S2I - Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Asservissement (3)

AsservissementComportement temporel des systèmes du premier ordre

L’analyse temporelle d’un système du premier ordre vise à étudier son comportement pour des sollici-tations types en entrée. Ces entrées types sont : le dirac, l’échelon et la rampe.

1 Définition

Le comportement d’un système du premier ordre est caractérisé par une équation différentielle dupremier ordre à coefficients constants :

τ.ds(t)

dt+ s(t) = K.e(t) K>0 ; τ>0

Avec :• K : Gain statique,• τ : constante de temps (en seconde).

La transformée de Laplace conduit à : (conditions initiales nulles).

La fonction de transfert s’écrit donc :

H(p) =S(p)

E(p)=

Remarque : Cette forme de la fonction de transfert est appelée forme canonique (Polynôme du dénominateurdont la constante vaut 1).

2 Réponse à un échelon d’amplitude E0

Soit en entrée du système du premier ordre la fonction e(t) = E0.u(t). La transformée de Laplace s’écritE(p) = E0

p et la sortie dans le domaine de Laplace devient :

S(p) =K.E0

p.(1 + τ.p)

Par décomposition en éléments simples puis application de la transformée de Laplace inverse :

S(p) =L−1

−→ s(t) =

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2.1 Propriétés de la réponse à un échelon d’amplitude E0

• valeur à l’origine :limt→0

s(t) =

• tangente à l’origine :limt→0

s′(t) =

• asymptotelim

t→+∞s(t) =

→ asymptote

• Point particulier :pour t = τ : s(τ) = K.E0.

[1− e−1

]= 0.63K.E0, soit 63%

de la valeur finale.

0,63.K.E0

K.E0 0,95.K.E0

t =3t5%

s(t)

t

e(t)

E0

K<1

2.2 Performances d’un système du premier ordre

• Précision

La précision qualifie l’aptitude du système à reproduire l’entrée sans contrainte de temps. Elle dépenddonc de la nature de l’entrée.Elle est caractérisée par l’écart entre la valeur d’entrée et la valeur effectivement atteinte par la grandeurde sortie lorsque le système est stabilisé :

Erreur (statique) absolue : Ers = limt→+∞

(Er(t)) = limt→+∞

(e(t)− s(t))L’erreur éventuelle s’exprime dans la même unité que la grandeur de sortie.

Erreur (statique) relative : Ers = limt→+∞

(e(t)− s(t)

e(t)) (en %)

Erreur Statique (absolue) de position Ers

On définit alors l’Erreur (statique absolue) de positionErscomme l’erreur entre la consigne en échelon e0.u(t) et la ré-ponse s(t) en régime permanent. Si, de plus l’entrée est unéchelon unitaire e0=1, on parle d’erreur indicielle.

0 t

e0

e(t)

s(t)

erreur Ers

Pour un système du 1er ordre :

Ers = limt→+∞

(e(t)− s(t)) =

- Ers=0 si K=1, le système est précis,- Ers 6= 0 si K6=1, le système ne suit pas la consigne.

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• Rapidité

La rapidité est caractérisée par le temps que met le système à réagir à une variation brusque de la grandeurd’entrée.

En pratique on utilise, comme critère de rapidité, le temps de réponse à 5% : temps mis par le systèmepour atteindre sa valeur de régime permanent à ±5% près et y rester.(95% VF < s(t) <105% VF, VF :valeur finale observée)

Pour un système du premier ordre le temps de réponse à 5%, t5% est tel que s(t5%) = 0.95K.E0

K.E0.[1− e−t5%/τ

]= 0.95K.E0 ⇒ e−t5%/τ = 0.05⇒ t5% ≈ 3τ .

Système du premier ordre

t5% = 3τ

Réponse indicielle (E0=1) d’un système du premier ordre en fonction de τ

2.3 Identification temporelle : détermination expérimentale des paramètres K et τ

Connaissant la réponse à un échelon d’un système du premier ordre, on cherche à identifier les para-mètres K et τ à partir de la courbe de s(t).

On détermine :

• le gain statique K à partir de la valeur finale K.E0,• la constante de temps τ à partir :

- soit de la pente à l’origine K.E0/τ ,- soit de l’instant où s(t) atteint 63% de la valeur finale s(τ) = 0.63K.E0,- soit du temps de réponse à 5%, t5% = 3τ .

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3 Réponse à un Dirac

L’entrée est définie par e(t) = δ(t) soit E(p)=1.

D’où la sortie :

S(p) =K

1 + τ.p

L−1

−→ s(t) =K

τ.e−t/τ

Propriétés de la réponse :

• valeur à l’origine : s(0) =K

τ,

• tangente à l’origine : s′(0) = −Kτ2

,

• la tangente à l’origine (y = −K.(t− τ)/τ2) coupe l’axe des temps en t = τ .• asymptote pour lim

t→+∞s(t) = 0,

4 Réponse à une rampe de pente a

L’entrée est définie par e(t)=a.t.u(t) soit E(p)=a

p2.

D’où la sortie :

S(p) =K.a

p2.(1 + τ.p)= K.a.

[1

p2− τ

p+

τ2

1 + τ.p

]L−1

−→ s(t) = K.a.[t− τ + τ.e−t/τ

]

Propriétés de la réponse :

• valeur à l’origine : limt→0

s(t) = limp→+∞

pS(p) = limp→+∞

K

p.(1 + τ.p)= 0,

• tangente horizontale à l’origine : s′(0) = 0,• asymptote : lim

t→+∞s(t) = K.a.(t− τ), de pente K.a et coupe l’axe des temps en t = τ .

Dans le cas particulier oùK = 1, l’asymptote est parallèle à la consigne est il est alors possible de définirl’erreur de traînage (ou erreur statique en vitesse ou erreur de poursuite) entre la consigne et la réponsevalant Erv = lim

t→+∞(e(t)− s(t))=a.τ .

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