Application du logiciel Excel - · PDF fileApplication du logiciel Excel Utilisation du Solver...

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    Application du logiciel Excel

    Utilisation du Solver du logiciel Excel

    Table de matiers

    Lancement du logiciel .......................................................................................................................... 3

    Optimisations ...................................................................................................................................... 3

    Programmation linaire ................................................................................................................... 3

    Problme du transport..................................................................................................................... 8

    Problme de programmation quadratique ..................................................................................... 12

    Extremums lis .............................................................................................................................. 14

    Rsolutions des systmes dquations non linaires ...................................................................... 16

  • 2

  • 3

    Lancement du logiciel

    Ce composant du logiciel Excel permet rsoudre numriquement des problmes

    mathmatiques.

    Pour lancer ce composant :

    - dans le cas de la version Microsoft Office 2003 on choisie de la barre du menu principal

    du logiciel Excel le sous-menu Tools et dici loption Solver. Si il ny a pas la, il doit

    insrer en suivant les pas : on clique sur Add-ins et on choisie Solver et puis OK.

    - dans le cas de la version Microsoft Office 2007 on enfonce Office Button, puis Excel

    Options, de la fentre qui sera affiche on choisie Add-Ins, on continu avec Go, Solver

    Add-in et OK. Dans le sous-menu Data sera affiche Solver.

    Quelques exemples des problmes qui peuvent tre rsolues en utilisant ce composant du

    logiciel Excel seront prsents dans ce chapitre.

    Optimisations

    Gnralement, on appelle programmation mathmatique la recherche de loptimum dune

    fonction de plusieurs variables lies entre elles par contraintes sous forme dgalits ou

    ingalits. Notons que le mot programmation na pas ici le sens usuel dlaboration dun

    programme pour ordinateur, il est utilise car un ensemble de valeurs des variables satisfaisant les

    contraintes dun problme de programmation mathmatique est parfois appel un programme.

    Nombreux sont les problmes de dcision qui se ramnent un model de programmation

    mathmatique.

    Programmation linaire

    Soit un fonction =

    =n

    iii

    n xcfRRf1

    )(,: x , dont les variables sont soumises aux contraintes

    (restrictions) linaires de la forme nmnm RRM c,xbAbxA ,,, , , et ventuellement des

  • 4

    restrictions de signe, par exemple 0x , cette a dire nixi ,1,0 = . Le problme de

    programmation linaire revienne rsoudre la demande suivante :

    Dterminer le vecteur 0xx ,nR qui maximise (minimise) la fonction linaire f, et qui

    vrifie les restrictions ci-dessus, ou :

    = =

    0x

    bAx

    x

    )(

    max(min)(min)max1

    n

    iii xc)f(

    La fonction f est nomme fonction objectif, la matrice A est la matrice des coefficients des

    restrictions, le vecteur x est le vecteur des inconnues, le vecteur b est le vecteur des termes libres

    et le vecteur c est le vecteur des coefficients de la fonction objectif.

    Remarque : la fonction objectif et les restrictions du problme sont des fonctions linaires, do

    le nom du problme problme de programmation linaire .

    Exemple. Un atelier dune entreprise produit trois types de biens : P1, P2, P3, en utilisant main

    duvre (F) et ressources financires (A) limites comme dans le tableau :

    Type de bien

    Ressources P1 P2 P3 Disponible

    F 2 3 2 15

    A 1 2 3 12

    Profit 1.5 4 3

    qui contiens galement les consommations unitaire de chaque de bien, ainsi que les profits

    amnes de chaque unit de type de bien. A cause des conditions de stockage le total de la

    production ne peut pas dpasse 8 units.

    Dterminer le plan optimal de production tel que le total du profit soit maximal sous les

    conditions imposes !

    Solution

  • 5

    Modlisation du problme

    Variables de dcision : soit xi nombre de biens de type Pi , nixi ,1,0 = ;

    Fonction objectif : le profit total - 321321 345.1),,( xxxxxxf ++= ;

    Restrictions du problme :

    15232 321 ++ xxx - le nombre des heures utilises pour le total de la production ne peut pas

    dpasser le total disponible ;

    1232 321 ++ xxx - la somme totale dargent disponible ne peut pas soit dpasse ;

    8321 ++ xxx - la capacit de stockage ne peut pas soit dpasse.

    On obtient le suivant problme de programmation linaire :

    { }

    =++

    ++++

    ++=

    3,1,0

    8

    1232

    15232

    345.1max)(max

    321

    321

    321

    321

    ix

    xxx

    xxx

    xxx

    xxxxf

    i

    Cration de la feuille lectronique pour rsoudre le problme

    Pour obtenir la feuille suivante il doit procder comme dessous.

  • 6

    Dans la cellule A1 on crit Solution dun problme de programmation linaire et puis Enter. Les

    cellules A2 jusqu' J2 contiennent les noms des colonnes (ces sont des commentaires !). Dans les

    cellules G3-G5 on crit =MMULT(D3:F3;B3:B5) =MMULT(D4:F4;B3:B5)

    =MMULT(D5:F5;B3:B5) respectivement. La cellule J3 contiens lexpression de la fonction

    objectif et pour a on crit =SUMPRODUCT(I3:I5;B3:B5)

    Avant lacer le Solver on slectionne la cellule J3 (cellule qui contiens la fonction objectif) et

    puis on choisi Solver du sous-menu Data. Une boite de dialogue est affiche :

    Il doit prciser la cellule cible (fonction optimiser) dans la zone Set Target Cell, le type du

    critre (max ou min) par les buttons Max Min, les cellules qui reprsentent les inconnues dans la

    zone By Changing Cells et puis les restrictions en zone Subject to the Constraints en appuyant

    le bouton Add. On affiche la boite de dialogue suivante

    Dans la zone ddition Cell Reference on met G3, le signe inferieur ou gale et dans la zone

    ddition Constraint H3. En appuyant sur le bouton Add on a la possibilit de procder de la

    mme manire pour le reste des restrictions (G4, G5). Les restrictions de signe seront introduites

    comme a : dans la zone ddition Cell Reference on slectionne les cellules B3 :B5, le signe

    sera suprieur ou gale zro (0) et pour terminer dintroduire les restrictions on presse le

    bouton OK. Pour rsoudre le problme on presse le bouton Solve et on affichera la boite suivante

  • 7

    Pour visualiser les dtails sur la solution on peut slectionner tous les types de rapport offerts par

    Solver. Ces sont mentionner sur la barre dtat en bas de lcran.

    Exercice 1.

    Une entreprise dsire acqurir des fraiseuses manuelles (FM) et automatises (FA) pour sa

    production. Lentreprise ne peut dpenser plus 200000 pour les machines et pas de 1000 par

    mois la maintenance. Les fraiseuses manuelles coutent 20000 par pice et en moyenne 200 par

    mois la maintenance tandis que les fraiseuses automatises coutent 40000 par pice et en

    moyenne 150 par mois la maintenance. En sachant que chaque fraiseuse manuelle peut produire

    15 units et chaque fraiseuse automatique 25, trouver le nombre de chacune a acheter pour

    maximiser la capacit de production !

    Modliser le problme et le rsoudre en utilisant le Solver de Excel !

    Exercice 2.

    A un dpartement de production d'une entreprise de construction, o on travaille en flux continu,

    sont ncessaires pour la production de panneaux de coffrage quatre types de matires premires

    (panneau (P), planches de sapin (PS), les madriers (M) et des clous (C)) qui sont traites trois

    stands. Distribution de matires premires et les cots du travail ncessaire la transformation

    dans les stands est donne dans le tableau ci-dessous.

    Matiere prime

    Stand

    Consomes specifiques Ncessaire

    P PS M C

    S1 1 1 0 1 2

  • 8

    S2 1 2 1 0 4

    S3 0 1 1 1 3

    Dpenses 6 8 12 10

    Dterminer un plan de production tel que les dpenses soit minimes ! Modliser le problme et le

    rsoudre en utilisant le Solver de Excel !

    Problme du transport

    Un cas particulier du problme de programmation linaire est donne du problme de transport.

    Supposons quil y a n dpt ou se trouve un bien niDi ,1, = dans les quantits niai ,1, = et m

    centre de consomme mjC j ,1, = qui demandent une quantit mjb j ,1, = de ce bien. Le cot

    unitaire de transport de dpt iD au centre de consomme jC est mjnic ji ,1,,1,, == .

    Dterminer un plan de transport tel que le cot total de transport est minimal en satisfaisant

    toutes les demandes !

    Solution

    Modlisation du problme

    Variables de dcision : soit xi,j nombre de biens transportes du dpt i au centre de consomme

    j ;

    Fonction objectif : le cot total - )(,)(1 1

    ,, Rxcfn

    i

    m

    jjiji mn,Mxx =

    = =

    ;

    Restrictions du problme :

    niax im

    jji ,1,

    1, =

    =

    les nombre de biens qui part du dpt iD ne peut pas dpass la capacit

    total du dpt ;

  • 9

    mjbx jn

    iji ,1,

    1, =

    =

    les nombres de biens qui arrivent au centre de consomme jC ne peut pas

    dpass la demande total du centre ;

    Remarque : dhabitude le disponible a la mme valeur avec le ncessaire, cest-a-dire

    ==

    =m

    j