Apprendre’à’raisonner’ àl'école’
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1 Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 Apprendre à raisonner à l'école l'exemple de la géométrie Thierry DIAS, HEP Lausanne [email protected] http://perso.orange.fr/dias.thierry/ Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 1. Enseigner / apprendre la géométrie 1.1 apprendre en mathéma7ques 1.2 la géométrie à l'école 1.3 programmes et recommanda7ons 2. Raisonner 2.1 raisonner en mathéma7ques 2.2 raisonnement et cogni7on 3. Apprendre à raisonner 3.1 démarche 3.2 situa7ons 3.3 ac7vités 3.4 programma7on Apprendre à raisonner à l'école Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 si vous n'aimez pas prendre des notes… rendez-vous ici pour un téléchargement gratuit et légal ! http://www.latribudesmaths.magnard.fr Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 raisonner en géométrie : entrons dans le vif du sujet ! comment reproduire exactement cette figure en gardant toutes ses propriétés ? réponse vers 11h45
Transcript of Apprendre’à’raisonner’ àl'école’
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Apprendre à raisonner à l'école
l'exemple de la géométrie
Thierry DIAS, HEP Lausanne [email protected]
http://perso.orange.fr/dias.thierry/ Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1. Enseigner / apprendre la géométrie 1.1 apprendre en mathéma7ques
1.2 la géométrie à l'école
1.3 programmes et recommanda7ons
2. Raisonner 2.1 raisonner en mathéma7ques
2.2 raisonnement et cogni7on
3. Apprendre à raisonner 3.1 démarche
3.2 situa7ons
3.3 ac7vités
3.4 programma7on
Apprendre à raisonner à l'école
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
si vous n'aimez pas prendre des notes…
rendez-vous ici pour un téléchargement gratuit et légal ! http://www.latribudesmaths.magnard.fr
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
raisonner en géométrie : entrons dans le vif du sujet !
comment reproduire exactement cette figure en gardant toutes ses propriétés ?
réponse vers 11h45
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1. enseigner / apprendre la géométrie
apprendre en mathématiques
la géométrie à l'école
programmes et recommandations
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1.1 apprendre en mathématiques
la culture scientifique :
des attitudes
des connaissances
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
à la recherche d'un modèle d'apprentissage…
ENSEIGNER APPRENDRE qu’est-ce qui
se passe ici ???
1.1 Apprendre en mathématiques Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
une raison UTILITAIRE
Décrire et agir sur le réel, anticiper les
évènements
une raison D'ETRE
Développer ses capacités de raisonnement,
comprendre le monde
COMPETENCES ATTITUDES
1.1 Apprendre en mathématiques
APPRENDRE en mathématiques ?
un "POURQUOI" un "COMMENT"
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1.2 enseigner la géométrie…
géo : la terre - metrikos : mesure
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
espace plan
repérage
orientation
relations et propriétés
solides
figures planes
compétences et savoirs :
pluri-‐disciplinaire
compétences et savoirs :
mathéma7ques
connaissances, techniques, méthodes
1.2 Enseigner la géométrie
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
se repérer, se situer, décrire
1.2 Enseigner la géométrie
vécu perçu conçu
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
de l'objet au concept
du dessin à la figure
de je vois à je sais
1.2 Enseigner la géométrie
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Comment résoudre ce paradoxe percep7f ??
d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique
illustration :
1.2 Enseigner la géométrie Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1.3 programmes et recommandations
instructions officielles
socle commun
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
"ENSEIGNER LES MATHS"
en quoi ça consiste ?
un QUOI un COMMENT
figures imposées :
des contenus
des attitudes
programme libre :
la démarche
les projets
1.3 Programmes et recommandations Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
L’apprentissage des mathématiques développe :
- l’imagination,
- la rigueur et la précision,
- ainsi que le goût du raisonnement.
figures imposées
1.3 Programmes et recommandations
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Combien pouvez-vous trouver de triangles à l'intérieur de cette
figure ?
2.1 raisonner en mathématiques Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 …
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
L’objectif principal du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure.
Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
programmes
1.3 Programmes et recommandations
figures imposées
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Comment enseigner la géométrie :
1. Mettre en œuvre des situations de recherche
2. Mettre en œuvre des situations de communication
3. Faire une place aux nouvelles technologies
4. Lier la géométrie aux autres disciplines
figures libres
1.3 Programmes et recommandations
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
2. raisonner… maths et raisonnement logique
raisonnement et cognition
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
2.1 raisonner en mathématiques
logique
déduction
induction
expérimentation
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Le raisonnement intervient dans de
nombreuses activités mathématiques :
• argumentation, preuve
• résolution de problèmes
• planification, tri
• choix, prise de décision
• compréhension et catégorisation
2.1 raisonner en mathématiques Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
principe
conclusion
déduction ou synthèse
induction ou
analyse
processus de raisonnement
2.1 raisonner en mathématiques
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
De fait, trois principaux* raisonnements sont
utilisés en mathématiques :
la déduction, l'induction, mais aussi le
raisonnement expérimental (ou heuristique)
* autres raisonnements : par analogie, par l'absurde, ou par récurrence
principe
conclusion
2.1 raisonner en mathématiques Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
méthode recommandée : investigation et/ou résolution de problèmes
ne pas mener de combat entre induction et déduction
du particulier au général de l'exemple à la théorie du général au particulier
de la théorie à l'exemple
2.1 raisonner en mathématiques
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
le raisonnement heuristique,
" raisonnement que l'on considère non comme final et rigoureux, mais simplement comme provisoire et plausible et dont l'objet est de découvrir la solution du problème à traiter … Dans la construction d'une démonstration rigoureuse, le raisonnement heuristique jour le rôle de l'échafaudage dans la construction d'une maison"
(Polya, 1945, Comment poser et résoudre un problème, p. 185)
2.1 raisonner en mathématiques Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Le raisonnement expérimental
démarche pratiquée dans une activité de recherche qui comprend plusieurs étapes :
la mise en place d'investigations, l'observation de faits, le recueil d'informations,
l'élaboration d'hypothèses,
la déduction de conséquences à partir des hypothèses,
la confrontation des prévisions déduites des hypothèses avec les faits observés (vérification)
2.1 raisonner en mathématiques
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
2.2 raisonnement et cognition
fonctions cognitives
fonctions exécutives
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
fonc2ons instrumentales mémoire aPen7on langage
la gnosie : vision et imagerie mentale la praxie : gestes volontaires
fonc2ons exécu2ves (fonc7ons dites "de haut niveau")
le raisonnement
En fait, le cerveau fait appel simultanément à plusieurs fonctions selon nos activités.
fonc7ons cogni7ves
2.2 raisonnement et cognition
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1- fonctions réceptives : acquisition, traitement, classification et intégration de l'information
2- la mémoire et l'apprentissage : stockage et rappel de l'information
3- la pensée ou le raisonnement : organisation et réorganisation mentales de l'information
4- fonctions expressives : communication ou action
fonc7ons cogni7ves
2.2 raisonnement et cognition Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
apprendre à raisonner consiste à développer ses fonctions exécutives c'est-à-dire à renforcer principalement :
l'inhibition : capacité à s’empêcher
la mise à jour : rafraîchir le contenu de sa mémoire de travail
la flexibilité mentale : passer d’un comportement à un autre
la récupération active d’informations en mémoire : rechercher des informations contenues en mémoire
la planification : capacité à organiser une série d’actions
2.2 raisonnement et cognition
aPen7on mémoire
langage
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
deux principaux types de raisonnement cognitifs : 1. inférence 2. analogie
Le raisonnement inférentiel : utilisé face à un problème qui n'a encore jamais été rencontré et pour lequel il n'y pas de solution existante à appliquer en l'état.
Le raisonnement analogique : correspond à la réutilisation adaptée d'une solution déjà utilisée face à un problème présentant des spécificités communes avec celui à résoudre.
2.2 raisonnement et cognition Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
3. apprendre à raisonner… démarche : résoudre des problèmes
situations : recherche, communication
activités : dessiner, reproduire, décrire, construire
programmation : le modèle des fonctions cognitives
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
action formulation
validation institutionnalisation
3.1 démarche : résoudre des problèmes
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
chercher
abstraire
raisonner
expliquer
l’activité mathématique dans la démarche de résolution de problème
accepter l’incertitude
se distancier du monde réel
accéder aux règles de la logique
s’exposer, se confronter aux autres
difficultés d’enseignement
3.1 Démarche : résoudre des problèmes
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
ACTION
VALIDATION
FORMULATION
INSTITUTIONALISATION
expériences sensibles et mentales
manipulations mettre en mots
décrire
faire des hypothèses
argumenter
discuter
prouver stabilisation du savoir
définitions
ENTRAINEMENT
RECHERCHE
mise en
COMMUN
3.1 Démarche : résoudre des problèmes Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
des situations de recherche
des situations de communication
3.2 situations d'apprentissage
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
L’élève apprend en s’adaptant à un milieu* facteur de
contradictions, de difficultés, de déséquilibres. La
connaissance, fruit de l’adaptation de l’élève, se
manifeste par des réponses nouvelles qui sont la
preuve de l’apprentissage. (Brousseau 98)
*milieu : ensemble des paramètres qui fondent la situation (matériel, dispositif, tâche, rôle de l'enseignant…)
situa7ons de recherche
3.2 Situations d'apprentissage Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Un milieu non volontairement organisé pour enseigner un savoir est insuffisant :
L’enseignant doit créer les conditions pour que les élèves puissent apprendre.
On apprend à pédaler
On apprend à faire du vélo
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de recherche
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
5 tétraminos
des grilles tétraminos,
pavages et
raisonnement
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de recherche
ex. 1
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Combien existe-t-il de formes différentes pour les pentaminos ?
368 solutions pour couvrir complètement une grille de 4 x 15
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de recherche
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Combien lui faut-il de petits cubes, au minimum, pour construire un «cube creux qui mesure 7 petits cubes de côté» ?
Avec des petits cubes, Sibel a construit cet objet. Elle décide de l’appeler «le grand cube creux qui mesure 4 petits cubes de côté».
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de recherche
ex. 2
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Analyser, reproduire et décrire une figure
Donner du sens à un programme de construction
à vos crayons !!
situa7ons de communica7on
3.2 Situations d'apprentissage
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
mise en œuvre possible
1/ stabiliser un peu de vocabulaire
2/ échanger, communiquer, argumenter
3/ construction d'un fichier de classe
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de communica7on
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
stabiliser un peu de vocabulaire
observation / description de la figure
mise en mémoire collective des mots utilisés
éventuellement construction d'un petit mémo illustré
disposi7f de travail collec7f, oral
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de communica7on
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
situation de communication à l'oral
observation / description orale de la figure par un binôme "aveugle"
tracé de la figure par un autre binôme d'après les informations entendues
comparaison de la figure modèle et de la production réalisée
disposi7f de travail binôme / collec7f, oral
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de communica7on
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Fig. 1 Fig. 2 mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle
3.2 Situations d'apprentissage
situa7ons de communica7on
Fig. 1 Fig. 2
même figure, même dimension, mais orientation différente
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
reproduire / décrire / construire dessin à main levée communication programmes de construction
3.3 activités et pratiques
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
trois mots-clés (types de tâches) :
Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides
Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter
Construire :
- des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas
- des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons
3.3 Activités et pratiques
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
reproduire, à main levée
3.3 Activités et pratiques Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 reproduire
3.3 Activités et pratiques
reproduire, avec des ou0ls
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 3.3 Activités et pratiques
reproduire
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
référence aux fonctions exécutives : 1. attention (gnosie, praxie) 2. mémorisation 3. langage et figures pour raisonner
3.4 programmation
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
1. aPen7on
3.4 Programmation
observer attentivement reproduire précisément
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010 aPen7on
3.4 Programmation
observer attentivement reproduire précisément
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
2. jeux de mémoire
? aide ?
3.4 Programmation
observer rapidement reproduire précisément
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
2. jeux de mémoire
3.4 Programmation
• observer les étapes d'un programme
• re-construire la figure
un beau programme : celui du pentagone régulier
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
3. jeux de langage
comment décrire cette figure ?
3.4 Programmation Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
"Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les
mathématiques, à susciter les intelligences des êtres
et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir
et d’apprendre."
merci de votre attention
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Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
solution de la fleur !
Thierry Dias – La Rochelle – octobre 2010
Thierry DIAS, HEP de LAUSANNE
http://perso.orange.fr/dias.thierry
http://www.latribudesmaths.magnard.fr
