Architecture des ordinateurs & Algorithmique Partie I : Architecture … · 2018-10-31 · base de...

Architecture des ordinateurs & Algorithmique

Partie I : Architecture des ordinateurs

Architecture des ordinateurs & Algorithmique Pr. DARGHAM Abdelmajid ENSAK

1ère Année Cycle Préparatoire Intégré / Semestre 1

ENSA Khouribga

Pr. DARGHAM Abdelmajid

Année universitaire : 2018/2019

Chapitre 2 : Codage des informations

� Comprendre les techniques de

représentation internes des informations

Objectifs


� Besoin du codage d’information

� Les systèmes de numération

� L’organisation des informations en mémoire

� L’arithmétique en binaire pure

� Représentation des nombres négatifs

Sommaire

� Représentation des nombres négatifs

� Codage BCD

� Représentation des nombres réels

� Représentation des caractères

� Le code de Gray


Besoin du codage d’information



• Un ordinateur manipule toute sorte d’information :– Numérique.

– Alphabétique.

– Graphique.


– Graphique.

– Audio.

– Vidéo.

– Cliques souris.

– Programmes.

– ...


• Dans son niveau le plus bas, l’ordinateur

reste une machine électronique : il ne traite que des signaux électriques.

• Fondamentalement, il y a deux signaux électriques élémentaires différents :


électriques élémentaires différents :

–Le signal de faible voltage (ou état « 0 »).

–Le signal de haut voltage (ou état « 1 »).

• Chaque signal élémentaire peut alors se trouver dans l’un de ces deux états : « 0/1 ».


• Par conséquence, toute information, quelque soit sa nature, doit être présentée à l’ordinateur sous forme d’une collection de ces signaux électriques.

• L’information doit alors être codée !


• L’information doit alors être codée !

• La méthode de codage d’une information

dépend de la nature de celle-ci.

• En informatique, le système binaire est à la base de toute méthode de codage.


• Définition :

–Coder une information c’est réaliser une

correspondance biunivoque qui permetsans ambiguïté de passer d’unereprésentation (dite externe) de cette


représentation (dite externe) de cetteinformation à une autre représentation

(dite interne sous forme binaire) de lamême information, suivant un ensemble de

règles précises.


• Exemple :

–Considérons le nombre 29

–29 est la représentation externe du nombre

–La représentation interne de 29 sera une suite de 0 et de 1 : (11101)


suite de 0 et de 1 : (11101)


Les systèmes de numération



• Un système de numération se défini par :

–Un alphabet de base A : ensemble des symboles (ou chiffres) à utiliser.

–Un ensemble de règles d’écriture des

nombres.


• Dans les systèmes de numération modernes, les nombres sont écrits par simple juxtaposition de symboles de l’alphabet de base A.


• Les systèmes de numération les plus courants :

–Le système décimal (base 10) : utilise les 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

–Le système binaire (base 2) : utilise les 2 chiffres : 0 et 1.


–Le système octal (base 8) : utilise les 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

–Le système hexadécimal (base 16) : utilise les 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E et F.


• Le système binaire comprend deux valeurs

basiques discrètes : 1 et 0.

• Un chiffre binaire est appelé bit (binary digit) et représente l’une de ces deux valeurs (0 ou 1).



• En général, le système de numération à base B

(B est un nombre entier ≥ 2) utilise les Bpremiers entiers de 0 à B-1.

• Un nombre entier X (base 10) se décompose d’une manière unique en :

X = α BN + α BN-1 + … + α B1 + α B0


X = αNBN + αN-1BN-1 + … + α1B

1 + α0B0

• Les coefficients αi vérifient : 0 ≤ ααααi < B, quelque soit l’indice i (de 0 à N).

• On écrit X, en ignorant les puissances de B :

X = (αNαN-1…α1α0)B


• Comment déterminer ces coefficients ?

X = αNBN + αN-1BN-1 + … + α1B

1 + α0B0

–Tout d’abord, α0 est le reste de la division de X par B, car :

X = (αNBN-1 + … + α1)B + α0 et 0 ≤ α0

< B


X = (αNB + … + α1)B + α0 et 0 ≤ α0

< B

–Remarquons tout de suite que le quotient de X par B est égal à :

(X ÷ B) = (αNBN-1 + αN-1BN-2 + … + α1)



–De même, α1 est le reste de la division de (X ÷ B) par B, car :

(X÷B) = (αNBN-2 + … + α2)B + α1 et 0 ≤ α1

< B

–Le quotient de (X ÷ B) par B est égal à :


–Le quotient de (X ÷ B) par B est égal à :

(X ÷ B) ÷ B = (αNBN-2 + αN-1BN-3 + … + α2)

–Et ainsi de suite, le processus est récursif !

–On répète le même processus jusqu’à trouver le premier quotient nul.



–La séquence des restes obtenues correspond aux symboles de la base considérée.

–On obtient en premier lieu le chiffre de poids

faible (B0) et en dernier lieu le chiffre de

poids fort (BN).


poids fort (BN).

–Pour obtenir la représentation de X en base B, il suffit alors d’écrire les restes dans l’ordre

inverse.


• Exemple :

–Écrivons 46 dans la base 3 :


46

15 1

Nombre initial

46 = (1201)3

α0


quotients restes

15 1

5

1

1

0

0

2

On inverse les restes

α0

α1

α2

α3

• Exercice :

–Convertir le nombre (2018)10 en :

• Base 16

• Base 8

• Base 2


• Base 2


• Conversion octal �� binaire :

–Remplacer chaque chiffre octal en sonéquivalent binaire sur 3 bits (effacer les 0 lesplus à gauche si nécessaire) :

0 � 000

1 � 001


1 � 001

2 � 010

3 � 011

4 � 100

5 � 101

6 � 110

7 � 111


• Conversion octal �� binaire (exemple) :

(1472)8 = (001100111010)2 = (1100111010)2

• Conversion binaire �� octal :

–Regrouper à partir de la droite, chaqueséquence de 3 bits par son équivalent en octal


séquence de 3 bits par son équivalent en octal

(ajouter des 0 à gauche si nécessaire).

–Exemple :

(10101111011)2 = (010 101 111 011)2 = (2573)8


• Conversion hexadécimal �� binaire :

–Remplacer chaque chiffre hexadécimal enson équivalent binaire sur 4 bits (effacer les0 les plus à gauche si nécessaire) :

0 � 0000 4 � 0100 8 � 1000 C �1100

1 � 0001 5 � 0101 9 � 1001 D �1101


1 � 0001 5 � 0101 9 � 1001 D �1101

2 � 0010 6 � 0110 A �1010 E �1110

3 � 0011 7 � 0111 B �1011 F �1111

(1A7E)16 = (0001101001111111)2 = (1101001111111)2


• Conversion binaire �� hexadécimal :

–Regrouper à partir de la droite, chaquegroupe de 4 bits par son équivalent en

hexadécimal (ajouter des 0 à gauche sinécessaire).

–Exemple :


–Exemple :

(10101111011)2 = (0101 0111 1011)2 = (57B)16


• Conversion hexadécimal �� octal :

–Convertir le nombre hexadécimal en

binaire.

–Convertir le nombre binaire obtenu en

octal.


–Exemple :

(1A7E)16 = (0001101001111111)2 = (000 001

101 001 111 111)2 = (15177)8


• Conversion octal �� hexadécimal :

–Convertir le nombre octal en binaire.

–Convertir le nombre binaire obtenu en

hexadécimal.

–Exemple :


–Exemple :

(1037)8 = (001000011111)2 = (0010 0001 1111)2

= (21F)16


• Intervalle des entiers en base B représentés

sur N chiffres (de la base B) :

–Soit B ≥ la base et N le nombre de chiffres

utilisés dans le codage.

–Le total des nombres entiers distincts représentables sur N chiffres en base B : BN


représentables sur N chiffres en base B : BN

–Le plus grand entier est BN - 1

–L’intervalle des entiers est [0, BN - 1]


• Intervalle des entiers en binaire représentés

sur N bits :

–Le total des nombres entiers distincts représentables sur N bits en base 2 : 2N

–Le plus grand entier est 2N - 1 : il est représenté par une séquence de N bits 1


représenté par une séquence de N bits 1

–Le plus petit entier est 0 : il est représenté par une séquence de N bits 0

–L’intervalle des nombres entiers est [0, 2N - 1]


• Condition pour qu’un entier M soit

représentable en binaire sur N bits :

– Il faut que : M ≤ 2N - 1

–C’est-à-dire que M + 1 ≤ 2N

log2(M + 1) ≤ N


log2(M + 1) ≤ N


• Nombre de bits nécessaires pour représenter

un ensemble de M valeurs distinctes en

binaire :

–Soit N le nombre de bits nécessaires

– Il faut que : 2N-1 – 1 < M ≤ 2N – 1


� N - 1 < log2(M + 1) ≤ N

� N = log2(M + 1)


• Exemple :

–Pour représenter un domaine formé de M = 10

valeurs distinctes, il faut au moins :

N = log2(M + 1)

N = log2(10 + 1)


N = log2(10 + 1)

N = log2(11)

N = 3.4594316186

N = 4 bits


L’organisation des informations


L’organisation des informations en mémoire

• En arithmétique binaire pure, une valeur peut prendre un nombre arbitraire de bits.

• Ceci est impossible des les systèmes électroniques : le nombre de bits est limité.

• Les collections de bits les plus utilisés en informatique sont des puissances de 2 :


informatique sont des puissances de 2 : – Les bits singuliers

– Les quartets

– Les octets

– Les mots

– Les mots doubles


• Les multiples du bit sont :

–L’octet = 8 bits

–Le Kilo octet = 210 octets = 1024 octets

–Le Méga octet = 210 Ko = 220 octets

–Le Giga octet = 210 Mo = 230 octets


–Le Giga octet = 2 Mo = 2 octets

–Le Téra octet = 210 Go = 240 octets

–Le Péta octet = 210 To = 250 octets


• Les quartets (Nibbles) :

–Un quartet est une collection de 4 bits.

–Le quartet n’est pas intéréssant, sauf s’il l’on veut représenter les nombres en codage (Décimal Codé Binaire) ou BCD (BinaryCoded Decimal) ou en hexadécimal.


Coded Decimal) ou en hexadécimal.

–Avec un quartet, il est possible de représenter jusqu’à 24 = 16 values distinctes.


• Les octets (Bytes) :– Un octet est une collection de 8 bits.

– Il peut représenter un ensemble ne dépassant pas 28 = 256 valeurs distinctes.

– Il représente la plus petite information qui soit adressable en mémoire de l’ordinateur.


adressable en mémoire de l’ordinateur.

– Dans un octet :

• Le bit de poids faible représente le coefficient de poids 20 = 1 (c’est le bit le plus à droite)

• Le bit de poids fort représente le coefficient de poids 27 = 128 (c’est le bit le plus à gauche)



01234567


Le bit de poids faibleLe bit de poids fort

Schéma d’un octet

• Les mots (Words) :

–Un mot est une collection de 16 bits.

–Les mots peuvent représenter des collections de données dont l’ensemble ne dépassant pas 216 = 65 536 valeurs distinctes.


– Ils sont utilisés pour représenter des nombres entiers (signés ou non).


• Les mots doubles (Double words) :

–Un mot double est une collection de 32 bits.

–Les mots doubles peuvent représenter des collections de données dont l’ensemble ne dépassant pas 232 = 4 294 967 296 valeurs distinctes.


distinctes.

– Ils sont utilisés pour représenter des nombres entiers et réels (signés ou non).


L’arithmétique en binaire pure



• Les règles de l’addition binaire :

� 0 + 0 = 0

� 1 + 0 = 0 + 1 = 1

� 1 + 1 = 10

� Résultat = 0, avec Retenu = 1


� Résultat = 0, avec Retenu = 1


1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 1 0+

1 1 0 0 0 0 1

1 Retenu111

• Les règles de la soustraction binaire :

� 0 - 0 = 1 - 1 = 0

� 1 - 0 = 1

� 0 - 1 = 1

� Résultat = 1, avec Emprunt = 1


� Résultat = 1, avec Emprunt = 1


1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0-

0 0 0 1 0 1

Emprunt1

• Les règles de la multiplication binaire :

� 0 × 0 = 1 × 0 = 0 × 1 = 0

� 1 × 1 = 1


1 1 0 1

1 0 1××××


1 0 1××××

1 1 0 1

1 1 0 1

0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1

+

+

Codage des nombres négatifs



• Trois méthodes classiques pour coder lesentiers négatifs (signe moins) :

–Méthode du signe-module (Sign-Magnitude Method)

–Méthode du complément à 1 (One’s-


–Méthode du complément à 1 (One’s-Complement Method)

–Méthode du complément à 2 (Two’s-Complement Method)


• Méthode du signe-module (valeur absolue)

–Le bit du poids fort (MSB, Most SignificantBit) est réservé pour le signe du nombre : 1 si c’est le nombre est négatif, et 0 si c’est le nombre est positif.


–Les (N-1) bits restants sont utilisés pour coder la valeur absolue du nombre (en binaire pur).

–L’intervalle des entiers représentables avec cette méthode est alors :

[-2N-1 + 1, 2N-1 - 1]



Opération Additionner les modules

Soustraire les modules

A > B A < B A = B

(+A) + (+B) + (A + B)

(+A) + (-B) + (A – B ) - (B – A ) + (A – B )

(-A) + (+B) - (A – B ) + (B – A ) + (A – B )


(-A) + (+B) - (A – B ) + (B – A ) + (A – B )

(-A) + (-B) - ( A + B)

(+A) - (+B) + (A – B ) - (B – A ) + (A – B )

(+A) - (-B) + (A + B)

(-A) - (+B) - ( A + B)

(-A) - (-B) - (A – B ) + (B – A ) + (A – B )

• Inconvénients de la méthode signe-module

– Il y a deux représentations distinctes pour lenombre zéro :

+0 = 0000…000

- 0 = 1000…000


- Les opérations arithmétiques ne sont pas faciles à

effectuer : il faut tenir compte des signes et des

modules des opérandes.

- Il peut y avoir une erreur de débordement

(Overflow) lorsque les résultats ne sont pas dansl’intervalle [-2N-1 + 1, 2N-1 - 1].


• Exemples

–Sur N = 8 bits :

•X = 102 � Rep(X) = 01100110

•Y = -102 � Rep(Y) = 11100110


• Z = 127 � Rep(Z) = 01111111

•U = 128 � U est non représentable

•V = -127 � Rep(V) = 11111111


• Exercice corrigé (en séance du cours)

– Effectuer les opérations suivantes en utilisant le codage du signe-module sur 8 bits :

• 22 + 11

• (-22) + 11


• (-22) + 11

• 22 + (-11)

• 22 + (-22)

• (-22) + (-11)

• 22 + 120

• (-22) + (-106)


• Méthode du complément à 1 (ou complément

logique)

– Cas d’un nombre positif : on le code comme dansla méthode de la valeur absolue.

– Cas d’un nombre négatif :


– Cas d’un nombre négatif :

• On code son nombre opposé (qui est positif).

• On calcule le complément logique du codeobtenu (en transformant les 0 en 1, et vice-

versa).

– Le bit du poids fort est toujours utilisé pour coderle signe du nombre (0 : positif / 1 : négatif)


• Inconvénients

– Il y a deux représentations distinctes pour le nombrezéro :

+0 = 0000…000

- 0 = 1111…111

– Il y aura une erreur de débordement (Overflow)


– Il y aura une erreur de débordement (Overflow)lorsque le résultat n’est pas dans l’intervalle [-2N-1 +

1, 2N-1 - 1].

• Avantages

– La soustraction peut être effectuée en utilisantl’addition.


• Exemples

–Sur N = 8 bits :

•X = 102 � Rep(X) = 01100110

•Y = -102 � Rep(Y) = CA1(01100110) = 10011001


10011001

• Z = 127 � Rep(Z) = 01111111

•U = 128 � U est non représentable

•V = -127 � Rep(V) = CA1(0111111) = 10000000


• Exercice corrigé

–Donner la valeur décimale du nombre dont le code sur N = 8 bits en utilisant la méthode du complément à 1 est : 11000100



• Solution

–Le bit du poids fort est = 1 � X est négatif

–La valeur absolue du nombre est obtenue en calculant le complément à 1 du code :

CA (11000100) = 00111011


CA1(11000100) = 00111011

– |X| = 25 + 24 + 23 + 21 + 20

– |X| = 32 + 16 + 8 + 2 + 1

– |X| = 59

� X = -59


• Méthode du complément à 2 (ou

complément arithmétique)

–Un nombre positif est représenté en binaire pur, avec un 0 en bit de poids fort.

–Un nombre négatif est représenté avec une


–Un nombre négatif est représenté avec une séquence de bits en respectant les deux conditions suivantes :

• La somme du nombre et de son opposé est égale à 0.

• Le bit de poids fort est égal à 1.


• Méthode du complément à 2 (ou

complément arithmétique)

–Soit -A un nombre négatif à coder en complément à 2 (A étant positif) sur N bits

–On veut que -A = 1???...???


–On veut que -A = 1???...???

–A = 0§§§…§§§

–On veut que : -A + A = 0

–L’idée est de représenter -A comme étant la valeur binaire de -A + 2N


• Méthode du complément à 2 (ou complément

arithmétique)

–Par suite : -A + A + 2N = 0 + 2N = 2N

–Le nombre 2N se représente sur N+1 bits comme 1000…000 (1, suivi de N zéros).


comme 1000…000 (1, suivi de N zéros).

–Si l’on ignore le bit de poids fort 1, on s’aperçoit qu’effectivement : -A + A = 0.

–C’est la méthode du complément à 2.

–Avec Cette méthode, on peut coder sans erreur tous les entiers de l’intervalle [-2N-1, 2N-1-1]


• Exemple

–Pour coder X = -12 en complément à 2 sur 8 bits en utilisant la méthode du complément à 2, on suit les étapes suivantes :


suivantes :

– (-12) ∈ [-27, 27-1] = [-128, 127]

– (-12) + 28 = 256 - 12 = 244

–244 = (11110100)2

– (-12) = (11110100)CA2


• Algorithme (1) de codage d’un nombre négatif

(-A) en complément à 2

–Calculer la représentation binaire de A

–Calculer le complément à 1 de A : CA1(A)

–Ajouter +1 au résultat


–Ajouter +1 au résultat


• Exemple

–Codons (-12) en complément à 2 sur 8 bits.

–Étape 1 :

(12)10 = (00001100)2

–Étape 2 :


–Étape 2 :

CA1 � (12)10 = (11110011)CA1

–Étape 3 :

CA2 � 1 + (11110011)CA1 = (11110100)CA2

-12 = (11110100)CA2


• Algorithme (1) de codage d’un nombre négatif

–A en complément à 2

–Calculer la représentation binaire de A

–Copier tous les bits 0 à partir de la droite

jusqu’au premier bit égal à 1 (ce bit inclus).


jusqu’au premier bit égal à 1 (ce bit inclus).

–Complémenter les bits restants


• Exemple

– Codons (-12) en complément à 2 sur 8 bits.

– Étape 1 :

(12)10 = (00001100)2

– Étape 2 :


Copie des bits 0 et du 1er 1 à droite �

(00001100)2

– Étape 3 :

Complémentation des bits restants � (11110100)CA2

-12 = (11110100)CA2


• Avantages de la méthode du complément à

2

– Il est facile de tester si un nombre est négatif : sa représentation binaire commence par un 1.


commence par un 1.

–Les opérations arithmétiques sont très simples à effectuer en complément à 2.


• Règles de calcul en complément à 2

–Calculer l’opposé d’un nombre X : -X = CA2(X).

–A + B : s’effectue comme en binaire.

–A - B : on calcule A + CA2(B)


–A - B : on calcule A + CA2(B)

– Il y débordement (Overflow) seulement dans le cas où si deux nombres de même signe qui sont additionnés donne un résultat de signe différent.


• Exemples (sur 4 bits)

– (-5) � (5)10 = (0101)2 = (1011)CA2

– (5)10 + (2)10 = (0101)CA2 + (0010)CA2 = (0111)CA2 = (7)10

– (5) + (3) = (0101) + (0011) =


– (5)10 + (3)10 = (0101)CA2 + (0011)CA2 = (1000)CA2 � Overflow

– (5)10 - (2)10 = (0101)CA2 - (0010)CA2 = (0101)CA2 + (1110)CA2 = (10011)CA2 � On ignore le bit 1 �� (5)10 - (2)10 = (0011)CA2 = = (3)10


• Exemples (sur 4 bits)

– (-7)10 + (-6)10 = (1001)CA2 + (1010)CA2 = (10011)CA2 � Overflow

– (-5)10 - (2)10 = (1011)CA2 - (0010)CA2 = (1011)CA2 + (1110)CA2 = (11001)CA2 � On


(1011)CA2 + (1110)CA2 = (11001)CA2 � On ignore le bit 1 �� (-5)10 - (2)10 = (1001)CA2

= (-7)10

– (-6)10 - (4)10 = (1010)CA2 + (11000)CA2 = (10110)CA2 � Overflow


• Conversion Complément à 2 �� Décimal

–Soit (AN-1AN-2…A0)CA2 un nombre codé en complément à 2 sur N bits qui représente un nombre entier A.

–A est le bit de signe.


–AN-1 est le bit de signe.

–La valeur décimale de ce code est donnée par la formule suivante :

A = -AN-1 * 2N-1 + AN-2 * 2N-2 + … + A0 * 20


• Exercice corrigé

–Convertir en décimal, les codes suivants :

• (11001000)CA2

• (00100111)CA2


• Solution

– (11001000)CA2 = -27 + 26 + 23 = -56

– (00100111)CA2 = 25 + 22 + 21 + 20 = 39


Codage BCD


Codage BCD

• BCD (Binary Coded-Decimal)

–Le décimal codé binaire est un codage dans lequel on représente un nombre

décimal chiffre par chiffre.

–Chaque chiffre décimal est convertit en

Codage BCD

–Chaque chiffre décimal est convertit en son équivalent binaire sur 4 bits :• 0 � 0000 4 � 0100 8 � 1000

• 1 � 0001 5 � 0101 9 � 1001

• 2 � 0010 6 � 0110

• 3 � 0011 7 � 0111Architecture des ordinateurs & Algorithmique Pr. DARGHAM Abdelmajid ENSAK

• Exemple

–Le nombre 12349 est codé en BCD en :

(12349)10 = (0001 0010 0011 0100 1001)BCD

• Arithmétique en BCD

–En BCD, l’arithmétique s’effectue chiffre

Codage BCD

–En BCD, l’arithmétique s’effectue chiffre

par chiffre.


• Cas de l’addition en BCD

–Considérons l’addition de deux chiffres décimaux.

–En BCD, si la somme dépasse 9, on ajoute 6 pour ramener le résultat dans l’intervalle

Codage BCD

6 pour ramener le résultat dans l’intervalle [0, 9].

–Un retenu (CARRY) est généré dans ce cas.

–Le retenu est ensuite additionné aux chiffres dans l’étape suivante de calcul.


• Exemple 1

–310 + 210 = (0011)BCD + (0010)BCD

–310 + 210 = (0101)BCD = 510

–Dans ce cas, il n’y a pas de correction, car la somme des chiffres <= 9.

Codage BCD

la somme des chiffres <= 9.


• Exemple 2

–510 + 610 = (0101)BCD + (0110)BCD

–510 + 610 = (1011)2 = 1110

–Dans ce cas, il y a correction, car la somme des chiffres > 9.

Codage BCD

des chiffres > 9.

–On ajoute 6 au résultat :

– (1011)2 + 610 = (1011)2 + (0110)2

–Le résultat est (0001)BCD , plus un retenu égal à 1


• Avantages est inconvénients

–Le codage BCD est très simple à le convertir en décimal.

–Cependant, il n’est pas efficace pour coder les nombres : il est gourmand en espace

Codage BCD

les nombres : il est gourmand en espace (pour représenter 123, il faut 12 bits en BCD, alors qu’en CA2, 8 bits suffisent).

–Le codage BCD est efficace pour afficher les nombres.


Représentation des nombres réels



• Méthode de la virgule fixe

–Dans cette méthode, la position de la virgule

reste inchangée.

–On code un nombre réel R sur 3 champs :

• Le bit de poids fort (MSB) est réservé


• Le bit de poids fort (MSB) est réservé pour le signe de R.

• La partie entière de R est codé en binaire

pur (sur un nombre de bits précis).

• La partie fractionnaire de R est également codé en binaire pur (sur un nombre de bits précis).



Bit de signe Partie fractionnaire en binaire pur


Partie entière en binaire pur

• Exemple

–R = -12.25

– Signe = - � MSB = 1

– Partie entière de R = 12 = (1100)2

– Partie fractionnaire de R = 0.25 = (01)2


– Partie fractionnaire de R = 0.25 = (01)2

– Supposons que la partie entière (plus le signe) sont codés sur 3 octets et que la partie fractionnaire est codé sur 1 octet

– La représentation complète de R est alors :

(10000000000000000000110001000000)


• Comment déterminer la représentation

binaire de la partie fractionnaire

– En décimal : 0.25 = 2 × 10-1 + 5 × 10-2

– En binaire : 0.25 = ¼ = 0 × 2-1 + 1 × 2-2

–On effectue une série de multiplications par


–On effectue une série de multiplications par

2, jusqu’à trouver le nombre 1 :

– 0.25 × 2 = 0 + 0.5

– 0.5 × 2 = 1 + 0


• Exemple 1

– Trouvons la représentation binaire de 0.2357 sur 8 bits :

• 0.2357 × 2 = 0 + 0.4714

• 0.4714 × 2 = 0 + 0.9428

• 0.9428 × 2 = 1 + 0.8856


• 0.9428 × 2 = 1 + 0.8856

• 0.8856 × 2 = 1 + 0.7712

• 0.7712 × 2 = 1 + 0.5424

• 0.5424 × 2 = 1 + 0.0848

• 0.0848 × 2 = 0 + 0.1696

• 0.1696 × 2 = 0 + 0.3392

– (0.2357)10 = (0.00111100)2


• Exemple 1

–Trouvons la représentation binaire de 0.6 sur 8 bits :

• 0.6 × 2 = 1 + 0.2

• 0.2 × 2 = 0 + 0.4


• 0.2 × 2 = 0 + 0.4

• 0.4 × 2 = 0 + 0.8

• 0.8 × 2 = 1 + 0.6 (représentation

cyclique)

– (0.6)10 = (0.10011001)2


• Méthode de la virgule flottante

–Plusieurs méthodes de cette catégorie :

• IEEE 754 (simple précision / double

précision / précision étendue)

• IBM 360/370


• IBM 360/370

–Dans ces méthodes, la position de la

virgule est variable (on dit qu’elle flotte).

–On écrit le nombre réel sous la forme :

R = (±±±±1) ×××× M ×××× 2E


• Méthode de la virgule flottante

–Dans cette notation :

•M : est appelé la mantisse

• E : est appelé l’exposant



• Codage IEEE 754 (simple précision)

–Dans ce codage, la mantisse doit être normalisée.

–Dans ce cas, la mantisse est formé :

•Du chiffre 1 (non nécessaire à stocker,


•Du chiffre 1 (non nécessaire à stocker, car il doit être toujours présent)

• La virgule (non stockée)

• Le reste de la mantisse (appelée lapseudo-mantisse ou la significande)

M = 1,M’Architecture des ordinateurs & Algorithmique Pr. DARGHAM Abdelmajid ENSAK


–Ce codage utilise 32 bits comme suit :

• 1 bit (MSB) pour le signe : 0 (positif) / 1 (négatif)

• 8 bits pour l’exposant


• 8 bits pour l’exposant

• 23 bits (les plus à droite) pour la pseudo-

mantisse (contient implicitement un chiffre 1)

–La pseudo-code est un réel positif dans l’intervalle [1, 2[.



–Au lieu de coder E (en binaire pur), on code E + 127.

–C’est l’exposant biaisé Eb : Eb = E + 127

–Cela permet d’avoir un exposant non signé


–Cela permet d’avoir un exposant non signé

(unsigend exposant).


• Exemple

–R = -0.75

–R < 0 � MSB = 1

– (0.75)10 = (0.11)2 = (1.1)2 × 2-1

–E = -1


–E = -1

–� Eb = -1 + 127 = 126 = (1111110)2

–Pseudo-mantisse = (1)2

–La représentation de R est alors :

10111111010000000000000000000000


• Codage IEEE 754 (double précision)

– Identique au précédent, sauf que la capacité du codage est de 64 bits :

• 1 bit (MSB) pour le signe

• 11 bits pour l’exposant (L’exposant est


• 11 bits pour l’exposant (L’exposant est biaisé : Eb = E + 1023)

• 52 bits pour la pseudo-mantisse


• Codage IEEE 754 (précision étendue)

– Identique au précédent, sauf que la capacité du codage est de 80 bits :

• 1 bit (MSB) pour le signe

• 15 bits pour l’exposant (L’exposant est


• 15 bits pour l’exposant (L’exposant est biaisé : Eb = E + 1024)

• 64 bits pour la pseudo-mantisse


• IEEE 754 SP : Valeurs spéciales

–0 est représenté avec E = 0 et M = 0

– Il y a deux représentations pour 0 : +0 et -0.

–+Infinity

� S = 0, E = (11111111) , M = 0


� S = 0, E = (11111111)2, M = 0

– -Infinity

� S = 1, E = (11111111)2, M = 0

–NaN (Not-a-Number)

� S = 1, E = (11111111)2, M ≠ 0



–Les exposants 0000000 et 11111111 sont alors réservés à ces valeurs spéciales

–Plus petite valeur

� E = (00000001)2 = 1 - 127 = -126


� E = (00000001)2 = 1 - 127 = -126

� M = 1

�Vmin = ±±±±1 ×××× 2-126 ≈≈≈≈ ±±±± 10-38



–Plus grande valeur

�E = (11111110)2 = 127

�M = 1,111..1112 � M ≈≈≈≈ 2

�Vmax ≈≈≈≈ ±±±± 2128 ≈≈≈≈ ±±±± 1038


�Vmax ≈≈≈≈ ±±±± 2128 ≈≈≈≈ ±±±± 1038


• Comparaison entre le codage en Virgule

Fixe (VFx) et en Virgule Flottante (VFt)

– Le codage en VFx est plus simple à effectuer

que celui en VFt.

– Le codage en VFt est plus efficace que celui


en VFx sur deux points :

• La précision du codage

• La capacité du codage


• Précision du codage

– Supposons le codage suivant sur un octet :


Virgule FixePartie entière Partie fractionnaire


Virgule Flottante

Mantisse Exposant

• Précision du codage

–Exemple

• Codage de R = 47/64 = (0.734375)10

• R = 47 / 64 = (0.101111)2

• En VFx : R = (00000101) = 40/64


• En VFx : R = (00000101)2 = 40/64

• En VFt : R = (101111000)2 = 46/64


• Capacité du codage

–En VFx : Vmax = (11111111)2 = (31.875)10

–En VFt : Vmax = (111111111)2 = 0.96875 ××××27 = (124)10



Représentation des caractères



• Notion de caractère

– Un caractère est un symbole alphanumérique (cen’est pas une donnée numérique).

– Il se présente sous plusieurs formes :

• Chiffre : 0, 1, …, 9


• Lettre majuscule : A, B, …, Z

• Lettre minuscule : a, b, …, z

• Symbole de ponctuation : . , ; : ? ! ( ) { } [ ]

• Caractère spécial : @ # & ~

• Symbole d’opération : + - / *

• Etc…Architecture des ordinateurs & Algorithmique Pr. DARGHAM Abdelmajid ENSAK

• Codage des caractères

–Une chaîne de caractères est une séquence finie

de caractères.

– Le codage des caractères se fait à l’aide d’unetable de correspondance indiquant laconfiguration binaire représentant chaque


configuration binaire représentant chaquecaractère.

– Il existe plusieurs codage de caractères :

• Le codage ASCII

• Le codage EBCDIC

• L’Unicode


• Le codage ASCII

– Le code ASCII (American Standard Code forInformation Interchange) représente un caractèresur 7 bits.

–A chaque caractère, est associé une configurationde 8 chiffres binaires (1 octet), mais le chiffre de


de 8 chiffres binaires (1 octet), mais le chiffre depoids fort (MSB) est toujours égal à zéro.

– Le codage ASCII permet alors de coder 27 = 128

caractères différents.


• Exemples (code ASCII)



• Caractéristiques du codage ASCII

– Les codes compris entre 0 et 31 représentent descaractères non imprimables.

– Les lettres se suivent dans l’ordre alphabétique

(codes 65 à 90 pour les majuscules, 97 à 122 pourles minuscules).


les minuscules).

–On passe des majuscules aux minuscules enmodifiant le 5ème bit, ce qui revient à ajouter 97 –65 = 32 au code ASCII décimal (32 : 0010000)

G (code 71 = 010001112) � g (code 103 =010101112)


• Caractéristiques du codage ASCII

– Les chiffres sont rangés dans l’ordre croissant(codes 48 à 57), et les 4 bits de poids faibles

définissent la valeur en binaire du chiffre.



• Le codage EBCDIC

– Le code EBCDIC (Extended Binary-CodedDecimal Interchange Code) représente uncaractère sur 8 bits.

–Avec ce codage, il est alors possible de coder 28 =

256 caractères différents.


256 caractères différents.


• L’UNICODE

– Les codes ASCII et EBCDIC supportent lescaractères latins les plus utilisés sur ordinateur.

– Ils ne supportent pas les caractères des autreslangues internationales (Arabe, Chinois, Japonais,Russe, …).


Russe, …).

–C’est l’objectif du code universel appelé :Unicode.

– L’Unicode est un standard évolutif.


• L’UNICODE

–Dans la version 2.0 de l’Unicode standard, il y a38 885 codes caractères qui coverent lesprincipales langues écrites.

– L’Unicode standard utilise 16 bits (2 octets).

compatible ASCII


– Il reste compatible avec le code ASCII.


Le code de Gray


Le code de Gray

• Objectif

–Coder un entier en binaire, de manière à ce quedeux valeurs successives ne diffèrent dans leur

codage que par un seul bit.

– Le codage est efficace pour effecteurl’incrémentation (ajouter 1) ou la

Le code de Gray

l’incrémentation (ajouter 1) ou ladécrémentation (retrancher 1) d’un nombreentier, mais pas l’addition.

– Il est donc meilleur pour faire des compteurs.


• Exemples

–Avec 2 bits, le codage de Gray donne la suite :

00, 01, 11 puis 10

–Avec 3 bits, le codage de Gray donne la suite :

000, 001, 011, 010, 110, 111, 101 puis 100

Le code de Gray

000, 001, 011, 010, 110, 111, 101 puis 100

• Remarque

– le codage de Gray est également appelé le code binaire réfléchi, car il s’effectue avec un effet miroir.


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