Polytech Clermont-Ferrand TP1 AuroFC2U1

AuroFC2U1 - Automatique chantillonne : notions de base

Introduction

Le but de ce sujet est de se familiariser avec les notions de transmittance bloque etde systmes asservis chantillonns (stabilit et prcision). Le logiciel Matlab sera utilispour simuler le comportement des diffrents systmes tudis.

1 Transmittance bloque

La transmittance bloque dun systme continu reprsente un modle chantillonn dece dernier. Elle est obtenue laide dun bloc appel bloqueur dordre zro, de fonction detransfert :

B0(p) =1 eTep

p

La transmittance bloque se calcule en appliquant la formule suivante :

GBo(z) = (1 z1)Z[G(p)p

]La boite outils Control Toolbox de matlab propose des fonctions permettant de calculerautomatiquement la transmittance bloque dun systme partir de sa fonction de transfertcontinue. La fonction sysd = c2d(sys, Te, zoh) retourne le modle chantillonn sysd,transmittance bloque la priode dchantillonnage Te du modle sys. La fonction sys =d2c(sysd, Te, zoh) retourne la fonction de transfert (Laplace), original du systme discretsysd, la priode dchantillonnage Te.

1.1 Modle dordre un

La fonction de transfert dun systme dordre un scrit :

G(p) =K

1 + p

1. Calculer lexpression analytique de la transmittance bloque de G(p) la priodedchantillonnage Te.

2. Calculer, laide de matlab, la transmittance bloque du systme de gain statiqueunitaire et de constante de temps = 1s. Les calculs seront effectus pour deuxpriodes dchantillonnage (Te = et Te = /4)

3. Vrifier, par un essai un chelon sous matlab Simulink, que la transmittance bloqueest un modle quivalent G(p) aux instants dchantillonnage.

4. Ecrire une fonction matlab simulant la rponse un chelon de la transmittancebloque, en utilisant son quation aux diffrences.

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1.2 Modle dordre un avec intgrateur

On ajoute un intgrateur au systme prcdent :

G(p) =K

p(1 + p)

1. Calculer lexpression analytique de la transmittance bloque de G(p) la priodedchantillonnage Te.

2. Calculer, laide de matlab, la transmittance bloque du systme de gain statiqueunitaire et de constante de temps = 1s. Les calculs seront effectus pour la priodedchantillonnage Te = .

3. Vrifier, par un essai un chelon sous matlab Simulink (en boucle ferme), que latransmittance bloque est un modle quivalent G(p) aux instants dchantillon-nage.

4. Calculer les erreurs statiques dordre 1 et 2 du systme boucl. Vrifiez vos calculspar une simulation Matlab

1.3 Modle dordre deux

La transmittance bloque dun systme dordre deux sobtient en appliquant les for-mules vues en cours. Il est galement possible dutiliser la fonction matlab c2d.

1. Calculez la fonction de transfert dun systme continu dordre deux de gain statiqueK = 2 et dont la rponse indicielle prsente un dpassement de 25% et un temps depic de tpic = 3s. Verifiez vos calculs en ralisant un essai un chelon sous matlab.

2. On souhaite piloter ce systme laide dun processus numrique. Choisir une priodedchantillonnage en utilisant la mthode de Blher.

3. Calculer, en utilisant les formules du cours, la transmittance bloque du systmedordre deux prcdent.

4. Vrifier vos calculs en utilisant la fonction c2d de Matlab.5. Vrifier que la transmittance bloque obtenue est un modle de G(p) aux instants

dchantillonnage en effectuant un essai un chelon sous Matlab Simulink. Vouspouvez utiliser le bloc LTI System pour reprendre, sous Simulink, une fonction detransfert saisie dans Matlab.

1.4 Influence de la priode dchantillonnage

Le choix de la priode dchantillonnage est trs important dans le processus de dis-crtisation. On cherche calculer le modle quivalent aux instants dechantillonnage dusystme dordre deux de gain statique unitaire, de pulsation propre 0 = 1rad/s et decoefficient damortissement = 0.2. Tous les calculs seront raliss partir de Matlab.

1. Calculer la transmittance bloque du systme pour la priode dchantillonnage Te =1s, puis pour la priode dchantillonnage Te = 6.4127s.

2. Observer la rponse un chelon des deux modles calculs.3. Calculer la pseudo priode de la rponse un chelon du systme. Conclure sur les

courbes observes dans la question prcdente.

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2 Etude de la stabilit dun systme boucl

On cherche tudier la stabilit dun systme asservi en fonction de son gain propor-tionnel par la mthode du lieu dEvans. Cette mthode permet de tracer le lieu des racinesdun systme boucl en fonction de son gain proportionnel. La boite outils Control Tool-box de Matlab permet de tracer de manire automatique le lieu dEvans en utilisant lafonction rlocus(sysd)

2.1 Systme dordre un retard

On cherche tudier la stabilit du systme G(p) =Kep

1 + ppour K = 1 et Te = 1

1. Etablir lexpression littrale de la transmittance bloque du systme continu. Onremarquera que le retard est dune priode dchantillonnage

2. Valider vos calculs sous Matlab laide de la commande c2d puis sous Simulink parun essai un chelon.

3. Etudier la condition de stabilit du systme en fonction dun gain proportionnel Kc(critre de jury).

4. Tracer le lieu dEvans du systme et valider le calcul prcdent

5. En utilisant les courbes diso-amortissement du lieu dEvans (commande grid on),rgler une valeur de gain pour obtenir un dpassement du systme de 25%

2.2 Systme dordre deux retard

En fonction du temps restant, reprendre les questions de la sous-partie prcdente avecle systme dordre 2 de la partie 1.3, retard dune priode dchantillonnage.

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