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Applicazioni in economia Applicazioni in economia Le funzioni marginali e l’elasticità delle funzioni La determinazione del massimo del profitto

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Applicazioni in economiaApplicazioni in economia Le funzioni marginali e l’elasticità delle funzioni

La determinazione del massimo del profitto

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Le funzioni marginaliLe funzioni marginali

Data una funzione di più variabili, le sue derivate rispetto alle variabili indipendenti da cui essa dipende vengono dette funzioni marginali.

Se la domanda di un bene dipende dal prezzo e dal reddito del consumatore ad esempio, le funzioni marginali saranno le due derivate della domanda rispetto al prezzo ed al reddito.

La funzione marginale del prezzo indica come varia la domanda al variare del prezzo, mentre la funzione marginale del reddito indica come varia la domanda del bene al variare del reddito del consumatore

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Le funzioni marginaliLe funzioni marginali

Calcoliamo le due funzioni marginali:

Esempio 1 (Libro ‘Matematica.rosso’ 2013 – Zanichelli; Pag. 1130).

La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p e dal reddito r del

consumatore secondo la legge:

prrpd 64 22

prd

rpd

r

p

93

912

Per un prezzo p = 40 ed un reddito r = 50 valgono:

14040650250,40

2050640850,40

r

p

d

d

Esempio 2 (Libro Pag. 1161).

Calcoliamo le due funzioni marginali:

La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p e dal reddito r del

consumatore secondo la legge:

prrpd 95,16 22

prd

rpd

r

p

62

68

Per un prezzo p = 60 ed un reddito r = 75 valgono:

31560975375,60

45759601275,60

r

p

d

d

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L’elasticità delle funzioniL’elasticità delle funzioni

Data una funzione z di più variabili, si definisce

grado di elasticità parziale rispetto ad una delle

variabili indipendenti xi la quantità:

Questa grandezza quantifica la sensibilità di z

nei confronti di una variazione di xi, cioè di

quanto varia z al variare di xi

i

i

i

i xi

xz

x

xz zz

xz

,

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L’elasticità delle funzioniL’elasticità delle funzioni

Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:

Esempio 3 (Libro Pag. 1131).

La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal

prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:

rppd 02,06,04800 21

La quantità è negativa, il ché significa che la domanda del primo bene decresce al crescere del suo prezzo.

La quantità invece è positiva, il ché vuol dire che se cresce il prezzo del secondo bene aumenta la domanda del primo. In pratica il consumatore, potendo scegliere, si orienta verso un maggior consumo del primo bene poiché vede l’altro aumentare di prezzo.

La quantità è infine positiva, e ciò vuol dire che al crescere del reddito del consumatore aumenta il consumo del primo bene.

rppr

dr

dr

rrd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

d

d

d

02,06,04800,

02,06,04800,

02,06,04800,

21

21

222

22

21

111

11

02,002,0

6,06,0

44

1, pd

2, pd

rd ,

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L’elasticità delle funzioniL’elasticità delle funzioni

Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:

Esempio 4 (Libro Pag. 1162).

La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal

prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:

rppd 05,0641600 21

Calcoliamo queste quantità per p1 = 50, p2 = 60 ed r = 2000:

rppr

dr

dr

rrd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

d

d

d

05,0641600,

05,0641600,

05,0641600,

21

21

222

22

21

111

11

05,005,0

66

44

054,005,0

194,06

108,04

18602000

,

186060

,

186050

,

2

22

1

11

dr

rrd

d

p

ppd

d

p

ppd

d

d

d

1860200005,06065041600 d

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L’elasticità incrociataL’elasticità incrociata

Quando la domanda di un bene dipende anche dal prezzo di un altro

bene, come negli ultimi due esempi proposti, si introduce

l’elasticità incrociata, ossia l’elasticità della domanda del bene

rispetto al prezzo del secondo bene.

Beni succedanei, complementari, non in relazione:

Si dice che due beni

sono succedanei quando l’elasticità incrociata è positiva (sono

beni cioè alternativi: caffè/orzo, legna/gas, ecc..);

sono complementari quando l’elasticità incrociata è negativa

(sono beni legati tra loro: caffè/zucchero, pasta/pelati, ecc..)

non sono in relazione quando l’elasticità incrociata è pari a zero

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L’elasticità incrociataL’elasticità incrociata

Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:

Riconsideriamo l’esempio 3 (Libro Pag. 1132).

La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal

prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:

rppd 02,06,04800 21

Valutiamo queste quantità per p1 = 40, p2 = 50 ed r = 2000:

rppr

dr

dr

rrd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

d

d

d

02,06,04800,

02,06,04800,

02,06,04800,

21

21

222

22

21

111

11

02,002,0

6,06,0

44

710200002,0506,0404800 d

056,002,0

042,06,0

23,04

7102000

,

71050

,

71040

,

2

22

1

11

dr

rrd

d

p

ppd

d

p

ppd

d

d

d

Poiché è una quantità positiva

concludiamo che i due beni sono

succedanei, cioè alternativi tra loro.

2, pd

2, pd è l’elasticità incrociata

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L’elasticità incrociataL’elasticità incrociata

Calcoliamo i gradi di elasticità parziali:

Riconsideriamo l’esempio 4 (Libro Pag. 1162).

La funzione della domanda d di un bene dipende dal prezzo p1 di quel bene, dal

prezzo p2 di un altro bene, e dal reddito r del consumatore secondo la legge:

rppd 05,0641600 21

Calcoliamo queste quantità per p1 = 50, p2 = 60 ed r = 2000:

rppr

dr

dr

rrd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

rpp

p

d

p

d

p

ppd

d

d

d

05,0641600,

05,0641600,

05,0641600,

21

21

222

22

21

111

11

05,005,0

66

44

054,005,0

194,06

108,04

18602000

,

186060

,

186050

,

2

22

1

11

dr

rrd

d

p

ppd

d

p

ppd

d

d

d

1860200005,06065041600 d

Poiché è una quantità positiva

concludiamo che i due beni sono

succedanei cioè alternativi tra loro.

2, pd

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Il massimo del profittoIl massimo del profitto

Riguardo alla massimizzazione del profitto di un produttore possiamo distinguere tra tre scenari diversi:

Beni in regime di concorrenza perfetta

Beni in regime di monopolio

Un bene con due prezzi diversi

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Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta

Dove p1 e p2 sono i prezzi di mercato dei

due beni prodotti, mentre q1 e q2 sono le

quantità immesse sul mercato di tali beni. 2211 qpqpR

Per due beni in regime di concorrenza perfetta un produttore si pone il problema di

individuare quale sia la quantità da produrre che gli permetta di massimizzare il suo

profitto.

Non è possibile in tale forma di mercato fissare il prezzo dei beni in quanto esso è

determinato dall’incontro della domanda e dell’offerta.

Viene indicata con C la funzione di costo di produzione, che dipenderà dalle quantità

prodotte e che deriva dal tipo di bene, dai macchinari, dalle materie prime, dal costo della

manodopera, ecc..

Viene indicata con R la funzione di ricavo, data dal prodotto delle quantità vendute

moltiplicate per il prezzo unitario.

Infine si indica con U la funzione di utile del produttore, data dalla differenza tra ricavi e

costi.

CRU La funzione di utile è data dalla differenza

tra l’incasso dalla vendita dei due beni ed il

costo sostenuto dal produttore.

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Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta

Si evince da tale funzione che

ovviamente il costo di produzione

aumenta all’aumentare delle quantità

prodotte dei due beni.

2

221

2

121 24180300 qqqqqqU

Esempio 5 (Libro Pag. 1132).

2

221

2

1 24 qqqqC

Ricaviamo la funzione di utilità:

A questo punto, per determinare il massimo del profitto, occorre trovare il massimo, se

esiste, di questa funzione nelle due variabili q1 e q2 (che fungono da x ed y), dato che p1 e

p2 sono dei valori fissati dal mercato e pari, in questo caso, a p1 = 300 e p2 = 180.

Consideriamo un’impresa che produce due beni diversi in regime di concorrenza

perfetta e che sostenga, per la produzione, un costo dato da:

2

221

2

12211 24 qqqqqpqpCRU

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Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta

2

221

2

121 24180300 qqqqqqU

Troviamo i punti stazionari, in cui le due derivate parziali, rispetto a q1 e q2, si

annullano.

70

20

022180022180

028300

22180

28300

2

1

28

2300

8

2300

1

21

21

21

21

2

2

2

1

q

q

q

q

qq

qq

qqU

qqU

q

q

q

q

A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (20,70):

01241622

28

2

2

8

21

22

11

H

U

U

U

qq

qq

qq

E’ punto di Max/min.

0811

qqU E’ punto di Max.

Quindi il punto (20,70), che corrisponde ad una produzione di 20 unità del primo bene e

di 70 unità del secondo, massimizza l’utile dell’impresa, che perciò vale:

930070702022047018020300 22 U

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Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta

2

221

2

121 5,3773556 qqqqqqU

Esempio 6 (Libro Pag. 1164).

2

221

2

1 5,377 qqqqC

Dati i prezzi di mercato dei due beni pari a p1 = 56 e p2 = 35, calcoliamo la

funzione di utilità:

che è pari a:

La funzione di costo sostenuta da un’impresa per la produzione dei due beni che

essa immette sul mercato è data da:

2

221

2

12211 5,377 qqqqqpqpCRU

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Beni in regime di concorrenza perfettaBeni in regime di concorrenza perfetta

La funzione da studiare è quindi:

2

3

0773507735

071456

7735

71456

2

1

214

756

14

756

1

21

21

21

21

2

2

2

1

q

q

q

q

qq

qq

qqU

qqU

q

q

q

q

A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (3,2):

049499877

714

7

7

14

21

22

11

H

U

U

U

qq

qq

qq

Punto di Max/min.

01411

qqU Punto di Max.

Quindi il punto (3,2), che corrisponde ad una produzione di 3 unità del primo bene e di 2

unità del secondo, massimizza l’utile dell’impresa. L’utile vale quindi:

119223737235356 22 U

2

221

2

121 5,3773556 qqqqqqU

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Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio

Le quantità dei due beni richieste dal mercato

dipendono dal loro prezzo. Comunemente al

crescere del prezzo di un determinato bene la

sua richiesta diminuisce. Alcuni beni,

soprattutto quelli di lusso, talvolta non

rispondono a questa previsione.

2122

2111

,

,

ppfq

ppfq

Per due beni in regime di monopolio un produttore si pone il problema di individuare sia

la quantità da produrre che il prezzo, in modo da massimizzare il suo profitto. Questo

poiché essendo monopolista può decidere liberamente sia il prezzo che le quantità.

Le quantità da produrre in questo caso sono funzione del prezzo che non è fisso, infatti al

variare del prezzo cambia la richiesta del mercato di un determinato bene.

Vengono indicate con C la funzione di costo di produzione e con R la funzione di ricavo,

che restano definite come nel caso di concorrenza perfetta, come anche l’utilità U.

Tuttavia in questo tipo di mercato si introducono anche le funzioni di domanda e di

offerta.

I due beni possono essere succedanei, complementari oppure non in relazione,

a seconda dell’elasticità incrociata. Tuttavia riguardo alla massimizzazione del

profitto trascuriamo di considerare questo fattore.

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Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio

Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:

5,22

5,45,2137 47255,46

2125,22

99005,43

15,22

108005,16 222121

212121 345270

qqqqqqqqqqqqqqU

Esempio 7 (Libro Pag. 1133).

21221121 345270345270 qqqpqpCRUqqC

A questo punto per definire la funzione di utilità, al fine di eliminare il fattore

prezzo, dobbiamo considerare le funzioni della domanda e dell’offerta che

dipendono dal mercato e che, per questo esempio, valgono:

Consideriamo un’impresa che produce due beni diversi in regime di monopolio e

che sostenga, per la produzione, un costo dato da:

5,22

99005,43

2

5,22

108005,16

1

5,1

5,4 1500

12

5,1

5,4 1500

2

212

211

21

21

11

11

631200631200

5,15,41500qq

qq

pq

pq

p

p

pq

p

ppq

ppq

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Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio

Troviamo a questo punto i punti stazionari, in cui le due derivate parziali della

funzione, rispetto a q1 e q2, si annullano:

50

375

095,21375,40

0

2

1

212

5,44725

12

5,44725

1

5,22

95,21375,4

5,22

47255,412

5,22

95,21375,4

5,22

47255,412

2

2

21

21

21

2

21

1

q

q

q

q

U

Uq

q

qq

qq

qq

q

qq

q

A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (375,50):

0317,025,506

75,87

5,22

25,20108

5,22

5,4

5,22

912

5,229

5,22

5,4

5,22

5,4

5,2212

5,22

5,4

5,229

5,2212

22

2

2

21

22

11

H

U

U

U

qq

qq

qq

Punto di

Max/min

05,22

12

11

qqU Punto di Max.

Quindi la produzione di 375 unità del primo bene e di 50 del secondo massimizza l’utile

dell’impresa. Tale utile si calcola sostituendo tali valori alla funzione di utilità.

41750U

5,22

5,45,213747255,46 222121

21 qqqqqq

U

I prezzi di vendita sono: 7,3761 p e 3802 p

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Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio

Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:

Esempio 8 (Libro Pag. 1165).

21221121 6012060120 qqqpqpCRUqqC

Consideriamo le funzioni della domanda e dell’offerta che valgono:

Consideriamo un’impresa che produce due beni diversi in regime di monopolio e

che sostenga, per la produzione, un costo dato da:

30

15000

2

15

12000

1

22

11

2

1

3015000

1512000q

q

p

p

pq

pq

30

132002 20400

21230

15000

115

12000 222

21121 60120

qqqqqqqqqqU

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Beni in regime di monopolioBeni in regime di monopolio

Troviamo i punti stazionari, in cui le due derivate parziali, rispetto a q1 e q2, si

annullano:

A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (5100,6600):

0800,00

0

0

2252

15

2

151

152

302

304

2

21

22

11

H

U

U

U

qq

qq

qqPunto di

Max/min

0304

11

qqU Punto di Max.

Quindi la produzione di 5100 unità del primo bene e di 6600 del secondo massimizza

l’utile dell’impresa.

3186000U I prezzi di vendita sono: 4601 p e 2802 p

30

132002 20400 222

211 qqqq

U

6600

5100

0

0

2

1

213200

2

420400

1

30

2 13200

30

4 20400

30

2 13200

30

4 20400

2

1

2

2

1

1

q

q

q

q

U

Uq

q

q

q

q

q

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Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi

La quantità del bene richiesto dai due mercati

dipende chiaramente dal prezzo. In questo caso

per il produttore la quantità da produrre è unica

e pari alla somma delle due sui due mercati.

21

2122

2111

,

,

qqq

ppfq

ppfq

Nel caso di un produttore che immetta su due mercati diversi, quindi anche con due

prezzi diversi, uno stesso bene da lui prodotto, si pone il problema di individuare quali

siano i prezzi che rendano massimo il suo profitto.

La quantità da produrre in questo caso è unica e data dalla somma dei beni immessi

sull’uno e l’altro mercato. Anche in questo caso la richiesta del mercato è funzione del

prezzo, infatti al variare dei prezzi cambiano le quantità vendute.

Vengono indicate sempre con C la funzione di costo di produzione e con R la funzione di

ricavo, insieme all’utilità U. Anche in questo tipo di mercato si introducono le funzioni di

domanda e di offerta.

In questo caso i due fattori che permetteranno al produttore di massimizzare il

suo guadagno non saranno tanto le due quantità da produrre ma bensì i due

prezzi di mercato, da stabilire in maniera opportuna.

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Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi

Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:

25005,48605,15855,02502500 41110 835 21

2

22

2

11

2

21212211 qqqqqqqqqqqqqqU

Esempio 9 (Libro Pag. 1134).

2

2211

2 5,025025005,02502500 qqqpqpCRUqqC

Per poter definire la funzione di utilità in rapporto alle quantità immesse sui due

mercati dobbiamo, anche in questo caso, considerare le funzioni della domanda e

dell’offerta, diverse per i due mercati, che valgono:

Consideriamo un’impresa che produce un unico bene su due mercati diversi che

sostenga, per la produzione, un costo dato da:

225,0

5,277

2

11

22

11

41110

835

25,05,277

8351 qp

qp

pq

pqq

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Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi

Troviamo i punti stazionari della funzione trovata, in cui le due derivate

parziali, rispetto a q1 e q2, si annullano:

77

169

035859860

3585

09860

03585

9860

3585

2

1

11

12

21

21

21

21

2

1

q

q

qq

qq

qq

qq

qqU

qqU

q

q

A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (169,77):

02612791

13

1

9

3

21

22

11

H

U

U

U

qq

qq

qq

Punto di

Max/min

0311

qqU Punto di Max.

Quindi la produzione di 169 unità per il primo mercato e di 77 per il secondo massimizza

l’utile dell’impresa. Tale utile si calcola sostituendo tali valori alla funzione di utilità.

80050U I prezzi di vendita sono: 6661 p e 8022 p

25005,48605,1585 21

2

22

2

11 qqqqqqU

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Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi

Sostituendo i prezzi trovati nella funzione di utilità si ottiene:

21

2

22

2

11

2

21212211 23000330023003003000 2600 600 qqqqqqqqqqqqqqU

Esempio 10 (Libro Pag. 1166).

2

2211

2 30030003003000 qqqpqpCRUqqC

Consideriamo le funzioni della domanda e dell’offerta che valgono, per i due

mercati:

Consideriamo un’impresa che produce un unico bene su due mercati diversi che

sostenga, per la produzione, un costo dato da :

25,0

300

2

11

22

11

2600

600

5,0300

6002 qp

qp

pq

pqq

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Un bene con due prezzi diversiUn bene con due prezzi diversi

Troviamo i punti stazionari della funzione, in cui le due derivate parziali,

rispetto a q1 e q2, si annullano:

30

60

26300026300

024300

26300

24300

2

1

4

2300

2

4

2300

1

12

21

12

21

2

2

2

1

q

q

q

q

qq

qq

qqU

qqU

q

q

q

q

A questo punto calcoliamo l’Hessiano per poi andarlo a valutare nel punto (60,30):

02042462

24

2

6

4

21

22

11

H

U

U

U

qq

qq

qq

Punto di

Max/min

0411

qqU Punto di Max.

Quindi la produzione di 60 unità per il primo mercato e di 30 per il secondo massimizza

l’utile dell’impresa.

10500UI prezzi di vendita risultano,

in questo caso, uguali: 5401 p e 5402 p

21

2

22

2

11 2300033002300 qqqqqqU