Astrophysique1

7/24/2019 Astrophysique1

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LAstrophysique

Charles McCall


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Contents

1 Introduction 4

1.1 Espace - Parallaxe et Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Objets dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Planetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Cometes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Le soleil et les etoiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Les lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 La premiere loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 La deuxieme loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 La troisieme loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Le theoreme du Viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1 Enonce et demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Application du theoreme de Viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Rayonnement 15

2.1 Le Processus de Rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Les photons: transport denergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Les photons: pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3 Rayonnements continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Le rayonnement de corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Raies atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Latome dhydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Mesurer le rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Analyser la lumiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Les systeme des magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.3 La couleur des astres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.4 Magnitudes absolues et module de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Modifications du rayonnement 25

3.1 Leffet Doppler-Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Mesurer le decalage vers le rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2 Loi de Hubble: Expansion de lunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Matieres interstellaire et intergalactique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Rayon de Stromgroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Quantifier labsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Absorption, diffusion, reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.4 Lindice de couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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4 Les Forces de Maree 32

5 La limite de Roche 34

6 Les cometes 37

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Les planetes 39

7.1 Bilan energetique des planetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2 Atmosphere planetaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.2.1 Equation dequilibre hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.2 Masse moleculaire moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2.3 Condition pour retenir une atmosphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Les Etoiles 44

8.1 Formation stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.1.1 Le rayon et la masse de Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.1.2 Temps de chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2 Classification stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2.1 Classification spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.3 Evolution stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.3.1 Naissance: sequence de Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 Les Galaxies 53

9.1 Sequence evolutive de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.2 Les galaxies elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.3 Les galaxies spirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.4 Populations stellaires dans les galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10 La Voie Lactee 5710.1 L a Voie Lactee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.2 L e voisinage solaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

11 Matiere sombre 60

11.1 U nite de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011.2 D ans les galaxies spirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6011.3 Dans les amas de galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12 La Cosmologie 63

12.1 Loi de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.1.1 La constante de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

12.2 Decalage vers le rouge cosmologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.2.1 Densite critque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12.3 L a carte de lunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

13 Echelle de distance 67

13.1 Decalage vers le rouge et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6713.2 E chelle de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6813.3 Chandelles standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

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13.3.1 Etoiles cepheides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6913.3.2 Supernovae de type 1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13.4 D iagramme de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7013.5 Construction de lechelle de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

14 Lentilles Gravitationelles 71

14.1 E quation de la lentille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.1.1 Rayon dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.1.2 Le cas dune lentille pontuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

14.2 A pplications aux galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.3 Applications a tout lunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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Chapter 1

Introduction

1.1 Espace - Parallaxe et Distance

Pour echelle de distance dans le syteme solaireon utilise lunite astronomique, la distance entre la terreet le soleil, ce qui vaut 149 millions de kilometres.

1 UA = 149 106 km

Si on sinteresse a des distances plus grandes, on va souvent recourir aux annes lumire (al) qui est ladistance parcourue par la lumiere en un an, a la vitesse de 300.000 km/s.

1 al = 9.441012 km

Pourtant, la plupart de temps, on utilise le parsec ou pc

1 pc = 3.26 al = 3.085 1013 km

Definition 1.1.1 (Parallaxe).La parallaxe est langle que sous-tend le rayon terrestre a unecertaine distance d, par exemple a la distance de lastre enhaut dans lesquisse. A gauche se trouve la ligne de viseejusqua lastre, vue depuis la terre a une certaine epoque.Alors lastre va etre a une certaine position apparente sur leciel. Six mois plus tard, par exemple, la parallaxe de lastreva avoir change. Lastre va etre vu a une autre position sur leciel. La difference dangle entre les deux positions sappellela parallaxe. Donc la parallaxe est un angle qui depend du

rayon de lorbite terrestre et de la distance a lastre.

On voit dans lesquisse que tan = rd

dont la serie de Taylor

tan = + 3

3 +25

15 + O(6) fait que, par lapproximation de

petits angles,

tan =r

d parallaxe

Figure 1.1

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Definition 1.1.2 (parsec).Le parsec (symbole pc) est une unite de longueur utilisee enastronomie pour des objets en dehors de le systeme solaire.Son nom vient de la contraction de parallaxe-seconde. Leparsec est defini comme etant la distance a laquelle une uniteastronomique (ua) sous-tend un angle dune seconde darc.Un parsec vaut 3.085 1016 m, soit environ 2.06 105 unites

astronomiques

1tan(1)

ua exactement) ou 3.2616 annes-

lumire.

Donc langle theta en secondes darc est egal a 1 sur la dis-tance en parsec ou

[] = 1

d[pc]

A parsec is the distance from the Sun to an astronomicalobject that has a parallax angle of one arcsecond. Figure 1.2

1.2 Objets dans lespace

1.2.1 Planetes

Dans notre systeme solaire, nous avons huit planetes dont on va exprimer les masses soit en unites demasse terrestre, pour les planetes telluriques, donc avec une croute solide, soit en unites de la masse deJupiter pour les planetes gazeuses. La mass de la terre:

M = 5.97 1024 kg

Le rayon de la Terre est de 6371 km. On exprime souvent les masses et les rayons plantaires en unites demasse terrestre et en unites de rayon terrestre.

Alors, en plus des huit planetes du systeme solaire, on connat actuellement 1700 exoplanetes ou planetesextra-solaires. La premire planete extra solaire a ete decouverte en 1995 par Michel Mayol et DidierQeloz a lobservatoire de Geneve.

1.2.2 Cometes

Alors dans le systeme solaire, on ne trouve pas que des planetes. On trouve aussi des cometes, par exem-ple, qui sont des boules de glace de boue congelee qui sevaporent au passage du soleil et la matire ejecteepar la comete, par le noyau cometaire, est poussee par les photons solaires le long de grandes queuescometaires. Alors dans les cometes, on trouve un noyau. Le noyau est en general tout petit, quelquechose qui est de lordre de 5 a 10 km de diametre, avec un maximum autour de 100 km. Et puis on aaussi un halo. Les diametres de ces halos sont de lordre de 50,000 km a 250,000 km de diametre. Les

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tailles des queues cometaires peuvent etre de lordre de 60 a 100 millions de km. On a donc des taillesqui sont de lordre de lUnite Astronomique.

Les cometes sont composees essentiellement de matiere organique; carbone, hydrogne, oxygne, azote(nitrogen). En fait, elles contiennent 80% deau et environ 10% de monoxyde de carbone.

1.2.3 Le soleil et les etoilesCest la seule etoile quon connaisse dont on puisse voir la surface directement, dont on puisse prendredes images. Toutes les autres etoiles sont beaucoup trop eloignees. La temperature de surface du soleilest 5,780 K. La masse du soleil qui nous sert de reference pour peser dautres objets astronomiques. Onexprimera la plupart des gros ob jets astrophysiques en terme de masse solaire. Cette masse solaire est2 1033 grammes. Le rayon du soleil, qui nous servira aussi a caracteriser les rayons des autres etoiles,est de 695,000 km, soit environ 109 fois le rayon de la terre.

Les etoiles tirent leur source denergie de deux choses : de la contraction gravitationnelle et de reactionsdes fusions nucleaires de lhydrogene en helium. Et quand on parle du temps de vie dune etoile, laplupart du temps, on parle du temps quelle met a bruer tout son hydrogene en helium.

Les masses des etoiles varient de 0.06 fois la masse du soleil jusqua 60 fois la masse du soleil. En dessousde 0.06 fois la masse du soleil, les reactions nuclaires ne peuvent pas sallumer. Et au dela de tres grandesmasses, comme 60 voire 100 masses solaires, letoile va seffondrer sur elle-meme et donc va aussi dis-paratre.

parametre gamme soleil

masse 0.06M < M?< 60 M 2 1033 g

rayon 0.17R< R?


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La mort dune etoile

Alors les etoiles nont pas un temps de vie infini. Une foisquelles ont termine de bruler leur hydrogene en helium, il y

a deux scenarios possibles pour la mort dune etoile: soit lamasse initiale de letoile est plus grande que 8 fois la massedu soleil et alors on a une super-nova, donc une explosiontres violente de letoile, soit la masse est inferieure a 8 fois lamasse du soleil, et on a ce quon appelle une nebuleuse planetaire.

Au centre de la nebuleuse planetaire il y a ce quon appelle unenaine blancheavec les residus de letoile tout autour.

Figure 1.3: Nebuleuse planetaireMessiee 57

La naissance dune etoile

Donc le materiel ejecte par les etoiles apres leur mort,que ce soit sous forme de supernova ou sous forme denebuleuse planetaire, sera recycle en des etoiles jeunes.

Les amas stellaires

Il ya plusieurs sorte damas stellaire: On trouve des amasdetoiles jeunes, des amas ouverts, des amas non-ouvertset des amas globulaires qui sont plus massifs que les amasouverts. Les amas ouverts ont des masses plus typiquesde quelques centaines voire quelques milliers de massessolaires. Un amas globulaire a une masses de lordre de106 M. Ce sont des amas dtoiles relativement vieux. Lesages sont de lordre de 109 1010 ans. Ils se trouve dans laperipherie des galaxies. Le diametre de ces amas, plus grosque les amas ouverts, est typiquement 40 - 50 parsec.

Figure 1.4: La grande nebuleuse dOrion(Messiee 42), qui a, en son centre, un amasjeune detoiles qui se forment a partir du gazde la nebuleuse

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Les galaxies

Les etoiles, les planetes, les nebuleuses, les amas detoiles,tous vivent dans des galaxies. Les etoiles vieilles setrouvent au centre et puis les etoiles jeunes ont tendancea se fermer dans les bras. Ce quon ne voit pas dans cette

image est la presence dun halo de matiere sombre toutautour, dans lequel se trouvent aussi les amas globulaires.

Le diametre dune galaxie est de lordre de 30-40 kilopar-secs! Et les masses des galaxies spirales sont de lordre de109 1010 M. Notre voie lactee ressemble a cette galaxiespirale. Le soleil se trouve a 2/3 de la distance entre lecentre et lexterieur de la galaxie. Figure 1.5: Amas globulaire

Ils existent aussi des galaxies elliptiques qui sont souventtrouvees au centre dun amas de galaxies. Ces galaxieselliptiques, contrairement aux galaxies spirales, contiennentpeu ou pas de poussires. Elles contiennent aussi peu ou pasde gaz et elles forment tres peu detoiles. Neanmoins, leurmasse setend sur une gamme plus elevee que les masses desgalaxies spirales, entre 107 1013 M.

Des amas de galaxies

Au centre des amas de galaxies on trouve souvent unegalaxie elliptique principale en plus dautres galaxies ellip-tiques assez loin du centre.

Figure 1.6: Une galaxie spirale

Puis, on a aussi des galaxies spirales, voire des

galaxies dun peu tous les types. Toutes cesgalaxies orbitent autour dun centre de gravitecommun. Les amas de galaxies sont les struc-tures gravitationnellement liees,les plus massivesde lunivers. Elles contiennent de la matiere visi-ble evidemment, mais aussi baignent dans un halode matiere sombre comme les galaxies individu-elles. Les masses mises en jeu sont absolumentenormes, entre 1014 1015 M. Tous les objetsastronomiques quon vient de voir, du plus petitau plus grand, des moins massifs aux plus massifs,

font partie dun tout, lunivers dont le domainedetude est la cosmologie.

Figure 1.7: Un amas de galaxies

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1.3 Les lois de Kepler

1. Les planetes suivent des trajectoires planes et elliptiques dont le soleil occupe lun des foyers.

2. Les aires balayees par les rayons vecteurs en des temps egaux sont egales : cest la loi des aires.

3. Le carre de la periode orbitale est proportionnel au cube du demi grand-axe de lorbite.

1.3.1 La premiere loi

On peut demontrer dabord que le moment cinetique L estconstant:

L = mv rdL

dt = m

dv

dt

| {z }=Fr+ mv

dr

dt

|{z}=v= 0 + 0 = 0

PuisqueF, la force centripete, est colineaire avec r dans lepremier terme et que v est evidemment colineaire aved vdans le deuxieme terme, les deux terms sont nuls, ce quefait que L est constant et que lorbite est bien plate!

Figure 1.8

1.3.2 La deuxieme loi

Laire balayee, dA, egal le rayon vecteur r, qui est la basedu triangle, fois la hauteur h sur deux. On exprime la hau-

teur en fonction des quantites connues : la vitesse, langleet lelement de temps pour parcourir ce petit trajet surlorbite de la Terre. Alors

dA = 1

2hr, h= v dtsin

= 1

2rvdt sin

Figure 1.9

9


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et comme le moment cinetique

kLk =mvr sin , on peut ecrire

dA=kLk

2mdt

A= Z kLk2mdt = kLk2mt + C1.3.3 La troisieme loi

Pour montrer cette loi de Kepler, au moins dans le cas desorbites circulaires, on considere un systeme de deux massesm14, m2qui orbitent autour dun centre de gravite communa une distance r1 et r2. La force de gravitation entre lesdeux est

Fg =G m1m2

(r1+ r2)2, on multiplie en haut et en bas

=G m1m2

(r1+ r2)2

m1+ m2m1+ m2

, M=m1+ m2

=G M

(r1+ r2)2, =

m1m2m1+ m2

la masse reduite

On a alors lequatiion dun systeme avec une masse fictiveMqui aurait la masse totale du systme plantaire.

Figure 1.10Donc on a reduit le systeme du mouvement de deux astres autour dun centre de gravite commun aumouvement dun astre , de masse fictive qui orbite autour dun a qui on attribue la somme des deuxmasses des astres dans le systeme planetaire. Dans un systeme circulaire, lacceleration de se relate a

la vitesse angulaire para =

2(r1+ r2) =G

M

(r1+ r2)2

On peut remplacer par 2P

ou P est la periode de lorbite pour obtener:

2(r1+ r2) =G M

(r1+ r2)2, =

2

P

42

P2=G

M

(r1+ r2)3 =

P2(r1+ r2)3

= 42

GM

Pour m1 m2 = M = m1, r = r1,donc

P3 =42r3

GM

Figure 1.11

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Lecentricite e de lorbite se define par

e2 = 1 b

a

2

Figure 1.12

1.4 Le theoreme du Viriel

1.4.1 Enonce et demonstration

Le theorme du Viriel est au mouvement aleatoire ce que les lois de Kepler sont au mouvement plan: Il

permet de relier lenergie cinetique a lenergie potentielle de systemes dits autogravitants, donc soumisa linfluence de leur propre champ de gravite et isoles de tout champ de gravite exterieur.

Le theoreme sapplique a un ensemble stable de particules de masse m reperees par leurs positions r etleurs vitesses v, sur lesquelles sexercent des forces F. Il secrit :

X12

mv2 = 1

2

Xr F

ou la barre designe la moyenne temporelle des quantites correspondantes. On en retient souvent le casparticulier suivant :

Theorem 1.4.1 (Theoreme de Viriel).Dans un systme en equilibre dynamique, lenergie cinetique K egale loppose de la moitie de lenergiepotentielle U, les deux moyennes sur temps:

2hKi = hUi

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Pour demontrer le theoreme de Viriel, on commence pardefinir une quantite S qui est la sommes des quantites demouvements des toutes les particules multipliees vectorielle-ment par les rayons vecteurs:

S= Xk

pk rk

On voit a doite les projections de tous les vecteurs quan-tite de mouvement sur tous les rayons vecteurs de toutes lesparticules. Comme les rayons vecteurs se distribuent de faconaleatoire, et les vitesses se distribuent aussi de facon aleatoireautour du centre de gravite commun a toutes les particules,la variation dans le temps de Soscille autour dune moyennenulle. A fortiori, la derivee de cette quantite oscille aussiautour dune moyenne nulle. Alors,

Figure 1.13

hSi = 0, dhSi

dt =

dS

dt

= 0

dS

dt

=

*Xk

pk

dt rk

++

*Xk

pk rk

dt

+ =

*Xk

pk

dt rk

+=

*Xk

pk rk

dt

+

*XkFk rk+= *Xk

mv2+= 2 hKi

Ensuite, on veut demontrer que

*Xk

Fk rk

+ egale lenergie potentielle. Maintenant, nous savons que

nous avons une force de gravite F, donc une force qui va deriver dun potentiel, donc nous allons pouvoiraussi choisir ce potentiel. On va lappeler (r). Il sera proportionnel au rayon a une certaine puissance,n. (r) = r(n+1) Pour la gravite, n = 2, donc on a un potentiel en 1/r (rappelons que lenergiepotentielle de la gravite U=GMm

r ). On peut reecrire la force comme

Fk =mkd(r)

dr r

r

=mk((n + 1)rn) r

r alors*X

k

Fk rk

+=

*Xk

mk(n + 1)rn+1

+, et puisquen= 2

=

*Xk

+mk(rk)

+= hUi

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1.4.2 Application du theoreme de Viriel

On peut decerner par exemple la masse des objets a travers leur energie potentielle (hUi).

On pourra exprimer lenergie cinetique dunsysteme de deux facons. Par exemple, lenergiecinetique dun nuage de gaz a une certaine

temperature sexprime par K 12nkT ou kest la constante de Boltzmann , n le nombrede particules etTest la temperature par degrede liberte.

R = universal gas constant = 8.3145 J/mol K

NA = Avogadros number = 6.0221 1023 /mol

k = R/NA

k = Boltzmann constant = 1.38066 1023 J/K

= 8.617385 105 eV/K

Donc, lenergie cinetique en 3 dimensions se donnerai pour K= 32nkT. Autrement, on peut lexprimer

comme K=Xk

1

2mkv

2k.

Pour exprimer lenergie potentielle on simpliebeaucoup lastre en le faisant une sphere avec une

densite constante . Puis on empile des coquillesspheriques de densite depuis linfini jusqua uncertain rayon r pour former un astre qui, a la fin,aura une masse totale (M) et un rayon (R), quisera le rayon final de lastre une fois quon auraempile toutes les coquilles spheriques. Alors, lavariation denergie potentielle liee a lempilage descoquilles spheriques est egale au travail de la forcede gravitation pour amener une coquille spheriquedepuis linfini jusqua un certain rayon r:

Figure 1.14

U = WF( r)

=

Z r

Gm(r) dm

s2 ds

= Gm(r) dm

s

r

= Gm(r)

r dm

Pour avoir lenergie potentielle totale, il fautfaire la somme de toutes les energies potentielles

elementaires que nous avons calculees avant, de 0jusquau rayonR final de lastre. Ensuite, prenanten compte que

M=4

3R3, m(r) =

4

3r3

on arrive a lenergie potentielle dune sphere:

U = Z R

0

U(r)dr

=

Z R0

Gm(r)

r dm

=

Z R0

Gm(r)

r 4r2 dr

U = 3

5

GM2

R

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Tous les objets astronomiques peuvent etre peses, leur masse peut etre determinee a travers la mesure devitesse ou de distribution de vitesse en utilisant le theoreme du Viriel.

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