Attraction gravitationnelle -...

Olivier GRANIER

Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique

LycéeClemenceau

PCSI 1 (O.Granier)

Attraction gravitationnelle

(mécanique du point matériel)

Olivier GRANIER


� But du chapitre :

Les 3 lois de Kepler (Noblet)

Chute d’un obus

Diffusion Rutherford

Quelques exemples de forces centrales dans « la vie de tous

les jours »

Lancement d’Ariane V

Chapitre basé sur les lois de conservation (conservation de l’énergie mécanique, conservation du moment cinétique)

Olivier GRANIER


� I - Rappels : interactions gravitationnelle et coulombienne

� 1 - La force gravitationnelle :

On considère une masse M immobile en O et un point matériel P(m) mobile. La force gravitationnelle subie par le point P est :

P(m)

O(M) y

z

rur

rur

mMGf

rr

2−=

r = OP

rdr ru

r

mMGf

rr

2−=

Elle dérive de l’énergie potentielle Ep telle que :

r

pu

dr

dEf

rr−=

r

GmME p −=soit

Par convention, on choisit une énergie potentielle nulle à l’infini.

02

2

1mE

r

mMGmv =−

Olivier GRANIER


0

0

2

4

1

2

1mE

r

qQmv =+

πε

� 2 - La force coulombienne :

On considère une charge Q immobile en O et un point matériel P(m,q) mobile. La force coulombienne subie par le point P est :

rur

qQf

rr

204

1

πε=

Ainsi, les résultats obtenus avec la force gravitationnelle peuvent être transposés pour la force coulombienne en faisant l’analogie formelle suivante :

mMqQG ⇔−⇔ ;4

1

0πε

rP

P udr

dEfet

r

qQE

rr−==

04

1

πε

L’énergie potentielle coulombienne est alors :

Olivier GRANIER


� II - Forces centrales conservatives :

On considère un point matériel M(m) soumis à une force centrale, c’est-à-dire passant constamment par un point fixe O du référentiel d’étude, choisi ici comme origine du référentiel.

M(m)

O y

z

rur

rurffrr

)(=r = OM

x

rurffrr

)(=

Si f(r) > 0, la force est répulsive.

Si f(r) < 0, la force est attractive.

Elle dérive de l’énergie potentielle EP telle que :

dr

dErf P−=)(

Exemple : interaction moléculaire

Olivier GRANIER


� III - Lois générales de conservation :

Conservation du moment cinétique par rapport au centre de forces O :

Moment cinétique par rapport au centre de forces O :

vmurvmOM rO

rrrr∧=∧=σ

Théorème du moment cinétique :

0)(rrrr

r

=∧=∧= rrO urfurfOM

dt

dσ

Par conséquent : 0σσrr

== csteO

Le moment cinétique par rapport au centre de forces d’un point matériel soumis àune force centrale est une constante du mouvement.

Olivier GRANIER


Le mouvement de la particule est nécessairement plan :

000 )0()0( vtvetOMrtrrrrr

=====

Les conditions initiales du mouvement sont, par exemple, à t = 0 :

La trajectoire du point matériel est donc plane (dans le plan défini par les conditions initiales .

Le moment cinétique par rapport à O, constante du mouvement, peut être évalué à l’instant initial et vaut alors :

000 vmrO

rrrr∧== σσ

Ce vecteur est perpendiculaire à la fois aux deux vecteurs .

A l’instant t, : par conséquent, les vecteurs , perpendiculaires à , sont finalement contenus dans le plan défini par .

00 vetrrr

vmrrrr

∧=0σ vetrrr

0σr

00 vetrrr

00 vetrrr

Olivier GRANIER


O

M0

M

Trajectoire

Plan de la trajectoire

0vr

0rr

vrr

r0σv

0σv

Olivier GRANIER


On se place dans le plan de la trajectoire et on y définit les coordonnées polaires de M :

x

y

O

M

θθθθ

x

y

rur

r

xur

yur

θur

+θθ ururv

urr

r

rr&r

&r

rr

+=

=

Le moment cinétique en O vaut alors :

vmOMO

rrr∧== 0σσ

zumrr&r

θσ 20 =

D’où la 1ère relation de conservation :

csterCm

=== θσ &2

00 (C0 est appelée constante des aires)

Olivier GRANIER


La loi des aires :

x

y

O

M

θθθθ

rur

r

θur

θθ drrdrdA2

2

1))((

2

1==

L’aire balayée dA par le rayon vecteur OM entre les instants t et t+dt vaut :

La loi des aires (simulation Java)

drr +

dθθθθ

θrdAire dA

La vitesse aréolaire, dA/dt, vaut :

θθ &22

2

1

2

1r

dt

dr

dt

dA==

Par conséquent : csteCdt

dA== 0

2

1

Loi des aires : le rayon vecteur OM issu du centre de forces O balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.

Loi des aires (G.Tulloue)

Olivier GRANIER


Conservation de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique du point matériel M est :

0,2

)(2

1mpm ErEvmE =+=

r

C’est une constante du mouvement (la force centrale est conservative).

En utilisant les coordonnées polaires :

PPrm EmrrmEururmE ++=++=2222

0,2

1

2

1)(

2

1θθ θ&&

r&r&

On peut éliminer en remarquant que . L’expression de l’énergie mécanique devient alors :

θ& 20 / mrσθ =&

Olivier GRANIER


++= Pm E

mrrmE

2

202

0,22

1 σ&

Pm Emr

mrrmE +

+=

2

2

0220,

2

1

2

1 σ&

Energie cinétique radiale

EP,eff : énergie potentielle efficace (ou effective)

PeffP Emr

E +=2

20

,2

σ( est le terme centrifuge)

2

20

2mr

σ

Cette énergie correspond à l’énergie mécanique d’un point matériel de masse m, se déplaçant sur une droite et soumis à une énergie potentielle efficace (ou effective) :

Olivier GRANIER


L’énergie cinétique radiale étant nécessairement positive ou nulle, on peut en déduire les limites du mouvement de M (voir cours sur l’énergie) :

Limites du mouvement :

02

1,0,

2≥−= effPm EErm&

0,, )( meffP ErE ≤

Pour Em,0,1 :

Pour Em,0,2 :

1rr ≥

32 rrr ≤≤r1

r2 r3r

Ep,eff

Em,0,1

Em,0,2

Etats de diffusion

Etats liés

Applications : interactions gravitationnelle et coulombienne (calculer Ep,eff).

Energie mécanique (G.Tulloue)

Olivier GRANIER


� IV - Les formules de Binet :

But : obtenir le rayon vecteur r en tant que fonction de l’angle θθθθ (et non plus du temps t), afin de déterminer l’équation polaire r(θθθθ) de la trajectoire plane.

1ère formule de Binet (pour la vitesse) :

θσ &20 mr=

Le vecteur vitesse s’exprime : θθ ururv r

r&r&

r+=

Le moment cinétique est constant :

rmmrrr

rd

d

md

dr

mrd

dr

dt

d

d

dr

dt

drr

1

1

0

2

0

0

2

0

σσθ

θ

σ

θ

σ

θθ

θ

θ

==

−=====

&

&&

Olivier GRANIER


En reportant dans l’expression du vecteur vitesse :

D’où la 1ère formule de Binet : (pour le vecteur vitesse)

θ

σ

θ

σu

rmu

rd

d

mv r

rrr 11 00 +

−=

+

−= θ

θ

σu

ru

rd

d

mv r

rrr 110

2ème formule de Binet (pour l‘accélération) :

On calcule l’accélération en remarquant que :

θ

σθ

θ d

vd

mrdt

d

d

vd

dt

vda

rrrr

2

0===

Olivier GRANIER


Or :

+

−==

−

+

−

−=

rr

rr

ur

urd

d

rmd

vd

mrdt

vd

ur

urd

du

rd

du

rd

d

md

vd

rrrr

rrrrr

11

1111

2

2

22

20

2

0

2

20

θ

σ

θ

σ

θθθ

σ

θθθ

D’où la 2nde formule de Binet :

rurrd

d

rma

rr

+

−=

11

2

2

22

20

θ

σ

Olivier GRANIER


� V - Trajectoires dans un champ de force gravitationnel :

Nature de la trajectoire :

Rappel des notations :

x

y

O (M)

P (m)

θθθθrur

r

θur

rur

GmMf

rr

2−=

On souhaite déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées polaires, soit r(θθθθ).

Olivier GRANIER


Equation différentielle du mouvement :

rur

GmMf

dt

vdm

rrr

2−==

Le PFD, appliqué à la masse P(m) dans le référentiel (supposé galiléen lié à la masse M) donne :

Soit, en utilisant la 2nde formule de Binet :

rr ur

GmMu

rrd

d

rmmam

rrr

22

2

22

20 11

−=

+

−=

θ

σ

En projection sur la direction radiale :

22

2

22

20 11

r

GM

rrd

d

rm=

+

θ

σ

Olivier GRANIER


D’où l’équation différentielle du mouvement :

20

2

2

211

σθ

GMm

rrd

d=+

Dans la suite, on pose u = 1/r ; l’équation vérifiée par la variable u(θθθθ) devient celle d’un oscillateur harmonique, de pulsation égale à l’unité :

20

2

2

2

σθ

GMmu

d

ud=+

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :

20

2

)cos()(σ

αθθGMm

Au +−=

Où A et αααα sont des constantes d’intégration.

Résolution de l’équation différentielle du mouvement :

Olivier GRANIER


)cos(1)cos(

1)(

2

20

2

20

20

2

αθσ

σ

σαθ

θ

−+

=

+−

=

GMm

A

GMm

GMmA

r

De l’expression de u, on déduit celle de r(θ(θ(θ(θ) :

Soit :

2

20

2

20

)cos(1)(

GMm

Ae

GMmp

e

pr

σ

σ

αθθ

=

=

−+=

C’est l’équation d’une conique, d’excentricité e, de paramètre p et dont l’axe focal fait un angle αααα avec l’axe polaire (Ox).

Dans la suite, on confondra l’axe focal de la conique avec l’axe polaire (α=α=α=α=0) :

θθ

cos1)(

e

pr

+=

Olivier GRANIER


Si e = 0 : la trajectoire est un cercle

Si 0 < e < 1 : la trajectoire est une ellipse

Si e = 1 : la trajectoire est une parabole

Si e > 1 : la trajectoire est une hyperbole

Représentations graphiques des différents types de trajectoires :

Les coniques (G.Tulloue)

Fichier MAPLE

Fichier Regressi

On retrouve les différents types de trajectoires obtenus de manière qualitative àpartir d’une étude énergétique (utilisant l’énergie potentielle effective)

Olivier GRANIER


Energie mécanique et excentricité

Le signe de l’énergie mécanique conditionne la nature de la trajectoire ; on va exprimer Em en fonction de l’excentricité de la conique :

2

202

22

1

mrr

GmMrmEm

σ+−= &

2

2

20

2

2

20

2

22

20

2

2

0

2

2 )()/1(1

=

=

=

=

=

θ

σ

θ

σ

θ

σ

θ

σθ

θ d

ud

md

rd

md

dr

rmd

dr

mrdt

d

d

drr&

L’énergie mécanique s’exprime ainsi en fonction de u et de sa dérivée première :

220

220

22u

mGmMu

d

du

mEm

σ

θ

σ+−

=

Olivier GRANIER


Or : θθ

θθθ sin

)()cos1(

1)(

p

e

d

duete

pu −=+=

L’énergie mécanique étant constante, on peut l’évaluer pour θ = π/θ = π/θ = π/θ = π/2, alors :

p

e

d

duet

pu −== )

2(

1)

2(

π

θ

π

Et :

pGmM

pp

e

mE

pmpGmM

p

e

mE

m

m

11

2

1

2

1

2

22

220

2

20

220

−

+=

+−

−=

σ

σσ

Or , d’où , et finalement : 2

20

GMmp

σ=

2

20

20 111

pmpmppGmM

σσ==

Olivier GRANIER


Soit, finalement :

)1(2

11

2

2

2

20

2

20

22

220 −=−

+= e

mppmpp

e

mEm

σσσ

p

eGmMe

mpEm

1

2)1(

2

22

2

20 −

=−=σ

Le signe de l’énergie mécanique est lié à la valeur de l’excentricité e :

* Em > 0 (soit e > 1) : hyperbole

* Em = 0 (soit e = 1) : parabole

* Em < 0 (soit 0 < e < 1) : ellipse

* (e = 0) : cerclep

GmMEm

2−=

Energie mécanique (Cabri géomètre)

Olivier GRANIER


� VI - Planètes du système solaire, les lois de Kepler :

On étudie le mouvement des planètes du système solaire, dans le référentiel de Copernic.

On suppose qu’une planète du système solaire n’est soumise qu’à la seule interaction gravitationnelle du Soleil.

1ère loi de Kepler : les trajectoires des planètes du système solaire sont des ellipses dont un des foyers est le Soleil (excentricité e < 1 et énergie mécanique négative).

Les 3 lois de Kepler (Noblet)

Précession de Mercure

Perturbation en 1/r4

Le problème à 3 corps

Olivier GRANIER


Quelques rappels mathématiques sur les coniques :

a est la longueur du demi-grand axe de l’ellipse et b celle du demi-petit axe.

))2

((cos1

pre

pSPr ==

+==

πθ

θ

O S

P (m)

Ap Pé

a

b

c

rAp rPé

x

y

rθθθθ

a

12

2

2

2

=+b

y

a

x

S est un des deux foyers de l’ellipse ; on note c = OS, où O est le centre de l’ellipse (origine du repère (Oxy)) :

eacetcba =+=222

Olivier GRANIER


Quelques rappels mathématiques sur les coniques :

Les rayons de l’apogée et du périgée vérifient :

)0(1

)(1

=+

==

=−

==

θ

πθ

e

pSPér

e

pSApr

Pé

Ap

O S

P (m)

Ap Pé

a

b

c

rAp rPé

x

y

rθθθθ

a

En ces deux points, la vitesse radiale est nulle.

Relation entre a, p et e :

PéAp rra +=22

1 e

pa

−=d’où

Relation entre b, p et e : 22222)1( aecab −=−=

21 e

pb

−

=d’où

Relation entre a,b et p : pa

b=

2

Olivier GRANIER


2ème loi de Kepler : le rayon vecteur issu du Soleil balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux (loi des aires).

3ème loi de Kepler : les carrés des périodes de révolution des planètes autour du Soleil sont proportionnels au cubes des longueurs des grands axes des ellipses trajectoires.

222

1 002 C

mdt

dr

dt

dA===

σθ

σσσσ0 étant le moment cinétique par rapport au Soleil, m la masse de la planète et C0la constante des aires.

32

2 4a

GMT

S

π=

où MS est la masse du Soleil.

Olivier GRANIER


Démonstration de la 3ème loi de Kepler :

mT

ab

T

ellipseldeaire

dt

dA

2

' 0σπ===

Or : , par conséquent :2

202

mGMpetapb

S

σ==

)(442 22

20

2222

20

22

0

apam

bam

Tetabm

T πσ

πσ

πσ

===

Soit : 32

2

32222

20

22 41

4)(4

aGMmGM

amapam

TSS

πππ

σ===

32

2 4a

GMT

S

π=

Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du centre attracteur, et non de la planète considérée.

Olivier GRANIER


Energie d’une planète :

Pour une trajectoire elliptique : 2

1 e

pa

−=

L’énergie d’une planète vaut :

a

GmM

p

eGmME SS

m

1

2

1

2

2

0, −=−

=

L’énergie de la planète ne dépend que de la longueur du demi-grand axe, et non de l’excentricité de l’ellipse trajectoire :

a

GmME S

m

1

20, −=

Olivier GRANIER


Cas d’un mouvement circulaire :

Pour une trajectoire circulaire :

0,0,0, ;2;1

2mcmP

Sm EEEE

R

GmME −==−=

SGMR

T2

3

24π

=

Les expressions de la 3ème loi de Kepler et de l’énergie mécanique sont identiques àcelles obtenues dans la cas d’un mouvement elliptique, à condition de remplacer la longueur a du demi grand axe par le rayon R de la trajectoire.

R

GMv S=

Olivier GRANIER


Rôle des autres planètes :

Au milieu du XIXème siècle, on constata que l’orbite d’Uranus ne correspondait pas la théorie : l’astronome Le Verrier postula l’existence d’une nouvelle planète (Neptune) qui devait perturber l’orbite d’Uranus.

L’existence de Neptune fut mise en évidence expérimentalement en 1846.

En 1930, la même méthode a conduit Lowell à la découverte de Pluton qui troublait la trajectoire de Neptune.

Mercure – Vénus – Terre – Mars – Jupiter – Saturne – Uranus – Neptune - Pluton

Précession de Mercure

Perturbation en 1/r4

Le problème à 3 corps

Olivier GRANIER


� VII - Trajectoires dans un champ de force coulombien :

Animation Java : Diffusion Rutherford

Exercice n°9 (Mouvements d'une charge ponctuelle) :

Une charge ponctuelle Q est placée en O.

Une charge ponctuelle q est lancée en un point A avec une vitesse v0perpendiculaire à OA.

On pose OA = r0.

Discuter, selon les valeurs de r0, v0, q et Q les différentes trajectoires possibles de la charge q.

Attraction gravitationnelle -...

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