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Trop fort les maths

Atelier : Mathématiques et imagerie numérique

Durant toute la durée de notre atelier, nous ne travaillerons qu’avec des images en niveaux de gris.

Dans le langage courant on confond image en « noir et blanc » et en « niveaux de gris », ce n’est pourtant pas la même chose !

Paramètres d’une photo : luminance et contraste 1. Codage d’une image

Une image numérique est constituée de …………… Ce mot anglais est issu de la contraction et de la juxtaposition de "Picture" et de "element". Un pixel correspond au plus petit élément d'une surface d'affichage auquel on puisse associer individuellement une couleur (ou un niveau de gris) et une intensité.

A chaque pixel on attribue une valeur comprise entre 0 et 1 correspondant au niveau de gris. 0 correspond au noir et 1 au blanc.

 

 

 

 

A toute image numérique correspond donc un tableau de nombres (appelé matrice) rempli de réels appartenant à l’intervalle [0 ; 1].

Voici une partie de la matrice associée à l’image ci-dessous :

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2. Activité : art abstrait

Donner une matrice pouvant correspondre à l’image ci-dessous, sachant que cette image est constituée de noir, de blanc ainsi que d’un gris clair et un gris foncé. On sait également que la moyenne des valeurs est de 0,4.

         

         

         

         

         

 

3. Géogébra à la rescousse

Pour une photo prise avec un Smartphone par exemple, la taille de l’image est de l’ordre de 5 méga pixels. On obtient un tableau de 2560 par 1920. Il est difficile dans ces conditions d’analyser l’image point par point.

Nous allons résumer les données de la matrice grâce aux paramètres statistiques étudiés en seconde : ……

Ouvrir le fichier géogébra : Y:\\depot\MathsC2+\geogebra\nain_100x100.ggb

4. Définition et observation de l’écart type

On se donne la série suivante :

série O,15 0,29 0,89 0,32 0,56 0,81 0,04 0,43 0,35 0,72

La moyenne vaut 0,49

Pour mesurer la dispersion de cette série autour de la moyenne on peut imaginer calculer la moyenne des écarts à la moyenne : …

Pour obtenir une information pertinente il nous faut rendre les écarts tous positifs. Un moyen de le faire consiste à considérer le carré des écarts, puis à en faire la moyenne :

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série 0,15 0,29 0,89 0,32 0,56 0,81 0,04 0,43 0,35 0,72

écart à la moyenne -0,34 -0,2 0,4 -0,17 0,07 0,32 -0,45 -0,06 -0,14 0,23

carré de l'écart 0,1156 0,04 0,16 0,0289 0,0049 0,1024 0,2025 0,0036 0,0196 0,0529

La moyenne des carrés des écarts à la moyenne vaut 0,07304. Cette valeur est appelée variance de la série. On définit l’écart type comme étant la racine carrée de la variance.

L’écart type de notre série vaut environ 0,27.

Ouvrir les fichiers géogébra : nain_sans_contraste_100x100.ggb et nain_trop_contraste_100x100.ggb ainsi que les images associées nain_gris_sans_contraste_100x100.jpg et nain_gris_trop_contraste_100x100.jpg

Comparer les différents paramètres statistiques, en particulier les écarts types.

   

 5. Bilan  :  luminance,  contraste  et  histogramme

La luminance ou brillance est définie comme la moyenne de tous les pixels de l’image.

Le contraste peut être défini de plusieurs façons :

• écart type des niveaux de gris :.

€

σ =

valeur du ième pixel − valeur moyenne( )2i=1

N

∑

N où N est le nombre de pixels de l’image

• variation entre niveaux de gris max et min

€

valeur pixelmax− valeur pixelminvaleur pixelmax+ valeur pixelmin

L’histogramme (linéaire) d’une image donne le nombre de pixels pour chaque niveau de gris. Il s’agit d’un diagramme en bâtons. Il permet d’obtenir un résumé chiffré de l’image.

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6. Activité : variation autour du tram

Voici notre image de référence :

Cette image est ………………………….. que l’image de référence

La matrice correspondant à cette nouvelle image contient des nombres qui sont ………………………….. que ceux de l’image de référence.

Cette image est ………………………….. que l’image de référence

La matrice correspondant à cette nouvelle image contient des nombres qui sont ………………………….. que ceux de l’image de référence.

Cette image est ………………………….. que l’image de référence

La matrice correspondant à cette nouvelle image contient des nombres qui sont ………………………….. que ceux de l’image de référence.

Cette image est ………………………….. que l’image de référence

La matrice correspondant à cette nouvelle image contient des nombres qui sont ………………………….. que ceux de l’image de référence.

7. Activité : puzzle

Dans le dossier Tram ouvrir la photo tram_trous.jpg. L’image contient des trous (A, B, C et D). Vous trouverez dans les fichiers géogébra trousTram1,2,3,4 les matrices correspondants à chacun des morceaux manquants. A vous de les associer.

Trou

A B C D

Matrice

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Traitement d’images 1. Etude d’un exemple : la géode

avant après

Quelle modification l’image a t-elle subi ? …

Nous allons étudier une fonction permettant la correction de l’image.

Ouvrir le fichier géogébra : Y:\\depot\MathsC2+\geogebra\palettes_racine.ggb

Bilan :

La fonction utilisée est la fonction …………………………… définie sur [0 ;1].

Les images appartiennent à l’intervalle …………., donc à chaque nuance de gris est associé une nouvelle nuance de gris.

€

0 = .... donc le ………….. est transformé en …………..

€

1 = .... donc le …………... est transformé en …………..

Pour tout

€

x ∈ 0;1[ ] on a

€

x ...... x donc chaque nuance de gris est transformée en un gris …………...........

2. Activité : dégradés

On considère les fonctions définies sur [0 ; 1]:

€

f1 : x x2

€

f2 : x x3

€

f3 : x1− x

€

f4 : x x

€

f5 : x 4x(1− x)

On donne les dégradés ci-dessous :

dégradé de référence

dégradé transformé n°1

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dégradé transformé n°2

dégradé transformé n°3

dégradé transformé n°4

dégradé transformé n°5

Associer à chaque dégradé la fonction qui permet de transformer le dégradé de référence.

Dégradé n° 1 2 3 4 5 Fonction

3. Matlab à la rescousse

Lancer le logiciel Matlab : (il se lance depuis le bureau : dossier logiciel, MatlabR2013a)

Changer le répertoire de travail : cd Y:\\depot\MathsC2+\MATLAB (cette commande n’est nécessaire que lors de l’ouverture du logiciel)

Définir une nouvelle fonction : f=@(x) sqrt(x) (@(x) permet de nommer la variable ; sqrt correspond à la fonction racine carrée)

Importer une image sous forme d’une matrice (tableau de nombres) : M=imread(‘geode.jpg’)

Appliquer la fonction f à l’image : applique (f,M) ;

4. A la recherche de fonctions polynômes du troisième degré

Ouvrir le fichier géogébra : fonctions_interpolation.ggb.

En déplaçant les points J1, J2, J3 et J4 vous pouvez obtenir des fonctions de la forme

€

x ax3 + bx2 + cx + d avec a, b, c, d réels et

€

a ≠ 0

Compléter le tableau ci-dessous :

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Correction attendue :

Allure de la courbe : Fonction :

Eclaircir

Assombrir

Augmenter le contraste

Diminuer le contraste

5. A la recherche de fonctions puissance

Ouvrir le fichier géogébra fonctions_01.ggb. Créer un curseur a (min 0,1 ; max 5 ; incrément 0,1). Compléter le champ f(x) = x^a En faisant varier le curseur a observer les courbes et en déduire les modifications d’images correspondantes.

La fonction

€

x xa permet d’éclaircir une image lorsque …………….

La fonction

€

x xa permet ………….... une image lorsque …………….

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6. Augmenter l’étendue grâce aux fonctions affines

L’image manque de contraste. Cela peut s’observer sur l’histogramme. En effet le minimum est de 0,18 et le maximum de 0,91. La photo n’exploite donc pas complètement la palette des gris qui va de 0 à 1.

On souhaite trouver une fonction affine f telle que f (0,18)=0 et f (0,91)=1 afin que la teinte la plus foncée de la photo devienne du noir et que la plus claire devienne du blanc.

Donner l’expression de f : …

Généralisation : La fonction

€

f : x 1max−min

x − minmax−min

permet d’étendre la plage de données de

[min ; max] à [0 ; 1].

7. Activité : retouche photo

Les photos Playmo1,2,3,4 sont de piètre qualité. A vous de les améliorer.

8. Activité : code secret

Saurez-vous découvrir le message qui se cache dans cette image : enigme7

9. Activité : négatif

Vous trouverez dans le fichier négatif.jpg le scan d’un vieux négatif. Saurez-vous faire apparaître la photo correspondante ?

10. Activité : noir et blanc

Saurez-vous convertir notre photo nain_gris en une image en noir et blanc ?

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11. Bilan :

L’assombrissement / éclaircissement

Pour éclaircir une photo trop sombre. Il faut agir sur les niveaux de gris des pixels de sorte que : • le noir reste noir • le blanc reste blanc • le gris final doit être plus clair que le gris initial • respect des contrastes : si la zone A initiale est plus

foncée que la zone B initiale, alors la zone A finale doit être plus foncée que la zone B finale.

Cela revient à trouver des fonctions f :

• telles que f (0) = …. • telles que f (1) = ….. • telles que

€

f (x).... x pour tout x de [0 ; 1] • …………….. sur [0 ; 1]

A vous de deviner les changements à effectuer pour assombrir une photo. L’accentuation du contraste

• le noir reste noir • le blanc reste blanc • les nuances proches du blanc doivent être éclaircies • les nuances proches du noir doivent être assombries

Cela revient à trouver des fonctions f :

• telles que f (0) = … • telles que f (1) = …. • telles que

€

f (x)... x pour tout x de ………. • telles que

€

f (x)... x pour tout x de ………..

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Compléments 1. Représentation de la couleur en synthèse additive

Le système RVB (ou RGB en anglais) représente chaque couleur visible par l’addition de trois composantes : une composante rouge, une verte et une bleue.

Dans le cas d'un écran couleur, chaque pixel est constitué de trois points de couleurs différentes (rouge, vert, bleu). En variant l'intensité de chacun des points, on peut faire apparaître des milliers de couleurs différentes. La quantité de pixels composant l'écran détermine la résolution.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Conversion d’une image couleur en niveau de gris

Pour les images couleurs, un pixel dispose des trois composantes RGB (en anglais : Red, Green, Blue ; en français : Rouge, Vert, Bleu). Un pixel gris a ses trois valeurs RGB identiques. Une méthode simple pour convertir une image couleur en niveau de gris pourrait être de calculer la moyenne des trois composantes RGB et d’utiliser cette valeur moyenne pour chacune des composantes. Le rendu n’est alors pas fidèle à nos attentes.

Principalement en raison de la sensibilité des récepteurs de la rétine, la sensibilité de l'œil humain n'est pas la même sur l'ensemble du spectre de couleurs. Celui-ci s'étend du rouge (780 nm) au violet (400 nm) avec le jaune-vert au centre. Pour cette raison, le jaune-vert est la couleur la plus représentative du spectre lumineux.

La C.I.E (Commission Internationale de l'Éclairage) propose, de caractériser l’information de luminance (la valeur de gris) d’un pixel par deux formules :

• les couleurs « vraies » ou naturelles : Gris = 0,2125 . Rouge + 0,7154 . Vert + 0,0721 Bleu

• les couleurs non-linéaires, c'est-à-dire avec correction du gamma (image vue à partir d'un écran vidéo) :

Gris = 0,299 . Rouge + 0,587 . Vert + 0,114 . Bleu

Ces formules rendent compte de la manière dont l’œil humain perçoit les trois composantes, rouge, vert et bleu, de la lumière. Pour chacune d'elles, la somme des 3 coefficients vaut 1. On remarquera la forte inégalité entre ceux-ci : une lumière verte apparaît plus claire qu'une lumière rouge, et encore plus qu'une lumière bleue.

Complement 2

Exercice : BACS S 2014 (centres étrangers) 7 points

Les parties A et B sont indépendantes

Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blancau noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de la façon suivante :

• x = 0 pour le blanc ;

• x = 1 pour le noir ;

• x = 0,01 ; x = 0,02 et ainsi de suite jusqu’à x = 0,99 par pas de 0,01 pour toutes les nuances intermé-diaires (du clair au foncé).

L’image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites « fonctions de retouche ».Une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] est dite « fonction de retouche » si elle possède les quatrepropriétés suivantes :

• f (0) = 0 ;

• f (1) = 1 ;

• f est continue sur l’intervalle [0 ; 1] ;

• f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1].

Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f (x) > x, et éclaircie, si f (x) < x.Ainsi, si f (x) = x2, un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée0,22

= 0,04. L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous.Si f (x) =

√x, la nuance codée 0,2 prendra la nuance codée

√0,2 ≈ 0,45. L’image A sera transformée en

l’image C ci-dessous.

0,20 0,40

0,60 0,80

0,04 0,16

0,36 0,64

0,45 0,63

0,77 0,89

Image A Image B Image C

Partie A

1) On considère la fonction f1 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f1(x) = 4x3−6x2+3x.

(a) Démontrer que la fonction f1 est une fonction de retouche.

(b) Résoudre graphiquement l’inéquation f1(x)6 x, à l’aide du graphique donné en annexe, à rendreavec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles.Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement.

2) On considère la fonction f2 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f2(x) = ln[1+ (e−1)x].

On admet que f2 est une fonction de retouche.On définit sur l’intervalle [0 ; 1] la fonction g par : g(x) = f2(x)− x.

1

(a) Établir que, pour tout x de l’intervalle [0 ; 1] : g′(x) =(e−2)− (e−1)x

1+ (e−1)x;

(b) Déterminer les variations de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1].

Démontrer que la fonction g admet un maximum ene−2e−1

, maximum dont une valeur arrondie

au centième est 0,12.

(c) Établir que l’équation g(x) = 0,05 admet sur l’intervalle [0 ; 1] deux solutions α et β, avec α < β.On admettra que : 0,08 < α < 0,09 et que : 0,85 < β < 0,86.

Partie B

On remarque qu’une modification de nuance n’est perceptible visuellement que si la valeur absolue del’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0,05.

1) Dans l’algorithme décrit ci-dessous, f désigne une fonction de retouche.Quel est le rôle de cet algorithme ?

Variables : x (nuance initiale)y (nuance retouchée)E (écart)c (compteur)k

Initialisation : c prend la valeur 0Traitement : Pour k allant de 0 à 100, faire

x prend la valeur k100

y prend la valeur f (x)E prend la valeur |y− x|

Si E > 0,05, fairec prend la valeur c+1

Fin siFin pour

Sortie : Afficher c

2) Quelle valeur affichera cet algorithme si on l’applique à la fonction f2 définie dans la deuxièmequestion de la partie A ?

Partie C

Dans cette partie, on s’intéresse à des fonctions de retouche f

dont l’effet est d’éclaircir l’image dans sa globalité, c’est-a-diretelles que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], f (x) 6 x.On décide de mesurer l’éclaircissement global de l’image en cal-culant l’aire A f de la portion de plan comprise entre l’axe desabscisses, la courbe représentative de la fonction f , et les droitesd’équations respectives x = 0 et x = 1.Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d’éclaircir le plusl’image celle correspondant à la plus petite aire. On désire com-parer l’effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu’ellessont des fonctions de retouche :

0,5

1,0

0,5 1,00

f1(x) = xe(x2−1) f2(x) = 4x−15+60

x+4.

1) (a) CalculerA f1 .

(b) CalculerA f2

2) De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d’éclaircir le plus l’image ?

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