Département de Sciences de la matière Laboratoire d’Ondes et Acoustique

Rapport de stageAvril-juillet 2008

Application de la méthode DORT à la focalisation d’ondes ultra-sonores à travers

les côtes

Stagiaire : Etienne Cochard, M2 de Sciences de la matière, parcours physiqueMaître de stage : Claire Prada, Chargée de Recherche C.N.R.S.

Laboratoire Ondes et Acoustique, ESPCI, CNRS, UMR 758710 rue Vauquelin75231 Paris CEDEX 05Tel : +33 (0)1 40 79 44 52 Fax : +33 (0)1 40 79 44 68

Remerciements :

Mes remerciements vont principalement et en premier lieu à ma maitre de stage et future maitre de thèse Claire Prada pour son accueil, ses explications, sa disponibilité et toutes ses autres qualités qui ont rendu ce stage agréable et passionnant.

Je tiens aussi à remercier Jean-François Aubry, chargé de recherche CNRS, pour ses conseils et ses explications sur les aspects thérapeutiques et médicaux, ainsi que sur les méthodes de focalisation.

Merci également à Clémence Tardy pour avoir relu mon rapport d'un œil innocent, ainsi que pour le temps passé à me supporter durant les longues acquisitions 2D...

Enfin, un merci global à tous les membres du labo avec qui j'ai interagi : ils ont tous contribué à rendre ce stage agréable, et la recherche plus aisée.

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Table des matières :

1. Introduction...................................................................................Page 3

2. Présentation de la méthode de Décomposition de l’Opérateur de Retournement Temporel (DORT) et principes du retournement temporel

a. Matrice de transfert......................................................Page 4b. Décomposition de la matrice de transferts et invariants

associés........................................................................Page 5c. Utilité de la méthode : cas de diffuseurs ponctuels

``indépendants``...........................................................Page 5d. Méthode DORT en pratique.........................................Page 6 e. Retournement temporel................................................Page 7

3. Expériences a. Matériel.........................................................................Page 8b. Principes de la méthode : exemple de la barrette 1D....Page 9

c. Mesure des champs de pression dans le plan de focalisation et dans le plan des côtes après émissions de différents signaux par une barrette échographique 1D............................................Page 11

d. Comparaison des taux d'absorption spécifique dans le cas 1D...............................................................Page 15

e. Mesure des champs de pression dans le plan de focalisation et dans le plan des côtes après émissions de différents signaux par un réseau bidimensionnel de transducteurs...................................Page 16

4. Conclusion et perspectives.........................................Page 20

Annexes.................................................................................Page 21

Bibliographie.........................................................................Page 24

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1. Introduction :

Les ultrasons sont utilisés pour réaliser des ablations thermiques depuis une cinquantaine d’années. Ils permettent en effet de concentrer de l’énergie de manière non-invasive afin d'induire des élévations de température significatives ( 30 à 55°C ) en quelques secondes. On peut ainsi nécroser des tissus malades sans endommager les tissus sains entourant la zone à traiter. Cette méthode est utilisée pour le traitement d'un grand nombre de cancers ( prostate, pancréas, rein, sein... ) , de fibromes utérins, ou de certaines arythmies cardiaques.

Cependant, lorsque la zone à traiter se situe derrière des os ( comme les côtes dans le cas de tumeurs au foie ) , des complications apparaissent : ceux-ci absorbant beaucoup plus les ultrasons que les tissus mous, les os s'échauffent beaucoup plus vite. Des brûlures pouvant aller jusqu’au 3ème degré sont observées chez pratiquement tous les patients traités. De plus, les côtes induisent des aberrations de phase dé-focalisant le faisceau. A cause de ces complications, une ablation partielle des côtes est parfois nécessaire, réduisant considérablement la nature non-invasive du procédé. [1]

Diverses études ont été menées pour pallier à ce défaut en trouvant des émissions focalisant sans envoyer d'énergie sur les côtes.

Une solution consiste à renvoyer '' à l'envers'' le signal reçu sur un réseau lorsqu'une impulsion est émise du point où on veut focaliser. Cette méthode de retournement temporel focalise très bien, et n'envoie pas d'énergie sur les côtes. En effet, celles-ci étant très absorbantes, on ne reçoit pas d'énergie venant de leur direction. Elle a néanmoins un défaut rédhibitoire : c'est une méthode invasive au sens où on doit d'abord placer un émetteur au niveau de la zone à traiter.

Une autre méthode a été proposée par Y.Y. Botros et al. [2] . C'est une méthode en deux étapes qui consiste en l'introduction d'un réseau virtuel dans les espaces intercostaux. On calcule les vitesses particulaires à appliquer sur ce réseau pour obtenir une focalisation au point désiré. Ensuite, on calcule les vitesses particulaires qu'il faut appliquer au réseau réel pour obtenir le champ désiré au niveau du réseau virtuel après propagation. Cette méthode a l'inconvénient de nécessiter de connaître la position des côtes et de réaliser deux pseudo-inversions de matrice de propagation. De plus, les taille de taches focales obtenues ne sont pas très bonnes ( de l'ordre de trois fois la longueur d'onde ) .

H.C. Song et al. a proposé une méthode pour insonifier un guide d’onde sous-marin en minimisant les échos provenant du fond, de manière à ce qu’ils ne cachent pas les échos provenant d’objets dans le guide [3]. Cette méthode peut être appliquée dans notre cas, car minimiser les échos revient à envoyer un minimum d’énergie sur les réflecteurs. L’idée est de projeter l’émission désirée orthogonalement aux émissions qui focalisent sur des réflecteurs. Dans le cas de l'article, l'émission désirée est une onde plane et le réflecteur est le fond sous-marin. Dans notre cas, on désire projeter une émission focalisant en un point donné, et les réflecteurs sont les côtes. On mesure les émissions focalisant sur les réflecteurs à l'aide de la méthode DORT. On espère ainsi obtenir, de manière non-invasive, une émission focalisant correctement sans envoyer d'énergie sur les côtes.

Après une présentation des outils utilisés ( méthode DORT et retournement temporel ) , je reviendrai sur le principe de projection et je présenterai le dispositif expérimental. Enfin, je présenterai et interprèterai nos résultats.

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2. Présentation de la méthode de Décomposition de l’Opérateur de Retournement Temporel (DORT) et principes du retournement temporel :

Le retournement temporel et la méthode DORT sont deux outils fondés sur des propriétés très générales des ondes et des systèmes linéaires.

a. Matrice de transfert :

On considère un ensemble de N émetteurs ( formant le premier réseau ou réseau d'entrée ) qui envoient des ondes sonores dans un milieu diffusant ; et un ensemble de L récepteurs ( formant le second réseau, ou réseau de sortie ) . On suppose le système linéaire et invariant par translation dans le temps. On peut donc caractériser ce système par N*L réponses impulsionnelles inter-éléments. On note klm (t) le signal reçu par le récepteur l quand l’émetteur m envoie un delta de Dirac. Par convolution des signaux d’entrée avec ces réponses impulsionnelles, on peut obtenir les signaux de sortie.

Figure 1

Le graphe précédant nous permet de voir 128 réponses impulsionnelles à des signaux courts de norme 1.

Dans le domaine fréquentiel, on peut écrire cette relation sous forme matricielle : R=K ∗E où E est un vecteur d'émission à N composantes, R est un vecteur de

réception à L composantes et K est la matrice de transfert de taille L*N.

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b. Décomposition de la matrice de transfert et invariants associés :

Examinons les propriétés de la matrice de transfert :le principe de réciprocité nous assure que la réponse de l'élément l du second réseau à une impulsion venant de l'élément n du premier réseau est égale à la réponse de l'élément n à une impulsion venant de l'élément l. La matrice de transfert du réseau de sortie au réseau d'entrée est donc Kt .

Une opération de renversement temporel ( t changé en -t ) est équivalente à une conjugaison de phase dans l'espace fréquentiel. Donc, lors d'un processus de renversement du temps, si E 1 est le premier signal transmis ( par le réseau d'entrée ) alors le second signal transmis ( par le réseau de sortie ) est égal au conjugué de phase du signal reçu : E2=K∗E1

∗ . Si on émet alors ce dernier signal, le signal reçu sur le réseau d'entrée est : R = Kt K ∗E1

∗ .Ce signal est relié au premier par une conjugaison de phase et une multiplication par la matrice K∗t K . Cette matrice, qui décrit tout processus de renversement temporel est donc

appelée l'opérateur de retournement temporel. C'est un opérateur hermitien à valeurs propres positives.

Si le premier signal transmis est V , un vecteur propre de l'opérateur de retournement temporel associé à la valeur propre , alors après un processus de retournement temporel, le signal reçu ( sur le premier réseau ) est V ∗ qui est proportionnel au conjugué de V. On peut donc dire que les vecteurs propres de l'opérateur de retournement temporel correspondent à des fronts d'onde invariants lors d'un processus de retournement temporel,

D'un point de vue mathématique, diagonaliser l'opérateur de retournement temporel est équivalent à la décomposition en valeurs singulières ( SVD ) de la matrice de transfert. Cette décomposition s'écrit K =U V où est une matrice réelle et diagonale de valeurs singulières, U et V sont des matrices unitaires. Les valeurs propres de K∗t K sont les carrés des valeurs singulières de K ; ses vecteurs propres sont les

colonnes de V . En pratique, on utilisera donc systématiquement la SVD.Notons que si on émet une colonne de V avec le premier réseau, le signal reçu sur le

second réseau est proportionnel à une colonne de U.

La plupart du temps, on utilise comme réseau d'entrée un ensemble de transducteurs, qui sert aussi de réseau de sortie. La matrice de transfert est alors carrée.

c. Utilité de la méthode : cas de diffuseurs isotropes ``indépendants`` :

Considérons le cas où le milieu diffusant est constitué de diffuseurs ponctuels isotropes et indépendants ; c'est à dire qu'on peut envoyer de l'énergie sur un des diffuseurs sans en envoyer sur un autre. Alors, si on néglige la diffusion multiple, on peut montrer par un calcul matriciel

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qu'il y a autant de valeurs propres non-nulles que de diffuseurs [4]. De plus, à condition que les réflectivités apparentes ( paramètre proportionnel à la réflectivité et à un terme dépendant des figures de diffraction sur les réseaux ) de ceux-ci soient différentes, chaque vecteur propre est associé à un diffuseur : si on applique les phases et les amplitudes de ce vecteur propre au réseau d'entrée, on focalise sur ce diffuseur.

La méthode DORT renseigne donc sur le nombre de diffuseur présents dans le milieu insonifié, sur leurs réflectivités apparentes ainsi que sur leur positions.

d. Méthode DORT en pratique :

La première étape consiste en l'acquisition de la matrice de transfert entre le réseau d'entrée et le réseau de sortie ( les deux étant confondus dans nos expériences puisqu'on utilise une barrette de transducteurs ) . Pour cela, on réalise autant d'émissions qu'il y a de transducteurs, et on mesure les réponses sur toutes les voies. Le signal émis consiste en 3 périodes de sinusoïde ( apodisée ) à la fréquence central des transducteurs (1,5 MHz ) . On dispose alors d'un tableau à trois dimensions indicé par le numéro du transducteur d'entrée, le numéro du transducteur de sortie et le temps discrétisé ( la fréquence d'échantillonnage est 20 MHz ) .

On réalise ensuite une transformée de Fourier rapide sur la composante temporelle. On obtient ainsi la matrice K dont on peut alors réaliser la SVD numériquement fréquence par fréquence.

On dispose alors de tous les vecteurs propres à toutes les fréquences ( en pratique, on se restreint aux fréquences entre 0 et 3 MHz ) et de toutes les valeurs singulières aux même fréquences. Cela nous permet de reconstruire des signaux temporels.

Figure 2 Figure 3

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e. Retournement temporel :

Si on mesure le signal arrivant sur le réseau d'entrée lorsqu'une impulsion est émise en un point et qu'on ré-émet ce signal après l'avoir retourné temporellement ( t changée en -t ) , le signal ré-émis va se propager comme si on avait renversé le temps, grâce à la symétrie de l'équation de propagation en milieu non-absorbant, et va donc converger parfaitement en son point d'origine ( aux effets de diffraction près, dus à la taille finie de la barrette et à la taille non-nulle des transducteurs [5] ) . On peut donc utiliser le retourné temporel d'une onde provenant du point où l'on souhaite focaliser comme référence.

En pratique, plutôt que d'émettre une impulsion au point où l'on compte focaliser les ultrasons, on place un hydrophone en ce point, on émet une impulsion sur une des voies d'entrée, on mesure la réponse à l'hydrophone, et on recommence pour toutes les voies. Le principe de réciprocité nous assure alors que le signal mesuré à l'hydrophone lorsqu'une impulsion est émise par un transducteur est le même que le signal qu'on aurait mesuré sur le transducteur si on avait envoyé une impulsion provenant du point où se situe l'hydrophone.

Figure 4 Figure 5

Le signal ci-dessus est obtenu en utilisant la méthode décrite en eau libre, c'est à dire sans les côtes.

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3. Expériences :

a. Dispositif experimental :

Les mesures ont été réalisées à l'aide de différents appareils :- une barrette échographique : c'est un réseau linéaire de 128 transducteurs (permettant donc d'émettre et de recevoir ) , avec un pas de 0,55 mm et de fréquence centrale 1,5 MHz ( la longueur d'onde dans l'eau est donc d'environ 1 mm ) . Cette barrette est fixe.- l'électronique programmable utilisée permet d'acquérir 128 signaux temporels provenant de 128 capteurs, avec une fréquence d'échantillonnage de 20 MHz.- un hydrophone : capteur de pression quasi-ponctuel. Lorsqu'il est utilisé, seules 127 voies de la barrette échographique sont utilisables car la baie d'acquisition ne prend en charge que 128 signaux. Un moteur 3-axes permet de le déplacer dans toutes les directions à 10 micromètres près.Pour toutes les mesures 1D présentées dans ce rapport, l'hydrophone était placé à 85mm environ de la barrette, ou dans le plan des côtes ( après les avoir retiré ) .- un réseau de côtes humaines dégazées, attachées à un cadre de façon à s'approcher le plus possible de leur géométrie réelle dans le corps humain. Leur largeur varie de 10 à 15 mm, et l'espace intercostal est d'environ 15 mm. Ce réseau est placé à environ 30 mm de la barrette, ce qui est typiquement la distance à laquelle seront placées les barrettes échographiques en situation réelle.- enfin, certaines mesures ont été réalisées avec un réseau sphérique 2D, de diamètre actif 90 mm et de rayon de courbure 80 mm et de fréquence centrale 1 MHz. La répartition des transducteurs sur ce réseau est anisotrope, car il est conçu pour pouvoir inclure une barrette échographique de section rectangulaire.

Figure 6 : Schéma du réseau 2D vu de face (diamètre 10 mm ) . Figure 7 : Schéma du réseau 2D vu de profil Les transducteurs cochés sont ceux qui ne sont pas utilisés

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b. Principe de la méthode :

La première étape consiste en l'application de la méthode DORT sur l'écho des côtes, de manière à obtenir les valeurs singulières et les vecteurs propres de la matrice de transfert. Ensuite, il s'agit de discriminer les valeurs propres associées au ''signal'' et celles associées au ''bruit'' ; le mot signal se référant aux informations sur les diffuseurs : les côtes. On peut ainsi séparer l'ensemble des vecteurs propres en deux sous-ensembles : celui des vecteur propres qui focalisent sur les côtes, et celui des émissions qui n'envoient pas d'énergie sur les côtes. Cette étape se réalise en regardant à partir de quel rang les valeurs propres sont nulles ( ou assez faible ) .

Figure 8

On a ici choisi ce seuil empiriquement ; il correspond à l'indice imax=40 : assez grand pour envoyer peu d'énergie sur les côtes et assez faible pour ne pas bruiter le signal. Ensuite, on projette l'émission qui nous intéresse G ( c'est à dire une émission focalisant en un point donné en milieu homogène ) orthogonalement aux premiers vecteurs propres Vi dans l'espace de Fourier, et

à chaque fréquences : G projeté =G −∑i=1

i max

V i∗G ∗V i . On réalise ensuite

une fft inverse de manière à obtenir un signal temporel (code matlab en annexe 1 ) . De cette manière, on espère obtenir un signal à émettre qui continue de focaliser où on le

souhaite, mais qui n'envoie pas d'énergie sur les côtes. J'ai, durant cette étude, discriminé à l'œil ( en regardant à partir de quel rang les valeurs

propres étaient faibles, mais aussi en regardant à partir de quel rang les re-propagations numériques des vecteurs propres à la fréquence centrale, de la barrette au plan des côtes ne correspondaient plus à des focalisations sur des points bien définis ; voir annexe 2 ) . Pour une application automatisée en médecine, il serait facile de choisir un seuil (par exemple de décider que le ''signal'' correspond à tous les vecteurs propres dont les valeurs propres sont supérieures à 5% de la valeur propre maximale ) et de discriminer automatiquement.

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Durant cette étude, nous avons utilisé deux sortes de signaux à projeter :

-un signal ''théorique'', c'est à dire qu'on a calculé numériquement les bons retards à appliquer à chaque voie. Ce signal focalise à l'endroit désiré et est rapide à produire, mais sa précision dépend de la précision avec laquelle on connait la vitesse du son dans le milieu de propagation.

Figure 9

-un signal mesuré : le retourné temporel du champ mesuré en eau libre comme décrit en 2.e. ( image dans le paragraphe sus-mentionné ) . Il sera désigné par la suite par les termes « retourné temporel en eau libre » . Nous l'utilisons pour nous affranchir de la mesure précise de la vitesse du son, ainsi que des effets géométriques (inclinaison et défauts de la barrette, ouverture angulaire finie... )

Une fois projeté, on obtient les émissions normalisées suivantes :

Figure 10 Figure 11On peut comparer ces émissions avec le retourné temporel d'un signal provenant du point

focal, lorsque le réseau de côtes est en place :

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Figure 12

On peut d'ores et déjà se satisfaire de la ressemblance entre ces émissions : en effet, le retourné temporel focalise ( par construction ) très bien ; et, comme les côtes sont très absorbantes, les points sans signal correspondent à des points qui enverraient de l'énergie sur les côtes. On a donc a priori bien créé des signaux focalisant où on veut, sans envoyer d'énergie sur les côtes, et ce, de manière non invasive. Rappelons qu'en pratique, on ne peut pas utiliser le retourné temporel à travers les côtes pour traiter un patient, puisque cela impliquerait de placer un émetteur ou un récepteur dans la tumeur.

En résumé, nous utilisons 5 signaux : un signal calculé ( appelé focalisation géométrique par la suite ou signal ''théorique'' ) et son projeté ; un signal mesuré ( nommé retourné temporel en eau libre ) et son projeté ; et enfin un dernier signal mesuré : le retourné temporel avec les côtes.

c. Mesure 1D des champs de pression dans le plan de focalisation et dans le plan des côtes pour les différentes émissions :

Une fois tous les champs à émettre mesurés ou calculés, on mesure le champ résultant après propagation à travers les côtes, dans le plan focal (c'est à dire parallèlement à la barrette ) :

Figure 13 :

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Figures 14 à 18

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On remarque que ces taches focales sont assez similaires, mais que celle obtenue avec l'émission calculée par lois de retard est moins propre : on observe une courbure, et presque pas de différence entre le lobe primaire et les lobes secondaires. Cela est probablement du à une incertitude sur la profondeur de focalisation, elle-même due à une incertitude sur la vitesse du son.

Pour mieux comparer ces différentes taches focales, il est utile de tracer l'énergie en décibel en fonction de la position. Pour cela, on prend le maximum au cours du temps de la pression au carré pour chaque position, que l'on normalise par l'énergie totale émise de manière à comparer les efficacités :

Figure 19 et zoom

Le phagocytage des lobes secondaires par le lobe primaire dans le cas de l'émission théorique est encore plus visible.

On observe que les émissions projetées et le retourné temporel en présence de côtes sont les plus efficaces ( leurs pics sont plus hauts ) ce qui indique qu'il y a moins d'énergie perdue sur les côtes. Enfin, les largeurs à -3 dB varient entre 1 et 2,5 mm, et la forme du pic de diffraction pour les émissions projetées est très semblable à celle obtenue pour le retourné temporel à travers les côtes, qui est une très bonne focalisation ( mais inutilisable en pratique, car invasive puisqu'on aurait à placer un récepteur dans la zone à traiter ) .

Pour quantifier l'efficacité de nos émissions, nous avons mesuré les champs de pression dans le plan des côtes après les avoir retirées. La répartition des côtes est la suivante

Figure 20 :

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Figures 21 à 25

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Ces mesures confirment ce que nous pensions : la projection permet effectivement de retirer la partie du signal qui passerait par les côtes : dans le plan des côtes, le signal est réduit d'au moins 12 dB au niveau des côtes.

Figure 26 et zoom

L'absence de signal au niveau des côtes est toujours aussi flagrante que sur les champs mesurés. Néanmoins, on s'aperçoit que le retourné temporel en présence de côtes envoie de l'énergie sur le bord d'une des côtes ( vers -0,5 ) ; les émissions projetées paraissent donc mieux éviter les côtes. Signalons toutefois que ce n'est pas toujours le cas : certaines mesures, faites dans des configuration géométriques différentes, montrent que le largeur du ''creux'' d'énergie acoustique est la même pour le retourné temporel à travers et les côtes et l'émission projetée ( le fond du ''creux'' étant toujours sensiblement plus bas dans le cas du retourné temporel à travers les côtes ) .

d. Comparaison des taux d'absorption spécifique dans le cas 1D

Un indicateur d'efficacité souvent utilisé est le taux d'absorption spécifique ( en anglais :

specific absorption rate ou SAR [1] ) qui se calcule comme suit : SAR= . ∣P∣2

. c où est le

coefficient d'absorption du tissu ( c'est à dire l'os ou le foie au point focal, modélisé dans les expériences par l'eau ) , P est la pression, est la masse volumique du tissu considéré et c la vitesse du son dans le tissu considéré. os=300 Np∗m−1 et foie=13,5 Np∗m−1 [1]

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Je présente ici les résultats en gain SAR, c'est à dire que je donne le rapport entre le SAR maximum au niveau des côtes et le SAR au niveau du point focal. Un gain SAR d'au moins 1 indique que l'énergie est absorbée plus rapidement au niveau de la cible qu'au niveau des côtes.

Émission Gain SAR Focalisation géométrique 0.0539

Projeté de la focalisation géométrique 0.798 Retourné temporel dans l’eau 0.122

Projeté du retourné temporel dans l’eau 2.06 Retourné temporel avec les côtes 1.27

La projection augmente de manière significative le gain SAR, pouvant même faire passer le gain SAR au dessus de 1. Le gain SAR obtenu par projection du retourné temporel dans l'eau est même meilleur que celui obtenu par retourné temporel avec les côtes car on évite mieux les côtes ( mais la figure de diffraction au niveau du point focal est un peu moins bonne ) . Cela peut s'expliquer par le fait que la côte centrale s'affine beaucoup sur un de ses cotés, ce qui permet à une partie du son d'être transmis jusqu'à l'hydrophone lorsqu'on mesure le retourné temporel avec les côtes. Ainsi, lorsqu'on réemet ce signal, une partie de l'énergie va aller sur la côte.

e. Mesure 2D des champs de pression dans le plan de focalisation et dans le plan des côtes pour les différentes émissions :

Ces mesures sont réalisées avec les même côtes que précédemment, en remplaçant simplement la barrette par le réseau bidimensionnel. De plus, les mesures à l'hydrophone sont dorénavant faites en pavant un plan, et non plus une ligne.

De la même façon que précédemment, on mesure le champ dans le plan focal, puis on mesure le champ dans le plan des côtes.

Figures 27 : schéma donnant la position des côtes par rapport au réseau 2D. Les échelles ne sont pas respectées.

Cette géométrie donne la plus grande ouverture possible orthogonalement aux côtes. On s'attend à ce que les zones en face du trou prévu pour la barrette échographique soient mal insonifiées.

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Figures 28 à 32

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Une fois encore, les taches focales sont très similaires, et d'extension comparable à celle qu'on avait observé en 1D. Reste à savoir si on envoie moins d'énergie sur les côtes.

Figure 33

Figure 34

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On observe une nette diminution de la pression entre les positions latérales relatives -25 mm et -19 mm ; ainsi qu'une diminution moins nette qu'entre -5 mm et 10 mm, ce qui correspond eux positions des côtes. La seconde diminution est moins nette car il y avait déjà peu de signal avant projection. Cela est du au trou prévu pour insérer une barrette échographique.

Il convient de faire remarquer que l'analyse des deux figures précédentes est moins simple que dans le cas unidimensionnel à cause de la courbure des côtes à la fois dans et hors du plan. C'est d'ailleurs pour cette raison que je n'ai pas calculé les gains SAR dans cette section : il aurait fallu cartographier la position des côtes en 3 dimensions.

Le principe de projection orthogonalement aux vecteurs propres associés aux côtes semble donc fonctionner également en trois dimensions, malgré des transducteurs placés de manière moins régulière et pavant moins bien l'espace d'émission.

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4. Conclusion et perspectives :

Ce travail de stage de fin de M2 produit des résultats encourageants pour les traitements par hyperthermie utilisant les ultrasons. En effet, on a montré que par projection d'émissions focalisant sur une zone à traiter orthogonalement aux vecteurs propres associés aux côtes ( et ce, dans ces conditions proches des conditions réelles, tant au niveau de la géométrie que des vitesses ) on obtenait une émission focalisant très bien sur la zone à traiter, et qui envoie peu d'énergie sur les côtes ( assez peu pour avoir un gain SAR supérieur à 1 ) ; l'ensemble des étapes nécessaires étant non invasives.

Maintenant que la méthode est validée pour des émissions de train d'onde brefs, nous allons pouvoir nous intéresser à des émissions quasi-monochromatiques, qui sont les émissions utilisées en pratique ( mais qui sont expérimentalement moins simples à analyser dans une étude préalable ) .

D'autre part, pour une application optimale, il faudrait que l'ensemble du processus mesure de la matrice K-décomposition en valeurs singulières-projection de l'émission désirée-émission du projeté se fasse en une fraction de seconde ( c'est à dire plus rapidement que la période typique de la respiration ) . Ce n'est pas encore le cas ; mais le fait qu'on n'ait besoin, en pratique, de travailler qu'à une seule fréquence améliorera significativement le temps de traitement puisqu'on ne fera qu'une seule SVD.

Enfin, le processus ne pourra être définitivement validé qu'après des essais ex-vivo puis in-vivo incluant des mesures de température.

Tout ou partie de ces points seront probablement abordés durant ma thèse à partir de septembre, que j'aurai la joie de faire au LOA sous la direction de Claire Prada.

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Annexes :1) Code matlab de projection :

function [Kaemmettre,Kaemmettrereciproque]=retourneprojete(Kecho,Nbvalpropnonnulles,Nbptfft,fe,Vectprop,Nbvoie);

Kecho est l'écho de la source sur laquelle on veut focaliser, Nbvalpropnonnulles est le nombre de vecteurs propres orthogonalement auxquels on doit projeter, Nbptfft est le nombre de points sur lequel on réalise la fft, fe est la fréquence d'échantillonnage, Vectprop est un tableau à 3 dimensions indicé par la fréquence, un numéro de transducteur et le numéro du vecteur propre, Nbvoie est le nombre de voie de la barrette échographique.

Kaemmettrereciproque = conj(fft(Kecho,Nbptfft)); on passe dans le domaine fréquentiel et on retourne temporellement Kecho

fmin=1; on restreint à des fréquences autour de la fréquence centrale des fmax=round(5*Nbptfft/fe); transducteurs Kaemmettrereciproque = Kaemmettrereciproque (1:fmax,:);

a=size(Kaemmettrereciproque); on initialise les matrices de sortie en les remplissant de zérosm=a(1);Kaemmettre=zeros(a(1),a(2));Kintermediaire=zeros(Nbptfft,Nbvoie);clear a;

for kk=1:m V=squeeze(Vectprop(kk,:,:)); on garde l'ensemble des vecteurs propres à fréquence donnée G=squeeze(Kaemmettrereciproque(kk,:)).'; on regarde la matrice d'émission à fréquence donnée for ii=1:Nbvalpropnonnulles b=(squeeze(V(:,ii))' *G); on projette sur l'espace orthogonal aux vecteurs propres G=G-b*squeeze(V(:,ii)); correspondant à la focalisation sur les diffuseurs ( les côtes ) end Kaemmettrereciproque(kk,:)=G.'; on remplit la matrice d'émission projetée fréquence par fréquence end

Kintermediaire(fmin:fmax,:)=Kaemmettrereciproque; on remet les fréquences en place en ajoutant des zérosKaemmettre=real(ifft(Kintermediaire,Nbptfft,1)); on repasse dans le domaine temporelKaemmettre=Kaemmettre/max(max(abs(Kaemmettre))); on normalise l'émission

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2) Re-propagation numérique de vecteurs propres :

Il est aisé de simuler numériquement le champ d'énergie incidente qu'on obtient au niveau du plan des côtes pour une émission donnée. En effet, entre la barrette échographique et les côtes, le milieu est homogène. Or, on connait la fonction de Green associée à la propagation en espace libre, à la vitesse ceau. Dans le domaine fréquentiel, il suffit alors d'une multiplication matricielle pour obtenir le champ dans le plan des côtes ( plan de sortie ) connaissant le champ dans le plan de la barrette ( plan d'entrée ) .

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Les graphes suivants ont été obtenu en propageant numériquement à la fréquence centrale du transducteur certains des vecteurs propres mesurés.

Sur ces premiers vecteurs propres, on observe nettement une focalisation à certains endroits : sur les côtes et sur leurs bords.

Par contre, sur le graphique suivant, on n'observe plus de focalisation aussi nette ; le champ d'énergie est beaucoup plus bruité ; il est donc raisonnable de penser que le vecteur propre numéro 40 ( et les suivants ) fait partie du sous-espace associé au bruit.

Sur le graphe ci-contre, on voit les trois côtes se dessiner, ainsi que les espaces intercostaux, où les premiers vecteurs propres n'envoient pas d'énergie, puisqu'il n'y a pas de réflecteurs à cet endroit.

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Bibliographie :

[1] H.Liu et al, ''Feasability of transrib focused ultrasound thermal ablation for liver tumors using a spherically curved 2D array : A numerical study'', Med. Phys. 34, 3436-3448 ( 2007 )

[2] Y.Y. Botros, E.S. Ebbini, J.L Volakis, ''Two-Step Hybrid Virtual Array-Ray ( VAR ) Technique for Focusing Through the Rib Cage'', IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 45, 989-1000 ( 1998 )

[3] H.C. Song, S. Kim, W.S. Hodgkiss, and W.A. Kuperman, "Environmentally adaptive reverberation nulling using a time reversal mirror," J. Acoust. Soc. Am. 116, 762-768 (2004)

[4] C. Prada, ''Detection and Imaging in Complex Media with the DORT method'', Topics Appl. Phys. 84, 107-133 ( 2002 )

[5] M. Tanter, J.L. Thomas, M. Fink, ''Time reversal and the inverse filter'', J. Acoust. Soc. Am. 108, 223-234 ( 2000 )

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