Autdis1_2 Cours Mehdi Rajeb

commande Numrique des systmes

I. Introduction

II. chantillonnage dun signal

III. Reprsentation des systmes Discrets

IV. Reprsentation d tat des systmes discrets

V. Analyse des systmes Discrets

VI. Synthse: gain de rtroaction

VII. Transposition des correcteurs analogiques

VIII. Synthse de correcteurs Numriques 1

Dfinitions Automatique: science qui tudie les automatismes.

Automatisme: dispositif technologique qui remplace l'oprateur humain dans la

conduite d'une machine, d'un processus, d'une installation industrielle.

Processus: (ou systme) C'est l'ensemble de l'installation que l'on doit piloter. Il

est caractris par des signaux d'entre et de sortie et les lois mathmatiques

reliant ces signaux.

Exemple de systmes: four, robot, avion, usine chimique, colonne de distillation,...

Signal : Grandeur physique gnre par un appareil ou traduite par un capteur

(temprature, dbit etc.) On distingue :

Signal dentre : indpendant du systme, il se dcompose en commandable et non commandable (perturbations)

Signal de sortie : dpendant du systme et du signal dentre. Contrle : On peut contrler un systme de manire automatise pour:

- maintenir une grandeur de sortie constante (Rgulation)

- faire suivre certaines sorties une squence (automatisme squentiel) ou une

loi donne (asservissement).

Si on ajoute l'optimisation d'un critre (de cot par exemple) on parle alors de

contrle optimal.

I. Introduction

2

Structure d'un systme asservi

Commande en boucle ouverte:

Ceci est une commande en boucle ouverte qui ne permet pas de rgler

prcisment le niveau de sortie et corriger l'effet des perturbations.

3

Commande en boucle ferme:

Pour rgler le niveau on dois agir sur l'organe de rglage (la vanne) en

fonction de lcart entre la valeur dsire et la valeur relle.

4

Structure gnrale

5

Exemple : RGULATION DE TEMPRATURE

Schma fonctionnel

6

Concepts utiles l'tude des systmes asservis

Les caractristiques tudier dans un systme asservi sont

prcision statique et dynamique , rapidit, stabilit

7

Rgulation analogique

8

Rgulation numrique

9

Classification des automatismes

On peut classer les automatismes selon la nature des signaux d'entre et sortie

Signaux numriques

Un signal numrique est un signal discret dont lamplitude a t quantifie

10

signal sinusodal

Amplitude : 0.8

Dure : 0.03 seconde Priode : 0.02 seconde Frquence : 1/0.02 = 50Hz Signal analogique et (en temps) continu Expression : s(t)= 0.8*sin(2**t/0.02)

11

script Matlab

% crer et afficher le signal sinusodal prcdent

freq= 50; % en Hertz (Hz)

ampl= 0.8; % ';' signifie ne pas afficher le rsultat

temps= [0:1:299]/10000; % dfinir vecteur temps(secondes)

signal= ampl*sin(2*pi*freq*temps); % crer vecteur signal

plot(temps, signal) % trace la courbe signal(temps)

axis([0, temps(length(temps)), -1, 1]) % dfinir les axes

grid % tracer la grille

title('chronogramme d''un signal en temps continu')

xlabel('axe des temps (secondes)')

ylabel('amplitude du signal')

'chronogramme d''un signal en temps continu

12

Signal discret On nomme signal discret un ensemble de valeurs relles dfinies pour une suite dinstants

tn = nT multiples dune priode T dchantillonnage (en anglais sampling ). On notera

, ou la nime valeur dun tel signal discret.

f nT( )

f n( )

f nCausalit : le signal discret est causal si il est nul pour .

f n

n 0

Par exemple, avec la frquence dchantillonnage .400Hz s t t( ) sin( ) 100

donne : s sn n

n ( ) sin( )400 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

temps en seconde

sig

na

l

ch

an

tillo

nn

Signal Discret ou Echantillonn

exp(-t)*sint(2*t), T = .2 seconde

Reprsentation graphique dun signal discret par MATLAB (fonction stem) :

13

ii. chantillonnage dun signal

Signal bloqu : Pour reconstituer un signal continu (qui dure dans le temps) partir dun signal discret, le

bloqueur dordre zro (ou BOZ) maintient la valeur sn entre les instants

nTtn et t n Tn 1 1( )

)(nTs

Signal chantillonn Associ au signal discret tir du signal continu )(ts , ce signal not traditionnellement s t

* ( )

permet de dfinir mathmatiquement lchantillonnage:

s t s n t nT s n t nTdf

nn

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

si s n( ) est causal.

t

-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T

s(-4) s(-3) s(-2) s(-1) s(0) s(1) s(2) s(3) s(4)

un chantillonneur idal est un filtre qui donne partir de s t( )

compte tenu des proprits de la distribution de Dirac, le signal chantillonn

)()()()()(* tPtsnTttsts Tn

o )()( nTttPT

ou peigne de Dirac , donc une suite priodique dimpulsions de Dirac.

s t( )

s t s t P tT* ( ) ( ) ( )

T

On symbolise ci-dessous lchantillonneur idal pour le signal

)(ts

avec la priode T :

s t* ( )

est la fonction peigne

14

Les avancs en moyen informatique (puissance de calcul) ont rendu possible

lexpression et traitement de signaux en forme numrique. Mais pour numriser, il faut d'abord chantillonner. Le passage analogique numrique implique ncessairement une perte d'information. Cette perte peut tre minimiser par

l'application des outils adapts.

chantillonnage

15

Conversion analogique numerique

Dun point de vue modlisation, lensemble capteur convertisseur analogique-numrique peut tre assimile une prise dchantillons de la sortie continue y(t) a priode fixe T (priode dchantillonnage). Si lon fait lhypothse que le temps de codage est ngligeable (chantillonnage instantan) et quil ny a pas derreur de quantification, on peut reprsenter lopration de conversion analogique-numrique selon le schma

lopration dchantillonnage peut tre assimile la modulation du signal continu y(t) par un train dimpulsions unitaires de priode T not T (peigne de Dirac)

ou y*(t) est un signal temps continu gal y(t) aux instants t(kT) et zro ailleurs.

ou yk = y(kT) est la valeur de lchantillon de y(t)a linstant kT . Le signal chantillonn est reprsent par la squence des valeurs y*(kT)mesures

avec la priode T : 17

Lchantillonnage conduit une perte dinformation au regard du signal continu. Cette perte dinformation est dautant plus grande que la frquence f =1/T est petite. Idalement il faudrait donc chantillonner une frquence infinie, cependant, le choix

de la priode dchantillonnage dpend du type de procd et des possibilits offertes par les outils numriques. En tout tat de cause, lchantillonnage doit respecter le thorme de Shannon qui prcise que la frquence dchantillonnage f=1/T doit tre au moins gale deux fois la plus grande frquence contenue dans le

spectre du signal que lon veut chantillonner.

Conversion numrique analogique Le processeur calculant la commande appliquer au procd travaille de manire

squentielle et gnre des valeurs numriques uk avec la mme priode T que celle

qui a t choisie pour lchantillonnage. Lopration de conversion numrique-analogique la plus courante consiste a produire un signal de commande u(t) en

escalier partir des valeurs uk selon le schma

18

19

Choix de la frquence dchantillonnage

Le processus n'est observ et la commande ne peut changer qu'aux instants Te :

Le choix du pas Te est important car

Si Te est trop petit, le calculateur corrigera sans arrt a tout petits coups; Si Te est trop grand, le calculateur risque de perdre des informations importantes mais trop rapides ou mme ne plus pouvoir commander car les erreurs (sortie-

consigne) seront trop importantes.

En pratique, on choisira une frquence dchantillonnage fe en fonction de la frquence la plus haute que l'on souhaite observer fh (ce qui est directement

li la frquence de coupure du systme que l'on souhaite commander).

Le thorme de Shannon prcise que la frquence dchantillonnage f =1/T doit tre au moins gale deux fois la plus grande frquence contenue dans le spectre

du signal que lon veut chantillonner. Ce rsultat est exploitable uniquement la donne dun signal. Cependant, le signal de sortie dun systme y(t) nest pas connu dans la problmatique considre. Le vritable problme envisag est celui de

lchantillonnage en sortie dun procd dont on connait, sa fonction de transfert mais la sortie du systme est inconnue car elle dpend du signal dentre u(t) qui nest pas prcis. La mthode consiste alors analyser les frquences transmises par le systme. En traant le diagramme de Bode il est possible de dterminer la

frquence de coupure fc du systme et donc dindiquer que toutes les frquences suprieures fc dans le spectre du signal de sortie seront attnues.

fe = (6 25) bande passante de la boucle ferme

1er ordre :

Te = 1/fe : priode dchantillonnage

BF

BPfBF

BPf

pTpG

01

1)(

0

02

1

TffBF

00

4TT

Te

20

2me ordre :

2

6.01

27.0

2

0

0

2

0

2

0

2

0

BP

BP

f

f

pppF

10.7 ;5.125.0 0 eT

1 ;75.14.0

7.0 ;125.0

0

0

e

e

T

T

Exemple Considrons ce systme

Diagramme de Bode du procd

La frquence de coupure est approximativement de wc=5rad /s ou encore fc =wc/2. La priode dchantillonnage choisir donc est:

21

Nous choisissons T =0,2s pour observer le comportement quand lchantillonnage implique la plus grande perte dinformation. Leffet de cette priode dchantillonnage est observe sur des exemples de signaux en sortie du systme. Pour une entre

impulsionnelle et une entre en chelon. On observe que la priode dchantillonnage rend correctement compte de la ralit du signal temps continu. Il ny a pas de perte significative de linformation contenue dans le signal

Les observations peuvent galement se faire avec T= 0,05s, quand lchantillonnage devient lev au regard des frquences non-attnues par le systme. On constate

que lchantillonnage est trs dense en comparaison des dynamiques observes. Tout chantillonnage plus rapide demanderait des vitesses de capacit de traitement

non ncessaires.

Sorties a temps continu et chantillonnes T= 0,05s T =0,2s 22

Transforme en z (transforme de Laplace des signaux discrets) :

a. Dfinition La transforme en Z dun signal chantillonne est dduite de sa transforme de Laplace

)(zS est la transforme en z du signal discret s nT( ) (signal s t( ) chantillonn avec la cadence T).

s t s p s t e dtL tp( ) ~( ) ( )

0

par chantillonnage

0

)()()( nZ znTszSnTs

1z est loprateur retard .

La transforme en Z est une forme de la transforme de Laplace. La relation

est fondamentale, car elle permet dtendre les rsultats tablis pour les systmes en temps

continu aux systmes en temps discret.

Tpez

0

)()()]([n

nznxzXnxZ

0

10 ......n

nn UUUUSUne srie S : converge si la condition suivante est satisfaite :

1lim1

nn

nU Dans le cas de la TZ, on a :

L f t nT e L f tnTp( ( )) ( ( )) n

nTtnsts )()()(* avec le thorme du dcalage temporel

0

** )())(()(~

n

nTpenTstsLps La transforme en Z sobtient en posant Tpez

23

1)(lim soit, 1)(lim 111

znxznx n

n

nn

n

Posons, rnx nn

1

)(lim

Daprs la relation prcdente : rzr

z111

1

La srie converge donc pour z > r, le disque de convergence.

La figure illustre ce domaine de convergence pour r = a.

b. Transforme en z des signaux lmentaires : En appliquant la dfinition (1) de la transforme en z, on tablit aisment que :

Echelon unit: u t( ) 0 1 donne par chantillonnage u nT( ) 1 pour n 0

.

11

1

1

1lim))((

110

z

z

zz

zznTuZ

n

nn

n si 11 z

soit 1z (cest le domaine de convergence)

Impulsion: en temps continu, cest limpulsion de Dirac ( )t

on utilise la fonction de Kronecker, soit 1)( n si n 0, et 0)0( n

On trouve donc 1)( nZ sans condition de convergence sur z.

, en temps discret,

24

Premier ordre : naTZanTLaplaceat zeenTsap

ets

)()(,1

)(

qui converge vers 1

1 1

z e

z

z eaT aTaTez si

Exponentielle 1 si 1

1)()( 1

1

az

az

z

azzEane n

az soit

c. Quelques proprits de la transforme en Z : Les transformes en Z et de Laplace L ont des proprits lies par la relation

z eTp

Z est donc linaire, do la possibilit de dcomposition en lments simples.

Le thorme du retard de Z remplace celui de la drive et permet le calcul de la fonction

de transfert : e n E z

e n e n z e z E z

Z

Z n

n

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

0

1

A condition initiale )1(e nulle, on a donc : Z e n z Z e n( ) ( ) 1 1

et plus gnralement Z e n k z Z e nk( ) ( ) 25

Translation temporelle )1(....)1()0()()( 1 kzeezezneZzkneZ kkk

Multiplication par nk

zEdz

dznenZ

zEdz

dznneZ

k

k

)(

)(

Thormes des valeurs initiale et finale : soit e n E zZ

( ) ( )

Thorme de la Valeur Initiale : )(lim)(lim)(

1lim)0( 1

01

zEzEzE

z

ze

zzz

Thorme de la Valeur Finale : )()1(lim)()1(lim)(lim 1111 1

zEzzEzne

zzn

a

zEneaZ n )( Multiplication par an

Thorme de sommation: )(lim)(lim)(1

110

1

zEzEnezz

n 26

. Transforme du Produit de Convolution * : Le produit de convolution de deux signaux discrets a et b est dfini comme suit :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b n a n i b i a i b n ii i

, avec ni 0 si a bet sont causaux.

Comme pour la transforme de Laplace, on a : )()()()(

)()())((

nbZnaZnbnaZ

nbZnaZnbaZ

Formule des rsidus : pour inverser la transforme en z,

1)(

111 ))(()(2

1)()(

nzzH

ples

n

C

n zzHRsidusdzzHzj

zHZnh

avec, pour le rsidu de )(zF en az ple dordre mazenpris

m

m

m

zFazdz

d

m

))()(()!1(

11

1

d. Inversion de la transforme en z

Division suivant les puissances croissantes de z

......1

...)( 22

1

102

2

1

1

2

2

1

10

zszsszbzbzb

zazazaazH

p

p

n

n

Mthode des fractions rationnelles Dcomposer en lments simples H(z)/z et dduire la dcomposition de H(z) sous la forme:

puis dvelopper ces fractions lmentaires en srie

en tenant compte de la couronne de convergence.

......)(2

2

1

1

bz

za

bz

zazH

27

Mthode de l'quation aux diffrences

Exemple: 11

1

)(

)(

azzX

zY on a )()()()()1)(( 11 zXzYazzYzXazzY

...])2()()0([...])2()()0([...])2()()0([ 2121121 zTxzTxxzTyzTyyazzTyzTyy

Exemple: zzz

zzX

1

5.05.1

2)(

2

5.0

4

1

4

5.05.1

2)(2

zzzzz

zX

zz

z

z

zzX

1

5.0

4

1

4)(

Do la squence ))5.0(1(4)( kkx

))1(()()(

)())1()(

.................................

)()0()(

)0()0(

TnaynTxnTy

nTxTnaynTy

TxayTy

xy

do

....)()()( 2211 nn babanTh

28

Dfinition 1 Un systme linaire discret (SLD) est un processus dynamique qui

transforme un signal d'entre x(n) en un signal de sortie y(n). Le terme 'linaire'

implique le principe de superposition.

Dfinition 3 Un systme est stable si, quelle que soit la squence damplitude finie

applique lentre, sa sortie ne devient pas infiniment grande.

Dfinition 2 Un systme est causal si la squence de sortie ne dpend que des valeurs

actuelle ou passes de la squence dentre.

30

III. Reprsentation des systmes Discrets

1. Systme discret Un systme temps discret se dfinit comme un oprateur entre deux signaux

temps discret. Considrons le systme reprsent sur la figure , o x(n) reprsente

le terme gnral de la squence dentre et y(n) le terme gnral de la squence de sortie. Un modle entre-sortie, appele aussi modle externe, ne fait intervenir que

les variables dentre u(n) et de sortie y(n).

31

Un systme linaire discret (SLD) est dit stable si, pour le signal d'entre

x(n) = on a y(n) = h(n) avec :

Une condition ncessaire (mais non suffisante) est la suivante :

n

nh )()(n

0))((lim

nhn

2. Equations aux diffrences La manire dont un systme linaire discret causal transforme un signal d'entre x(n) en

un signal de sortie y(n) est dcrite par la relation suivante :

)(....)2(.)1(.

)(....)2(.)1(.)(.)(

21

210

Pnyanyanya

Mnxbnxbnxbnxbny

p

M

Plus formellement :

P

p

p

M

m

m pnyamnxbny10

)(.)(.)(

Lquation dcrit une quation aux diffrences.

Le systme est causal, les sorties dpendent uniquement des vnements passs.

lquation rcurrente est bien adapte au calcul numrique. Cest la forme sous laquelle

seront prsents les algorithmes de commande des procds. Le systme est entirement

dfini et lquation rcurrente peut tre rsolue si lon prcise les conditions initiales.

Dfinition 4 Le SLD est dit 'non rcursif' si a1 = a2 = a3 = = ap = 0 (principe du filtre

FIR). Il est dit 'rcursif' si un seul coefficient ai est diffrent de zro (principe du filtre IIR).

La transforme en Z de y(n), on a :

)(.....)(..)(..

)(.....)(..)(..)(.)(

2

2

1

1

2

2

1

10

zYzazYzazYza

zXzbzXzbzXzbzXbZY

P

P

M

M

Plus formellement :

P

p

p

p

M

m

m

m zazYzbzXzY00

.).(.).()(

32

3. Fonction de transfert

)().()(.

.1

.

)(

0

0 zXzHzX

za

zb

zYP

p

p

p

M

m

m

m

p

p

M

M

P

p

p

p

M

m

m

m

zazaza

zbzbzbb

za

zb

zH

......1

......

.1

.

)(2

2

1

1

2

2

1

10

0

0

La fonction H(z) est appele fonction de transfert. Ce n'est rien d'autre qu'une

fraction rationnelle. On la rcrit :

Si x(n) = (n), alors Y(z) = H(z) et y(n) = h(n) !

La relation (4) scrit encore sous la forme dun produit de convolution discret puisque :

))(()()()()(1

nxhnyzXzHzY Z

)()( 1 zHZnh est alors la rponse impulsionnelle du processus discret dquation (4)

et de fonction de transfert )(zH , on a comme en temps continu

)]([)( nhZzH

n

k

knxkhny0

)().()(Soit, pour un systme causal

33

Matlab

% Cration d'un systme linaire discret :

Te=0.1;

sysd = tf ( [b0 b1 b2], [1 a0 a2 a3] ,Te,'variable' ,'z^-1' ) ;

34

Exemple

)2(.5.0)1()1(.4)(.2)(

)(..5.0)(.)(..4)(.2)(

)()..42()()..5.01(

)(..5.01

.42)(

.5.01

.42)(

211

121

21

1

21

1

nynynxnxny

zYzzYzzXzzXzY

zXzzYzz

zXzz

zzY

zz

zzH

On a:

Z inverse:

Cest l'quation aux diffrences correspondant la fonction de transfert H(z).

Elle est valable quel que soit le signal d'entre x(n). Si on veut la rponse impulsionnelle,

on pose x(n)=(n).

4. Rponses temporelle et frquentielle Pour caractriser des systmes on s'intresse souvent leur rponse

impulsionnelle ou, plus souvent, leur rponse indicielle.

a- Rponse impulsionnelle :

)()( zHzY

Matlab

% Rponse impulsionnelle d'un systme :

[y, t ] =impulse(sysd) ;

35

alorszHz

zzY

z

zzX )(

1)(,

1)(

1

)()( 1

z

zzHZny

le script pour obtenir les 20 premiers chantillons de la rponse indicielle d'un systme

Matlab

% Rponse indiciel le d'un systme :

[y, t ] =step(s ysd,20) ;

Gain statique : 1

)(limz

zH

b- Rponse indicielle :

c- Rponse harmonique : On procde comme en temps continu avec Tpez

p j se traduit par z e j T

do la rponse harmonique ou frquentielle, Gain = )(TjeH et Phase = )( TjeH

5. Rponse des systmes discret

a- A partir de lquation rcurrente Un systme temps discret peut tre reprsent par une quation rcurrente :

Cette modlisation est sous forme algorithmique adaptable limplantation dans le processeur. Elle est bien adapte la formulation des lois de commande.

Exemple

Soit le systme temps discret suivant :

Il est suppos initialement au repos

et on applique une entre impulsionnelle

Lapplication successive de lalgorithme conduit :

soit

36

Comme dans le cas des systmes temps continu, la fonction de transfert permet un

calcul ais des rponses uniquement dans le cas des systmes initialement au repos.

b- A partir de la fonction de transfert

Soit G(z)une fonction de transfert et U(z)=Z[u(k)] la transforme en Z dune squence dentre, sous lhypothse de conditions initiales nulles la rponse du systme est donne par :

c- Notion de modes pour calculer la rponse dun systme temps discret, il est possible de procder par dcomposition en lments simples de Y(z)/z.

Soit G(z)la fonction de transfert dun systme comprenant np ples nots p1,, pnp. Chaque ple peut ventuellement apparaitre plusieurs fois dans le dnominateur.

On parlera de mi, lordre de multiplicit du ple pi (i=1,.,np). Identiquement on dfinit une entre quelconque U(z) pour le systme. Sa transforme

en z se caractrise par un polynme au dnominateur avec un certain nombres de

racines r1,,rq. Aprs avoir effectuer la dcomposition en lments simples de Y(z)/z=G(z)U(z)/z on

trouve une reprsentation

37

les fonctions G(z) se dcomposent comme suit :

leur transforme en z inverse scrit :

lvolution de ce terme dpend essentiellement de la valeur de pi. On parlera de mode associ au ple pi et nous allons dcrire dans la suite des catgories de

comportement de ces modes en fonction de la valeur (relle ou complexe) de pi.

Par superposition, la rponse dun systme une entre quelconque comprends toujours une somme de termes tels que :

dont dvolution temporelle est caractrise par chacun des modes. Il y a autant de modes que le systme a de ples distincts.

d- Mode rel Un mode rel est associ un ple rel. Soit p ce ple et la suite

correspondant la contribution de ce ple la rponse du systme.

38

Si p< 1, alors la suite converge vers 0 quand k . On parle alors de mode convergent dont la convergence est porte par la suite

gomtrique. La vitesse de convergence dpend essentiellement de la valeur de p.

Plus la valeur de p est faible, plus le mode converge vite vers lorigine (convergence exponentielle).

Si p> 1, alors la suite diverge quand k . On parle alors de mode divergent dont la divergence est porte par la suite

gomtrique. La vitesse de divergence dpend essentiellement de la valeur de p. Plus

la valeur de p est grande, plus le mode diverge vite (divergence exponentielle).

Si p= 1 et que P(k)= P(0) est un polynme constant, alors la contribution de ce mode est un signal qui ne diverge ni ne converge. On parle alors de mode entretenu.

Ce cas est possible uniquement si P(k)est un polynme constant (i.e. de degr zro)

ce qui est possible uniquement quand lordre de multiplicit du ple est gal a m=1.

Si p= 1 et P(k) est de degr non nul, alors la suite diverge quand k On parle de mode divergent dont la divergence est porte par la suite .

Si p>0, alors la suite a tendance (au signe de P(k)prs) a tre du mme signe (mode apriodique).

Si p

Si p=0, alors la suite converge vers 0 en une seule iteration, rponse pile

Exemple

Soient les deux systmes suivants compos dun seul et mme ple.

(x pour G1 et o pour G2). On constate que la divergence mme si elle nest pas exactement identique se fait avec la mme vitesse approximative. Lautre constatation est que le signe de la rponse suit la courbe dun polynme (mode apriodique).

40

Exemple

Les rponses un chelon pour ces deux

systmes sont donnes sur la figure

(o pour G1 et x pour G2).

On constate que la convergence est

assez similaire mme si elle nest pas exactement identique, le signe de la

rponse alterne (mode oscillatoire).

(o pour G1 et x pour G2), G1 a une

rponse oscillante ni divergente ni

convergente (mode entretenu oscillatoire)

car le ple = 1 apparat dans la fonction de

transfert avec un ordre de multiplicit gal

un. G2 par contre diverge sans osciller

car le ple =1 est positif et dordre de multiplicit gal deux. La divergence

nest pas exponentielle, mais tend vers une asymptote linaire.

41

e- Mode complexe Les racines dun polynme coefficients rels sont soit relles soit complexes. Dans le second cas, pour chaque ple p tels que Im(p)0 il existe un autre ple p* complexe conjugue de p. ces deux ples p et p* interviennent ncessairement avec le mme

ordre de multiplicit. Par dfinition un mode complexe est associ un couple de

ples complexes conjugus lun de lautre. La contribution de ce mode est de la forme suivante :

o Pa(k)et Pb(k) sont des polynmes coefficients complexes du mme degr,

mais il est possible de monter que la contribution conjointe des puissances de

est ncessairement relle. Ds lors la contribution dun mode complexe peut galement scrire sous la forme suivante

o P(k)est un polynme coefficients rels, o est un dphasage dtermin par la situation, o r est le module du ple et o q est largument du ple. Daprs les formule dEuler on a

ltude des suites telles que nous enseigne les caractristiques

suivantes sur la contribution dun mode complexe : 42

Si p= > 1, la rponse transitoire diverge `a la vitesse de (divergence exponentielle),

Si p= = 1, la rponse transitoire diverge a la vitesse du polynme P(K) et si le pole est de multiplicit gale 1 alors P(k)= et le mode ne converge ni ne diverge (mode entretenue).

Si arg(p)= 0 est largument de p, la rponse du systme oscille a cette frquence (oscillation porte par la convergence de ), Le mode est oscillatoire.

Allure des modes selon leur emplacement dans le plan de Laplace 43

Remarque: En pratique, on retiendra quun systme a temps discret peut avoir deux sources doscillations : la prsence de modes complexes et/ou la prsence de modes a partie relle ngative. Bien entendu, ces deux phnomnes doscillations peuvent se superposer.

Exemple

La rponse impulsionnelle de ce systme est obtenue en calculant loriginal de sa fonction de transfert en z :

soit

Si les modes du systme sont rels , le systme est compos de deux modes rels dont le comportement dpend respectivement des valeurs de 1 et 2.

Si les modes sont complexes conjugus , il vient :

44

A la donne de a0 et a1, la rponse transitoire dun systme du second ordre est soit une somme de deux modes rels soir un mode complexe dont la convergence est

donne par le module des ples et loscillation est donne par leur argument

Les rponses impulsionnelle et indicielle pour les valeurs b0=0,5, a1 = -1 et a0=0,5.

Exemple:

G1 admet deux ples complexes conjugues

Ces ples complexes sont de module gal un et ils sont de multiplicit simple

donc la rponse indicielle est oscillante entretenue

Remarque: la convergence globale dun systme se fait avec la constante de

temps du mode le plus lent. Cest dire la vitesse du mode dont le ple le

module le plus grand

45

G2 admet les ples

Le mode associ ce ple a les mmes

caractristiques que pour G1 si ce nest que en plus de loscillation lie a , s'ajoute une alternance due au fait que la

partie relle est ngative.

G3 est tel que le couple de ples

est dordre de multiplicit gale a deux. Le systme est donc oscillant avec les mmes

caractristiques que pour G1 mais la

diffrence quil diverge avec une vitesse polynomiale.

6. Caractrisation des modes par analogie

Les ples des systmes continus peuvent tre dcrits par :

pour les ples complexes, devient dans le cas de ples rels :

Et les polynmes caractristiques des systmes temps continu se factorisent

avec des termes tels que : 46

Les diffrents paramtres caractrisent les rponses des modes des systmes continus:

temps de rponse du mode (le mode converge 95% de sa valeur

finale en 3t secondes).

pulsation propre (caractrise la pulsation de loscillation dans le cas dun mode complexe).

pulsation propre non amortie.

coefficient damortissement (plus z est faible plus le mode oscille avant de converger).

Pour les systmes continus chantillonns, les ples du systmes discret obtenu aprs chantillonnage se dduisent du systme continu original suivant la

formule :

T est la priode dchantillonnage, pc les ples du systme continu et pd les ples du systme discret.

Ainsi partant du ple dun systme continu ayant certaines caractristiques en termes de temps de rponse, damortissement et de pulsation propre on trouve les ples dun systme discret (fonctionnant a la priode T) qui aurait les mmes caractristiques dynamiques :

47

Inversement un ple rel dun systme discret, pd = zr se caractrise par :

un temps de rponse , ou T est la priode de fonctionnement du systme discret,

des pulsation propres nulles et un amortissement = 1 (le mode est non oscillant).

Un ple complexe se caractrise par :

un temps de rponse

une pulsation propre

une pulsation propre non amortie

un amortissement

48

La reprsentation dtat utilise lalgbre linaire (calcul matriciel) dont les principaux avantages sont :

Un mme formalisme pour les systmes analogiques ou chantillonns.

Un mme formalisme pour les systmes mono- ou multi-variable.

Une analyse interne des systmes.

Lutilisation gnralise de lordinateur.

1. Reprsentation dtat des systemes continus

Equation dtat BeAxdt

dx

DeCxs Equation dobservation

Prenons par exemple un systme dordre n :

e s quation diffrentielle dordre n n quations du 1er ordre

+

s=f(e,x)

49

IV . reprsentation dtat des systmes discrets

A : matrice de dynamique ou matrice dtat

B : matrice de commande

C : matrice dobservation

D : matrice de transfert direct

avec : n

n

n

q

q

p

n

p D sera nulle pour un systme

physique rel

A, B, C et D constitue la

reprsentation dtat

Exemple 1er Ordre

C

R s e

v

variable dtat : v (tension aux bornes du condensateur)

vx quation dobservation :

1D

1C

evves

quation dobservation :

RC

1B

RC

1A

RC

ev

RC

s

dt

dv

R

si

C

i

dt

dQ

C

1

dt

dv

p : entres

q : sorties

50

Pour un systme le vecteur d'tat n'est pas unique : il existe une

infinit de reprsentation pour un mme systme.

2. Cas Discret


dx

DeCxs Equation dobservation Continu :

Equation dtat kk1k

BeAxx

kkkDeCxs Equation dobservation

Discret :

e(t)

A

+

+

x x

D

s(t) +

+

C B

ek

A

+

+

1kx

D

sk C B 1Z k

xRetard d'un chantillon =

1Z1kx kx

+ +

51

3. Solution gnrale des quations d'tats


dx

Solution = Solution gnrale sans entre (e=0) + Solution particulire

avec entre (e)

a - Solution gnrale sans entre (e=0)

Axdt

dx

0

ttA txetx 0 o t0 est l'instant initial

La matrice s'appelle la matrice de transition d'tat Atet

Proprits de :

0xx

0xx

A

tt

tnt

tttt.tt

1

00

n

00

020212

Cas Continu

52

53

Calculs de :

1n

nn2

At

!n

At

!n

At

!2

AtAtIet

Par le calcul de la srie :

n

2

1

e0

e

0e

et

0

0

A At

n

2

1

Si A est diagonale :

Par la transforme de Laplace :

nj,i1avecaTLApIeTLalors

nj,i1avecaeSi

j,i

1At

j,i

At

La mthode consiste donc calculer la matrice puis prendre la transforme de Laplace inverse de chacun des termes de la matrice

1ApI

11Ate ApITLt

54

Par le thorme de Cayley-Hamilton : Le thorme exprime que toute matrice carre A est solution de l'quation

caractristique :

01

2n

2n

1n

1n

n

AapapapapApIdetpQ

OIaAaAaAaA01

2n

2n

1n

1n

n

Donc :

An s'exprime donc en combinaison linaire de I,A, A2, , An-1. Il en dcoule que le dveloppement :

1n

nn2

At

!n

At

!n

At

!2

AtAtIe

est limit au degr n-1 :

1ni1ni10

t ttte i

Les coefficients i vrifient pour chaque valeur propre i l'quation :

1n1n10

At AtAtIte

b - Solution particulire pour e0

BeAxdt

dx

On utilise la technique classique de variation de la

constante, donc on cherche une solution particulire de la

forme : ttqtx

p

BeAxdt

dx

ttqtxp

BeqAqq

A

t

t

t

t

1

p

t

t

1

p

t

t

1

1

00

0

0

d.e.B.td.e.B.ttx

d.e.B.ttqttx

d.e.B.tq

Beq

Beq

Donc la solution est :

t

t00

0

d.e.B.ttxtttx

t

0

d.e.B.t0xttx

Gnralement on peut toujours se ramener t0=0 :

teBt0xttx Si de plus on a e(t) causale :

56

c Rponse Force et Rponse Impulsionnelle

teDBtCtsDeteBt0xtCts

00x force rponse

DeCxts

0

Rponse impulsionnelle : tte

0

DBtCtRI

Cas Discret

a Rgime libre

k

m

mk

k

3

2k3k

k

2

1k2k

k1k

xAx

xAAxx

xAAxx

Axx

0

0

0

kk

0

k

kk

k

Akk

xAx

b Solution Globale

ik

1m

0i

1im

k

m

mk

2k1kk

2

k

3

2k2k3k

1kkk

2

1k1k2k

kk1k

000

0000000

000000

000

eBAxAx

BeABeBeAxABeAxx

BeABexABeAxx

BeAxx

57

j

1k

kj

1jk

k

kk

k

00

eBAxAx

ik jet mkk pose On

00

0

Si e est causale kTeBA0xAkTx 1kk

c Rponse Force et Rponse Impulsionnelle

k0,k

1k

k

k

1k

k

eDBCAs

DeeBCAs

0,k

1k DBCARI

Calcul de Ak :

2DeCxs

1BeAxx

kkk

kk1k

Prenons la TZ de (1) :

ZBEAZIZxAZIZX

ZBEZxAZIZX

ZBEZxZXAZI

ZBEZAXZxZZX

ZxZZXxTZ

0k : initial Instant

1

0

1

0

1

0

0

01k

58

j

1k

kj

1jk

k

kk

keBAxAx

00

0

ZBEAZITZxZAZITZx 110

11

k

En utilisant les deux expressions connues de xk on obtient :

ZAZITZA 11k

4. Expression de la transmittance en fonction de la reprsentation d'tat

DeCxs

BeAxx

a. Systme continu e est de taille p

s est de taille q

n ordre du systme

En prenant la TL :

pBEApIpX

pBEpXApI

pDEpCXpS

pBEpAXppX

1

DBApICpE

pSpF

pDEpBEApICpS

1

1

ZBEAZITZxZAZITZx 110

11

k

59

Dans le cas gnral F(p) sera une matrice : pFq p

pE

pE

pE

pF

pS

pS

pS

p

j

1

j,i

q

i

1

jkpour 0

,

kEj

iji

pE

pSpFavec

Remarque: Les lments de la matrice ont tous le mme dnominateur gale :

Donc les valeurs propres de la matrice dynamique A sont solutions de

l'quation et sont aussi les ples de la transmittance

ApIdet

0ApIdet

b. Systme discret

Si on applique la transformation en z aux quations dtat et si on suppose nulles les conditions initiales, on obtient :

La fonction de transfert du systme est donc :

Linverse dune matrice carre tant gale sa matrice adjointe divise par son dterminant, nous pouvons en dduire que les ples de la fonction de transfert

sont les valeurs de z qui sont solutions de lquation :

Ce sont donc les valeurs propres de la matrice [A]. 60

61

6. Commandabilit et Observabilit dun SLI

Dfinition : Commandabilit ou Gouvernabilit

Un systme dquations est commandable linstant t0 si : BeAxx

Quelque soit les tats x(t0) et x(t) pour t>t0, il existe une loi de commande

e(t0 t) capable de transfrer le systme de x(t0) x(t).

On dit donc que le systme est commandable linstant t0

Le systme est compltement commandable ou commandable sil lest quelque soit t0 (Cas des systmes invariants)

Dfinition : observabilit

Un systme A, B, C, D est observable linstant t0 :

Sil existe un instant t> t0 tel que x(t0) puisse tre dtermin partir de la connaissance de s(t0 t) quelque soit e(t).

Le systme est compltement observable ou observable sil lest quelque soit t0 (Cas des systmes invariants)

62

a. Critre de Commandabilit

Le systme A, B, C, D est commandable si en reprsentation diagonale B na pas de ligne nulle.

p

1

np1n

ij

p111

n

1

n

1

n

1

e

e

bb

b

bb

x

x

p0

0p

x

x

p

1jjijiii

ebxpx

Si la ligne i de la matrice b est nulle implique que xi ne dpend daucunes entres ej

iiixpx

Critre gnral de Commandabilit

On construit la matrice de commandabilit :

Le systme est commandable si C est de rang n ou encore sil existe un dterminant nn 0

BA,,BA,AB,B 1n2 C

La commandabilit des systmes temps discret studie exactement de la mme manire que pour les systmes temps continu.

63

b. Critre dObservabilit

Le systme A, B, C, D est observable si en reprsentation diagonale C na pas de colonne nulle.

n

1

qn1q

ij

n111

q

1

x

x

cc

c

cc

s

s

Si la colonne j de la matrice C est nulle implique quaucunes des sorties (s1 sq) ne dpendra de xj

Critre gnral dObservabilit

On construit la matrice dobservabilit :

1n

2

CA

CA

CA

C

Le systme est observable si est de rang n ou encore sil existe un dterminant nn 0

64

c. Deux cas de perte dObservabilit

1 Par chantillonnage (concerne les systmes possdant au moins une paire de ples

complexes conjugus) Prenons lexemple dun deuxime ordre chantillonn par un bloqueur dordre zro.

2

0

2

2

0

p

B0 ek

T s(t) sk 1re Ralisation Compagne

0D0C

1

0B

0

10A

2

0

2

0

Systme continu

le systme A, B, C, D est observable, car est de rang 2 donc Observable

2

0

2

0

0

0

Systme chantillonn

20

0

2

0

2

2

01

ZTcosZ21

Z1Tcos1ZF

ppTZZ1ZF

65

1re Ralisation Compagne

11Tcos1CTcos21

10A

0e

0

e

Tcos211

11Tcos1

0

0

Tcos12Tcos1Tcos12det

0

2

00

Calculons le dterminant de pour discuter de lobservabilit du systme :

e0

e

0

0

0

k22

kT

k

kT

1Tcos

0det si Observable

La distance verticale

entre les deux ples

complexes conjugus

ne doit pas tre un

multiple de e

bpap1

E S

2 Par compensation de ples et zros

p

abpbap

p

bpap

1ppF

2

66

baab

1

CA

C

b

ou

a

0det

baabbadet

Perte dobservabilit si un zro est gale un

ple

1re Ralisation Compagne

0D1C1

0B

baab

10A

Influence de la priode dchantillonnage sur lobservabilit et la commandabilit Le choix de la priode dchantillonnage est susceptible dinfluencer lobservalibilit et la commandabilit dun systme. On montre quun systme temps discret perd son observabilit et sa commandabilit si il existe deux valeurs propres distinctes 1 et 2 de la matrice [A] qui possdent la mme partie relle et dont la diffrence des parties

imaginaires est un multiple de la pulsation dchantillonnage we Remarque : il y a donc peu de chance quun systme temps continu perde sa commandabilit et son observabilit si on prend soin de ne pas chantillonner une

frquence multiple dune de ses frquences propres.

7. Reprsentation dtat partir de la fonction de transfert En temps discret comme en temps continu, la reprsentation dtat dun systme nest pas unique. Nous prsentons ici plusieurs types de reprsentation dtat que lon peut obtenir partir dune fonction de transfert G(z). Les principes de construction tant rigoureusement les mmes que pour la

reprsentation dtat en temps continu,

a. Reprsentation modale

Ce type de reprsentation, encore

appele reprsentation parallle,

convient particulirement bien la

reprsentation dun systme possdant plusieurs ples rels

distincts. Soit G(z) sa fonction de

transfert :

Il vient:

67

La matrice de commande [A] est diagonale et ses valeurs propres sont les ples de

la fonction de transfert.

b. Reprsentation srie

Cest le produit de n fonctions de transfert et peut tre matrialise par la mise en cascade de n blocs lmentaires.

68

c. Reprsentation compagne commandable

la fonction de transfert nest pas factorise.

par analogie totale avec les rsultats obtenus pour ltude de la forme compagne commandable en temps continu. Il suffit en effet de remarquer la similitude complte

de cette fonction de transfert en z avec la fonction G( p) qui y a t tudie, en faisant

la transformation

69

Reprsentation dtat sous forme compagne commandable

72

73

d. Reprsentation compagne observable

8 Reprsentation dtat et discrtisation d'une quation d'tat continue

Les rentres tant commandes priodiquement par u(i)=u(iT) travers r bloqueurs d'ordre

zro et les sorties tant chantillonnes avec la mme priode T.

Quelles sont les quations d'tat et de sortie discrtes correspondantes ?

La forme de l'quation d'tat discrte sera :

sortie deEquation )()()(

tatd'Equation )()(

tDutCxty

tButAxdt

dx

)()()1( iuBixAix dd

t

to

tAtotA dBuetoxetx )()()( )()(Son volution est dcrite par:

D'aprs la dfinition du bloqueur d'ordre zro, pour t iT i T , 1 on a u(iT)=cte t iT0 donc : avec

x t e x iT e Bu iT dA t iT A tiT

t

D'o l'tat du systme continu l'instant (i+1)T :

Soit un systme linaire ayant r entres et m sorties :

77

x i T e x iT e d Bu iTAT A i TiT

i T

111

d'o : A edAT

B e d BdA T

T

0

Do, puisque tat continu et tat discret sont identiques aux instants d'chantillonnage,

l'quation de sortie discrte est videmment : )()()( iDuiCxiy

Remarque: si A est inversible alors:

Donne: BIAABIeAB dAT

d )()(11

DBAzICzH dd 1)()(La transmittance en z est donc:

On pose t=-iT; dt=d; =t+iT; soit,

;

)1(

0

)(])1[(

Ti

iT

T

tTATiA dtede

u(k) Bd

x(k)

D

C + +

y(k) x(k+1)

Ad

Z-1

a. Reprsentation discrte:

B e d BdA T

T

0

78

b. Equation dvolution pour un systme discret invariant dans le temps

La solution du systme homogne: )()1( ixAix d

est donne par: )0()( xAix kd

Pour le systme )()()1( iuBixAix dd On peut crire la somme des termes:

)0()0()1( ;

.........................................................

)2()2()1( ;

)1()1()( ;

1uBxAxA

kuBkxAkxA

kuBkxAkxI

dd

k

d

ddd

dd

Do on dduit lquation dvolution du systme discret:

1

0

1)()0()(

k

i

d

ik

d

k

d iuBAxAkx

79

1. Stabilit BIBO des systmes

BIBO vient de la dfinition en anglais :bounded input, bounded output. La caractrisation des systmes stables se fait en prouvant que la sortie du systme

est toujours non divergente tant que le signal dentre est contenu dans un certain domaine. La traduction de langlais dit `a entre borne, sortie borne. Mathmatiquement la dfinition est :

Dfinition : Un systme dfinit part ses entres/sorties tel que:

est BIBO stable si pour toute entre borne

la sortie est toujours borne

Cette dfinition trs gnrale, sapplique a tout type de modle. Dans le cas des systmes linaires, elle se particularise et revient a tudier les modes du systme.

80

V. Analyse des systmes discret

La solution gnrale dune quation diffrentielle coefficients constants est une

exponentielle de la forme ept . Il en va de mme pour une quation aux diffrences

coefficients constants ; dans ce cas lexponentielle numrique sera de la forme pk; o p

est une constante, complexe ou non.

Si on envoie une impulsion de Dirac un systme, sa sortie sera Y(z) = G(z).1

2. Stabilit des systmes numriques

la dynamique de la rponse dun systme dpend directement des racines de son quation

caractristique. Comme la rponse du systme est dcrite par des exponentielles pk, il suffit

que le module de la racine p soit infrieur lunit pour que cette rponse tende vers

zro au fur et mesure que n augmente. Les racines de lquation caractristique ne sont

autres que les ples de la fonction de transfert reprsentant le systme et aussi les valeurs

propres de la matrice dtat Ad.

...)(o d' ...)(

2211

2

2

1

1

kk zAzAkyzz

A

zz

A

z

zY

La rponse limpulsion y(k) ne samortit et tend vers zro que si |zi| < 1

81

On considre le demi-plan gauche de Laplace (p < 0). Comme |z| < 1 et arg(z) , les valeurs de z se situent l'intrieur du cercle unit. Cette transformation est illustre

par la figure suivante

p=sjw; z=e(sjw)T; on a donc z =esT et arg(z)=w.T

Conclusion Un systme numrique est stable si toutes les racines de son quation

caractristique sont lintrieur du cercle unit, alors quun systme analogique

nest stable que si ses ples sont partie relle ngative.

La recherche analytique des ples de la fonction de transfert tant difficilement ralisable,

on utilise comme en continu des critres de stabilit.

82

Afin de pouvoir utiliser, en chantillonn, certains critres et mthodes appliqus en continu,

on peut faire la transformation conforme:

Cette transformation fait correspondre lintrieur du cercle unit dans le plan des z

au demi-plan gauche dans le plan des w.

1

1

z

zw

stable instable

Plan de Laplace

stable

instable

Plan de z

stable instable

Plan de w

F(p) F(z) F(w)

w

wz

1

1Soit,

Le critre de Routh ne peut tre directement utilis pour les transmittances chantillonnes en z

F(z), mais la condition de stabilit dans le plan des w montre que lon peut appliquer F(w). 83

Critres algbriques: Critre de Schur-Cohn

iii01

1

1 jdcb avec ;...)(

bzbzbzbzBn

n

n

n

k

n

b

b

b

b

0

0

0

0 0 .... 0

b 0 .... 0

b b b .... 0

...................................

b b b

0 0 .... 0

b b 0 .... 0

b b b .... 0

.................

1

2 1 0

k-1 k-2 k-3

n-1 n

n-2 n-1 n

...

..................

b b b b

..... b

0 ...... b

0 0 ....... b

...................................

0 0 .

b .... b

n-k+1 n-k-2 n-k+3 n

n-k+1

n-k+2

n-k+3

1 k-1

...

.....

b b

b

b

b

n n

n

n

1

0

0 b .... b

0 0 .... b

........................................

0 0 b

0 k-2

k-3

0...

Soit,

le dnominateur de la fonction de transfert dun systme chantillonn en boucle ferm.

k n 1 2, ,.....,

b c jdk k k

k> 0 pour k pairk< 0 pour k impair

Critre de Schur-Cohn :

les racines de B(z)=0 sont infrieures 1 en module si :

On considre les n dterminants suivants:

84

Critre de Jury Il s'agit d'une forme simplifie du critre de Schur-Cohn, valable pour les

polynmes coefficients rels.

Expressions pour les systmes d'ordre deux et trois

d n

B z b z b z b

b b

b b b b

2

0

1 0

2 0 0

2

2

1 0

2 2

1 2 1 2

( ) ,

)

)

b

b ou b

b et b

2

0 0

0 0

d n

B z b z b z b z b

b

b b b b b

b b b b b b

3

0

1

2

3

0

3

3

2

2

1

1

0

3

3

2

0 1 1 3

1 2 3 1 2 3

( ) ,

)

)

)

b

b

b

B(1) > 0 et B(-1) < 0 soit :

b et b 0

3

0

0

2

0 0

Pour un polynme dordre n =2 (on se ramnera un cas o b2 >0 ), il faut les conditions suivantes pour que le module de toutes les racines soit strictement infrieur 1 :

Pour un polynme dordre n =3 (on se ramnera un cas o b3 >0 ), il faut les conditions suivantes pour que le module de toutes les racines soit strictement infrieur 1 :

85

Un systme temps continu, pour communiquer avec un ordinateur doit tre prpar pour le faire.

Sa sortie sera munie dun CAN qui chantillonne au pas T puis numrise le signal sous forme

de mots binaires accepts par lordinateur. Son entre sera muni dun CNA qui transforme

le signal numrique reu depuis lordinateur en un signal analogique.

Le mot binaire qumet lordinateur sur son port de sortie est maintenu pendant la dure T

jusqu larrive de son successeur. Cette opration qui conduit une reconstruction en marches

Descaliers est modlise par un Bloqueur dordre zro BOZ.

Le processus analogique, muni de ses convertisseurs (BOZ en entre et chantillonneur en sortie)

devient un systme chantillonn. Sa fonction de transfert est G(z), le problme consiste

trouver G(z) partir de G(p).

G(p)

3. Systmes asservis chantillonns

86

a. Fonction de transfert en p dun BOZ Le bloqueur d'ordre zro est caractris par le fait que sa sortie entre les instants

nT et (n+1)T est constante et gale s(nT)

t tnT T 2T nT

s*(t) s*(t)Bo(p)

La transmittance B (p) du bloqueur d'ordre zro est gale la transforme de Laplace de

sa rponse impulsionnelle qui a pour expression : B t u t u t T0( ) ( ) ( )

La transforme de Laplace de l'expression donne : B pe

p

Tp

0

1( )

b. Systme chantillonn muni dun bloqueur dordre zro

Soit G(p) la FT dun systme temps continu, la FT de ce mme systme mais chantillonn est:

p

pGZzzG

p

pGe

p

pGZzG

pGpBZzG

pT

)().1()(

)(.

)()(

)().()(

1

0

e-pT reprsente le retard qui se traduit dans

le plan z par z-1.

87

Thorme

Soit un procd continu modlis par une fonction de transfert Gc(p). Ce procd,

chantillonn suivant le schma de la figure , admet une fonction de transfert en z

telle que

Proprits du modle chantillonn:

Un systme linaire continu reste linaire aprs chantillonnage. Lordre du systme est conserv. Les ples du systme chantillonn se dduisent des ples du systme continu

comme suit:

o pci sont les ples du systme continu, pdi les ples du systme chantillonn et T

la priode dchantillonnage.

La priode dchantillonnage T conditionne fortement le modle du systme chantillonn.

Lchantillonnage du produit de deux fonctions de transfert nest pas gal au produit de leurs modles chantillonns respectifs. Cette dernire remarque

est trs importante. Le calcul dun systme chantillonn na de sens que sil correspond `a un transfert entre un bloqueur dordre zro et un chantillonneur 88

Remarque:

Pour dterminer G(z), on tablit la transforme inverse de , soit h(t).

Puis on discrtise le temps (t=kT) et h(t) devient h(kT).

On prend alors la transforme en z du signal h(kT), soit H(z).

On dduit G(z) en multipliant H(z) par (1-z-1) ou par

p

pG )(

z

z 1

)()()()()(

)()1( 11

zGzHkThthp

pGpG

zZkTtL

Exemple: Un systme continu du premier ordre de fonction de transfert , muni dun BOZ

et dont la sortie est chantillonne au pas T, a pour fonction de transfert en z: Tp

kpG

1)(

avec ,11

)(

1)(

1)( ;1)()1(

)1().1()(

0

0

0

1

1

T

T

T

T

Tkt

ezzz

zk

ez

ekzG

ez

z

z

zkzH

ekkThekthpp

kL

Tpp

kZzzG

En multipliant par: (1-z-1)

qui admet comme TZ:

89

Si l'on dispose de Matlab c'est bien sr encore plus simple. On utilise la fonction c2d

avec l'argument 'zoh' pour "zero holder hold" (bloqueur d'ordre zro).

Matlab

% Dfinit ion d'un systme continu :

sysc=tf (1, [1 1]) ;

% Obtention de la transforme en z du systme chantillonn Te

Te=0.1;

sysd=c2d(s ysc,Te,'zoh' ) ;

% Notat ion en z^-1

sysd.variable='z

Effets de l'chantillonnage

Le convertisseur numrique a deux effets (nfastes) importants : l'effet de retard et

l'effet de quantification.

L'effet de retard : on peut dire en premire approximation que l'chantillonnage se traduit par un retard pur de Te/2. Cela a donc, si ce temps d'chantillonnage est non

ngligeable par rapport aux constantes de temps du systme, un effet dstabilisant.

L'effet de quantification: supposons par exemple que l'on utilise un convertisseur analogique/numrique 8 bits 0-10V. Le plus petit incrment que le convertisseur peut

distinguer est de 10V/28 = 40mV. Si le signal utile varie physiquement entre 5V et

5,4V on n'aura que dix incrments utilisables... Ce phnomne n'entre pas dans la

panoplie des phnomnes modlisables par la transforme en z. En pratique il est

donc souvent ncessaire d'tudier le systme et de synthtiser la commande

numrique en ngligeant ce phnomne puis de vrifier a posteriori qu'il n'a pas un

effet trop nfaste. 90

On remarque que G(z) dpend de la priode dchantillonnage T, il est du premier ordre

comme G(p) et cela en gnral. Le ple de G(p) est p0=-1/ , le ple de G(z) est donc z0=epoT.

c. Intgrateur La fonction de transfert I(z) dun intgrateur chantillonne est:

pTi

1

2

1 1).1()(pT

ZzzIi

1

1. soit, ,

)1(.

122

zT

TI(z)

z

z

T

T

pTZ

iii

Au lieu dchantillonner un appareil analogique, On utilise un calculateur numrique

et on programme lopration qui doit raliser la mme fonction de transfert.

)(Y(z)-zY(z)soit 1

1.

)(

)(zU

T

T

zT

T

zU

zY

ii

La relation rcurrente entre y(k) et u(k) est alors:

)1()1()(ysoit )()()1( kuT

Tkykku

T

Tkyky

iid. Drivateur

z

z

T

T

zU

zYzD

kukuT

Tky

d

d

1

)(

)()(

)1( )()(

Par dfinition,

91

Les fonctions de transfert en p du domaine analogique renseignent au premier coup dil sur

le comportement statique et dynamique du systme. Donnons la fonction de transfert en z

une forme standard qui doit faire apparatre :

Les intgrations numriques m (ples z=1). Le gain k. Les retards purs (ples z=0).

)(

)(

)1()(

zD

zNz

z

kzG r

m

)(.)1(lim1

zGzk mz

g. Forme standard de la fonction de transfert

e. Drivateur filtr

La ralisation analogique est possible, lchantillonnage conduit :

pN

T

pTpG

d

d

1

)(

pN

T

TZzzG

d

d

1

)1()( 1 Soit,

dTNTezzz

zNzG

/

0

0

avec 1

.)(

f. P.I.D. numrique

0

)1(

1

1.1)(

zz

zN

zT

TKzC

i

La ralisation programm dun correcteur de type P.I.D. est donc:

92

4. Systmes chantillonns

Etude en boucle ouverte Soit un systme chantillonn en boucle ouverte

La fonction de transfert Fc(p) du procd continu et de ples i. La condition ncessaire et suffisante de stabilit est donne par :

Le systme chantillonn dont la fonction de transfert scrit et notons ces ples i. La condition ncessaire et suffisante de stabilit asymptotique est donne par :

En raison de la correspondance :

Un systme continu stable en boucle ouverte est galement stable en chantillonn.

Ceci est par ailleurs tout fait trivial. Les signaux borns restent borns quand ils sont

chantillonns et quand ils passent par un bloqueur dordre zro. La stabilit des systmes pris de faon isole nest pas alterne par lchantillonnage. Il en va autrement dans le cas des systmes chantillonns boucls.

93

Considrons la rgulation continue reprsente sur la figure. La fonction de transfert du

systme en boucle ouverte est dordre 2. Le systme est asymptotiquement stable quel que soit K >0.

Etude en boucle ferme

Considrons le mme systme dans le cas dune rgulation chantillonne

La fonction de transfert en boucle ouverte du systme chantillonn est:

94

La fonction de transfert en boucle ferme scrit alors comme suit

En appliquant le critre de Jury le systme est asymptotiquement stable si et

seulement si :

Ces conditions sont fortement conditionnes par la valeur de lchantillonnage. Par exemple pour T =1s et T =10s.

on trouve respectivement :

On constate ainsi quune augmentation de K et/ou de T conduisent a linstabilit de ce systme.

95

5. Prcision en rgime permanent:

G(z) C(z)

+

-

Yc(z) e(z) U(z) Y(z)

Les fonctions de transfert sont:

En boucle ouverte ).()()(

)(zGzC

z

zY

e

En boucle ferme .)()(1

)()(

)(

)(

zGzC

zGzC

zYc

zY

En posant: )(

)(

)1()()(

zD

zN

z

kzGzCFTBO

m

Lerreur e(z) =Yc(z)-Y(z) est donn par:

)(

)(

)1(1

)(

)()(1

)()(

zD

zN

z

k

zYc

zGzC

zYcz

m

e

96

Le thorme de la valeur finale donne: )().1(lim)(1

zzz

ee

condition que les ples de e(z) soient stables.

Comme pour les systmes analogiques, lerreur e() dpend de nombre m dintgrations.

a. Erreur statique:

1.)( )( 00

z

zEzYcEtyc

k

EEm s

1)( 0 0e

0 1 sEm

Lentre est un chelon,

b. Erreur en vitesse:

Lentre est une rampe, 2)1(

.)()( )(

z

TzazYcanTnyatty cc

)( 0 evEm

k

aTEm v )( 1 e

0)( 2 evEm

97

c. Erreur en acclration:

Lentre est un parabole,

3

2222

)1(

)1(.

2

1)(

2

1)(

2

1)(

z

zTbzYcTbnnybtty cc

aEm 0

aEm 1

k

bTEm a

2

2

Les rsultats sont comparables ceux obtenus en rgulation analogique. On observe que lerreur

en vitesse et en acclration dpendent aussi de la priode dchantillonnage.

La bonne prcision est obtenue au moyen dintgrations numriques. Il faut pour cela introduire

un ou plusieurs ples z=1 dans la boucle ouverte, au moyen dun correcteur.

98

Synthse des correcteurs numriques

Asservissement numrique dun systme continu

99

VI. Synthse: gain de rtroaction

Objectifs de la synthse: Stabilit: Le systme en boucle ferme est stable

Performance: Suivre les variations de la consigne Comportement en boucle ferme conforme un modle Rejeter les perturbations et le bruit

Robustesse: Conservation de la stabilit et des performances malgr les incertitudes sur le modle (dynamiques non modlises, non linarits, incertitudes paramtriques)

Mthodes simples pour la synthse (monovariable): Transposition de correcteurs continus Utilisation de PID Autorglage Placement de ples (lieu dEvans, retour dtat) Modle interne Mthodes algbriques (RST)

Mthodes avances pour la synthse (multivariable): Commande optimale : minimalisation dun critre quadratique sur lerreur dasservissement et la commande

Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les incertitudes pour la stabilit et la performance

Commande non linaire : prise en compte de modles non linaires du systme asservir 100

Les chapitres qui suivent sont ddis la

synthse de correcteurs. Lobjectif est dobtenir par le calcul une loi de commande qui connaissant les mesures en temps rel

ralises sur le systme et les consignes

imposes par un utilisateur, agit sur les

entres du systme.

On sintresse au cas le plus simple de synthse : la synthse dun gain statique pour les systmes ayant une entre et

une sortie. Dans ce cas la loi de

commande se rsum a deux

coefficients reprsents sur le schma.

On note uk le signal de commande, yk le

signal de mesure, yck le signal de

consigne et vk =Kcyck . Partant dun procd dcrit par une fonction de

transfert G(z) on a:

Loi de commande par un gain de rtroaction

et un gain de prcommande

101

Soit G(z)=N(z)/D(z)

1. Calcul du gain de rtroaction Le gain de rtroaction K permet essentiellement dassurer la stabilit de la boucle ferme. Cest ce gain uniquement qui agit sur le dnominateur de la boucle ferme et donc sur les ples. Au del de la stabilit, lobjectif est dimposer des dynamiques. La premire spcification impose que les ples du systme boucl soient tous de

module infrieur lunit, la seconde revient imposer des contraintes plus strictes sur ces mmes ples .

a. Critres de Jury et Routh Les critres de Jury et de Routh permettent de donner des conditions pour la stabilit

des systmes la donne des coefficients du polynme caractristique. Ds lors en

appliquant ces critres au polynme D(z)+ KN(z) il est possible dcrire les conditions

sur K pour que la boucle ferme soit stable.

102

b. Lieu dEvans Dfinition Le lieu dEvans dun systme G(z)= N(z)/D(z)se dfinit comme le lieu des racines du polynme D(z)+ KN(z)pour toutes les valeurs de K.

Par dfinition le lieu dEvans reprsente lensemble des configurations possibles pour les ples de la boucle ferme. le lieu dEvans est trac laide de logiciels comme MATLAB, (rlocus).

Notations :

Le dnominateur de G(z)est donn par

les pi sont les n ples du systme.

Le numrateur de G(z)donne par

les Zi sont les m zros du systme et Kg est un gain

Pour chaque ple et zro on note :

les arguments (ou phases) reliant respectivement les ples et les zros au point z.

Mthode de construction pour Kg >0

Le lieu dEvans de G(z)est constitu de n courbes continues dans le plan complexe appeles galement branches du lieu dEvans. Globalement le lieu dEvans est symtrique par rapport a laxe rel.

Les points de dpart du lieu dEvans sont les n ples pi reprsents par une croix.

Le lieu dEvans comporte m branches qui convergent vers les zros Zi quand K devient grand.

Le lieu dEvans comporte n - m branches qui divergent asymptotiquement vers des droites caractrises par un point dintersection rel unique :

103

et qui font des angles avec laxe rel tels que :

Une portion de laxe rel appartient au lieu dEvans si le nombre de ples et zros rels a sa droite est impaire.

Les points de rencontre et d'clatement sont parmi les solutions relles de lquation:

Le lieu dEvans admet une tangente verticale en ces points.

Les points dintersection avec le cercle unit sont obtenus comme solutions (k,)de lquation complexe:

Au dpart dun ple complexe pk, le lieu dEvans a une tangente dangle

A larrive sur un zro complexe zk, le lieu dEvans a une tangente dangle :

104

Mthode de construction pour Kg < 0

Dans ce cas la construction est quasiment identique, les diffrences sont:

Angles des asymptotes aux branches infinies :

Angle au dpart dun ple complexe pk :

Angle darrive sur un zro complexe zk :

Exemple boucl par une rtroaction K.

Le lieu dEvans a les caractristiques suivantes : Il y a autant de branches que le systme G (z) contient de ples. Dans lexemple le systme est dordre 3, les trois branches reprsentent les valeurs prises par les

trois ples du systme boucl quand K croit de 0

linfinie.

le lieu dEvans est symtrique par rapport laxe rel.

105

A partir de ce trace on note qua partir de la valeur K=1,6875 les ples de la boucle ferme sortent du disque unit. On en dduit que a boucle ferme est stable

uniquement si 0 0 (ples de la boucle ouverte) et suivent une asymptote dangle de /2 quand K prend de grandes valeurs.

106

De ces constations, il est possible de faire

un choix de K en vue dassurer une rapidit globale au systme et viter de trop

grandes oscillations. Si lobjectif du choix de K est davoir un amortissement de =0,2 il est possible de choisir directement sur la

courbe la valeur de K associe.

Ceci est fait sur le zoom de la figure. Le

point slectionn est sur la courbe iso-

amortissement =0,2 . Matlab renvoie la valeur du gain K=0,848 correspondant et

indique que la pulsation propre non amortie

associe est de 2,07rad/s (en ayant fait le

choix de T=1s pour la priode des

chantillons).

107

3. Calcul du gain de prcommande

Un gain de rtroaction K tant choisi, le gain de prcommande Kc est utilis pour

rgler le gain statique du systme en rponse la consigne.

Dfinition Le gain statique dun systme est la valeur linfini de la sortie du systme en rponse un chelon unit. Il caractrise galement le rapport entre lentre et la sortie quand le systme est lquilibre.

Thorme Le gain statique dun systme dcrit par sa fonction de transfert F(z)est donn par :

Preuve Soit lchelon unit

Y(z)=F(z)U(z). Daprs le thorme de la valeur finale la sortie du systme converge

la rponse du systme a cet chelon est

Ce qui daprs la dfinition correspond au gain statique.

108

le gain de prcommande permet de rgler le gain statique de la boucle en rponse

la consigne. En effet, la rponse du systme rgul pour un signal de consigne yc

scrit

et son gain statique est donn par la limite quand z tend vers 1 est atteinte ds

lors que le systme est asymptotiquement stable.

On souhaite gnralement rgler ce gain statique lunit. Ainsi, quand lutilisateur envoie une consigne constante, yck = yco, le systme, stable par le choix de K,

converge vers la valeur de consigne,

Pour assurer un gain statique unitaire on prend :

109

La synthse de correcteurs numriques par extension de correcteurs analogiques est

une approche couramment utilise dans le domaine industriel. Cela sexplique par le fait que les techniques dtude des systmes continus sont gnralement bien maitrises et que les spcifications sont plus facilement interprtables sur des modles

continus que sur des modles chantillonns.

Transposition des mthodes analogiques

On sintresse dabord des mthodes relevant de la discrtisation directe dun correcteur analogique calcule a partir du modle continu du

procd commander. On examine ensuite des

mthodes de synthse dans lesquelles le

correcteur est conu partir dun modle prenant en compte de manire approche lexistence du bloqueur en amont du procd. On examine

ensuite de manire dtalle la discrtisation du

correcteur analogique le plus rpandu, le

rgulateur P.I.D.

110

VII. Transposition des correcteurs analogiques

111

Principe: 1. Synthse dun correcteur continu 2. Le correcteur numrique est obtenu par approximation de la fonction de transfert

du correcteur continu laide dquations aux diffrences de diffrentes manires : Echantillonnage-blocage Approximation dEuler (diffrence vers larrire) Approximation dEuler (diffrence vers lavant) Transformation bilinaire (ou homographique)

La fonction c2d de Matlab permet d'obtenir l'quivalent discret d'une fonction de

transfert continue avec la mthode d'intgration comme argument :

Matlab

sysc=tf ( [1 0], [1 2 5]) ;

Te=0.1;

% Mthode d'euler :

sysd1=c2d(s ysc,Te,'zoh' ) ;

% Mthode des trapzes :

sysd2=c2d(sysc,Te,' foh' ) ;

% Mthode bilinaire :

sysd3=c2d(s ysc,Te,' tustin' ) ;

115

Conclusions: 1. La mthode sappuie sur les rsultats dune synthse de correcteur analogique sur la base du modle du systme qui est galement continu.

2. La synthse ne prend pas en compte le bloqueur et le dphasage introduit par

celui-ci dans la boucle dasservissement. 3. Les performances du correcteur numriques seront au mieux celles du correcteur

analogique.

4. Les performances du correcteur numrique se rapprocheront dautant plus de celles du correcteur analogique que la priode dchantillonnage est petite.

Prise en compte du bloqueur

116

Les mthodes prsentes dans le paragraphe prcdent ne prennent pas en compte

la prsence dans la boucle du bloqueur dordre zro. on note quelle suppose que Rd(z) sera une approximation de Rc(p) et devrait donc satisfaire la boucle ralise

avec un operateur Gd(z) dont le comportement serait trs proche de G(p). Dans cette

logique cela revient a ignorer le comportement du bloqueur, B(p). Ceci peut devenir

trs prjudiciable si lchantillonnage T et lev car dans ce cas le comportement de Z[Bo(p)G(p)] se distingue fortement de celui de G(p).

A- Approximation du bloqueur par un retard pur

Dans ce cas, la fonction de transfert du procd est choisie gale :

Ce qui revient faire lapproximation le bloquer dordre zro comme un retard pur dune demie priode dchantillonnage et de tenir compte de cette approximation lors du calcul initial de R(p).

Les courbes de rponses en frquence de la fonction de transfert

Exemple

sont reprsentes sur la figure suivante. Sur la mme figure sont reprsentes

galement les courbes de rponse frquentielle de G(p). On remarquera que le

gain en amplitude est identique, mais que le retard pur introduit un dphasage

aux hautes frquences (le dphasage diverge pour w croissant)

Rponses (correcteur tenant compte du bloqueur)

Diagramme de Bode de G(p) et

On calcule pour un rseau

correcteur par avance de p

qui conduit une marge de phase de

Par la mthode de Tustin, la discrtisation de

ce correcteur donne :

La rponse du systme chantillonn

utilisant ce correcteur est donne sur la

figure.

117

B- Transformation en w Lide est de faire la synthse partir du modle exact Z[Bo(p)G(p)] . Cependant, la synthse utilise les techniques des systmes continu au travers de lastuce purement mathmatique de la transformation en w.

Principe: 1. La transmittance chantillonne du systme ouvert avec le bloqueur est

calcule (fonction de transfert en z ).

2. Une transformation bilinaire (transformation en w ) est applique cette

transmittance chantillonne pour obtenir une fonction transfert continue du

systme ouvert avec bloqueur.

3. Une synthse de correcteur analogique est ralise sur cette fonction de

transfert continue.

4. Une transformation bilinaire est applique au correcteur analogique

synthtis pour obtenir le correcteur numrique.

118

17. PID numriques

Le rgulateur P.I.D. est trs rpandu dans le domaine industriel. Il constitue loutil standard de la commande de nombreux procds industriels. Conue initialement

en technologie analogique (hydraulique, pneumatique, lectronique,...),

il a t transpos en numrique pour pouvoir tre implant sur calculateur. Cette

transposition nest rien dautre que lapplication de la mthode de discrtisation

121

125

VIII. Synthse de correcteurs Numriques

On distingue 4 tapes dans la mise en place d'un asservissement numrique.

1. Le choix du pas d'chantillonnage sur lequel seront rgls : le calculateur, le BOZ et

lchantillonneur. Une fois choisie, on peut calculer la fonction de transfert du processus numrise.

2. Le choix du modle numrique (fonction de transfert en z) atteindre en boucle

ferme aprs correction.

3. On en dduit le correcteur ncessaire.

4. On programme le calculateur pour qu'il ralise la correction calcule prcdemment

afin qu'il labore la commande.

Si, par nature, un correcteur numrique est plus lent (car cadenc par la priode

d'chantillonnage) qu'un correcteur analogique, ses avantages sont les suivants :

certaines corrections numriques sont impossible raliser en analogique, par sa capacit mmoriser des signaux, la correction de systmes a retard est

plus aise,

la flexibilit de la programmation permet de raliser des corrections trs simple, facilement rglables voire auto-ajustables (rglage automatique du correcteur).

1. Principe Le calculateur va calculer une commande en fonction de la consigne et de la sortie

numrise du systme. Le principe est de presque tout faire en numrique.

Approches numriques Correcteur avec modle interne Commande RST Reprsentation dtat numrique

2. Correcteur avec modle interne

Rtroaction de lcart entre le systme et un modle

Hypothse de systme stable

Modle Gm(z) Si le correcteur est stable le systme boucl est stable

126

Equivalence avec un correcteur srie si modle parfait : Gm(z) = G(z)

Dcomposition Gm(z) = GI (z)GNI (z) avec

GI (z) partie inversible

GNI (z) partie non inversible (retards + zros non compensables)

a. Synthse du correcteur avec modle interne

127

Si la frquence de coupure de Q(z) est suffisamment petite alors:

Le systme boucl est stable L'erreur de position est nulle Les perturbations constantes sont rejetes

b. Rgles standards pour la synthse du correcteur

128

129

La commande u(k) tient compte

des valeurs prcdentes u(k -1); u(k-2); . de la commande envoye afin de doser progressivement les efforts.

des rsultats obtenus en sortie : y(k); y(k -1); de la trajectoire de consigne : yc(k); yc(k -1); ... La commande peut donc s'crire, dans le cas gnral :

3. Correcteurs RST

Dterminer le correcteur, c'est dterminer les polynmes T(z), R(z) et S(z).

A. structure classique Le plus souvent, on a T(z) = S(z) et la structure du correcteur devient plus

classique. Le correcteur C(z) est introduit entre le calcul de l'erreur (y(k) - yc(k)) et

la commande u(k). Par rapport la structure prcdente, on a C(z) = S(z)/R(z)

130

Structure classique d'asservissement numrique

Dmarche en boucle ouverte

La dmarche est d'obtenir une fonction de transfert en boucle ouverte (produit de

G(z) et de C(z)) qui ait les proprits requises pour avoir un bon asservissement en

boucle ferme. Ces proprits sont :

C(z)G(z) doit avoir les intgrateurs ncessaires (1 si on veut une erreur en position nulle, 2 pour avoir une erreur de vitesse nulle, . . . )

le gain est rgl pour contrler l'amortissement C(z) doit avoir les zros ncessaires pour rduire les temps de rponse.

Dmarche en boucle ferme

On se fixe la fonction de transfert obtenir en boucle ferme (Hm(z) = Bm/Am).

On en dduit le correcteur mettre pour y parvenir.

Le plus souvent, on choisit, comme fonction de transfert en BF on choisit

l'un des deux modles suivant :

131

1. une fonction de transfert de gain unit qui permet d'annuler l'erreur en quelques (n)

coups :

2. un second ordre d'amortissement rglable et de gain unit.

Contraintes sur le correcteur

Le correcteur doit tre ralisable. En particulier, le degr de son dnominateur doit tre suprieur au degr de son numrateur,

Le systme doit tre stable en boucle ferme, Le correcteur ne doit pas compenser un zro du systme corriger de module suprieur 1 par un ple instable.

En plaant le zro du systme corriger en dehors du cercle unit.

Les trois types de processus corriger

Processus de type P1 ce sont les plus faciles corriger car ils ne prsentent

pas de zro de module > 1 (tous les zros sont stables) et ils vrifient :

deg(dnominateur) 1 deg(numrateur) deg(dnominateur) Processus de type P2 ils n'ont que des zros stables et vrifient

deg(dnominateur) - deg(numrateur) 2 Processus de type P3 ce sont les processus qui ont des zros instables

(de Module > 1)

132

B. Rgulation de processus de type P1

La consigne est en chelon

Soit G(z) la fonction de transfert du systme commander. On adoptera, une

dmarche en boucle ouverte. Comme la consigne est en chelon,

la fonction de transfert en BO doit avoir un intgrateur pour obtenir une erreur statique

nulle. On choisit le correcteur C(z) tel que :

La fonction de transfert en boucle ferme devient :

Le gain est de 1 (pas d'erreur statique), le systme est stable pour 0 < K < 2.

Pour K = 1, la fonction de transfert en BF est H(z) = z-1 cest--dire que la sortie y(k) du systme vrifie y(k) = e(k-1). La sortie du systme est l'entre retarde d'un pas

dchantillonnage.

La consigne est en rampe

Pour avoir une erreur statique nulle, il faut 2 intgrateurs dans la boucle ouverte.

La premire ide serait de choisir le correcteur C(z) tel que :

133

O H(z) serait la fonction de transfert en BF. Un simple calcul des ples montre que

ce systme serait instable. Pour amliorer la stabilit, on choisit d'introduire un zro

au numrateur, ce qui est quivalent introduire une avance partielle.

Le calcul de la fonction de transfert en BF donne cette fois :

Un cas particulier se prsente pour : K = 2 et z0 = 0,5. Pour ces valeurs, on a

C'est aussi un cas de rponse pile puisque par la forme de H(z), on a forcment une

rponse finie en 2 pas d'chantillonnage. Pour s'en convaincre, on peut calculer la

sortie une entre en rampe unit : e(k) = k. La transforme inverse de S(z) = H(z).E(z)

donne :

Ce qui donne pour s(k) :

la sortie rejoint l'entre pour k = 2.

134

C. Rgulation de processus de type P2 Le principe reste identique la rgulation prcdente mais la fonction de

transfert en BF obtenir doit comporter les retards ncessaires la faisabilit

du correcteur.

Exemple

Si on dsire obtenir une fonction de transfert H(z) du second ordre en BF, celle ci doit

comporter un retard d'un pas pour que le correcteur soit ralisable.

cette fonction de transfert est de second ordre, a un retard 1 et est de gain 1

(pas d'erreur statique). D'o le correcteur :

est tel que le degr de son numrateur est gal celui de son dnominateur.

D. Regulation de processus de type P1 ou P2 avec retard

Certains systmes prsentent des retards intrinsques entre l'entre et la sortie.

Leur fonction de transfert peut scrire :

135

o F(z) est une fonction de transfert sans retard et n est le nombre de pas

dchantillonnage qui forme le retard. (on suppose ici que le retard est un nombre entier de pas dchantillonnage). La mthode dans ce cas est de calculer le correcteur ncessaire sur le systme sans retard, puis on en dduit le correcteur

appliquer rellement.

On adopte une dmarche en BF. Soit H(z) la fonction de transfert que l'on souhaite

obtenir aprs correction. H(z) prsente naturellement le mme retard que le systme

en BO : H(z) = H(z). z-n. On calcule le correcteur C0(z) qui permettrait d'obtenir H0(z) en ne considrant que F(z),

On peut montrer que pour obtenir H(z) partir de G(z), il faut le correcteur C(z) :

E. Rgulateurs RST Ces correcteurs permettent de raliser un asservissement d'un processus de type P3.

D'une structure plus complexe que la structure classique, ces rgulateurs sont aussi

plus souples. Le calcul de ces correcteurs peut se faire automatiquement par un

logiciel.

136

Principe: Synthse d'un correcteur d'aprs un cahier des charges Sparation des performances statiques pour :

La rgulation (rponse aux perturbations) La poursuite (rponse aux changements de consigne)

Domaine frquentiel : permettre un placement de ples Sparation du bloc correcteur en trois parties R, S, T

Les objectifs dynamiques et statiques donnent un jeu dquations diophantiennes

schma bloc standard

137

Fonctions de transfert

138

Phase I - comportement dynamique

Objectif : calculer une loi de commande type RST qui confre au systme boucl une

FT dsire :

Par identification:

Compensation des ples / zros dans la fonction de transfert du premier membre

Factorisation de la FT du systme :

obligatoirement les ples de zros extrieurs (ou sur) le cercle unit.

contiennent les termes compenser

139

A0 quelconque, en pratique : monique, stable, filtrage

Choix des ples et zros a compenser

Pourquoi compenser des ples ou zros stables

140

Phase II - rgulation Annulation de l'erreur permanente vis--vis d'une perturbation

Modle interne : la perturbation doit tre modlis dans le correcteur

Perturbations polynomiales

141

Perturbations sinusodales

142

F. Phase III -poursuite

Erreur d'ordre n > 0 : consigne polynomiale

Erreur permanente vis-a-vis de la consigne

143

Consigne sinusodale

Forme gnrale pour la poursuite : quation diophantienne auxiliaire

Lp depend de la nature de la consigne

144

Rsum de la construction du systme

145

Rsolution d'une quation diophantienne

146

Exemple de synthse Onduleur dcouplage : pilote par modulation de largeur d'impulsion (MLI / PWM) a

frquence fixe suivi d'

Autdis1_2 Cours Mehdi Rajeb

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