Arithmétique Classe 3 e. 1 - Critères de divisibilité Soit n un nombre entier. son chiffre des...
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Arithmétique
Classe 3e
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1 - Critères de divisibilité
Soit n un nombre entier.
son chiffre des unités est 0
la somme des ses chiffres est un multiple de 3
la somme des ses chiffres est un multiple de 3
si son chiffre des unités est 0 ou 5
son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 (nombre pair)
n est divisible par 10 si
n est divisible par 9 si
n est divisible par 3 si
n est divisible par 5 si
n est divisible par 2 si
45 720 est un nombre pair, il est divisible par 2
45 720 se termine par 0, il est divisible par 5 et par 10
4+5+7+2+0=18, 45 720 est divisible par 3 et par 9
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2 - Division euclidienne
La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier.
Exemples :
8
5-65
13 73
6
3-51
17 56
0
-70
7
1-14
14 210
On écrit :
851373 631757
01514210
0
5
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…• a est un
ou ce qui revient au même de dire que
…• b est un
Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b non nul est égal à 0, on dit que :
diviseur
multiple
de a,
de b.
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Remarques
est un multiple de 7
On dit que 7 est un diviseur commun à 35 et 84
7 est-il un diviseur de ?
7 est un diviseur de 84 car
7 est un diviseur de 35 car 5735
12784
4568412335
4561213257
456127123574568412335
4568412335
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multiple
Exemple
01514210 Avec l’exemple précédent :
On dit que 210 est un de 14, mais aussi de 15On dit que 14 est un diviseur de 210, mais aussi 15
Quels sont les diviseurs de 210 ?
L’ensemble de tous les diviseurs de 210 est :
210 105 ;70 ;42 ;35 ;30 ;21 ;15 ;
14 ;10 ;7 ;6 ;5 ;3 ;2 ;1 ;
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3 - PGCD
Le PGCD de 45 et 75 est le plus grand de ces diviseurs communs.
On cherche le plus grand diviseur commun à 45 et 75.
Ensemble des diviseurs de 75 :
Ensemble des diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45
1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75
Donc l’ensemble des diviseurs communs à 45 et 75 est :
1 ; 3 ; 5 ; 15
PGCD( 45 ; 75 ) = 15
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4 – Algorithme d’Euclide
C’est une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres entiers.
Exemple : calculons PGCD( 143 ; 611 )
ALGORITHME : Désigne une suite de calcul nécessaire à la solution d’un problème dans une durée limitée. L’appellation « algorithme » est l’équivalent latin d’un terme figurant dans l’ouvrage du mathématicien arabe Mohammed Ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi.
On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
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39
4-572
143 611
394143611
26
3-117
39 143
26339143
On effectue ensuite la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente.
39143
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On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul.
13
1-26
26 39
1312639
0
2-26
13 26
021326 PGCD( 143 ; 611 ) est le dernier reste non nul, c’est-à-dire :
2639
1326
13
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5 – Nombres premiers entre eux
Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1.
Remarque : 1 est leur seul diviseur commun.
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15 et 8 sont premiers entre eux car :
Ensemble des diviseurs de 8 :
Ensemble des diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15
1 ; 2 ; 4 ; 8
Le seul diviseur commun à 15 et 8 est 1.
Donc PGCD( 15 ; 8 ) = 1
Exemples :
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221 et 97 sont premiers entre eux car :
Appliquons l’algorithme d’Euclide
Exemples :
Donc PGCD( 221 ; 97 ) = 1
27297221 1632797 1111627 511116 12511 0515
97221279716271116
51115
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6 – Fractions Irréductibles
On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateurs sont premiers entre eux.Exemples : (d’après 5)
8
15est une fraction irréductible car :
221
97est une fraction irréductible car :
PGCD( 221 ; 97 ) = 1
PGCD( 15 ; 8 ) = 1
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Méthode
Pour simplifier une fraction (et la rendre irréductible), on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun.Exemples : d’après 4, PGCD( 143 ; 611 ) = 13
Simplifions611
143
47
11
13611
13143
611
143
13611
13143
611
143
611
143
611
143C’est irréductible !!