique.

1) Calculer S(p) en fonction de E(p) et des conditions initiales.

2) Calculer E(p) et en deduire S(p).

3) Calculer s(t).

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3.3. Utilisation de variables d’ecart 27

e(t)

e(0−)

e(0+)

Figure 3.2

Deuxieme partie : resolution en utilisant les variables d’ecart.

On definit les variables dites d’ecart :

e∗(t) = e(t)− e(0−)

s∗(t) = s(t)− s(0−)

4) A partir de l’equation (3.1), calculer l’equation differentielle reliant les variablesd’ecart e∗(t) et s∗(t).

5) Calculer S∗(p) en fonction de E∗(p).

6) Calculer E∗(p).

7) Calculer s∗(t) et en deduire s(t).

8) Comparer les resultats de 3) et 7).

Solution :

1)

ds

dt+ 2 s(t) = e(t)

p S(p)− s(0−) + 2S(p) = E(p)

S(p) =E(p)

p+ 2+

s(0−)

p+ 2

2)

E(p) =e(0+)

p

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28 3.3. Utilisation de variables d’ecart

S(p) =e(0+)

p(p+ 2)+

s(0−)

p+ 2

3)

s(t) =e(0+)

2(1− e−2t) + s(0−) e−2t

4)

ds

dt+ 2 s(t) = e(t)

ds∗

dt+ 2 (s∗(t) + s(0−)) = e∗(t) + e(0−)

ds∗

dt+ 2 s∗(t) = e∗(t) + e(0−)− 2 s(0−)

︸ ︷︷ ︸

=0

NB : 2 s(0−) = e(0−) car l’equation (3.1) est vraie aussi en regime permanent

(a t = 0−,ds

dt= 0).

Finalement :

ds∗

dt+ 2 s∗(t) = e∗(t)

5)

p S∗(p) + 2S∗(p) = E∗(p)

S∗(p) =E∗(p)

p+ 2

NB : on trouve la fonction de transfert du systeme.

6)

E∗(p) =e(0+)− e(0−)

p(attention a l’amplitude de l’echelon ! !)

S∗(p) =e(0+)− e(0−)

p(p+ 2)

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3.4. Interpretation physique de la fonction de transfert 29

7)

s∗(t) =e(0+)− e(0−)

2(1− e−2t)

s(t) = s∗(t) + s(0−) =e(0+)− e(0−)

2(1− e−2t) + s(0−)

8) En utilisant la relation s(0−) =e(0−)

2fournie par le regime permanent, on

montre que les resultats 3) et 7) sont identiques.

3.4 Interpretation physique de la fonction de trans-

fert

Considerons la reponse du systeme a une impulsion de Dirac.

e(t) = δ(t)L−→ E(p) = 1

S(p) = T (p)E(p) = T (p)

La fonction de transfert d’un systeme est egale a sa reponse impulsionnelle.

3.5 Classe et gain d’un systeme

T (p) =a0 + a1 p+ · · ·+ am−1 p

m−1 + am pm

b0 + b1 p+ · · ·+ bn−1 pn−1 + bn pn

On peut ecrire T (p) sous la forme canonique :

T (p) =K

pr1 + α1 p+ · · ·1 + β1 p+ · · · r ∈ N

n ordre du systeme (degre du denominateur)r classe du systemeK gain statique du systeme

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30 3.6. Structure et stabilite de la reponse d’un systeme

Si r = 0, on dit que le systeme ne possede pas d’integration.Si r 6= 0, on dit que le systeme possede r integrations.

3.6 Structure et stabilite de la reponse d’un sys-

teme

Nous avons vu au § 3.1 que dans le cas general :

S(p) =N(p)

D(p)︸ ︷︷ ︸

T (p)

E(p) +I(p)

D(p)

I(p) depend de l’etat initial du signal de sortie et du signal d’entree.

On peut ecrire :

S(p) =N(p)

D(p)E(p)

︸ ︷︷ ︸

solution forcee

+I(p)

D(p)︸ ︷︷ ︸

solution libre

La solution forcee SF (p) =N(p)

D(p)E(p) est provoquee par l’entree.

La solution libre SL(p) =I(p)

D(p)s’annule avec les conditions initiales.

On demontre que le comportement du systeme en regime permanent peut etre etudieen se limitant a la reponse libre.

La stabilite du systeme, c’est-a-dire la capacite du systeme a «rejoindre» une consigned’entree, est determinee par le comportement du systeme place dans des conditionsinitiales non nulles et laisse libre.

Le termeI(p)

D(p)peut etre decompose en elements simples du type :

A

p− aou

Ap +B

(p− a)2 + b2et puissances successives

avec : a ∈ R et b ∈ R

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3.6. Structure et stabilite de la reponse d’un systeme 31

Poles deI(p)

D(p):

Ils sont donnes par l’equation D(p) = 0 qui a pour solutions :

p = a

p = a+ j b

p = a− j b

3.6.1 Etude deA

p− a, a ∈ R

Si SL(p) =A

p− a

alors sL(t) = A eat u(t)

1) cas : a > 0

le systeme est instable (il part al’infini)

2) cas : a < 0

le systeme est stable (il tend a re-trouver son etat d’equilibre)

(voir cours)

3.6.2 Etude deAp +B

(p− a)2 + b2, a ∈ R et b ∈ R

On suppose que SL(p) se reduit aAp+B

(p− a)2 + b2

SL(p) =Ap+B

[p− (a+ j b)][p− (a− j b)]

p− (a+ j b)+

β

p− (a− j b)

Pour trouver α, on multiplie par [p− (a+ j b)], ce qui conduit a l’expression :

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32 3.6. Structure et stabilite de la reponse d’un systeme

Ap +B

p− (a− j b)= α +

β[p− (a+ j b)]

p− (a− j b)

et on pose p = a + j b, ce qui conduit a :

α =A(a+ j b) +B

a+ j b− (a− j b)=

(Aa +B) + j Ab

2j b

α =A

2− j

Aa+B

2b

Le meme type de calcul pour β conduit a :

β =A

2+ j

Aa +B

2b= α

SL(p) =α

p− (a+ j b)+

α

p− (a− j b)

On posera par la suite α = r + j i, avec r =A

2et i = −Aa +B

2b

sL(t) = α eat ej bt + α eat e−j bt

= eat[(r + j i)ej bt + (r − j i)e−j bt]

= eat[r(ej bt + e−j bt) + j i(ej bt − e−j bt)]

= eat[2r cos(bt) + j i(2j sin(bt))]

= 2eat[r cos(bt)− i sin(bt)]

sL(t) = 2√r2 + i2 eat

[

r√r2 + i2

cos(bt)− i√r2 + i2

sin(bt)

]

On pose :

r√r2 + i2

= cosϕ

i√r2 + i2

= sinϕ

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3.6. Structure et stabilite de la reponse d’un systeme 33

α = r + j i = |α|ejϕ

sL(t) = 2|α|eat[cos(bt) cosϕ− sin(bt) sinϕ]

sL(t) = 2|α|eat cos(bt + ϕ) = A eat cos(bt + ϕ)

−Aeat ≤ sL(t) ≤ Aeat

1) cas : a < 0 et b quelconque.

Le systeme atteint naturellementune position d’equilibre

2) cas : a > 0 et b quelconque.

Le systeme est instable

3) cas : a = 0 et b quelconque.

Le systeme est oscillatoire

(voir cours)

3.6.3 Generalisation

(voir cours)

3.6.4 Regle de stabilite

Un systeme est stable si sa solution libre ne tend pas vers ∞ lorsque t −→ ∞

On montre qu’un systeme est stable si tous les poles de sa fonctionde transfert sont a partie reelle negative.

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34 3.6. Structure et stabilite de la reponse d’un systeme

Figure 3.3 – Structure de la reponse en fonction de la position des poles

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3.7. Methodes d’analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analysefrequentielle des sytemes lineaires 35

3.7 Methodes d’analyse des fonctions de transfert :

analyse temporelle et analyse frequentielle des

sytemes lineaires

3.7.1 Analyse temporelle

On soumet le systeme a des entrees types (echelon de position, echelon de vitesse) etl’on calcule la reponse temporelle s(t).

avantages caractere visuel de la sortie tres clair ; regime transitoire commeregime permanent.

inconvenients methode lourde, parfois complexe si l’ordre est superieur a 3.

conclusion methode employee dans le but d’identifier un systeme, par com-paraison avec certaines reponses types pre-etablies.

3.7.2 Analyse frequentielle

On soumet le systeme a l’entree sinusoıdale de pulsation w variable.

On demontrera plus tard que, en regime permanent :

Si e(t) = e0 sin(wt) u(t)alors s(t) = sO sin(wt+ ϕ) u(t)

−→ meme pulsation w pour les signaux d’entree et de sortie.−→ dephasage ϕ entre l’entree et la sortie.

L’analyse frequentielle va consister a evaluer le rapports0

e0(w) (appele gain du systeme)

de l’amplitude de la sortie a l’amplitude de l’entree et le dephasage ϕ(w) de la sortiepar rapport a l’entree en fonction de w.

avantages cette methode permet l’etude des performances de precision, derapidite et de stabilite du systeme.

inconvenients methode peu «visuelle».

conclusion— methode tres utile et tres employee car tres pratique.— elle permet de plus la synthese des reseaux correcteurs.

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363.7. Methodes d’analyse des fonctions de transfert : analyse temporelle et analyse

frequentielle des sytemes lineaires

Expressions du gain et du dephasage

e(t) = e0 sin(wt) u(t)L−→ E(p) =

e0 w

p2 + w2

s(t) = s0 sin(wt+ ϕ) u(t)

= s0(sin(wt) cosϕ+ sinϕ cos(wt)) u(t)

S(p) = s0

[

cosϕw

p2 + w2+ sinϕ

p

p2 + w2

]

S(p) = s0w

p2 + w2

[

cosϕ+ psinϕ

w

]

S(p) =s0

e0E(p)

[

cosϕ+ psinϕ

w

]

Si on pose p = jw, l’expression precedente s’ecrit :

S(jw) =s0

e0E(jw)(cosϕ+ j sinϕ)

S(jw) =s0

e0E(jw) ejϕ

S(jw)

E(jw)= T (jw) =

s0

e0ejϕ

On retiendra le resultat important :

—s0

e0= |T (jw)| : gain du systeme a la pulsation w.

— ϕ = Arg[T (jw)] : dephasage entree/sortie a la pulsation w.

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Chapitre 4

Systeme du 1er ordre

4.1 Definition

Le systeme du 1er ordre a pour fonction de transfert :

T (p) =K

1 + τ p

{

K gain statiqueτ constante de temps

4.2 Analyse temporelle

4.2.1 Impulsion de Dirac

e(t) = δ(t)L−→ E(p) = 1

S(p) = T (p) E(p) si s(0−) = 0

S(p) = T (p) =K

1 + τp=

K

τ

1

p+ 1τ

s(t) =K

τe−

tτ u(t)

La reponse en fonction du temps est donnee Figure 4.1

37

38 4.2. Analyse temporelle

t0

s(t)

τ

K/τ

0,37 K/τ

Figure 4.1

Cherchons l’equation de la tangente au point (t = 0+, s(0+) =K

τ)

Cette equation est de la forme : y = a t + b.

b = s(0+) =K

τ

a =ds

dt(0+)

ds

dt=

K

τ

(

−1

τ

)

e−tτ

a = limt→0+

ds

dt= −K

τ 2

L’equation de la tangente s’ecrit donc :

y =K

τ

(

1− t

τ

)

Cherchons le point d’intersection de la tangente avec l’axe des temps :

y = 0 pour 1− t

τ= 0 −→ t = τ

pour t = τ s(τ) =K

τe−1 ≃ 0, 37

K

τ

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4.2. Analyse temporelle 39

pour t = 3τ s(3τ) =K

τe−3 ≃ 0, 05

K

τ

Au bout de 3τ , le systeme du premier ordre a atteint la valeur finale (s(+∞) = 0) a5% pres.

Plus τ augmente, plus le systeme met du temps a atteindre sa valeur finale.

4.2.2 Echelon de position

e(t) = e0 u(t)L−→ E(p) =

e0

p

S(p) = T (p)E(p) =Ke0

p(1 + τp)

= Ke0

(

1

p− 1

p+ 1τ

)

On en deduit :s(t) = Ke0(1− e−

tτ ) u(t)

La reponse en fonction du temps est donnee Figure 4.2

t0

s(t)

τ

Ke0

0,63Ke0

Figure 4.2

Cherchons l’equation de la tangente au point (t = 0+, s(0+) = 0)

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40 4.2. Analyse temporelle

Cette equation est de la forme : y = a t + b.

b = s(0+) = 0

a =ds

dt(0+)

ds

dt= Ke0

(1

τe−

)

a = limt→0+

ds

dt=

Ke0

τ

L’equation de la tangente s’ecrit donc :

y =Ke0

τt

La tangente passe par le point (t = τ, y(τ) = Ke0).

pour t = 3τ s(3τ) = 0, 95Ke0

Le systeme a atteint la valeur finale (s(+∞) = Ke0) a 5% pres.

4.2.3 Exercice : Creneau

Soit le circuit RC represente sur la Figure 4.3

On suppose que le condensateur est initialement decharge et que s(0−) = 0.

Calculer et representer s(t) pour le signal d’entree represente sur la Figure 4.4.

On a :

e(t)− s(t) = R i(t)

i(t) = Cds(t)

dt

L’equation differentielle regissant le comportement du circuit s’ecrit :

e(t) = R Cds(t)

dt+ s(t)

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4.2. Analyse temporelle 41

e(t)

R

i(t)

C

s(t)

Figure 4.3

0

✲ t

✻e0

τ

e(t)

Figure 4.4

En prenant la transformee de Laplace de cette equation et en posant θ = RC, il vient :

E(p) = θ(p S(p)− s(0−)) + S(p)

Puisque s(0−) = 0, il vient :

S(p) =1

1 + θpE(p)

T (p) =S(p)

E(p)=

1

1 + θp

On reconnaıt la forme caracteristique du systeme du 1er ordre.

θ = RC, est appelee constante de temps du systeme.

1ere etape : calculer la transformee de Laplace E(p) du signal d’entree.

On pourrait utiliser la definition de la transformee de Laplace qui fait appel au calculintegral.

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42 4.2. Analyse temporelle

On va plutot utiliser la methode de superposition, qui est beaucoup plus rapide(Cf. § 2.2.3).

Le signal e(t) (un creneau) peut etre considere comme resultant de la somme de 2signaux e1(t) et e2(t) comme indique sur la Figure 4.5.

0

✲ t

✻e0

τ

e(t)

e1(t)

e2(t)−e0

Figure 4.5

La transformee de Laplace en decoule naturellement :

L[e(t)] = e0

p− e0

pe−τp =

e0

p

(

1− e−τp)

2ieme etape : en deduire S(p).

S(p) =1

1 + θp

e0

p

(

1− e−τp)

S(p) =e0

p(1 + θp)− e0

p(1 + θp)e−τp (4.1)

3ieme etape : calculer la transformee de Laplace inverse de S(p).

On va d’abord calculer la transformee de Laplace inverse du terme :1

p(1 + θp), en

effectuant sa decomposition en elements simples.

Posons : F (p) =1

p(1 + θp)

F (p) =1

p− θ

1 + θp

On en deduit :f(t) = (1− e−

tθ ) u(t)

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4.2. Analyse temporelle 43

L’equation (4.1) s’ecrit :

S(p) = e0 F (p)− e0 F (p) e−τp

En appliquant le theoreme du retard, il vient :

s(t) = e0 f(t) u(t)− e0 f(t− τ) u(t− τ)

s(t) = e0(1− e−tθ ) u(t)− e0(1− e−

(t−τ)θ ) u(t− τ)

Si t ∈ [0, τ ] :

s(t) = e0(1− e−tθ )

Si t ∈ [τ,+∞[ :

s(t) = e0(1− e−tθ ) − e0(1− e−

(t−τ)θ )

= e0(e− (t−τ)

θ − e−tθ )

= e0(1− e−τθ ) e−

(t−τ)θ

En remarquant que : s(τ) = e0(1− e−τθ )

On peut ecrire :

s(t) = s(τ) e−(t−τ)

θ

La reponse en fonction du temps est donnee Figure 4.6

Remarque :

Ce resultat pouvait etre obtenue sans aucun calcul (ou presque), en examinant ce quise passe physiquement.

Entre 0 et τ , il s’agit de la charge d’un condensateur (initialement decharge) avec laconstante de temps θ sous une tension appliquee e0.

s(t) = e0(1− e−tθ )

Cette charge se poursuit jusqu’a l’instant τ , et a cet instant precis, la tension au bornesdu condensateur est de :

s(τ) = e0(1− e−τθ )

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44 4.2. Analyse temporelle

t0

s(t)

θ

e0

τθ+τ

e(t)

Figure 4.6

A partir de l’instant τ , le condensateur se decharge dans la resistance.

La decharge d’un condensateur (de tension initiale v0) a partir de t = 0 est donneepar :

s(t) = v0 e− t

θ

On en deduit l’equation de decharge d’un condensateur de tension initiale s(τ) a partir de l’instant τ(on applique pour cela le theoreme du retard).

s(t) = s(τ) e−(t−τ)

θ

On retrouve le resultat obtenu par le calcul.

4.2.4 Echelon de vitesse

e(t) = e0 t u(t)L−→ E(p) =

e0

p2

S(p) = T (p)E(p) =Ke0

p2(1 + τp)

On effectue la decomposition en elements simples :

Ke0

p2(1 + τp)=

A

p+

B

p2+

C

1 + τp

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4.2. Analyse temporelle 45

on trouve :A = −Ke0τ B = Ke0 C = Ke0τ

2

d’ou :

S(p) = Ke0

[

−τ

p+

1

p2+

τ

p+ 1τ

]

On en deduit :s(t) = Ke0

(

−τ + t+ τe−tτ

)

u(t)

s(t) = (Ke0(t− τ)) u(t)︸ ︷︷ ︸

s1(t)

+(

Ke0τe− t

τ

)

u(t)︸ ︷︷ ︸

s2(t)

La reponse en fonction du temps est donnee Figure 4.7

t0

s(t)

τ

Ke0τ s2(t)

-Ke0τ s1(t)

Figure 4.7

Remarques :a)

limt→+∞

s(t)

t= Ke0

limt→+∞

s(t)−Ke0t = −Ke0τ

On en deduit que la droite d’equation y = Ke0(t−τ) est une asymptote obliquea la courbe.

b)

ε(t) = Ke(t)− s(t) = Ke0τ(1 − e−tτ ) u(t)

On a, en regime permanent :

ε(+∞) = Ke(+∞)− s(+∞) = Ke0τ appele erreur de trainage

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46 4.2. Analyse temporelle

4.2.5 Signal sinusoıdal

e(t) = e0 sin(wt) u(t)L−→ E(p) = e0

w

p2 + w2

S(p) = T (p)E(p) =Ke0w

(p2 + w2)(1 + τp)

On decompose en elements simples :

S(p) =A

1 + τp+

Bp+ C

p2 + w2ou

A

1 + τp+

B

p− jw+

C

p+ jw

On trouve :

A =Ke0wτ

2

1 + w2τ 2B =

−Ke0τw

1 + w2τ 2C =

Ke0w

1 + w2τ 2

S(p) = Ke0

1 + w2τ 21

p+ 1τ

+−wτ

1 + w2τ 2p

p2 + w2︸ ︷︷ ︸

coswt

+1

1 + w2τ 2w

p2 + w2︸ ︷︷ ︸

sinwt

s(t) =Ke0w

1 + w2τ 2[τe−

tτ +

sinwt

w− τ coswt]

or :

sin(wt)− τw cos(wt) =√1 + w2τ 2[

1√1 + w2τ 2

sin(wt)− wτ√1 + w2τ 2

cos(wt)]

On pose :

cosϕ =1√

1 + w2τ 2

sinϕ =−wτ√1 + w2τ 2

s(t) = Ke0

[

1 + w2τ 2e−

tτ +

1√1 + w2τ 2

sin(wt+ ϕ)

]

u(t)

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Jean-Jose ORTEU

4.2. Analyse temporelle 47

t0

s(t)

τ

Ke0w τ

1+w 2τ2

Figure 4.8

La reponse en fonction du temps est donnee Figure 4.8

On verifiera que : s(0+) = 0 et s′(0+) = 0

Au bout de 3 a 5τ , la sortie du systeme est purement sinusoıdale.

On retrouve que, si e(t) = e0 sin(wt) u(t) alors s(t) = s0 sin(wt + ϕ) u(t), en regimepermanent.

Remarques :

a) En regime permanent :

s(t) =Ke0√

1 + w2τ 2sin(wt+ ϕ)

s0 =Ke0√

1 + w2τ 2

s0

e0=

K√1 + w2τ 2

= |T (jw)|

b) la sortie est en retard par rapport a l’entree.

En effet, cosϕ ≥ 0 et sinϕ ≤ 0 conduisent a :

−π

2≤ ϕ ≤ 0

tanϕ = −wτ −→ ϕ = − arctan(wτ)

or : Arg[T (jw)] = Arg[K]−Arg[1 + jwτ ] = 0− arctan(wτ)

on retrouve le resultat vu au § 3.7.2 :

ϕ = Arg[T (jw)]

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48 4.3. Analyse frequentielle

4.3 Analyse frequentielle

L’analyse frequentielle va consister a etudier T (jw) =K

1 + jτwen fonction de la

pulsation w (Cf. Figure 4.9).

✲e(t) = e0 sin(wt) K

1 + τp✲

s(t) = s0 sin(wt+ ϕ)

Figure 4.9

(on rappelle que s0 et ϕ sont des fonctions de w)

On definit ce que l’on appelle le lieu de transfert du systeme qui n’est autre que larepresentation graphique des variations de T (jw) en fonction de w.

Pour cela, on va utiliser differentes representations.

4.3.1 Plan de Nyquist

Il s’agit du plan complexe :— en abscisse : Re[T (jw)]— en ordonnee : Im[T (jw)]

0

✲ Re[T (jw)]

Im[T (jw)]

Plan de Nyquist

Figure 4.10 – Plan de Nyquist

Posons :{

X = Re[T (jw)]Y = Im[T (jw)]

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4.3. Analyse frequentielle 49

T (jw) = X + jY

X =K

1 + w2τ 2Y =

−Kwτ

1 + w2τ 2(4.2)

Y

X= −wτ

X =K

1 +(YX

)2

X2 + Y 2 = KX

(

X − K

2

)2

+ Y 2 =K2

4

C’est l’equation d’un cercle de centre(K

2, 0)

et de rayonK

2.

En fait, seul le demi cercle inferieur convient car, d’apres (4.2), on a la relation Y < 0.

Quelques points sur le lieu de transfert

pour w = 0 point (K, 0)

pour w =1

τpoint

(K

2,−K

2

)

pour w = ∞ point (0, 0)

Le lieu de transfert de Nyquist (Cf. Figure 4.11) est gradue et oriente dans le sens desw croissants.

4.3.2 Plan de Black-Nichols

Il s’agit du plan tel que :— en abscisse : Arg[T (jw)] (en degres)— en ordonnee : 20 log |T (jw)|

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50 4.3. Analyse frequentielle

Re[T(jw)]

Im[T(jw)]

w = 0

w =1

τ

w = +∞ ϕ

K0

M(w)

K

2

Figure 4.11 – Lieu de transfert dans le plan de Nyquist

0

✲ Arg[T (jw)] (en degres)

|T (jw)| (en decibels)

Plan de Black-Nichols

Figure 4.12 – Plan de Black-Nichols

dephasage

ϕ = Arg[T (jw)] = − arctan(wτ)

gain lineaire

A = |T (jw)| = K√1 + w2τ 2

gain logarithmique

AdB = 20 logA = 20 log |T (jw)| = 20 logK√

1 + w2τ 2

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4.3. Analyse frequentielle 51

AdB = 20 logK − 20 log[√1 + w2τ 2]

AdB = 20 logK − 10 log[1 + w2τ 2]

Quelques points sur le lieu de transfert

pour w = 0 ϕ = 0 AdB = 20 logK

pour w =1

τϕ = −45o AdB = 20 logK − 10 log 2

︸ ︷︷ ︸

≃3dB

pour w = ∞ ϕ = −90o AdB = −∞

0Arg[T(jw)] (en degrés)

|T(jw)| (en décibels)

-90o-45o

20 log K3dB

w = 0

w =1

τ

w ∞

Figure 4.13 – Lieu de transfert dans le plan de Black-Nichols

Le lieu de transfert de Black-Nichols (Cf. 4.13) est gradue et oriente dans le sens desw croissants.

4.3.3 Plan de Bode (Tres utilise)

La representation dans le plan de Bode est constituee de 2 courbes :— la courbe de gain :

— en abscisse : logw— en ordonnee : 20 log |T (jw)|

— la courbe de phase :— en abscisse : logw— en ordonnee : Arg[T (jw)] (en degre)

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52 4.3. Analyse frequentielle

0

✲ w (echelle logarithmique)

|T (jw)| (en decibels)

Diagramme de gain

0

✲ w (echelle logarithmique)

Arg[T (jw)] (en degres)

Diagramme de phase

Figure 4.14 – Plan de Bode

Echelle logarithmique des pulsations

— on appelle decade un intervalle de pulsation [w1, w2] tel que :

w2

w1= 10

— on appelle octave un intervalle de pulsation [w1, w2] tel que :

w2

w1= 2

Courbe de gain asymptotique

(elle permet d’obtenir une allure sommaire de la courbe de gain)

— si w ≪ 1

τ:

wτ ≪ 1 w2τ 2 ≪ 1

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4.3. Analyse frequentielle 53

AdB ≃ 20 logK − 10 log 1︸ ︷︷ ︸

=0

— si w ≫ 1

τ:

wτ ≫ 1 w2τ 2 ≫ 1

AdB ≃ 20 logK − 10 logw2τ 2 ≃ 20 logK − 20 log τ − 20 logw

−→ c’est l’equation d’une droite sur du papier semi-logarithmique(AdB = f(logw))

AdB(w2)− AdB(w1) = −20 logw2 + 20 logw1 = −20 logw2

w1

siw2

w1

= 10 AdB(w2)− AdB(w1) = −20

siw2

w1= 2 AdB(w2)− AdB(w1) = −6

Si w ≫ 1

τla courbe de gain asymptotique est donc une droite de pente egale a

−20 dB par decade ou −6 dB par octave.

|T(jw)| (en décibels)

w (échelle logarithmique)

pente -20 dB / décade

20 log K

w =1

τ

Figure 4.15 – Courbe de gain asymptotique dans le plan de Bode

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54 4.3. Analyse frequentielle

Courbe de gain reel

pour w = 0 AdB = 20 logK

pour w =1

2τAdB = 20 logK − 10 log 5

4≃ 20 logK − 1 dB

pour w =1

τAdB = 20 logK − 10 log 2 ≃ 20 logK − 3 dB

pour w =2

τAdB = 20 logK − 10 log 5 ≃ 20 logK − 7 dB

pour w = ∞ AdB = −∞

Remarque :

Pour w =2

τ, le gain asymptotique vaut :

AdB = 20 logK − 10 log 4 = 20 logK − 20 log 2 = 20 logK − 6 dB

Courbe de phase

pour w = 0 ϕ = 0

pour w =1

2τϕ = −26, 5o

pour w =1

τϕ = −45o

pour w =2

τϕ = −63, 5o

pour w = ∞ ϕ = −90o

Bande passante a −3dB du systeme du 1er ordre

C’est la bande de pulsation [0, w−3dB] telle que :

20 logK ≤ AdB ≤ 20 logK − 3dB

w−3dB est telle que : 20 logK − 3dB = 20 logK

1 + w2−3dBτ

2

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4.3. Analyse frequentielle 55

Arg[T(jw)] (en degrés)

|T(jw)| (en décibels)

w (échelle logarithmique)

w (échelle logarithmique)

-90o

-45o

0

w =1

τ

Figure 4.16 – Lieu de transfert dans le plan de Bode

On trouve :

w−3dB =1

τ

Remarque :

s0(w) =Ke0√

1 + w2τ 2

si w augmente, s0 diminue.

En basse frequence : s0 = Ke0

pour w =1

τs0 =

Ke0√2

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56 4.4. Influence d’une variation de τ

4.4 Influence d’une variation de τ

4.4.1 Analyse temporelle

Si τ augmente, tr5% = 3τ augmente.

4.4.2 Analyse frequentielle

Si τ augmente, w−3dB =1

τdiminue.

Regle generale :

rapidite du systeme augmente ⇐⇒ Bande Passante augmente

4.5 Relation entre tr5% et BP (−3dB)

w−3dB =1

τ−→ f−3dB =

w−3dB

2π=

1

2πτ

tr5% = 3τ

f−3dB tr5% =3

2π≃ 0, 6

4.5.1 Exemple 1 : oscilloscope

On considere un oscilloscope ayant la caracteristique : f−3dB = 10MHz

On fait l’hypothese (raisonnable) que l’entree de l’oscilloscope se comporte comme uncircuit du 1er ordre.

On calcule son temps de reponse a 5% : tr5% =3

2πf−3dB=

3

2π107≃ 50ns

Si on avait un oscilloscope tel que : f−3dB = 100MHz, son temps de reponse a 5%serait de 5ns.

La donnee de f−3dB traduit la qualite de l’oscilloscope.

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4.5. Relation entre tr5% et BP (−3dB) 57

A

0,95A

50ms

Figure 4.17

4.5.2 Exemple 2 : table tracante

On considere une table tracante ayant la caracteristique : tr5% = 0, 2s.

Calculons sa bande-passante : f−3dB =3

2πtr5%=

3

0, 4π≃ 2, 5Hz

Pour f−3dB, le signal represente sur le support ne represente que 70% du signal d’entree(attenuation de

√2).

En pratique, on utilisera des frequences inferieures af−3dB

10.

Par exemple, pour f = 0, 25Hz, on calcule que :

|T (jw)| = K√1 + w2τ 2

=K√

1 + 4π2f 2τ 2≃ 0, 995K

L’attenuation est a peine de 0,5%.

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Chapitre 5

Systeme du second ordre

5.1 Definition

Le systeme du second ordre a pour fonction de transfert :

T (p) =K

1 + ap+ bp2

Il est stable 1 si : a ≥ 0 et b > 0

Dans ces conditions, on pose : a =2z

wn

et b =1

w2n

{

z ≥ 0 : coefficient d’amortissement des oscillations amortieswn > 0 : pulsation des oscillations non-amorties

La fonction de transfert du systeme du second ordre s’ecrit alors sous sa forme cano-nique :

T (p) =K

1 + 2zwn

p+ p2

w2n

Les poles de T (p) sont donnes par l’equation :

p2 + 2zwnp+ w2n = 0

dont le discriminant reduit vaut ∆′ = z2w2n − w2

n = w2n(z

2 − 1)

1. Les problemes de stabilite sont traites au chapitre 7.

58

5.2. Analyse temporelle 59

1er cas z > 1 (regime aperiodique)

On a 2 poles reels negatifs (somme negative, produit positif).

{

p1 = −zwn + wn

√z2 − 1

p2 = −zwn − wn

√z2 − 1

T (p) =Kw2

n

(p− p1)(p− p2)

avec : p1 p2 = w2n et p1 + p2 = −2z wn

2eme cas z = 1 (regime aperiodique critique)

On a une racine double p0 = −wn

T (p) =Kw2

n

(p− p0)2

3eme cas z < 1 (regime oscillatoire)

On a 2 poles complexes conjuges.

{

p1 = −zwn + jwn

√1− z2

p2 = −zwn − jwn

√1− z2

On pose : wp = wn

√1− z2, que l’on appelle pulsation des oscillations amorties.

T (p) =Kw2

n

(p− p1)(p− p2)

5.2 Analyse temporelle

5.2.1 Echelon de position

e(t) = e0 u(t)

S(p) = T (p) E(p) = T (p)e0

p

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60 5.2. Analyse temporelle

1er cas z > 1

S(p) =Ke0w

2n

p(p− p1)(p− p2)

Effectuons la decomposition en elements simples de S(p) :

S(p) =A

p− p1+

B

p− p2+

C

p

On trouve :

A =Ke0w

2n

(p1 − p2)p1B =

Ke0w2n

(p2 − p1)p2C =

Ke0w2n

p1p2= Ke0

s(t) = Aep1t +Bep2t + C

s(t) = Ke0w2n

[

ep1t

(p1 − p2)p1− ep2t

(p1 − p2)p2+

1

p1p2

]

u(t)

s(t) = Ke0

[

1 +w2

n

(p1 − p2)

[

ep1t

p1− ep2t

p2

]]

u(t)

s(t) = Ke0

[

1 +1

(p1 − p2)

(

p2ep1t − p1e

p2t)]

u(t)

On verifiera que : s(0+) = 0 et s′(0+) = 0

(Cf. Figures 5.2 et 5.3)

2eme cas z = 1

S(p) =Ke0w

2n

p(p+ wn)2

S(p) =A

(p+ wn)2+

B

p+ wn

+C

p

On trouve :

A = −Ke0wn B = −Ke0wn C = Ke0

S(p) = Ke0

[

1

p− wn

(p+ wn)2− 1

p+ wn

]

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5.2. Analyse temporelle 61

s(t) = Ke0[

1− wnte−wnt − e−wnt

]

u(t)

s(t) = Ke0[

1− e−wnt(1 + wnt)]

u(t)

On verifiera que : s(0+) = 0 et s′(0+) = 0

(Cf. Figures 5.2 et 5.3)

3eme cas z < 1

S(p) =Ke0w

2n

p(p− p1)(p− p2)

D’apres le cas z > 1 deja etudie, on peut ecrire :

s(t) = Ke0

[

1 +1

(p1 − p2)

(

p2ep1t − p1e

p2t)]

u(t)

avec : p1 − p2 = 2jwn

√1− z2 = 2jwp

s(t) = Ke0

1 +1

2jwn

√1− z2

[

(−zwn − jwn

√1− z2)e−zwntejwn

√1−z2 t

−(−zwn + jwn

√1− z2)e−zwnte−jwn

√1−z2 t

]

u(t)

s(t) = Ke0

1 +e−zwnt

2jwn

√1− z2

[

−zwn

(

ejwn

√1−z2 t − e−jwn

√1−z2 t

)

−jwn

√1− z2

(

ejwn

√1−z2 t − e−jwn

√1−z2 t

)]

u(t)

s(t) = Ke0

1 +e−zwnt

wn

√1− z2

(

−zwn sin(wn

√1− z2 t)

−wn

√1− z2 cos(wn

√1− z2 t)

)

u(t)

s(t) = Ke0

1− e−zwnt

√1− z2

(

z sin(wn

√1− z2 t) (5.1)

+√1− z2 cos(wn

√1− z2 t)

)

u(t)

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62 5.2. Analyse temporelle

On a la relation : z2 + (√1− z2)2 = 1

On pose :{

cosϕ = z

sinϕ =√1− z2

s(t) =

[

Ke0 −Ke0e

−zwnt

√1− z2

sin(wn

√1− z2 t + ϕ)

]

u(t)

On verifiera que : s(0+) = 0 et s′(0+) = 0

wp = wn

√1− z2 est appele pulsation des oscillations amorties (wp = wn sinϕ)

Remarque : si z = 0, alors wp = wn et le systeme oscille a la pulsation wn.

Figure 5.1

Valeur du premier depassement

On montre, en derivant l’equation (5.1), que la valeur du premier depassementest obtenue pour sin(wpt) = 0 soit wpt = π

smax = s

(

π

wp

)

= Ke0

[

1− 1√1− z2

e−zwn

πwp sin

(

wp

π

wp

+ ϕ

)]

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Jean-Jose ORTEU

5.2. Analyse temporelle 63

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4z=0.3

z=0.7

z=1z=2

Figure 5.2 – Reponse pour differentes valeurs de z

= Ke0

[

1− 1√1− z2

e− πz√

1−z2 sin(π + ϕ)

]

= Ke0

(

1 + e− πz√

1−z2

)

smax = Ke0

(

1 + e− πz√

1−z2

)

On definit la valeur du premier depassement D1 comme la quantite :

D1 =smax − s(+∞)

s(+∞)

D1 = e− πz√

1−z2

Les variations de D1 en fonction de z sont illustrees sur la Figure 5.4.

Pour z =1√2

D1 = e−π ≃ 4%

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64 5.2. Analyse temporelle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

w=1w=2w=5w=10

Figure 5.3 – Reponse pour differentes valeurs de w

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figure 5.4 – Les variations de D1 en fonction de z

Remarque :

On verra que pour z ≥ 1√2, le systeme du second ordre ne presente pas de phenomene

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Jean-Jose ORTEU

5.2. Analyse temporelle 65

de resonance.

Par ailleurs, nous avons vu que pour z =1√2le premier depassement est egal a 4%.

Enfin, on montre que pour cette valeur de z, le temps de reponse a 5% est minimal.

Pour toutes ces raisons, la valeur z =1√2

est prise souvent comme valeur

de reglage pour le systeme du second ordre.

La reponse temporelle d’un systeme du second ordre peut etre «synthetisee» par uncertain nombre de parametres indiques sur la figure 5.7 :

— Le premier depassement : D1 = e− πz√

1−z2

— Le temps de montee : tm =1

wn

π − arccos z√1− z2

La figure 5.5 montre les variations de wn tm en fonction de z.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

z

(pi -acos z) / sqrt(1-z^2)

Figure 5.5

— Le temps de pic : tpic =π

wp

— Le temps de reponse a n% (pour z < 0.7) : tr ≃1

wn zln(100

n

)

≃ 1

σln(100

n

)

en appelant σ = wn z la partie reelle des poles.

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66 5.2. Analyse temporelle

On utilisera pratiquement le temps de reponse a 5% qui est donne par : tr ≃3

σ.

Il se mesure lorsque s(t) rentre dans une bande [0, 95 s(+∞); 1, 05 s(+∞)] au-tour de la valeur finale s(+∞) et n’en ressort plus.

En toute rigueur, le temps de reponse a 5% d’un systeme du 2eme ordre estdonne par la courbe de la figure 5.6.On voit sur cette courbe que lorsque z est proche de 0.7 alors trwn ≃ 3.On voit aussi que lorsque z s’ecarte un peu trop de 0.7 la formule approcheen’est plus valide.

Figure 5.6 – Evolution du temps de reponse a 5% en fonction de z (note ξ sur cettecourbe) et wn (note w0 sur cette courbe).

5.2.2 Echelon de vitesse

e(t) = e0 t u(t)

Calculons l’ecart de trainage en regime permanent ε(+∞) = K e(+∞)− s(+∞).

(voir cours)

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Jean-Jose ORTEU

5.3. Analyse frequentielle 67

Figure 5.7

5.2.3 Signal sinusoıdal

On pourrait montrer que lorsque le systeme est en regime permanent (lorsque t estsuperieur a 3 ou 5 fois le temps de reponse a 5% par exemple), s(t) = s0 sin(wt+ϕ)u(t)pour une entree sinusoıdale e(t) = e0 sin(wt) u(t).

5.3 Analyse frequentielle

T (p) =K

1 + 2zwn

p+ p2

w2n

A = |T (jw)| ϕ = Arg[T (jw)]

T (jw) =K

1 + 2jzwwn

− w2

w2n

=K

(

1− w2

w2n

)

+ 2jzwwn

A = |T (jw)| = K√(

1− w2

w2n

)2+(2zwwn

)2

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68 5.3. Analyse frequentielle

ϕ = Arg[K]−Arg

[(

1− w2

w2n

)

+2jzw

wn

]

cosϕ = α

(

1− w2

w2n

)

sinϕ = −α2zw

wn

avec : α =1

√(

1− w2

w2n

)2+(2zwwn

)2

Attention de NE PAS ECRIRE que :

ϕ = − arctan2zwwn(

1− w2

w2n

)

car le dephasage d’un systeme du second ordre est compris dans l’intervalle ]−π, 0] et

la fonction arctan renvoit un argument sur l’intervalle]

−π

2,π

2

[

.

5.3.1 Lieu de transfert dans le plan de Bode

Courbe de gain asymptotique

Si w ≪ wn :A ≃ K −→ AdB ≃ 20 logK

Si w ≫ wn :

A ≃ K(

wwn

)2

AdB ≃ 20 logK − 40 logw + 40 logwn

AdB(w2)− AdB(w1) ≃ −40 logw2

w1

siw2

w1= 10 AdB(w2)− AdB(w1) = −40

siw2

w1

= 2 AdB(w2)− AdB(w1) = −12

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5.3. Analyse frequentielle 69

Si w ≫ wn la courbe de gain asymptotique est donc une droite de pente egale a −40dBpar decade ou −12 dB par octave.

Courbe de gain reel

Existe-t-il un extremum?

Si AdB passe par un extremum, alors A passe aussi par un extremum car la fonctionlog() est monotone croissante.

On peut ecrire :

A(w) =N(w)

D(w)

avec :

N(w) = K D(w) =

√√√√

(

1− w2

w2n

)2

+(2zw

wn

)2

dA

dw=

1

D2(w)

dN

dw︸︷︷︸

=0

D(w)−N(w)dD

dw

dA

dw= 0 =⇒ dD

dw= 0

Posons : f(w) =

(

1− w2

w2n

)2

+(2zw

wn

)2

.

D(w) =√

f(w)

dD

dw=

1

2√

f(w)

df

dw

=1

2√

f(w)

[

2

(

1− w2

w2n

)(

−2w

w2n

)

+ 2(2zw

wn

)(2z

wn

)]

=1

f(w)

w

wn

[(

1− w2

w2n

)(−2

wn

)

+ 2z(2z

wn

)]

=1

f(w)

2w

w2n

[

−1 +w2

w2n

+ 2z2]

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70 5.3. Analyse frequentielle

dD

dw=

1√

f(w)

2w

w2n

[

w2

w2n

− (1− 2z2)

]

dD

dw= 0 ⇐⇒

w = 0w2

w2n

− (1− 2z2) = 0

w = 0 est vrai ∀z

w2

w2n

− (1− 2z2) = 0 ⇐⇒{

w = wn

√1− 2z2

1− 2z2 ≥ 0

En conclusion, on voit que la courbe de gain presentera un extremum dans le cas d’un

systeme du second ordre pour lequel z <1√2.

Il s’agit la du phenomene de resonance qui se produit pour la pulsation dite pul-sation de resonance dont nous avons etabli la valeur :

wr = wn

√1− 2z2

La Figure 5.8 montre les courbes de gain et de phase obtenues pour differentes valeursde z.

Remarque :

Pour les systemes du second ordre nous avons vu apparaıtre 3 pulsations differentesqui ne doivent pas etre confondues :

— wn : pulsation propre du systeme non amorti (c’est a cette pulsationqu’oscille un systeme du second ordre pour lequel z = 0).

— wp = wn

√1− z2 : pulsation des oscillations amorties de la reponse du systeme.

— wr = wn

√1− 2z2 : pulsation de resonance (dans le cas ou z ≤ 1√

2).

On se souviendra que :

|T (jwn)| =K

2z

|T (jwr)| =K

2z√1− z2

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5.3. Analyse frequentielle 71

Figure 5.8 – Courbes de gain et de phase

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72 5.4. Comparaison d’un systeme du 1er ordre et du second ordre

5.3.2 Le coefficient de surtension Q

Dans le cas d’un systeme du second ordre presentant le phenomene de resonance

(z ≤ 1√2), on definit le coefficient de surtension Q (appele aussi facteur de reso-

nance) par la quantite :

Q =A(w = wr)

A(w = 0)=

K

2z√1− z2

1

K

Q =1

2z√1− z2

QdB = −20 log(2z√1− z2)

L’amortissement d’un systeme du second ordre est d’autant plus faible que son facteurde resonance est eleve.

5.4 Comparaison d’un systeme du 1er ordre et du

second ordre

1er ordre 2eme ordre

dephasage [−90o, 0o] [−180o, 0o]

pente de la courbe de gain en HF -20 dB/decade -40 dB/decade

resonance jamais parfois

regime transitoire oscillatoire jamais parfois

tangente a l’instant t = 0+ > 0 = 0

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Chapitre 6

Autres systemes

6.1 Retard pur

T (p) = e−τp

S(p) = T (p)E(p) = e−τpE(p)

Rappel :

Si f(t) u(t)L−→ F (p)

alors f(t− τ) u(t− τ)L−→ F (p) e−τp

s(t) = e(t− τ) fonction «retard pur»

6.1.1 Analyse temporelle

La fonction «retard pur» est representee sur la Figure 6.1.

6.1.2 Analyse frequentielle

T (jw) = e−jτw

73

74 6.1. Retard pur

t0 τ

e(t) e(t-τ)

Figure 6.1

|T (jw)| = 1

Arg[T (jw)] = −τw

AdB

logw

logw

ϕ(w)

0dB

Figure 6.2

Remarque :

Le gain d’un systeme de type «retard pur» restant egal a 1 quelque soit la frequence,il est impossible de realiser physiquement un tel systeme.Par contre sur une plage de frequence limitee, il est possible d’approximer ce systeme.

Si 0 ≤ w < 1τ

Alors le lieu de transfert d’un systeme du 1er ordre et du retard pur sont voisins.

donc : e−τp ≃ 1

1 + τpsi 0 ≤ w <

1

τ

Approximation de Pade (au premier ou deuxieme ordre) :

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6.2. Systemes d’ordre quelconque 75

e−θp ≃1− θ

2p

1 +θ

2p

ou e−θp ≃1− θ

2p+

θ2

12p2

1 +θ

2p+

θ2

12p2

6.2 Systemes d’ordre quelconque

La fonction de transfert d’un systeme d’ordre quelconque peut toujours etre decom-posee sous la forme canonique suivante :

T (p) =K

i(1 + τip)∏

j(1 +2zjp

wnj+ p2

w2nj

)∏

k(1 + τkp)∏

l(1 +2zlpwnl

+ p2

w2nl

)e−τp

T (jw) =K

(jw)α

i N1i(jw)∏

j N2j(jw)∏

k D1k(jw)∏

l D2l(jw)e−jτw

module

A = |T (jw)| = K

|(jw)α|

i |N1i(jw)|∏

j |N2j(jw)|∏

k |D1i(jw)|∏

l |D2j(jw)|

AdB = KdB +∑

i

A1idB +∑

j

A2jdB −∑

k

A1kdB −∑

l

A2ldB − 20 α logw

Le passage aux decibels permet de transformer le produit en somme et le quotient endifference.

phase

ϕ = Arg[T (jw)] = −Arg[(jw)α +∑

i

Arg[N1i(jw)] +∑

j

Arg[N2j(jw)]

−∑

k

Arg[D1k(jw)]−∑

l

Arg[D2l(jw)]

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76 6.3. Exemple

En consequence, ces formules traduisent le fait que pour tracer le lieu de transfert d’unsysteme d’ordre quelconque, il suffit de savoir tracer les lieux de transfert correspondanta :

e−τp

K

pαα ∈ N

1 + τi p

1 +2zjp

wnj

+p2

w2nj

1

1 + τkp

1

1 +2zjp

wnj+ p2

w2nj

et d’effectuer la «somme graphique» de ces differents lieux.

6.3 Exemple

Soit a tracer les lieux dans le plan de Bode de la fonction de transfert :

T (p) =1

p(1 + 2p)(1 + 0, 5p)

(voir cours)

6.4 Systemes avec zero

Considerons la fonction de transfert :

G(p) = K1 + τap

(1 + τ1p)(1 + τ2p)

Ce systeme comporte 2 poles a partie reelle negative, et un zero :

p1 = − 1

τ1p2 = − 1

τ2za = − 1

τa

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6.4. Systemes avec zero 77

La reponse de ce systeme a un echelon presente trois allures differentes (Cf. Figure 6.3)suivant la valeur relative des poles et du zero de la fonction de transfert (on supposeraque τ1 > τ2) :

cas 1 : τa > τ1 :La reponse presente un depassement, d’autant plus grand que le zero est prochede l’origine.

cas 2 : τ1 ≥ τa > 0 :La reponse presente la meme allure que dans le cas d’une fonction de transfertsans zero.

cas 3 : τa < 0 :Le systeme evolue avec une reponse inverse, i.e. que la reponse demarre dans lesens oppose de la valeur finale.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figure 6.3 – Reponse du systeme a un echelon pour differentes valeurs du zero de lafonction de transfert : (a) τa = −10, (b) τa = 0, (c) τa = 10, (d) τa = 15, (e) τa = 50,avec (τ1 = 15, τ2 = 5)

Comme le montre la Figure 6.3, les allures des reponses sont tres differentes en fonctionde la valeur du zero. Si certaines proprietes comme la stabilite, que nous detaillerons

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78 6.4. Systemes avec zero

plus loin, dependent uniquement des poles du systeme, la reponse dynamique a uneentree depend aussi des zeros.

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Chapitre 7

Stabilite

L’etude de la structure et de la stabilite de la reponse d’un systeme a ete faite au § 3.6.

Nous rappelerons ici les principaux resultats.

Un systeme est dit stable si a toute entree bornee correspond une sortie bornee.

Une condition necessaire et suffisante de stabilite d’un systeme lineaire estque tous les poles de sa fonction de transfert aient une partie reelle nega-tive.

Remarque :

Nous avons vu que :

S(p) =N(p)

D(p)︸ ︷︷ ︸

T (p)

E(p)

︸ ︷︷ ︸

reponse forcee provoquee par l’entree

+I(p)

D(p)︸ ︷︷ ︸

reponse libre

On remarquera que les poles de la reponse forcee et ceux de la reponse libresont les memes.Cela conduit a dire que la stabilite d’un systeme est une propriete intrin-seque au systeme (elle ne depend pas du signal applique a l’entree).

La stabilite d’un systeme est deduite du comportement du systeme placedans des conditions initiales non nulles et laisse «libre».

La traduction directe de la CNS enoncee precedemment est generalement difficile carsi l’ordre du systeme est eleve la recherche des poles est inextricable (dans ce cas il

79

80 7.1. Critere de Routh

faut faire appel a des algorithmes de calcul des zeros d’une equation polynomiale).En pratique, ce critere n’est pas utilise.

On emploie des criteres permettant de verifier si cette condition de stabilite est satis-faite sans avoir a calculer les poles de la fonction de transfert.

Les principaux criteres employes sont :— des criteres algebriques tel que le critere de Routh.— des criteres graphiques tel que le critere du revers (valable pour les systemes a

dephasage minimal) ou le critere de Nyquist (general).— le trace du lieu des poles de la fonction de transfert (methode du lieu d’Evans).

Seul le critere de Routh sera decrit dans ce chapitre.Les criteres graphiques seront decrits lors de l’etude des asservissements.

7.1 Critere de Routh

On se bornera a indiquer sans justification les regles d’application de ce critere.

Soit un systeme de fonction de transfert :

H(p) =a0 + a1 p+ · · ·+ am−1 p

m−1 + am pm

b0 + b1 p+ · · ·+ bn−1 pn−1 + bn pn

Condition necessaire et suffisante (CNS) de stabilite

Il faut et il suffit, pour que le systeme soit stable, que les racines de l’equation carac-teristique bn p

n + · · ·+ b1 p+ b0 = 0 aient leurs parties reelles negatives.

Traduction de cette CNS par le critere de Routh

Il faut et il suffit :

1) que tous les coefficients bi soient presents et de meme signe,

2) que tous les termes de la 1ere colonne du tableau ci-dessous (tableau de Routh)soient positifs.

pn bn bn−2 bn−4 · · ·pn−1 bn−1 bn−3 bn−5 · · ·pn−2 bn−1 bn−2 − bn bn−3

bn−1

bn−1 bn−4 − bn bn−5

bn−1

bn−1 bn−6 − bn bn−7

bn−1· · ·

· · · · · · · · · · · · · · ·

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7.1. Critere de Routh 81

Le coefficient bn−1 est le pivot de la troisieme ligne.

La quatrieme ligne s’obtient, comme la troisieme, en multipliant en diagonale les termesde la deuxieme et de la troisieme ligne, les termes obtenus etant tous divises par lepivot de la quatrieme ligne (terme de la premiere colonne de la ligne precedente), etainsi de suite.

Remarques :— s’il y a n changements de signe dans la premiere colonne du tableau de Routh,

l’equation caracteristique possede n racines a parties reelles positives.— si tous les coefficients d’une ligne sont nuls, l’equation caracteristique possede

des racines imaginaires pures conjuguees et le systeme est juste oscillant.

Exemples

(voir cours)

Inconvenients du critere

1) il exige la connaissance algebrique de la fonction de transfert.

2) il ne donne aucune indication sur la marge de stabilite.

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Bibliographie

[1] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella et I. Zambettakis. Modeli-sation et Identification des Processus - Tome 1. Collection : Methodes et Pratiquesde l’Ingenieur. Editions TECHNIP.

[2] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella et I. Zambettakis. Modeli-sation et Identification des Processus - Tome 2. Collection : Methodes et Pratiquesde l’Ingenieur. Editions TECHNIP.

[3] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella et I. Zambettakis. Analyseet Regulation des Processus Industriels - Tome 1 : Regulation continue. Collec-tion : Methodes et Pratiques de l’Ingenieur. Editions TECHNIP.

[4] Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design. HOLT, RINEHART ANDWINSTON, INC.

[5] D.R. Coughanowr. Process Systems Analysis and Control. McGRAW-HILL IN-TERNATIONAL EDITIONS. Chemical Engineering Series.

[6] F. de Carfort, C. Foulard et J. Calvet. Asservissements lineaires continus (avecexercices et problemes resolus). Edition DUNOD Universite.

[7] B. Descotes-Genon et J. Le Bail. L’automatique en classes preparatoires. Ellipses

[8] G. F. Franklin, J. D. Powell and Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of Dy-namic Systems. ADDISON WESLEY.

[9] W.L. Luyben. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers.McGRAW-HILL INTERNATIONAL EDITIONS. Chemical Engineering Series.

[10] K. Ogata. Modern Control Engineering. Second Edition, Prentice Hall.

[11] M. Rivoire et J.-L. Ferrier. Cours d’Automatique - Tome 1 - Signaux et Systemes.Edition EYROLLES.

[12] M. Rivoire, J.-L. Ferrier et J. Groleau. Exercices d’Automatique - Tome 1 - Si-gnaux et Systemes. Edition EYROLLES.

[13] D.E. Seborg, T.F. Edgar et D.A. Mellichamp. Process Dynamics and Control.Wiley Series in Chemical Engineering.

[14] George Stephanopoulos. Chemical Process Control - An introduction to theoryand practice. PRENTICE HALL.

[15] Y. Tanguy et P. Turelle. Asservissements lineaires.. Edition MENTORSCIENCES.

82

Bibliographie 83

[16] M. Zelazny, F. Giri et T. Bennani. Systemes asservis : commande et regulation -Tome 1 : Representations, Analyse, Performances. Collection EYROLLES MEN-TOR SCIENCES.

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