application au convertisseur multicellulaire

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N° d’ordre 2009 ISAL 0117 Année 2009 Thèse Modélisation et Commande des Systèmes Physiques à Topologie Variable : Application au Convertisseur Multicellulaire. Présentée devant L’Ins titut National des Sciences Appliquées de Lyon Pour obtenir le grade de docteur Ecole Doctorale EEA Spécialité : Energie et Systèmes Par Mohamed Abdallah TRABELSI Soutenue le 16 Décembre 2009 devant la commission d’examen Jury Jean BUISSON Mohamed DJEMAI Claire VALENTIN Malek GHANES Jean-Marie RETIF Xavier BRUN Xuefang LIN-SHI Professeur Professeur des universités Professeur des universités Maître de conférences Professeur des universités Maître de conférences Professeur des universités Rapporteur Rapporteur Examinatrice Examinateur Directeur de thèse Codirecteur de thèse Codirectrice de thèse (membre invité du jury)

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N° d’ordre 2009 ISAL 0117 Année 2009

Thèse

Modélisation et Commande des Systèmes Physiques à

Topologie Variable : Application au Convertisseur

Multicellulaire.

Présentée devant

L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

Pour obtenir le grade de docteur

Ecole Doctorale EEA

Spécialité : Energie et Systèmes

Par

Mohamed Abdallah TRABELSI

Soutenue le 16 Décembre 2009 devant la commission d’examen

Jury

Jean BUISSON

Mohamed DJEMAI

Claire VALENTIN

Malek GHANES

Jean-Marie RETIF

Xavier BRUN

Xuefang LIN-SHI

Professeur

Professeur des universités

Professeur des universités

Maître de conférences

Professeur des universités

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Professeur des universités

Rapporteur

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Examinatrice

Examinateur

Directeur de thèse

Codirecteur de thèse

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(membre invité du jury)

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INSA Direction de la Recherche - Ecoles Doctorales – Quadriennal 2007-2010

SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE

CHIMIE

CHIMIE DE LYON

http://sakura.cpe.fr/ED206

M. Jean Marc LANCELIN

Insa : R. GOURDON

M. Jean Marc LANCELIN Université Claude Bernard Lyon 1

Bât CPE 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43 13 95 Fax :

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E.E.A.

ELECTRONIQUE,

ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE

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M. Alain NICOLAS

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M. Alain NICOLAS Ecole Centrale de Lyon Bâtiment H9

36 avenue Guy de Collongue 69134 ECULLY Tél : 04.72.18 60 97 Fax : 04 78 43 37 17 [email protected]

Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN

E2M2

EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION

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Insa : H. CHARLES

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Université Claude Bernard Lyon 1 Bât G. Mendel 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cédex

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INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-

SANTE

Sec : Safia Boudjema M. Didier REVEL

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M. Didier REVEL

Hôpital Cardiologique de Lyon

Bâtiment Central 28 Avenue Doyen Lépine 69500 BRON

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INFORMATIQUE ET MATHEMATIQUES

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Secrétariat : C. DAYEYAN

M. Alain MILLE Université Claude Bernard Lyon 1

LIRIS - INFOMATHS Bâtiment Nautibus 43 bd du 11 novembre 1918

69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72. 44 82 94 Fax 04 72 43 13 10 [email protected] - [email protected]

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MATERIAUX DE LYON

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Secrétariat : C. BERNAVON 83.85

M. Jean Marc PELLETIER

INSA de Lyon MATEIS Bâtiment Blaise Pascal 7 avenue Jean Capelle

69621 VILLEURBANNE Cédex Tél : 04.72.43 83 18 Fax 04 72 43 85 28 [email protected]

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MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE

CIVIL, ACOUSTIQUE

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Secrétariat : M. LABOUNE PM : 71.70 –Fax : 87.12

M. Jean Louis GUYADER INSA de Lyon Laboratoire de Vibrations et Acoustique Bâtiment Antoine de Saint Exupéry

25 bis avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél :04.72.18.71.70 Fax : 04 72 43 72 37

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ScSo

ScSo*

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Insa : J.Y. TOUSSAINT

M. OBADIA Lionel

Université Lyon 2 86 rue Pasteur 69365 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.69.72.76 Fax : 04.37.28.04.48

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*ScSo : Histoire, Geographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie,

Anthropologie

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A mes parents pour ce qu’ils m’ont apporté et que je n’arrive pas à compter

A ma femme qui m’a toujours soutenu et encouragé aux moments opportuns

A mon frère et mes sœurs pour leurs intérêts envers mon travail

A tous ceux qui me sont chers

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Remerciements

Une thèse a nécessité, trois ans de travail. Il est certain qu’on n’y arrive pas tout seul,

mais avec l’aide et le soutien des personnes qui m’ont entouré. J’écris alors ces

quelques paragraphes pour les remercier.

Je tiens tout d’abord à remercier Jean-Marie RETIF, directeur de cette thèse. Il a su

m’orienter dans ce monde de recherche et faire preuve de patience et compréhension

dans les moments difficiles. Je le remercie pour ses conseils et son soutien

inconditionnel durant toutes ses années. Il est pour beaucoup dans l’aboutissement de

ce travail. C’était toujours agréable de discuter avec lui de ces sujets scientifiques.

Ces remerciements s’adressent, également, à Xuefang LIN-SHI et Xavier BRUN, co-

encadrants de cette thèse pour leur disponibilité, leurs remarques, leurs critiques

constructives et leurs soutiens précieux aides lors de la rédaction de ce manuscrit.

Je tiens aussi à remercier M. Jean BUISSON, Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure

d’Electricité (SUPELEC), ainsi que M. Mohamed DJEMAI, Professeur à l’Université de

Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, pour avoir accepté d’être les rapporteurs de ce

travail, malgré la charge de travail qu’ils assument actuellement.

Je tiens, également, à remercier Claire VALENTIN, Professeur à l’Institut Universitaire

de Technologie B (IUTB), ainsi que Malek GHANES, Maître de Conférences à l’Ecole

Nationale Supérieure de l’Electronique et de ses Applications (ENSEA), pour avoir

accepté de participer au jury de cette thèse.

Je n’oublierai pas de remercier l’ensemble du personnel du laboratoire AMPERE , qui a

contribué à instaurer un environnement de travail très cordial.

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Résumé

L’automatique est une science qui traite de la modélisation et la commande des systèmes dynamiques. Ces dernières

années ont été marquées par l’essor d’une communauté étudiante les systèmes dynamiques hybrides (SDH). Un

convertisseur statique (présentant un nombre fini de configurations) associé à une charge (procédé continu) est un

exemple de (SDH). Pour étudier le comportement dynamique de ces systèmes, il est nécessaire de mettre en

évidence l’aspect hybride (intéraction entre les variables continues et les variables discrètes) . Dans ce contexte,

nous présentons, dans le cadre de cette thèse, deux approches systématiques de modélisation, appliquées à un

convertisseur série associé à une charge, dans le but d’établir un modèle hybride, qui englobe les variables

continues et discrètes. La première approche est la méthode des graphes d’interconnexion des ports qui repose sur

des interprétations mathématiques des graphes linéaires, en vue d’établir une formulation Hamiltonienne paramétrée

en fonction des états des interrupteurs de puissance. La deuxième approche est l’approche à topologie variable des

Bond Graph commutés qui permet de modéliser les interrupteurs de puissance (éléments en commutation) par des

sources nulles suivant leurs états. Nous proposons, ensuite, deux lois de commande à aspect prédictif qui

déterminent directement les configurations du convertisseur qui permettent de poursuivre, le plus rapidement

possible, les références du courant dans la charge (objectif principal) et des tensions aux bornes des condensateurs.

Les contraintes de temps de calcul étant sévères (quelques dizaines de microsecondes), un modèle simplifié, validé

en simulation sur une période d’échantillonnage, est utilisé en temps réel. La première stratégie permet de prédire,

sur l’horizon d’une période d’échantillonnage, l’évolution du système pour chaque configuration et de sélectionner

celle qui minimise la distance entre l’état prédit et l’état de référence. Les résultats de simulation montrent l’intérêt

de cette stratégie par rapport à une commande classique. Cette stratégie est associée, ensuite, à un observateur

adaptatif dans le but d’estimer les tensions aux bornes des condensateurs. La deuxième méthode calcule directement

les rapports cycliques permettant d’atteindre la référence , en effectuant une inversion de la matrice de commande.

Les commandes proposées sont validées expérimentalement. Les résultats obtenus montrent l es performances et

l’efficacité de ces méthodes.

Abstract

Automatic control deals with modelling and control of dynamic systems. The Hybrid Dynamic System (HDS)

community has increased over last years. A static converter (having a finite number of configurations) associated to

a load (continuous process) is an example of HDS. To analyse the dynamic behaviour of such system, it is

necessary to emphasize and take into account the hybrid aspect. In this document, we propose two systematic

modelling approaches which are applied on a multicellular converter associated to a load. The aim of these

modelling approaches is to determine a model by taking into account both the discrete and the continuous variables.

The first approach is based on a mathematical representation of the dynamic network graph. With this method, we

synthesize a port-Hamiltonian representation parameterized by the discrete state of the switches. The second

approach is the switching Bond Graph with variable topology. This method allows modelling the switching

elements with null sources. Then we propose two predictive control laws which directly determine the

configurations of the converter to use in order to track as soon as possible the references of the continuous state

variables of the system. In this case, the real-time constraint is important (a few tens microseconds). This constraint

leads us to propose a simplified model which is validated in simulation over a sampling period. Having predicted

the behaviour of the system for each converter configuration, the first control method selects the converter

switching state which minimizes the Euclidian distance between the predicted state and the reference state. This

method is compared to a classic control approach by simulation. Then an interconnected adaptive observer based on

this control method is designed in order to estimate the capacitor voltages. The second control approac h calculates

directly the duty cycles of the discrete elements of the converter allowing to reach the reference state by inversing

the control matrix in the model. The experimental results confirm the effectiveness of the proposed approaches.

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Sommaire

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon i

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE ......................................................................................................... 1

CHAPITRE1 MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES HYBRIDES (SDH)............. 5

1 INTRODUCTION AUX SDH ET SES DIFFERENTES CLASSES ............................................................. 7 2 APPROCHES DE MODELISATION DES SDH ................................................................................... 9

2.1 Introduction aux différentes méthodes de modélisation ...................................................... 9 2.2 Graphe d’interconnexion des ports ................................................................................. 12

2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre .................................................................................................... 13 2.2.2 Méthode des matrices d’incidence paramétrées [VAL05] ......................................................... 19

2.3 Bond Graph commuté .................................................................................................... 23 2.3.1 Approche à topologie fixe ...................................................................................................... 24

2.3.1.1 Modèle à résistance variable .......................................................................................... 24 2.3.1.2 Modèle à transformateur ............................................................................................... 24

2.3.2 Approche à topologie variable ................................................................................................ 24 3 CONCLUSION ......................................................................................................................... 25

CHAPITRE2 BOND GRAPH COMMUTE: APPROCHE A TOPOLOGIE VARIABLE .......... 27

1 INTRODUCTION ...................................................................................................................... 29 2 MODELISATION EXPLICITE PAR MODE DE CONFIGURATION ......................................................... 29

2.1 Première configuration .................................................................................................. 29 2.1.1 Etablissement de la relation structurelle .................................................................................. 29 2.1.2 Détermination des éléments de la forme structurelle ................................................................ 31

2.2 Changement de configuration ......................................................................................... 34 3 MODELISATION IMPLICITE STANDARD [BUI96]......................................................................... 35

3.1 Formulation implicite de l’équation de structure de jonction ........................................... 36 3.2 Equation d’état de la configuration de référence ............................................................. 38 3.3 Détermination des configurations acceptables ................................................................ 39 3.4 Changement de configuration et conséquence sur la forme standard implicite .................. 40

4 MODELISATION EXPLICITE STANDARD...................................................................................... 41 4.1 Principe de la méthode .................................................................................................. 41 4.2 Application à l’onduleur monophasé débitant sur une charge RL ..................................... 41 4.3 Application à l’onduleur monophasé alimentant une MCC .............................................. 44

5 CONCLUSION ......................................................................................................................... 47

CHAPITRE3 COMMANDE PREDICTIVE DIRECTE D’UN ONDULEUR MONOPHASE ..... 49

1 INTRODUCTION ...................................................................................................................... 51 2 RAPPEL SUR LES APPROCHES DE COMMANDE DES CONVERTISSEURS MULTICELLULAIRES ............. 51

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Sommaire

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon ii

3 COMMANDE MONOCOUP .......................................................................................................... 55 3.1 Principe de la méthode .................................................................................................. 55 3.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutation débitant sur une charge RL ... 56

3.2.1 Modèle simplifié et domaine de validité .................................................................................. 58 3.2.1.1 Domaine de validité ...................................................................................................... 59 3.2.1.2 Utilisation du modèle simplifié ...................................................................................... 63

3.2.2 Stratégie de commande .......................................................................................................... 64 3.2.2.1 Choix des tensions de référence ..................................................................................... 65 3.2.2.2 Stratégie de choix ......................................................................................................... 71

3.2.3 Etude comparative en simulation avec une méthode de commande classique ............................. 72 3.2.4 Validation expérimentale ....................................................................................................... 77

3.2.4.1 Description du banc expérimental .................................................................................. 77 3.2.4.2 Résultats expérimentaux et interprétations ...................................................................... 79

3.3 Synthèse d’un observateur adaptatif basé sur la commande monocoup ............................. 85 3.3.1 Principe d’observation ........................................................................................................... 85 3.3.2 Observation des convertisseurs multicellulaires ....................................................................... 86 3.3.3 Conception de l’observateur adaptatif ..................................................................................... 88

3.3.3.1 Rappel sur l’observateur adaptatif [HAM90] [GHA10] ................................................... 88 3.3.3.2 Observateur adaptatif pour le convertisseur multicellulaire ............................................. 89

a) Conception de l’observateur .............................................................................................. 94 b) Analyse de convergence de l’observateur pour chacune des configurations ........................... 97 c) Observateur à temps discret ..............................................................................................101 d) Résultats de simulation .....................................................................................................103 e) Validation expérimentale ..................................................................................................105

3.4 Application : convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une MCC ........... 110 3.4.1 Validation expérimentale ......................................................................................................113

3.4.1.1 Description du banc expérimental .................................................................................113 3.4.1.2 Résultats expérimentaux et interprétations .....................................................................115

4 COMMANDE A BASE D’INVERSION DE MODELE ........................................................................ 119 4.1 Principe de la commande ............................................................................................. 120 4.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutations débitant sur une charge RL 121

4.2.1 Stratégie de commande .........................................................................................................121 4.2.2 Profils des commutations ......................................................................................................123 4.2.3 Normalisation des rapports cycliques .....................................................................................126 4.2.4 Résultats de simulation .........................................................................................................131

4.3 Validation expérimentale ............................................................................................. 132 4.3.1 Présentation du banc expérimental .........................................................................................133 4.3.2 Résultats expérimentaux et interprétations .............................................................................133

5 CONCLUSION ....................................................................................................................... 135

BILAN ET PERSPECTIVES ......................................................................................................... 139

BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 145

ANNEXE A : MODELISATION EXPLICITE PAR MODE DE CONFIGURATION.................... 159

ANNEXE B : DEGRES DE LIBERTE DANS LE PLAN DES TENSIONS .................................... 163

ANNEXE C : RESULTATS DE SIMULATION CM ..................................................................... 167

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Table des figures

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon iii

Table des figures

Fig. 1 Système électromécanique à commutation ............................................................ 11 Fig. 2 Système électropneumatique à commutation ......................................................... 12 Fig. 3 Convertisseur électronique à commutation ............................................................ 12 Fig. 4 Convertisseur à deux cellules de commutation ...................................................... 15 Fig. 5 Affectation des nœuds Vi et orientation des mailles ............................................... 16 Fig. 6 Graphe d’interconnexion de ports ......................................................................... 16 Fig. 7 Graphes primal et dual du convertisseur à 2 cellules de commutation .................... 20 Fig. 8 Bond Graph générique .......................................................................................... 23 Fig. 9 Représentation Bond Graph pour la configuration de référence choisie .................. 30 Fig. 10 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration..................................... 34 Fig. 11 Vue d’ensemble d’une représentation Bond Graph .............................................. 36 Fig. 12 Convertisseur à 3 cellules de commutation débitant sur une charge RL ................ 42 Fig. 13 Représentation Bond Graph du convertisseur à trois cellules de commutation ...... 42 Fig. 14 Convertisseur à 3 cellules de commutation alimentant une MCC ......................... 44 Fig. 15 Représentation Bond Graph d’une MCC ............................................................. 45 Fig. 16 Bond Graph du convertisseur à trois cellules alimentant une MCC ...................... 46 Fig. 17 Synoptique d’une commande classique ............................................................... 52 Fig. 18 Schéma de principe d’une commande prédictive à base de modèle [BOU96] ........ 55 Fig. 19 Schéma de principe de la commande monocoup .................................................. 56 Fig. 20 Evolution des tensions avec le modèle simplifié et le modèle discret ................... 59 Fig. 21 Erreur sur E1(V) en fonction de I(A) ................................................................... 60 Fig. 22 Erreur sur E2(V) en fonction de I(A) ................................................................... 60 Fig. 23 Erreur sur I(A) en fonction de I(A) ..................................................................... 61 Fig. 24 Exemple des directions possibles à un point de mesure donné ............................. 63 Fig. 25 Projection des 8 vecteurs d’évolution possibles sur le plan (E1, E2), I=1A ............ 64 Fig. 26 Enchaînement des actions dans l’algorithme de commande monocoup ................. 65 Fig. 27 Iso accroissement du courant de charge ............................................................... 67 Fig. 28 Evolution des tensions ........................................................................................ 68 Fig. 29 Délimitation du plan des tensions ....................................................................... 68 Fig. 30 Degrés de liberté pour les tensions de référence .................................................. 70 Fig. 31 Volume d’évolution des variables d’état autour d’un point de mesure .................. 72 Fig. 32 Synoptique de la commande avec MLI appliquée au convertisseur ...................... 73

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Table des figures

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon iv

Fig. 33 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec MLI ................................... 74 Fig. 34 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec CM .................................... 74 Fig. 35 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec MLI ..................... 75 Fig. 36 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec CM ...................... 75 Fig. 37 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 76 Fig. 38 Convertisseur à trois cellules de commutation utilisé ........................................... 78 Fig. 39 Charge RL ......................................................................................................... 78 Fig. 40 Interface de connexion de la carte d-Space dS1104 ............................................. 78 Fig. 41 Interface entre la carte d-Space et les drivers ...................................................... 79 Fig. 42 Schéma complet de la plate-forme expérimentale ................................................ 79 Fig. 43 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................... 80 Fig. 44 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) .................................... 81 Fig. 45 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................... 81 Fig. 46 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) .................................... 82 Fig. 47 Evolution des erreurs en fonction du facteur de pondération ................................ 82 Fig. 48 Evolution des erreurs en fonction du courant de charge ....................................... 83 Fig. 49 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 83 Fig. 50 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) .................................................. 84 Fig. 51 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ............ 84 Fig. 52 Schéma de principe d’un observateur .................................................................. 86 Fig. 53 Convertisseur à 3 cellules de commutation avec charge liée à la masse ................. 87 Fig. 54 Schéma de principe d’un observateur appliqué au convertisseur série .................. 88 Fig. 55 1er cas : Charge de C1 (configuration U7)............................................................. 92 Fig. 56 2ème cas : Charge de C2 (configuration U5) .......................................................... 93 Fig. 57 3ème cas : Charge de C2 et décharge de C1 (configuration U6) ............................... 93 Fig. 58 4ème cas : Le courant ne parcoure aucun condensateur (configuration U1) ............. 94 Fig. 59 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 104 Fig. 60 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=800) ............... 104 Fig. 61 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=1500) ............. 105 Fig. 62 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 105 Fig. 63 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 107 Fig. 64 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 107 Fig. 65 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 108 Fig. 66 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 108 Fig. 67 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 109 Fig. 68 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 110 Fig. 69 Schéma bloc de la MCC .................................................................................... 111 Fig. 70 Synoptique du système de simulation ................................................................. 112 Fig. 71 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 112 Fig. 72 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) .......................................... 113 Fig. 73 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 113 Fig. 74 Machine à courant continu associée à sa charge ................................................. 114 Fig. 75 Schéma complet de la plate-forme expérimentale ............................................... 115 Fig. 76 Dissipation de l’énergie réinjectée à l’alimentation ............................................ 116 Fig. 77 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 116 Fig. 78 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s) .......................................... 117 Fig. 79 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 117

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Table des figures

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon v

Fig. 80 Courant (A) en fonction du temps (s) ................................................................. 118 Fig. 81 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 118 Fig. 82 Évolution de la mesure par rapport à la référence (CM) ...................................... 119 Fig. 83 Évolution de la mesure par rapport à la référence (commande à base d’inversion de

modèle) ......................................................................................................................... 120 Fig. 84 Principe de la commande prédictive inverse ....................................................... 121 Fig. 85 Grandeurs de commande sur une période de modulation ..................................... 123 Fig. 86 Evolution des variables d’état avec des commandes centrées .............................. 124 Fig. 87 Evolution des variables d’état avec des commandes à gauche ............................. 125 Fig. 88 Evolution des variables d’état avec des commandes à droite ............................... 126 Fig. 89 Principe de normalisation des rapports cycliques ................................................ 128 Fig. 90 Evolution du courant en (A) .............................................................................. 128 Fig. 91 Evolution des tensions en (V) ............................................................................ 129 Fig. 92 Evolution des variables d’état dans l’espace à trois dimensions ........................... 129 Fig. 93 Synoptique de la commande prédictive par inversion de modèle ......................... 130 Fig. 94 Principe de commande par inversion de modèle ................................................. 130 Fig. 95 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 131 Fig. 96 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................... 132 Fig. 97 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ........... 132 Fig. 98 Interface de commande entre les sorties MLI et les drivers ................................. 133 Fig. 99 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................. 134 Fig. 100 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 134 Fig. 101 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s) ......... 135 Fig. 102 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration .................................. 159 Fig. 103 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration .................................. 161 Fig. 104 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 167 Fig. 105 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 168 Fig. 106 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 168 Fig. 107 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 169 Fig. 108 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) ................................................ 169 Fig. 109 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) ................................. 170

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Liste des tableaux

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon vii

Liste des tableaux

Tableau 1 Caractéristiques des différentes méthodes de modélisation appliquées ............. 48 Tableau 2 Evolution des tensions en fonction des commutations de l’onduleur (I > 0) ..... 57 Tableau 3 Erreurs moyennes sur les tensions en fonction des configurations .................... 62 Tableau 4 Erreurs moyennes sur le courant en fonction des configurations ...................... 62 Tableau 5 Variations des variables d’état ........................................................................ 66 Tableau 6 Evolution du courant en fonction du code couleur ........................................... 69 Tableau 7 Evolution des variables d’état en fonction des configurat ions .......................... 69 Tableau 8 Evolution des variables d’état en fonction des configurations .......................... 70 Tableau 9 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ ........................................... 110 Tableau 10 Caractéristiques de la machine à courant continu ......................................... 114 Tableau 11 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ ......................................... 119 Tableau 12 Variation du THDi en fonction de µ ............................................................. 170

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Nomenclature

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Nomenclature

V : tension d'alimentation continue (convertisseur Buck)

Cond: condensateur (convertisseur Buck)

D: diode (convertisseur Buck)

Sw: interrupteur de puissance (convertisseur Buck)

E: tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée à

un point milieu)

E': tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée à

un point milieu)

E": tension d'alimentation continue (convertisseur à 3 cellules de commutation associé à une charge liée

à la masse)

C: condensateur (convertisseur à 2 cellules de commutation)

C1: condensateur de la deuxième cellule de commutation (convertisseur à 3 cellules de commutation)

C2: condensateur de la première cellule de commutation (convertisseur à 3 cellules de commutation)

E1: tension aux bornes du condensateur C1

E2: tension aux bornes du condensateur C2

R: résistance de la charge

L: inductance de la charge

I: courant de charge

ne: nombre de branches du graphe d’interconnexion de ports

net: nombre de branches de l’arbre

nec: nombre de branches du coarbre

nv: nombre de nœuds du graphe

q: charge du condensateur C

q1: charge du condensateur C1

q2: charge du condensateur C2

Φ: flux magnétique dans l’inductance L

IM(Gr): matrice d’incidence du graphe Gr (Incidence Matrix of Graph Gr)

IM(Gr*): matrice d’incidence du graphe Gr* (Incidence Matrix of Graph Gr*)

EΩ : force électromotrice induite (fem) de la machine à courant à continu (MCC)

k : constante de la MCC

Cem : couple électromagnétique de la MCC

U : tension aux bornes de connexion de l’induit de la MCC

Ω : vitesse de rotation angulaire du rotor de la MCC

f : coefficient du frottement visqueux

J : moment d’inertie de l’axe du rotor de la MCC

Cr : couple résistant appliqué sur l’arbre de la MCC

Ui: configuration du système en fonction des états des interrupteurs

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Nomenclature

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( 1, )iX k U : vecteur d’état calculé par le modèle discret pour la configuration Ui

( 1, )iX k U : vecteur d’état calculé par le modèle simplifié pour la configuration Ui

Te: période d’échantillonnage

p: nombre de cellules de commutation

1_Err E : erreur moyenne absolue entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E1

2_Err E : erreur moyenne absolue entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E2

1ErrE : erreur moyenne absolue entre les valeurs de E1 calculées avec le modèle simplifié et le modèle

discret

2ErrE : erreur moyenne absolue entre les valeurs de E2 calculées avec le modèle simplifié et le modèle

discret

ErrE1: erreur entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E1

ErrE2: erreur entre les valeurs de consigne et les valeurs de mesure de E2

THDi: taux de distorsion harmonique du courant

µ: facteur de pondération

γ1, γ2 : constantes définies positives pour régler le temps de convergence de l’observateur

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Introduction générale

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 1

Introduction générale

L'automatique est une science pour l’ingénieur, qui traite essentiellement de l'étude du

comportement dynamique et de la commande des systèmes physiques. Ces systèmes

étaient généralement catalogués en deux grandes classes : les systèmes continus et les

systèmes à événements discrets.

Les systèmes continus sont des systèmes faisant intervenir des grandeurs

physiques dont les variations sont des fonctions de type f(t) avec t une variable

continue. Ces fonctions, évoluant dans un intervalle de nombres réels, peuvent être

identifiées par la vitesse ou le déplacement d’un mobile (vitesse d’une voiture), la

pression d’un gaz (pression de l’air), le débit d’un fluide (débit d’eau), la température

d’un système (température d’un four), le courant (courant traversant un circuit

inductif)…L’étude du comportement dynamique et la gestion de ces systèmes font

appel à des outils mathématiques tels que les fonctions de transfert, les équations

différentielles, les représentations graphiques (Bond Graph par exemple) et les

représentations d’état sous forme matricielle ou sous forme de fonctions non linéaires.

Les systèmes à événements discrets, notés SED, sont des systèmes dont les

variations des grandeurs physiques les caractérisant ne peuvent prendre qu’un nombre

fini de valeurs. Les éléments constitutifs de ces systèmes sont caractérisés par deux

états (Tout Ou Rien) gérés par l’algèbre de Boole. La gestion et la modélisation de ces

systèmes sont effectuées par le biais des méthodes états-transitions tels que les

graphes d’état, les réseaux de Petri et les GRAFCET.

Toutefois, cette répartition en deux classes de systèmes a été jugée

incomplète au début des années 1980 avec la naissance d’une nouvelle classe des

systèmes physiques, les systèmes dynamiques hybrides (SDH). La naissance de cette

classe est provoquée par l’existence de nombreux ensembles industriels comportant

des éléments ou des dynamiques des deux types décrits précédemment. Certains

systèmes électropneumatiques sont un bon exemple de cette classe. L’asservissement

de position d’une charge liée à un vérin électropneumatique piloté par des

distributeurs TOR peut être vu comme un système dynamique hybride. En effet si la

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Introduction générale

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 2

dynamique des distributeurs est très rapide devant la dynamique du système à piloter,

le modèle de représentation comportera des phénomènes continus, d’une part,

(évolution des pressions dans les chambres du vérin, positionnement de la masse) et

des phénomènes discrets d’autre part (commutation des électro-distributeurs). Les

systèmes électroniques de puissance peuvent aussi être modélisés par une partie

continue, représentée par les courants et les tensions et une partie discrète

correspondante aux différents états des interrupteurs de puissances (fermé - ouvert).

Donc un SDH peut être défini comme un système comportant des évolutions continues

et des phénomènes discrets qui leur sont liés.

Il est, ainsi nécessaire d’élaborer et de mettre au point des techniques pour

l’étude du comportement dynamique de ces systèmes et pour la synthèse des lois de

commandes pour contrôler les évolutions des variables mises en jeu. Ces techniques

présentent souvent un degré de complexité élevé, dû à l’interaction des dynamiques de

natures différentes.

Dans ce contexte, le travail effectué dans le cadre de cette thèse a été axé,

principalement, autour de ces deux aspects de l’automatique des SDH : la

modélisation et la commande. Un grand intérêt a été consacré à l’étude des grandes

approches de modélisation dédiées aux SDH. L’objectif est de mettre en évidence

l’aspect hybride de ces systèmes particuliers , en recherchant des modèles d’état

englobant les variables continues et les variables discrètes, interagissant dans le

fonctionnement du système. Le second objectif de ces travaux concerne l’élaboration

des lois de commande conduisant à satisfaire les évolutions désirées des variables

d’état et permettant de résoudre les problèmes de complexités dues à la gestion des

signaux de natures différentes.

Ces études ont été menées sur un système électronique de puissance, dont la

topologie a été imaginée par Meynard au début des années 90 [MEY91]. Il s’agit de la

structure multicellulaire [PRI95] [CAR96], qui nécessite l’imbrication des cellules de

commutations, afin de répartir la tension totale sur les cellules de commutations et

limiter les contraintes en tensions subies par les composants semi-conducteurs,

associées à une charge. Cette structure est composée de n cellules de commutations

(les états des interrupteurs de puissance constituent la partie discrète du système)

séparées deux par deux par des condensateurs dits à potentiels flottants, dont les

tensions aux bornes (variables continues) doivent être maîtrisées et maintenues à des

niveaux bien définis, pour assurer le bon fonctionnement de l'ensemble du système.

L’intérêt de l’utilisation de cette structure réside dans l’obtention de plusieurs niveaux

de tensions aux bornes de la charge, d’où l’appellation multiniveaux, ce qui permet

d’avoir une meilleure qualité spectrale de la tension découpée (l’augmentation du

nombre de niveaux intermédiaires permet de diminuer l’amplitude de chaque front de

la tension de sortie et par conséquent de diminuer l’amplitude des raies harmoniques ).

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Introduction générale

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 3

Dans un premier temps, le premier chapitre propose une présentation générale

des systèmes dynamiques hybrides et ses différentes classes, ainsi que les différentes

méthodes de modélisation de ces systèmes. Dans cette partie, le système étudié est

défini comme une des classes des systèmes dynamiques hybrides, en l’occurrence un

système physique à topologie variable. Ensuite, deux méthodes de modélisation, à

base des graphes d’interconnexion des ports, sont appliquées à un convertisseur série à

deux cellules de commutation associé à une charge RL, dans le but de trouver une

représentation Hamiltonienne à port paramétrée. Cette représentation décrit le

comportement dynamique des variables continues en fonction des paramètres discrets

mis en jeu (états des interrupteurs de puissance). Enfin, une présentation de la

méthode des Bond Graph commutés est exposée, en mettant l’accent sur la différence

entre la topologie fixe (généralement nommée topologie invariante) et la topologie

variable de cette méthode graphique.

Le deuxième chapitre propose une application détaillée de l’approche à

topologie variable des Bond Graph commutés au système 1, puis à un convertisseur à

trois cellules de commutation associé dans un premier temps à une charge passive de

type RL, puis alimentant, dans un second temps, une machine à courant continu.

Généralement les Bond Graph sont utilisés pour modéliser les systèmes physiques

continus. Mais cette méthode s’adapte parfaitement à la représentation des

convertisseurs statiques, lorsqu’on modélise les composants semi-conducteurs par des

sources d’effort et de flux nuls. Donc le système physique étudié, dont la topologie

d’interconnexion varie, sera vu comme un système continu avec des éléments de

commutations. Le but est de trouver une méthode systématique qui permet de

représenter le système sous la forme d’un modèle d’état dit hybride. Ce modèle

comporte les variables continues et les variables discrètes interagissant dans le

fonctionnement du système.

Le troisième chapitre, après un rappel sur les méthodes de commande des

convertisseurs multicellulaires, présente deux approches de commandes qui sont

comparées, en simulation, à une commande classique de type Proportionnel Intégral

(PI), associée à une Modulation à Largeur d’Impulsions (MLI) intersective. L’objectif

principal des approches de commande proposées est d’asservir le courant à charge,

tout en gardant, au mieux, les tensions aux bornes des capacités à potentiels flottants

autour des valeurs de référence. La première méthode est une technique prédictive

directe qui calcule, pour un état mesuré, les différentes évolutions possibles relatives

aux différentes configurations. Ensuite, l’algorithme de commande sélectionne la

configuration qui permet de se rapprocher, au maximum, de l’état de référence et

l’applique au système, pendant la prochaine période d’échantillonnage (une seule

configuration est appliquée durant une période d’échantillonnage, d’où l’appellation

de commande monocoup). Cette stratégie de commande a été ensuite utilisée, en

Page 25: application au convertisseur multicellulaire

Introduction générale

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 4

associant une technique adaptative d’observation des tensions aux bornes des

condensateurs, à partir de la mesure du courant de charge et de la tension

d’alimentation du bus continu. Enfin, cette stratégie de commande a été appliquée au

convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une machine à courant

continu. La deuxième loi de commande présentée, est une technique, dont le principe

est de calculer directement les rapports cycliques permettant au système d’atteindre un

état de référence, en se basant sur l’inversion de la matrice de commande. Ceci est

possible, suite à l’écriture d’un modèle d’état sous une forme affine de la commande.

Ces lois de commande, ainsi que l’observateur basé sur la commande

monocoup, sont testés en simulation et validées sur un banc expérimental .

En conclusion, un bilan de ces travaux de thèse est présenté, ainsi que les

perspectives de ce travail.

Page 26: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en Automatique / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 5

Chapitre1 Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH)

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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1 Introduction aux SDH et ses différentes classes

Généralement, le terme « hybride » est employé lorsqu’un système ou un phénomène

est constitué de deux composantes de natures différentes.

Un système continu, par définition, est un système dont l’évolution de ses

variables est continue en fonction du temps. Ces variables prennent un nombre infini

de valeurs. L’évolution de ces systèmes est modélisée, dans les cas classiques, d’une

part, par des équations différentielles, par des fonctions de transfert ou par des

matrices, s’il s’agit d’un système linéaire et d’autre part par les équations aux dérivées

partielles (EDP).

Un système à évènements discrets, contrairement à un système continu, prend

un nombre fini de valeurs ou d’états. Ces états représentent les modes de

fonctionnement du système. Le passage d’un mode de fonctionnement ou d’une

configuration à une autre constitue une séquence d’évènements. Ces systèmes sont

généralement modélisés par des réseaux de Petri, des automates à états ou par des

GRAFCET.

Les Systèmes Dynamiques Hybrides (SDH) sont des systèmes dynamiques

faisant intervenir, explicitement et simultanément, des phénomènes continus et

événementiels. Un SDH peut être défini, aussi, comme :

Définition 1 : un système dynamique qui comporte plusieurs dynamiques de natures

différentes [MAN01].

Par exemple, dans le cas d’un réacteur, la dynamique d’une vanne , qui peut

être de type Tout Ou Rien, est différente des dynamiques continues du débit, de la

concentration ou de la température d’un produit

Définition 2 : un système incluant des dynamiques lentes et rapides qui peuvent être

observées comme une succession de modes de fonctionnement [VAN00].

Dans la pratique, les systèmes, incluant ces dynamiques, sont connus sous le

nom des systèmes aux perturbations singulières. Les moteurs électriques, incluant une

dynamique rapide (dynamique électrique) et une dynamique lente (dynamique

mécanique), sont des exemples pour ces systèmes.

Définition 3 : un système influencé par des événements qui provoquent des

commutations entre différents modes d’évolution continue des variables réelles.

Dans les systèmes à commutations (électronique de puissance), un

franchissement de seuil d’une diode ou la commande d’un interrupteur de puissance

peut provoquer des commutations entre les modes d’évolution continue des variables

réelles d’une charge donnée.

Page 29: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 8

Ces SDH sont très présents dans la nature et sous plusieurs formes et aspects.

Cependant, il est possible de distinguer plusieurs classes des SDH. Parmi ces classes,

celles les plus citées dans la littérature sont:

Systèmes à saut : la notion des systèmes à saut a été introduite la première fois au début

des années quatre vingt. Ces systèmes étaient plutôt connus sous le nom des systèmes

hybrides. Ces systèmes sont considérés comme des systèmes physiques dont la

dynamique peut être modifiée ou influencée par des événements externes (non

contrôlables). Cette classe de SDH est caractérisée par une interaction entre la

dynamique ponctuelle et aléatoire appelée saut (associée à une variable discrète) et la

dynamique continue du système [ALL98a] [VID02]. Parmi les exemples les plus

rencontrés dans la littérature, citons, d’une part, celui d'un avion de chasse effectuant

diverses manœuvres et d’autre part l’étude du trafic routier sur une autoroute, qui peut

aussi être considéré comme un système à saut, les sauts, dans ce cas étant provoqués

par un accident d’une voiture, par exemple (dynamique ponctuelle et aléatoire).

Systèmes affines par morceaux : une grande partie des SDH peut être représentée par

les systèmes affines par morceaux (Piecewise Affine systems ou PWA) [BEM00]

[JOH03]. Ces systèmes sont aussi caractérisés par un état continu, régi par un système

dynamique linéaire par morceaux et un état discret, régi par des transitions de type

invariant. Ces systèmes ont la particularité de partager l’espace d’état en un nombre fini

de régions et d’associer à chaque partie une dynamique affine différente [NEC04].

Systèmes à modèle mixte dynamique et logique ou (MLD ou Mixed Logical Dynamical

systems) [BEM99]: ce sont des systèmes qui englobent des entrées, des sorties et des

états mixtes.

Ces notions de PWA et MLD sont utilisées pour la modélisation des systèmes

dynamiques hybrides. Elles sont considérées comme des représentations ou des

formulations particulières des SDH. De plus, pour une formulation MLD, il a été

prouvé, dans [HEE01], qu’il existe toujours une représentation PWA équivalente. Ces

formulations ont été appliquées à un convertisseur DC/DC abaisseur de tension dans

[PAP04]

Systèmes physiques à topologie variable : ce sont des SDH, dont la topologie

d’interconnexion des éléments varie. Ces systèmes peuvent être aussi appelés multi-

modes [BRO84] [GEE96] ou systèmes commutés [LIB99] [LIB03]. Un des exemples

illustratifs de ces systèmes est le convertisseur de puissance. La topologie

d’interconnexion du convertisseur varie, selon les états des interrupteurs de puissance

présents dans la structure.

Page 30: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 9

2 Approches de modélisation des SDH

2.1 Introduction aux différentes méthodes de modélisation

La modélisation des systèmes dynamiques hybrides est un thème de recherche qui a

été abordé par plusieurs communautés scientifiques, de domaines d’intérêts très

différents. Mais, les automaticiens restent les plus intéressés par la modélisation de

ces systèmes particuliers, dans le but de synthétiser un modèle englobant tout les

modes de fonctionnement du système. Les deux communautés « automatique des

systèmes continus et des systèmes discrets », ont été amenées à collaborer étroitement

pour modéliser l’aspect continu et discret des SDH. En effet, trois grandes approches,

qui dépendent des origines scientifiques des auteurs, se sont mises en évidence pour

modéliser les SDH et ses différentes sous-classes [ZAY01] :

Approche continu / discret : c’est une approche basée sur des extensions des méthodes

de modélisation des systèmes continus. Dans cette approche, le SDH est vu comme un

système continu qui présente des discontinuités. Ces discontinuités sont provoquées par

le changement d’état des éléments de commutations. Parmi les méthodes qui

représentent les SDH sous cet angle, on cite :

La modélisation par équations différentielles. La dynamique continue est modélisée

par les équations différentielles, tandis que la dynamique discrète est représentée par

les équations aux différences [QUE94].

La modélisation par Bond Graph commutés. Cette méthode repose sur les Bond

Graph, méthode graphique pour modéliser les systèmes continus, pour modéliser les

systèmes physiques contenant des éléments de commutation. Cependant, deux

grandes approches de modélisation peuvent être distinguées : une appelée à

topologie invariante, qui permet de modéliser les éléments de commutation, en

utilisant des transformateurs modulés [DAU89], des résistances variables [CAS90],

l’autre approche, appelée à topologie variable, utilise des sources nulles, pour

modéliser les éléments en commutation [BUI93b] [STR94]. Ces deux approches ont

été appliquées, successivement, à un hacheur dans [DAU00].

La modélisation par formulation Hamiltonienne. Cette méthode repose sur une

approche graphique, les graphes d’interconnexion des ports, pour modéliser les SDH

[VAL06] [VAL07]. Cette approche a été appliquée dans [VAL06] à un

convertisseur DC/DC abaisseur de tension (Buck), en utilisant la notion des matrices

d’incidences. Elle sera appliquée, dans la section suivante, à un convertisseur série à

2 cellules de commutation, associé à une charge passive de type RL.

Page 31: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 10

Approche discret / continu : cette approche repose sur les méthodes de modélisation des

Systèmes à Evènements Discrets (SED). La dynamique continue sera modélisée par un

ensemble fini de paramètres discrets. Parmi ces méthodes, citons l’existence des réseaux

de Petri hybrides [LEB91] [ALL92] [ALL98b]. Cette méthode a été appliquée, pour la

modélisation simultanée de flux des pièces, dans un atelier de fabrication et sur l’état

opérationnel des machines qui le composent [LEB92]. Cette technique a été,

également, utilisée pour la modélisation d’un système de ravitaillement d’eau dans

[BIT03]. Le débit d’eau représente la dynamique continue du système et le basculement

d’un état à un autre (partie discrète) est provoqué par l’actionnement de deux sources

d’eau différentes. De plus, une analogie avec ce système a été effectuée pour modéliser

un système de communication en réseau.

Approche mixte : cette approche repose sur la combinaison des deux grandes approches

précédemment décrites. Chaque aspect est alors décrit, sous sa forme classique, en

associant les équations algèbro-différentielles aux modèles SED. Parmi ces méthodes

qui abordent les SDH avec cette vision on cite :

La modélisation par automates hybrides. Il s’agit d’une extension de la modélisation

par les automates à états finis. Cette méthode consiste à combiner un modèle SED

avec les équations algèbro-différentielles associées à ses états discrets [ZAY01].

Tout automate hybride sera ainsi caractérisé par un état global, défini par une paire

d’états en interaction représentant la dynamique continue et la dynamique discrète

[LYG03]. En fait, un changement de l’état discret peut provoquer un changement

d’évolution de l’état continu et une atteinte d’une valeur seuil de cet état peut induire

un changement d’état discret. Cette technique a été appliquée sur un système de

fontaines à deux bassins dans [BER04]. L’état discret est représenté par l’arrêt ou la

mise ne marche d’une pompe et l’état continu par l’évolution des niveaux d’eau dans

les deux bassins.

La modélisation par les réseaux de Petri mixtes. Cette méthode repose sur la

modélisation par des réseaux de Petri, associés à des équations différentielles, pour

synchroniser l’aspect continu et discret du SDH [VIB97] [VAL99]. Cette stratégie

de modélisation a été appliquée dans [VAL02] à un processus chimique automatisé.

Le modèle unifié de Branicky : dans cette approche, l’intégration de la dynamique

discrète à la dynamique continue est faite par le biais des fonctions de transition

modélisant les sauts autonomes et les sauts commandés [BRA93]. Cette approche a

été appliquée aux systèmes physiques avec des commutateurs ou des relais.

L’objectif de nos travaux est d’expliciter les modèles continus pour une

classe importante de systèmes dynamiques hybrides : les systèmes physiques avec

éléments de commutation. Ces éléments sont présents dans diverses applications,

telles qu’en électromécanique (embrayage), hydraulique (vanne tout-ou-rien), mais

surtout dans le domaine du Génie Electrique (diodes, transistors, thyristors), en

particulier, dans les dispositifs d’électronique de puissance. Suivant les cas, ces

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 11

composants sont totalement commandés (transistors), partiellement commandés

(thyristors) ou non commandés (diodes). Le changement de l’état d’un élément de

commutation provoque un basculement d’une configuration à une autre du système.

Ainsi, pour tout système de ce type, il existe Nm configurations possibles, avec N le

nombre d’états possibles pour chaque élément et m le nombre d’éléments de

commutation.

En électromécanique, le système, donné par la Fig. 1, peut être considéré

comme un système physique à topologie variable. Le système est composé de deux

moteurs continus couplés, par un embrayage. Deux états peuvent alors être identifiés

(21). Les deux moteurs sont couplés si le système est embrayé, ou découplés, si le

système est débrayé. Dans ce cas, ils sont considérés comme deux systèmes

indépendants. Ainsi, l’aspect topologie variable du système est identifié. Cet aspect

dépend de la valeur ou de l’état discret de l’embrayage.

En électropneumatique, le système, représenté par la Fig. 2, est composé d’un

vérin déplaçant une charge et piloté par deux électro-distributeurs. Il peut être

considéré comme un système commuté. Les électro-distributeurs peuvent être

considérés comme des éléments de commutation. Suivant leur état (les trois états

possibles pour chaque électro-distributeur sont l’admission, l’échappement et le

repos), le système change de configuration. Ainsi, neuf configurations sont possibles

(32).

Les circuits électroniques convertisseurs de puissance sont aussi d’excellents

exemples pour les systèmes multi-modes, parce qu’ils ont une structure variable. Le

changement de mode de fonctionnement peut être provoqué par une commande

externe (commande sur l’interrupteur Sw) ou par un franchissement de seuil

(franchissement de seuil de la diode D). Il s’agit d’un changement de mode autonome.

Le simple convertisseur Buck (abaisseur de tension) (Fig. 3) peut résumer ce

fonctionnement. Le changement d’état des éléments de commutations offre au système

22 configurations possibles Cependant, la topologie d’interconnexion des éléments

change, suivant le mode de fonctionnement. Ces modes de fonctionnement peuvent ne

pas être réalisables physiquement ou acceptables, c’est le cas lorsque les deux

éléments en commutation sont tous les deux fermés ou ouverts.

Moteur1 Moteur2

Embrayage

Fig. 1 Système électromécanique à commutation

Page 33: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 12

Fig. 2 Système électropneumatique à commutation

D

Sw L

Cond RE

Éléments de

commutation

Fig. 3 Convertisseur électronique à commutation

Dans la suite de nos travaux, nous allons nous intéresser à la modélisation

d’un convertisseur multiniveaux monophasé alimentant un processus continu par deux

méthodes de l’approche continu / discret. Les méthodes de graphes d’interconnexion

de ports et des Bond Graph commutés seront exposées pour la modélisation de ces

systèmes. La première méthode est généralement utilisée pour les simples

convertisseurs statiques de type « Buck » ou « Boost ». Dans ce qui suit, elle sera

appliquée au convertisseur série à trois cellules de commutations. Quant à la méthode

des Bond Graph commutés, elle sera détaillée et développée par une nouvelle

approche qui permet de remédier aux calculs fastidieux des relations structurelles

entre les différents éléments constitutifs du Bond Graph.

2.2 Graphe d’interconnexion des ports

C’est une méthode graphique qui permet de modéliser les systèmes physiques d’une

façon générale et, en particulier, les systèmes en commutation. Le principe de la

Page 34: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 13

méthode repose sur l’utilisation des théories des graphes linéaires qui seront

interprétés sous forme de représentations mathématiques.

2.2.1 Méthode d’arbre et coarbre

Le principe de cette méthode est de représenter un système ou un circuit par un graphe

appelé graphe d’interconnexion de ports noté G = (V, E) où V est un ensemble non

vide de nv nœuds et E un ensemble de ne couples d’éléments de V appelés branches.

Ces branches seront orientées selon une convention de signe à poser. Chaque branche

représente le port d’interconnexion d’un élément , sans tenir compte de sa nature,

auquel on associe la paire ( ), ( )pf t pe t de variables de puissance (respectivement les

variables flux et effort). Ce graphe peut être défini par les notions suivantes :

Arbre : sous graphe formé par n n 1et v branches contenant tous les nœuds du graphe

mais pas de chemins fermés. Cet arbre est choisi de manière à contenir toutes les

sources de tensions et les condensateurs du système.

Coarbre : sous graphe composé par n n n 1ec e v branches du graphe qui n’ont pas

été incluses dans l’arbre.

Cycle fondamental : cycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule branche du

coarbre et tant qu’il soit nécessaire de l’arbre. L’orientation positive est celle de la

branche du coarbre.

Cocycle fondamental : cocycle orienté, associé à un arbre et composé d’une seule

branche de celui-ci et tant qu’il soit nécessaire du coarbre. L’orientation positive est

celle de la branche de l’arbre. Dans notre cas, il n’y a aucun cocycle déterminé.

Le graphe d’interconnexion peut être, ensuite, représenté mathématiquement

de plusieurs manières différentes. Le choix de la méthode de représenta tion dépendra,

essentiellement, du type et de l’objectif de l’application. Une représentation

matricielle sera plus naturelle.

Parmi ces représentations matricielles, les notions de matrice fondamentale

des cycles et de matrice fondamentale des cocycles qui mènent à une représentation

minimale du système sont les plus citées. Ces matrices, utilisées pour écrire les lois de

Kirchhoff, sont définies de la manière suivante :

Matrice fondamentale des cycles notée B : matrice de dimension ( )ec en n qui

représente les relations de connectivité entre les cycles et les branches du graphe.

Chaque ligne représente un cycle et chaque colonne représente une branche du graphe.

Si la branche en question appartient au cycle, on mettra 1, si elle est orientée dans le

même sens que la branche du coarbre constitutive du cycle, ou -1, si elle est dans le sens

inverse. Si elle n’est pas incluse dans le cycle, on mettra 0.

Matrice fondamentale des cocycles notée Q : représente les liens entre les cocycles et

les nœuds du graphe. Cette matrice peut être déduite directement à partir de la matrice

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 14

fondamentale des cycles en identifiant la matrice Qc de dimension ( )et ecn n formée

par les colonnes associées aux branches du coarbre.

Ces matrices établissent les relations entre les variables de puissance

associées aux branches du graphe d’interconnexion. Ces relations correspondent aux

lois de Kirchhoff. Les relations entre les courants sont données par la matrice

fondamentale des cocycles (Q), alors que les relations entre les tensions sont données

par la matrice fondamentale des cycles (B).

Si on applique les lois de Kirchhoff sur les cycles fondamentaux et les

cocycles fondamentaux, on obtient :

0 0. 00. 0 0 0

c fte ettf fc ec

c

tc

c

I Q pB p pQ p p pQ I

B Q Iavec

Q I Q

(1)

avec I une matrice identité, pet et pft les vecteurs de dimension net

respectivement des variables effort et flux des branches contenues dans l’arbre. On

note aussi pec et pfc les vecteurs de dimension nec respectivement des variables effort et

flux des branches contenues dans le coarbre.

Cette relation permet d’en déduire la représentation entrée/sortie suivante

appelée structure de Dirac:

ct

c

0 -Q

Q 0 ft et

fcec

p ppp

(2)

A partir de cette relation, les différents modèles d’états explicites,

correspondant aux différents modes de fonctionnement, peuvent être définis en faisant

les simplifications nécessaires engendrées par l’annulation des tensions ou des

courants au niveau des éléments en commutation. Ainsi, le modèle obtenu pour

chaque configuration peut être écrit sous la forme d’une représentation d’un système

Hamiltonien à port avec dissipation [DAL98]. Ce système est défini sur n par une

matrice de structure J , antisymétrique, de dimension ( )n n qui représente

l’interconnexion directe entre les éléments de stockage d’énergie, une matrice

symétrique positive R , qui représente l’interconnexion entre les éléments de stockage

d’énergie par l’intermédiaire des éléments qui dissipent de l’énergie, une fonction

Hamiltonienne : nH , qui représente l’énergie totale stockée dans le système, une

matrice d’entrée g de dimension ( )n m et une équation dynamique de l’état noté

x donnée par:

.

( ) .H

x J R g Ex

(3)

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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Cette méthode a été toujours appliquée sur de simples convertisseurs de

puissance de type « Buck » et « Boost ». Dans cette partie, la méthode sera appliquée

au système donné par la Fig. 4. Ce système est composé de sept nœuds et neuf dipôles

(Fig. 5). L’orientation des courants et des tensions est choisie selon la convention

récepteur. Son graphe d’interconnexion de ports est donné par la Fig. 6.

E

L

Q2 Q1

Q’2 Q’1

u2 u1

I

E’R

CUc

Fig. 4 Convertisseur à deux cellules de commutation

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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V7

E

L

Q2 Q1

Q’2 Q’1

u2 u1

E’R

C

V2

V1

V4

V3

V5

V6

Uc

UR

UL

UQ1UQ2

UQ’2 UQ’1

iQ’2 iQ’1

iR

iL

iC

iQ2 iQ1

iE’

iE

Fig. 5 Affectation des nœuds Vi et orientation des mailles

V2

V3

V6

V1

V5

e1

e2

e9

e4

e3

V4V7

e8

e5

e6

e7

Fig. 6 Graphe d’interconnexion de ports

A partir de ce graphe, nous identifions :

Arbre : 7 -1 6v et vn et n n . L’arbre choisi ici est : 1 2 3 5 6 4e e e e e e .

Coarbre : 9 7 3e v ecn et n n . Donc le coarbre trouvé est 7 8 9e e e .

Cycle fondamental : 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 8 9 5 3 , ,e e e e e e e e e e e e e e

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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Cocycle fondamental : les cocycles sont déduits à partir des cycles fondamentaux.

Matrice fondamentale des cycles : nous identifions trois cycles et neufs branches. Cette

matrice est donnée par :

-1 1 1 0 -1 1 1 0 0

1 -1 -1 1 0 0 0 1 0

0 0 -1 0 1 0 0 0 1

T

cQ

B (4)

Matrice fondamentale des cocycles : elle est donnée par :

1 0 0 0 0 0 1 -1 0

0 1 0 0 0 0 -1 1 0

0 0 1 0 0 0 -1 1 1

0 0 0 1 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 1 0 1 0 -1

0 0 0 0 0 1 -1 0 0

cQ

Q (5)

La représentation entrée/sortie de la structure de Dirac du système considéré

peut être donc donnée par :

2 2

'

'1 '1

'2 '2

1 1

0 0 0 0 0 0 -1 1 0

0 0 0 0 0 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 1 -1 -1

'0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 -1 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 -1 -1 0 1 -1 0 0 0

-1 1 1 -1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 -1 0 0 0 0

E

Q Q

C C

E

Q Q

R R

L L

Q Q

Q Q

i E

i U

i U

i E

i U

i U

U i

U i

U i

(6)

Si on pose u1 la commande de l’interrupteur Q1 et u2 la commande de

l’interrupteur Q2 (ui=1 si Qi est fermé et ui=0 si Qi est ouvert avec i= 1,2), la

formulation Hamiltonienne, correspondant à la configuration 1 2 1u u , est donnée

par :

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Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

.

.

q

q EC

R E'

L

(7)

Cette formulation peut être étendue à une formulation Hamiltonienne Hybride

pour modéliser les systèmes physiques à commutations. Puisque le système considéré

est un système physique à topologie variable, il peut être représenté sous la forme

suivante :

.

( ( ) ( )) ( ). :H

x J u R u g u E avec u discretx

(8)

Pour ce faire, l’idée est d’exprimer les variables de puissance dans les

interrupteurs en fonction des variables de puissance des éléments de stockage et des

entrées à partir de la représentation entrée/sortie de la structure de Dirac donnée par

(6). Ceci est possible en passant par les équations constitutives des interrupteurs. Si on

pose 2 10, 1u u , on aura les relations suivantes :

'22

1 '1

'2 2

'11

0

0

0 '0

Q LQq

Q Q Cq

Q Q CQ

Q L

ii

U U

U U E Ei

i

(9)

Si on passe à la configuration 1 20, 1u u , on aura la nouvelle relation donnée

par (10).

2

1

'2

'1

0

0

0

0

Q

Q

Q

Q

U

i

i

U

(10)

La relation (11) donne la liaison entre (9) et (10), moyennant les variables

discrètes u1 et u2. Cette relation est valable pour toutes les configurations du système.

'2 2

'1 1

2 2

1 1

(1 )

.

(1 )( ' )

.

Q Lq

Q Cq

Q C

Q L

i u

U u

U u E E

i u

(11)

Ensuite, en remplaçant (11) dans (6) et en utilisant l’équation constitutive de

la résistance R, on obtient la formulation Hamiltonienne paramétrée suivante :

Page 40: application au convertisseur multicellulaire

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2 1

1 2 2 2

( ) ( ) ( )

0 0 0

1

.

.

J u R u g u

H

x

q

u uq EC

u u -R u u E'

L

(12)

Ainsi, les interrupteurs ne représentent pas des entrées/sorties pour le système

mais ils servent à paramétrer le modèle d’état standard. Cette méthode présentée dans

[MAG03] a permis d’obtenir un modèle d’état explicite standard pour tous les modes

de fonctionnement du système considéré. Ce système est une application intéressante

pour cette méthode.

2.2.2 Méthode des matrices d’incidence paramétrées [VAL05]

Dans ce paragraphe, une autre méthode de représentation mathématique du graphe

d’interconnexion de ports sous forme de matrices d’incidence paramétrées est

exposée. Cette formulation est appliquée au système à topologie variable donné par la

Fig. 4. Ce système présente des variations dans son interconnexion qui dépendent des

états des interrupteurs.

Objectif : méthode systématique pour obtenir une forme d’état implicite et

paramétrée par des variables discrètes, caractérisant toutes les configurations du

système physique à commutations.

L’idée est de procéder à la mise en équations sous forme de matrice

d’incidence, en mettant en évidence la notion de déconnexion-reconnexion associée à

la fermeture ou l’ouverture d’un interrupteur . Cette notion est traduite par des

matrices paramétrées en fonction des états de chaque interrupteur. Ces matrices

permettront, par la suite, de définir une matrice de transformation du graphe par

rapport à une configuration de référence qui doit être choisie en considérant que tous

les interrupteurs du système sont ouverts.

Cette méthode sera définie, en s’inspirant du principe de dualité ou de

symétrie entre les concepts effort-flux. En effet, à chaque élément, possédant des

propriétés en effort (respectivement en flux), est associé un autre élément possédant

les mêmes propriétés en flux (respectivement en effort) par le biais d’une relation de

bijection. Cette relation est traduite par l’association d’un nouveau graphe appelé dual

au graphe précédemment défini. Cependant, chaque cycle du graphe dual correspond à

un cocycle du graphe primal et vice versa. Ces graphes (Fig. 7) sont définis donc de la

façon suivante :

Notion du graphe primal: c’est un graphe G = (V, E) dessiné sur un plan (en trait plein)

de telle façon que ses branches ne se croisent qu’au niveau des nœuds.

Page 41: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 20

Notion du graphe dual: si le graphe G = (V, E) est planaire, on peut toujours lui associer

un graphe dual G* = (V*, E*) (en pointillés) où V* remplace une face définie par le

graphe primal et E* une branche qui relie deux nœuds du graphe dual.

V2 V4

V3V5 V6

V7

V1

eu1

eu2

e1 e3

e5

e4 eu’1

eu’2

e2

V1*

V4*

V3*V2*

e5*eu2*

e3*

eu1*

e4*

e2*

eu’1*

eu’2*

Fig. 7 Graphes primal et dual du convertisseur à 2 cellules de commutation

Il faut, maintenant, définir les notions de matrice d’incidence du graphe de

référence noté rG , de matrice de déconnexion-reconnexion du graphe dynamique noté

uG et de matrice de transformation. Le graphe de référence est associé à la

configuration de référence et ne contient pas les branches modélisant les interrupteurs

qui seront considérées comme virtuelles. Le graphe dynamique est un graphe complet

qui contient celles-ci. Ces branches sont illustrées par de traits fins sur le graphe

donné par la Fig. 7.

Matrice d’incidence : c’est une matrice de dimension ( )v en n (avec nv le nombre de

nœuds et ne le nombre de branches) où chaque ligne de la matrice correspond à un nœud

et indique les branches qui y sont connectées. On mettra un 1 si le nœud iv est un point

de départ pour la branche en question ou -1 s’il est le point d’arrivée. Si la branche n’est

pas connectée à ce point, on mettra 0. En l’occurrence, chaque colonne de la matrice

représente une branche qui relie deux nœuds différents. Fatalement, une colonne ne peut

contenir que deux éléments non nuls. Cette définition est illustrée par la relation

suivante :

-1 ( , )

( ) 1 ( , ) 1,...., 1,....,

0

Gj k i i k

Gj i k i k v e

si e v v avec v v

IM Gr si e v v avec v v i n et j n

sinon

(13)

Ainsi, les matrices d’incidence relatives aux graphes primal et dual sont

illustrées respectivement par les relations (14) et (15).

Page 42: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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-1 1 -1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

( ) 0 -1 0 0 0

0 0 0 -1 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 -1

IM Gr (14)

1 0 -1 0 -1

-1 -1 0 1 0( *)

0 1 1 0 1

0 0 0 -1 0

IM Gr (15)

Matrice de déconnexion-reconnexion : c’est une matrice notée ( , )kDR u kM G u de

dimension ( )v vn n (avec nv le nombre de nœuds et ne le nombre de branches) qui

dépend de l’état ku de l’interrupteur kQ avec 1,..., Qk n . Elle est définie par la

relation (16).

,

= ,

( , ) = ,.

0

k

k k

k u j i

DR u k i j k u j

u si e v v

M G u u si i j et e v

sinon

(16)

Cette matrice représente l’opération de déconnexion-reconnexion traduite par

le changement d’état d’un interrupteur donné. Cependant, il y aura autant de matrices

que d’interrupteurs. Les éléments de cette matrice seront tous nuls , sauf deux

composantes au niveau des deux lignes qui représentent les nœuds de départ et

d’arrivée de la branche modélisant l’interrupteur en question. Dans notre cas, la

matrice de déconnexion-reconnexion associée à l’interrupteur 2Q est donnée par :

2

2

2

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 - 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

DR

u

u

M (17)

Ainsi, toutes les matrices de déconnexion-reconnexion seront déterminées de

la même façon.

Page 43: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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Matrice de transformation : c’est une matrice qui dépend de ku et qui représente la

transformation du graphe de la configuration de référence noté rG à un graphe uG dans

une autre configuration donnée par l’état des interrupteurs.

1 1

( )( ) ( )( )

( , ) ( , ) ( , ) Q Q

i k j

Tk u nv DRk u k QT

n n

nv T u DR u k T ui k j k

M G u I M G u si k n

I M G u M G u M G u sinon (18)

La matrice de transformation totale sera le produit des matrices de

transformation relatives aux différents interrupteurs. Elle est définie par :

1( , ) ( , )

Q

k

n

T u T uk

M G u M G u (19)

La matrice d’incidence paramétrée du graphe primal est alors donnée par la

relation suivante :

1 2 2 1

1 2

2 2 1

2 2 1

2 1 1 1

-1 1 -1 0 0

1- 0 0 (1- ) 0

0 0 0 (1 )(1 ) 0

( )( ) ( )( ). ( ) 0 -1 0 -1 (1 )(1- )

0 0 0 - (1- )

0 0

0 0 1 0 -1

u T u r

u u u u

u u

IM G u M G u IM G = u u u

u u u

u u u u

(20)

De la même manière on peut déterminer la matrice d’incidence paramétrée du

graphe dual.

2 2 2 1 2

2 2 2 1 2

2 2 2 1

0 - ( -1) -

0 -1 -1 (1- ) -1( *)( )

- 1- 1 - 1

0 0 0 0 0

u u u u u

u u u u uIM Gu u

u u u u (21)

Ensuite, la structure de Dirac correspondante est donnée par :

( )( ) 00

0 ( *)( ) IM Gu u

pf peIM Gu u

(22)

T T. .

' ; 'q

f E E R e RL Cavec p i i i q p E E u

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Cette représentation est appelée structure de Dirac hybride paramétrée. C’est

une représentation globale non minimale du système physique considéré. Cette

représentation devient minimale par mode de fonctionnement. A chaque commutation,

un modèle d’état explicite peut être déterminé en remplaçant les états des interrupteurs

dans la structure par leurs valeurs.

Ces deux méthodes partent donc du principe de représenter le système

physique à commutations par un ou des graphes qui seront interprétés

mathématiquement par des méthodes différentes qui conduisent :

soit à une représentation minimale explicite paramétrée en fonction des états des

interrupteurs, pour l’ensemble des configurations pour lesquelles c’est possible,

soit à une représentation non minimale paramétrée pour toutes les configurations,

dont la dimension et les vecteurs pe et pf sont communs. Pour chaque mode de

fonctionnement, une représentation minimale est obtenue en éliminant les équations

redondantes.

2.3 Bond Graph commuté

Généralement, le formalisme Bond Graph est utilisé pour modéliser les systèmes

physiques continus [DAU00] [KAR90]. Il s’agit d’une représentation graphique

[PAY61], indépendante du domaine d’application pour être un support de

communication entre des spécialistes de disciplines différentes, qui permet de

modéliser le système physique en se basant sur les considérations énergétiques. Cette

approche de modélisation est de plus en plus utilisée pour représenter les SDH et ses

différentes classes, en l’occurrence les systèmes physiques à topologie variable. D’où

l’appellation de Bond Graph commuté pour désigner la modélisation par Bond Graph

des systèmes en commutation [KAR85]. Ainsi, tout système physique à topologie

variable peut être modélisé par le Bond Graph générique donné par la Fig. 8.

Structure de jonction

(0,1,MTF,MGY)R

I

C

Sw

Se,Sf

Fig. 8 Bond Graph générique

Page 45: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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2.3.1 Approche à topologie fixe

Dans cette approche, les éléments en commutation sont modélisés, soit par des

résistances variables, soit par des transformateurs. L’équation d’état du système reste

inchangée, quelque soit la configuration du système. Il s’agit d’une équation d’état

unique à paramètres variables. A chaque commutation, il n’y a que les lois

caractéristiques des éléments en commutation qui changent [MOS97].

2.3.1.1 Modèle à résistance variable

Pour ce modèle, l’élément en commutation a une caractéristique double qui dépend de

l’état de l’élément à chaque commutation. Il est modélisé par une résistance variable

qui passe instantanément d’une très faible valeur (considérée comme nulle) , lorsque

l’interrupteur est fermé, à une très grande valeur (considérée comme infinie), lorsqu’il

passe à l’état ouvert [CAS90]. Cependant, deux types de causalité peuvent être définis

pour cet élément : la causalité résistance ou source d’effort, traduite par la relation

e Rf et la causalité conductance ou source de flux traduite par la relation 1f eR

.

2.3.1.2 Modèle à transformateur

Dans ce modèle, l’interrupteur est représenté par une résistance de valeur inchangée R

associée avec un transformateur de rapport m qui change à la commutation [DAU89].

Comme le modèle précédent, deux causalités différentes sont envisageables : une

causalité source d’effort, traduite par la relation 2e m Rf et une causalité source de

flux, traduite par 2

1f em R

.

Ces deux modèles ont l’avantage de conduire à un modèle d’état unique ,

quelle soit la configuration choisie des éléments en commutation. Toutefois, leur

inconvénient réside dans les difficultés numériques qu’ils peuvent poser en simulation

et dans le fait qu’ils ne permettent pas de modéliser les interrupteurs idéaux.

2.3.2 Approche à topologie variable

Dans cette approche, l’interrupteur est considéré comme une source. Toutefois, la

causalité de l’interrupteur change selon son état. Ce changement peut provoquer un

changement au niveau des équations d’état et de leur ordre. Pour éviter ce changement

d’ordre, les chercheurs ont pensé à associer, à l’interrupteur modélisé par une source

d’effort ou de flux, une résistance [ASH89], pour permettre aux éléments de stockage

de garder leur causalité intégrale et donc ne pas changer l’ordre du système . Dans le

chapitre suivant, nous allons nous intéresser à l’application de cette approche à un

système électronique de puissance, en l’occurrence un convertisseur statique.

Page 46: application au convertisseur multicellulaire

Modélisation des Systèmes Dynamiques Hybrides Chapitre1

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3 Conclusion

Dans ce chapitre, après un rappel sur les systèmes dynamiques hybrides (SDH) et ses

différentes classes, deux grandes approches de modélisation ont été exposées. Ce sont

deux approches formelles qui reposent sur une démarche systématique, permettant de

synthétiser un modèle paramétré en fonction des états des éléments en commutation.

Pour la méthode des graphes d’interconnexion des ports, ce modèle est, soit explicite

standard paramétré, soit implicite standard paramétré et qui devient explicite par mode

de fonctionnement. En ce qui concerne la méthode des Bond Graph commutés, il faut

bien noter que la topologie de l’approche utilisée est différente de la topologie du

système physique considéré qui est, dans notre cas, à topologie variable. L’approche à

topologie fixe permet de modéliser le système avec un seul modèle à topologie

invariante, en utilisant des éléments qui caractérisent le changement d’une

configuration à une autre (la valeur de la résistance change d’un mode de

fonctionnement à un autre), d’où l’appellation de topologie fixe. La deuxième

approche, est détaillée dans le chapitre suivant.

Page 47: application au convertisseur multicellulaire
Page 48: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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Chapitre2 Bond Graph commuté: approche à topologie variable

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Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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1 Introduction

Dans ce chapitre, différentes méthodes de l’approche des Bond Graph commutés à

topologie variable seront présentés. Elles permettent d’analyser et modéliser les SDH

par les formalismes Bond Graph, en représentant les éléments en commutation, qui

modifient la topologie du système, par des sources d’efforts ou de flux nuls, selon le

mode de fonctionnement du système [STR94].

Cette approche sera appliquée, respectivement sur le convertisseur à deux

cellules de commutation donné par la Fig. 4, le convertisseur à trois cellules de

commutation, débitant sur une charge passive RL (Fig. 12) et sur le même

convertisseur, alimentant une machine à courant continu (Fig. 14). Pour chaque mode

de fonctionnement, le modèle Bond Graph correspondant est tout d’abord donné, puis

le modèle sera calculé à partir des relations liant les différents composants du modèle.

2 Modélisation explicite par mode de configuration

Cette méthode sera appliquée sur le convertisseur à deux cellules de commutation

donné par la Fig. 4.

2.1 Première configuration

Dans la suite, on notera 0,1ju , l’état des interrupteurs jQ . Lorsque l’interrupteur

Qj est fermé 1ju , dans le cas où l’ interrupteur jQ est ouvert 0ju .

2.1.1 Etablissement de la relation structurelle

Pour la configuration 1 2 1u u , le Bond Graph du système est donné par la Fig. 9.

On note que les interrupteurs Q2 et Q1 sont modélisés par des sources

d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q’2 et Q’1 sont modélisés par des

sources de flux nuls (état ouvert). Dans la suite, on va identifier les différents

éléments qui vont nous permettre de modéliser le système étudié.

Pour ce faire, on note [BUI93a] :

Page 51: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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1Se:EE

1 5O

101

Q2:1 Q1:1

1Se:E'3

O11

16

E'

Q'2:0 Q'1:0

1

7

8

C:C 0

15

14

1

R:R

I:L

16

17

18

2

4

9

12

13

Fig. 9 Représentation Bond Graph pour la configuration de référence choisie

Pour les éléments de stockage :

18

9

pX

i q ; vecteur d’état composé des variables d’énergie en causalité intégrale

(moment généralisé noté p dans les éléments I et le déplacement généralisé noté q

dans les éléments C).

18

9

fZ

i e; vecteur d’état complémentaire composé des variables de puissance (flux

f dans les éléments I et l’effort e dans les éléments C).

18

9

.

i

eX

f

La relation .Z F Xi i

décrit les composants de stockage d’énergie. Dans notre cas,

cette relation est décrite par : 18 18

9 9

1 0

.1

0 C

f pL

e q

Pour les éléments dissipatifs :

17 inD f et 17outD e représentent respectivement les variables en entrée et en

sortie des éléments R.

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Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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.out inD d D . Dans notre cas, cette relation est décrite par : 17 17.e R f

Pour l’entrée :

'

EU

E ; vecteur composé des sources du système physique.

Pour les cellules de commutation :

2

12

4

13

outm

e

eS

f

f

: vecteur composé des variables des sources d’effort ou de flux nuls.

La méthode consiste à exprimer i

in

X

Den fonction de

i

outoutm

ZD

SU

. Pour obtenir le modèle

d’état, on peut identifier les matrices d’état et de commande à partir de la forme

structurelle suivante :

11 12 13 13

21 22 23 23

.

.

i

out

outm

in

Z

DS S T SX

S S T S SDU

(23)

Avec 13

23

TT

T une matrice qui dépend de l’état des interrupteurs.

2.1.2 Détermination des éléments de la forme structurelle

L’étape suivante est donc de déterminer les éléments de la forme structurelle.

Généralement, ces éléments sont déduits à partir des équations mathématiques liant les

variables d’entrée et de sortie. Ce travail est à refaire pour chaque mode de

fonctionnement du système physique. Pour remédier à ces calculs fastidieux, l’idée est

de chercher un moyen plus rapide pour retrouver la forme structurelle à chaque

commutation, pour pouvoir identifier les matrices d’état et de commande à partir des

matrices de jonctions calculées. Pour ce faire, une nouvelle approche a été développée

dans cette thèse [TRA08a], dont le principe est d’établir, entre deux éléments reliés

par un chemin causal, les relations effort-effort et flux-flux de la manière suivante :

Relation entre source et élément de stockage :

Page 53: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 32

Si on raisonne sur la variable effort : on part de la source vers l’élément en question

et on compte le nombre de changements n1 de sens de la causalité par rapport au

sens du transfert de puissance (sens des demi-flèches) sur les jonctions 1.

Si on raisonne sur la variable flux : on part de la source vers l’élément en question et

on compte le nombre de changements n2 de sens de la causalité par rapport au sens

du transfert de puissance (sens des demi-flèches) sur les jonctions 0.

1 2( 1) et ( 1)n ne E f I (24)

Relation entre les éléments de stockage :

Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément C vers l’élément I et on

compte le nombre de changements n3 de sens de la causalité par rapport au sens du

transfert de puissance sur les jonctions 1.

3( 1)n

I Ce e (25)

Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément I vers l’élément C et on

compte le nombre de changements n4 de sens de la causalité par rapport au sens du

transfert de puissance sur les jonctions 0.

4( 1)n

C If f (26)

Relation entre l’élément de stockage C et l’élément résistif R:

Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément C vers l’élément R et on

compte le nombre de changements n5 de sens de la causalité par rapport au sens du

transfert de puissance sur les jonctions 1.

5( 1)n

R Ce e (27)

Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément R vers l’élément C et on

compte le nombre de changements n6 de sens de la causalité par rapport au sens du

transfert de puissance sur les jonctions 0.

6( 1)n

C Rf f (28)

Relation entre l’élément de stockage I et l’élément résistif R:

Si on raisonne sur la variable effort : on part de l’élément R vers l’élément I et on

compte le nombre de changements n7 de sens de la causalité par rapport au sens du

transfert de puissance sur les jonctions 1.

7( 1)n

I Re e (29)

Page 54: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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Si on raisonne sur la variable flux : on part de l’élément I vers l’élément R et on

compte le nombre de changements n8 de sens de la causalité par rapport au sens du

transfert de puissance sur les jonctions 0.

8( 1)n

R If f (30)

Ainsi, on peut déterminer les éléments Sij de la relation structurelle. Dans

notre cas, on trouve la relation suivante :

18

9

17

18 2

9 12

17 4

13

0 0 -1 1 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 -1 1 0 0 .

1 0 0 0 0 0 0 0 0

'

f

e

e

e e

f e

f f

f

E

E

(31)

.

11 12 13 13

21 22 23 23

out

i i out m

outin i out m

X S Z S D T S S U

D S Z S D T S S U

(32)

Si on remplace iZ par . iF X dans (32) et on utilise .out inD d D pour exprimer

outD en fonction deout

m, et X S U , on aura un modèle d’état sous la forme suivante :

outi i out mX AX BU B S (33)

Avec : 1

11 12 21 22 13 12 23. . . . , . , . . .A S S K d S F K I d S B S S K d S

Donc on aura :

1 00; ; 0

0 00 0

outout m

R

A B B SL

Donc pour cette configuration, en permutant l’ordre des variables d’état, on

aura le modèle d’état explicite suivant :

0 00 0

1 00

.

.

q q ER

E'-L

(34)

Ce modèle peut être exprimé sous forme de la formulation Hamiltonienne

hybride donnée par (8) avec 1 2 1u u .

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2.2 Changement de configuration

Pour la configuration 1 21, 0u u , le Bond Graph du système est donné par la Fig.

10.

On note que les interrupteurs Q1 et Q’2 sont modélisés par des sources

d’efforts nuls (état fermé), alors que les interrupteurs Q2 et Q’1 sont modélisés par des

sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ, qui présente des modifications par

rapport à la première configuration, est le champ outmS . Le nouveau vecteur est défini

par :

2

12

4

13

outm

f

eS

e

f

1Se:E O 1

Q2:0 Q1:1

1Se:E' O 1

Q'2=1 Q'1=0

1 C:C 0 1

R:R

I:L

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18

Fig. 10 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration

Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par :

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18

9

17

18 2

9 12

17 4

13

0 1 -1 0 1 1 0 0 -1

-1 0 0 1 0 0 1 0 0 .

1 0 0 0 0 0 0 0 0

'

f

e

e

e f

f e

f e

f

E

E

(35)

En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le

modèle d’état suivant :

10

0 0

1 0 1

.

.

-q q EL

R - E'-

C L

(36)

Ainsi, tous les modèles d’états relatifs aux différentes configurations peuvent

être déterminés (voir Annexe A). Ceci présente un inconvénient majeur pour cette

méthode surtout lorsque le nombre de modes de fonctionnement est grand

(convertisseurs série à plusieurs cellules de commutation). Dans la suite on va

s’intéresser à une approche des Bond Graph commutés qui permet d’éviter ces calculs

fastidieux.

3 Modélisation implicite standard [BUI96]

Dans cette partie, le travail de modélisation consiste à rechercher une forme implicite

qui englobe tous les modes de fonctionnement du système et d’en déduire l’équation

d’état, suivant la configuration du circuit électrique en commutation. Cette méthode

est basée sur les changements de causalités des éléments de stockages d’énergie, les

interrupteurs et les éléments dissipatifs. Donc, on peut tolérer le passage de certains

éléments de stockage de la causalité intégrale à la causalité dérivée . Mais dans le cas

des convertisseurs statiques, les éléments de stockage d’énergie seront toujours en

causalité intégrale, indépendamment de la configuration du système. En effet, partant

du principe que la configuration de référence doit maximiser les éléments de stockage

en causalité intégrale, tout mode de fonctionnement peut être considéré comme une

configuration de référence.

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Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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3.1 Formulation implicite de l’équation de structure de jonction

Les éléments constitutifs d’une représentation Bond Graph générale d’un circuit

électrique peuvent être regroupés en cinq ensembles appelés champs conformément à

la Fig. 11. Ce sont :

Un champ d’éléments produisant l’énergie et constitué des sources d’effort ou de flux

(Se et Sf).

Un champ d’éléments stockant l’énergie et constitué des éléments capacitifs C et

inductifs I (représentée par les deux blocs : Causalité intégrale et causalité dérivée).

Un champ d’éléments dissipant de l’énergie et constitué des éléments résistifs R.

Un champ d’éléments de commutation constitué des interrupteurs Sw.

Un champ d’éléments répartissant l’énergie et constitué des jonctions de type 0 ou 1,

ainsi que des éléments de type transformateur ou gyrateur modulés (MTF et MGY) ou

non (TF et GY). Ce champ est appelé structure de jonction.

Fig. 11 Vue d’ensemble d’une représentation Bond Graph

Avec, pour les circuits électriques :

Xi : vecteur composé des variables d’énergie dans les éléments en causalité intégrale (le

flux magnétique dans les éléments I et la charge pour les éléments C).

Zi : vecteur composé des variables de puissance conjugués (tension pour les éléments C

et courant pour les éléments I).

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Xd : vecteur composé des variables d’énergie dans les éléments en causalité dérivée.

Zd : vecteur composé des variables de puissance conjuguées.

Di et Do représentent les variables de puissance sortant et rentrant dans le champ R.

U : vecteur composé des variables imposées par les sources.

V : vecteur composé par les autres variables de puissance de telle sorte que VTU

représente la puissance fournie par les sources.

Ti : composé des variables imposée par les interrupteurs dans la configuration choisie :

les flux quand ils sont ouverts et les efforts quand ils sont fermés.

To : composé des autres variables de puissance dans les interrupteurs : les efforts quand

ils sont ouverts et les flux quand ils sont fermés.

A chaque commutation, les variables imposées par les interrupteurs changent.

Ce changement provoque le changement de causalité, pour certains éléments, mais pas

pour les éléments de stockage, dans le cas des convertisseurs statiques, comme il a été

déjà mentionné.

Les interrupteurs étant dans une configuration donnée, chaque sortie de la

jonction .

( , , , )i d o oX Z D T peut s’écrire en fonction de toutes les entrées.

( , , , )d i i iX Z D T .

Ces relations peuvent être regroupées dans l’équation implicite suivante:

11 13 14 1512.

12 24 25

.

13 33 34 35

24 14 34 44 45

0 0 0

0 0 00 0

0 0 0 0

0 0 0

i

dT

ii

oT

idT T T o

ZS S S SI S Z

DS I S SXD

S S I S S TXTS S S S I SU

(37)

Cette équation est appelée forme standard implicite. La relation liant le

vecteur d’entrée au vecteur de sortie peut contenir des matrices identités, nulles ou

quelconques. Ces dernières sont composées de 0, ±1 et des coefficients des gyrateurs

et des transformateurs.

La matrice identité de la première ligne permet de définir le vecteur.

iX , celle

de la deuxième ligne définit Zd, celle de la troisième Do et celle de la quatrième To.

Ainsi cette équation peut être simplifiée, vu que les composantes des éléments en

causalité dérivée sont toutes nulles, et écrite de la manière suivante :

.

11 13 14 15

13 33 34 35

14 34 44 45

ii

iTo

iT To

ZS S S SX

DD S S S S

TT S S S S

U

(38)

On note que cette équation est algébriquement correcte pour toutes les

configurations du système en commutation. Cette relation sera différente d’un mode

Page 59: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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de fonctionnement à un autre et elle permettra de déduire le modèle d’état explicite

pour chaque configuration.

En se référant à la représentation Bond Graph donné par la Fig. 9 et en

considérant la configuration 1 2 1u u comme configuration de référence, on définit :

2 2

18 18 4 417 17

9 9 12 12

13 13

; ; ; ; ; ;'

i o i o

e f

p f f e EXi Zi D e D f T T U

q e e f E

f e

Les éléments Sij sont déduits en appliquant la méthode définie précédemment.

Donc, on obtient la relation suivante :

18

9

17

2

4

12

13

0 0 -1 1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 -1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 -1 0 0 0 0

0 -1 0 1 0 0 0 1 1

1 0 0

e

f

f

f

e

f

e

18

9

17

2

4

12

130 0 0 -1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0

'

f

e

e

e

f

e

f

E

E

(39)

3.2 Equation d’état de la configuration de référence

Pour trouver l’équation d’état de la configuration de référence, on définit la relation

constitutive du champ R et la relation constitutive des champs I et C (stockage).

La relation constitutive du champ R (éléments résistifs) s’écrit :

.i oD d D

Avec d une matrice diagonale positive qui représente la relation entrée/sortie

du champ R.

Dans un cas linéaire, la loi constitutive pour les champs de stockage I et C

s’écrit :

.ii i

Td dd

F FZ X

Z XF F (40)

Avec F une matrice symétrique positive.

En effectuant les simplifications nécessaires, on peut déduire l’équation

suivante pour la configuration de référence choisie :

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Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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.

15 13 3512

.2512 12

133

11 13 13

0 0

Avec ( )

( )

i i i

T T Tdi d

d

T

KF KF X S S HSI S XU

X SS F F S F FX

H d I dS

K S S HS

(41)

Vu que tous les éléments de stockage sont en causalité intégrale, l’équation

d’état peut être écrite sous la forme suivante :

.

15 13 35. ( )i iXi K F X S S HS U (42)

Pour le convertisseur à deux cellules de commutations, le modèle d’état pour

la configuration de référence choisie est donné par :

.

.

0 0 0 0

1 0 '0

q q ER

EL

(43)

Donc, on retrouve le modèle d’état obtenu par la première méthode pour la

même configuration de référence.

3.3 Détermination des configurations acceptables

Partant de la configuration de référence qui peut être choisie d’une façon aléatoire, il

est nécessaire de vérifier pour chaque commutation, si la nouvelle configuration est

physiquement réalisable. En général, dans un système, toutes les configurations ne

sont pas acceptables. Certaines ne respectent pas les lois de Kirchhoff. Pour vérifier

cette acceptabilité, il faut tout d’abord définir une matrice des états des interrupteurs

qui changera à chaque commutation. Ensuite, un test de rang permettra de conclure

quant à l’acceptabilité de la configuration.

La matrice des états des interrupteurs est définie en établissant la relation

entre les nouveaux vecteurs Ti’ et To’ après chaque changement de mode en fonction

de Ti et To. Cette relation est définie par :

'

'

i i

o o

T TI

T TI (44)

On définit comme une matrice carrée diagonale SW SWn nR Ses éléments

diagonaux valent 1 si l’interrupteur correspondant a commuté 0 sinon.

Si k est le nombre d’interrupteurs ayant commuté, la nouvelle configuration

peut aussi être définie par SWk nR , issue de par suppression de toutes ses lignes

nulles. Donc on aura :

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Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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T

TI

(45)

Une fois la matrice est définie, une configuration n’est considérée

acceptable que si et seulement si :

kSSSrangTTT))(( 443414

Ce test de rang permet aussi de préciser les éléments qui vont changer de

causalité. Si rang de 44TS k , la causalité n’est modifiée que pour les

interrupteurs. Si rang de 44TS k mais rang de 34 44( ( ))T TS S k , alors la

causalité d’éléments R change également. Dans les autres cas, certains éléments de

stockage perdent leur causalité intégrale.

Ce principe va être appliquée pour tester l’acceptabilité de la configuration

choisie dans la section 1.2 ( 1 21, 0u u ). Pour cette configuration, on note la

commutation des interrupteurs Q2 et Q’2. Donc, la matrice des états des interrupteurs

sera définie par :

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(46)

Cette configuration est acceptable puisque 14 34 44( ( )) 2T T Trang S S S

qui est le nombre des interrupteurs qui ont commuté.

3.4 Changement de configuration et conséquence sur la forme

standard implicite

Pour chaque commutation, les interrupteurs changent de causalité. Ce changement se

répercute sur les autres éléments du Bond Graph. Pour les convertisseurs statiques, ce

changement de causalité n’est présent qu’au niveau des jonctions, des éléments

résistifs, des transformateurs et des gyrateurs. Donc, les éléments Sij, constitutifs de

l’équation d’état, vont changer en fonction des nouveaux vecteurs. Ces matrices

peuvent être déduites directement, en utilisant la matrice des états des interrupteurs

qui correspond à la nouvelle configuration, à partir des équations suivantes :

1 1 111 11 14 14 13 13 14 34 15 15 14 45

1 133 33 34 34 35 35 34 45

1 144 44

( ) ; ( ) ; ( )

( ) ; ( )

( ) ( )

T T

T

T T

S S S S S S S S S S S S

S S S S S S S S

I I S S

(47)

Si on applique ces équations pour la configuration 1 21, 0u u , on trouve le

modèle d’état explicite suivant :

Page 62: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 41

10

0 0

1 0 1

.

.

-q q EL

R - E'-

C L

(48)

Ceci rejoint le résultat obtenu dans (36). Ainsi, on peut déterminer les

différents modèles explicites correspondants aux différents modes de fonctionnement

du système étudié.

4 Modélisation explicite standard

4.1 Principe de la méthode

Le principe de cette méthode est de définir une équation d’état standard qui permet

d’expliciter un modèle d’état hybride. Le terme hybride signifie que les matrices

d’état et de commande sont exprimées en fonction de la commande des éléments en

commutation.

4.2 Application à l’onduleur monophasé débitant sur une charge RL

Cette méthode sera appliquée sur le convertisseur à trois cellules de commutation

débitant sur une charge RL (Fig. 12).

La première étape consiste à choisir une configuration de référence qui

maximise les éléments de stockage en causalité intégrale. La configuration choisie est

telle que les interrupteurs Q3, Q2 et Q1 sont ouverts. La représentation Bond Graph,

correspondant à cette configuration, est donnée par la Fig. 13.

Page 63: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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E

R

L

E2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

E’

C2 C1

Fig. 12 Convertisseur à 3 cellules de commutation débitant sur une charge RL

1Se:E1

O 1

Q3:0 Q2:0

1Se:E' O 13

Q'3=1 Q'2=1

1

Ic

C:C2 0

23

24

1

R

I:L

25

I

26I

I 27

1

Q1:0

1

Q'1=1

C:C1

O

O

1

2

5 10 14 19

12 21

7

9

8

6

4

11 15 20

18

16

17

13 22

Fig. 13 Représentation Bond Graph du convertisseur à trois cellules de commutation

Ensuite, il faut déterminer les vecteurs en entrée et en sortie de la structure de

jonction. Ces vecteurs sont donnés par :

2 2

4 427 27

12 129 9 26 26

13 1318 18

21 21

22 22

; ; ; ; ; ; '

i i i o o i

e f

f ep f

e f EX q Z e D e D f T T U

f e Eq e

e f

f e

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Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

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L’étape suivante consiste à déterminer la relation liant les vecteurs d’entrée

aux vecteurs de sortie de la structure de jonction. Cette relation est donnée par:

0 0 0 -1 0 1 0 1 0 1 0 -1

0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 -1

1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0

0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

e27

f9

f18

f26

e2

=f4

e12

f13

e21

f22

f27

e9

e18

e26

f2

e4

f12

e13

f21

e22

E

E'

(49)

L’originalité de l’idée proposée dans cette partie, est de pouvoir déterminer

un modèle d’état explicite standard englobant toutes les configurations du système. Ce

modèle est déduit à partir d’une équation d’état calculée en fonction des données de la

configuration de référence et de la matrice des états des interrupteurs. En effet, il faut

exprimer cette équation d’état en fonction des commandes appliquées sur les éléments

en commutation. Pour ce faire, l’idée est d’exprimer la matrice des états des

interrupteurs, en fonction de ces commandes. Habituellement, un élément diagonal de

cette matrice prend un 1, si l’élément correspondant a commuté, ou 0, sinon. Donc,

pour l’exemple du convertisseur à trois cellules de commutation, si on prend comme

configuration de référence 1 2 3 0u u u , on peut mettre directement la commande

appliquée sur les interrupteurs au niveau des éléments diagonaux de la matrice. En

conséquence, lorsqu’un interrupteur commute, l’élément prend un 1 qui correspond à

la commande appliquée sur cet élément de commutation. Donc pour cette

configuration de référence, la matrice est définie comme suit :

3

3

2

2

1

1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

u

u

u

u

u

u

(50)

Ensuite, l’équation d’état sera écrite en fonction de cette matrice de la

manière suivante :

.

15 13 35. ( ( ) ( ) ( ))i iXi K F X S S HS U (51)

Page 65: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 44

Cette équation est valable pour toutes les configurations du système. Pour

chaque mode de fonctionnement, il suffit de remplacer les commandes ju appliquées

sur les interrupteurs par leurs valeurs pour trouver le modèle d’état correspondant. A

partir de cette équation, on peut donc déduire le modèle d’état explicite standard

suivant :

2 1

11

3 22 2

3 32 31 2

1 2

0 0

0 0

0 0 0 0

1'

-.

L

. -= +

L. ---

-

u u

qq

Eu uq q

Eu u

u uu u R

C C L

(52)

Ce modèle englobe les variables continues et discrètes du système. Il

représente l’aspect hybride du système considéré .

4.3 Application à l’onduleur monophasé alimentant une MCC

Dans cette partie, la modélisation explicite standard sera appliquée au convertisseur à

trois cellules de commutation, alimentant une MCC donné par la Fig. 14.

E

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

E’

C2

Fig. 14 Convertisseur à 3 cellules de commutation alimentant une MCC

La MCC sera ensuite utilisée en fonctionnement moteur et sera alimentée par

la tension de sortie du convertisseur. Les équations caractéristiques de la machine à

courant continu, pour ce fonctionnement, sont données par :

Page 66: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 45

..

. .

.

E kCem k I

dIU R I L E

dtd

J Cem f Crdt

(53)

Généralement, la représentation Bond Graph d’une machine à courant continu

est donnée par la Fig. 15.

Pour le moteur considéré, la constante de temps mécanique (J/f) est de l’ordre

de 175ms alors que la constante de temps électrique (L/R) est de l’ordre de 10ms.

Donc la dynamique du courant est très rapide par rapport à celle de la vitesse dans le

régime transitoire et la séparation des modes mécaniques et électriques est possible.

Par conséquent, on peut considérer que la vitesse du moteur varie peu sur un pas de

calcul. Pour cette raison, la vitesse du moteur sera considérée comme constante sur

une période.

Ainsi, lors de la modélisation, on va considérer que l’équilibre mécanique est

établi et on ne prendra pas compte de l’inertie J et du frottement f. La vitesse du

moteur sera considérée comme une entrée et elle sera présentée par une source de

flux. Le modèle Bond Graph de l’ensemble convertisseur-moteur est donné par la Fig.

16.

Se:U 1

R:R

I:L

Se:CrGy

k

R:f

I:J

1U E Cem Cr

I I ΩΩ

Ω

Fig. 15 Représentation Bond Graph d’une MCC

Page 67: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 46

1Se:E

2

1 5 O 10 1

Q3:1 Q2:1

1Se:E'

4

O 13 6 11

Q'3:0 Q'2:0

1

7

8

C:C2

12

O

1

O 1

1

Q'1:0

C:C1

Q1:1

O 1

R:R

I:L

9

13

14

15

16

171

18

19

20

22

24

23

25

26

27

21

Sf:ΩGy:k

Fig. 16 Bond Graph du convertisseur à trois cellules alimentant une MCC

Cette représentation permet de définir les vecteurs suivants :

2 2

4 427 27

12 129 9 26 26

13 1318 18

21 21

22 22

; ; ; ; ; ; 'i i i o o i

e f

f ep f E

e fX q Z e D e D f T T U E

f eq e

e f

f e

L’étape suivante consiste à définir les relations entre les vecteurs d’entrée de

la structure de jonction et les vecteurs de sortie. Ces relations sont donnée par :

0 0 0 0 -

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -1 1 1 1 0 -1

0 1 -1 0

0 0 1 -1

1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 -1 -1

1 -1 0 0

-1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 -1 0

0 -1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 -1

27 kf9

f18

f26

e2=

f4

e12

f13

e21

f22

e

27

9

18

26

2

4

12

13

21

220

0

'

f

e

e

e

f

e

f

e

f

e

E

E

(54)

Page 68: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 47

Cette relation permettra de déterminer, à partir de l’équation d’état

paramétrée en fonction de la matrice des interrupteurs, le modèle d’état explicite

standard suivant :

2 1

11

3 22 2

3 32 31 2

1 2

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 '

1

-.

L

. -= +

L.

---

u u

qEq

u uq q E

u u ku uu u R

C C L

(55)

5 Conclusion

L’approche présentée dans ce chapitre est applicable aux dispositifs composés d’un

système continu commandé par un modulateur d’énergie possédant un nombre fini de

configurations. Ces configurations sont déterminées, selon l’état des éléments en

commutation du modulateur. Dans le cas des convertisseurs statiques, ces éléments

sont composés de diodes, transistors et de thyristors. Dans le contexte du formalisme

Bond Graph exposé, ces éléments sont modélisés par des sources nulles. A chaque

mode de fonctionnement, ces sources changent de causalité et ce changement se

répercute sur la causalité des autres éléments constitutifs de la représentat ion Bond

Graph. Selon les méthodes, ces changements peuvent alors avoir des répercussions sur

l’équation d’état du système.

Dans ce contexte, la première méthode exposée permet de définir une

équation d’état pour chaque mode de fonctionnement. Ceci représente un

inconvénient, puisqu’on est obligé d’établir un Bond Graph pour chaque configuration

et de refaire les calculs pour chaque représentation. Dans le cas des convertisseurs

multicellulaires à n cellules de commutation, il existe 2n configurations possibles, ce

qui rend cette méthode peu utilisable pour ces structures.

La deuxième méthode propose une forme standard implicite calculée

formellement après une mise en équations tenant en compte de la causalité affectée

pour une configuration appelée configuration de référence. Cette configuration est

choisie pour qu’elle maximise le nombre d’éléments de stockage en causalité

intégrale. A partir de cette forme standard, l’équation d’état paramétrée est calculée à

chaque commutation, en fonction d’une matrice des états des interrupteurs définie,

pour en déduire le modèle d’état explicite correspondant.

La troisième méthode proposée présente une extension de la méthode de

formalisation standard implicite. L’idée proposée est de paramétrer la matrice des

états des interrupteurs directement en fonction de la commande appliquée aux bornes

des éléments en commutation. Ceci permet d’avoir une équation d’état paramétrée

standard et par conséquence un modèle explicite standard paramétrée en fonction de la

Page 69: application au convertisseur multicellulaire

Bond Graph commuté : approche à topologie variable Chapitre2

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des scienc es appliquées de Lyon 48

commande appliquée aux interrupteurs, ce qui reflète la nature hybride du système

considéré.

Les avantages et les inconvénients de chaque méthode sont résumés par le

tableau suivant :

Avantages Inconvénients

Modélisation

explicite par mode Simple Un Bond Graph par

configuration

Longue

Modélisation

implicite standard Un seul Bond Graph

Forme implicite standard

Un modèle pour chaque

configuration

Calculs complexes

Modélisation

explicite standard Un seul Bond Graph

Modèle explicite standard

Calculs complexes

Tableau 1 Caractéristiques des différentes méthodes de modélisation appliquées

Page 70: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 49

Chapitre3 Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé

Page 71: application au convertisseur multicellulaire
Page 72: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 51

1 Introduction

Le chapitre précédent a traité de la modélisation des SDH par la méthode des Bond

Graph commutés. Cette méthode a été appliquée sur un convertisseur multiniveaux

associé à une charge passive de type RL, puis alimentant un moteur à courant continu.

Dans ce chapitre, le but est de proposer des lois de commande permettant le contrôle

de ces dispositifs.

Tout d’abord, un tour d’horizon des commandes les plus utilisées pour le

contrôle des convertisseurs multicellulaires est effectué. Ensuite, après un rappel sur

les principales approches de la commande prédictive, deux techniques de commande à

aspect prédictif sont proposées et détaillées, en l’occurrence une commande

monocoup et une commande à base d’inversion de modèle. La première technique est

comparée, en simulation, avec une commande classique de type PI faisant appel à une

stratégie de MLI intersective. Elle est ensuite associée à un observateur adaptatif

interconnecté pour l’estimation des tensions aux bornes des condensateurs. Ces deux

lois de commandes sont testées en simulation et validées sur un banc expérimental.

2 Rappel sur les approches de commande des convertisseurs multicellulaires

Comme nous l’avons évoqué dans les paragraphes précédents, les convertisseurs

multicellulaires constituent une classe particulière des SDH. Pour commander ces

systèmes, les automaticiens se sont basés sur les approches développées pour les

systèmes continus et les systèmes à événements discrets.

Les commandes les plus classiques pour contrôler les convertisseurs

multicellulaires demeurent les commandes faisant appel à la modulation à largeur

d’impulsions (MLI) [BHA96]. Dans ces approches, le signal modulant est donné par

un correcteur et les ordres de commande des composants de puissance (interrupteurs)

sont produits par une stratégie de modulation de largeur d’impulsions (Fig. 17). Ces

ordres de commande sont générés par l’intersection entre une porteuse triangulaire et

le signal modulant dans le cas d’une MLI intersective. Le signal de commande change

donc d'état à chaque intersection de la porteuse et de la modulante.

D’autres approches de commande ont été proposées en considérant les

valeurs des rapports cycliques comme grandeurs de commande des convertisseurs.

Parmi ces méthodes, deux approches de commande découplante [GAT97] [TAC98],

qui reposent donc sur des modèles aux valeurs moyennes, dont le principe est de

découpler les grandeurs d’entrée (rapports cycliques) et les grandeurs de sortie

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 52

(variables d’état) afin de limiter l’influence de la variation d’une entrée à la variation

d’une seule variable d’état. La première approche est une commande découplante avec

retour d’état linéaire [TAC98]. L’autre approche est une commande découplante non

linéaire [GAT97]. Les deux approches partent sur le même principe de découplage,

mais une linéarisation autour d’un point de fonctionnement est nécessaire pour la

première méthode. Cette méthode représente un inconvénient majeur dans le cas où le

courant à la sortie du convertisseur est alternatif (fonctionnement en onduleur). Dans

ce cas, le domaine de validité de l’approximation linéaire sera restreint. Pour la

deuxième méthode, aucune linéarisation autour d’un point de fonctionnement n’est

faite. En effet, le principe est de trouver des matrices de découplage qui permettent le

découplage total entre les entrées et les sorties dans le cas d’un système carré. Le

problème qui peut être rencontré avec ce type de commande, est que ces matrices de

découplage sont en fonction de l’état et peuvent alors présenter des problèmes de

singularité lors de l’inversion dans le cas où les variables d’états s’annulent (courant

de charge lors d’un fonctionnement onduleur).

CorrecteurModulateur de

Puissance

Système

continu

Ordres de

commande

Grandeur de

sortie

Consigne Stratégie de

commutation:

MLI

Signal

modulant

Fig. 17 Synoptique d’une commande classique

Différents algorithmes de commande optimale ont été aussi proposés pour

contrôler les SDH. Par définition, la commande optimale est une commande qui

minimise un critère de choix donné. D’une façon plus concrète, optimiser une

trajectoire revient à chercher le chemin le plus court entre un point de départ (état du

système à un instant donné) et un point d’arrivée correspondant à une référence

imposée. Dans ce sens, différents algorithmes ont été proposés, en se basant sur la

résolution de l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman, dans le but de synthétiser une

trajectoire optimale de commande des SDH [BRA95]. D’autres travaux ont été menés

pour étendre le principe du maximum de Pontryagin [PON64], proposé par des

chercheurs russes, aux SDH pour traiter des problématiques de l’optimalité temporelle

et de l’optimalité quadratique [RIE99]. Des travaux plus récents ont traité du

problème de la commande optimale pour une classe des systèmes commutés affines à

fonctionnement cyclique. La commande proposée est de type retour d’état et elle a été

illustrée sur un convertisseur à quatre niveaux de tension [PAT08a].

Page 74: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 53

Par ailleurs, une approche de commande stabilisante a été appliquée sur des

convertisseurs de puissance avec des éléments de commutation [BUI05]. Cette

méthode est basée sur une fonction de Lyapunov, déduite du modèle physique, qui

permet de définir des séquences de commutation assurant la stabilisation du système

considéré autour d’une référence donnée. Une deuxième approche de commande

passive PBC (Passivity Based Control) a été exposée dans [COR05]. Cette technique,

connue comme une méthode continue efficace pour le contrôle des systèmes

physiques commutés, requiert la connaissance d’un modèle moyen. Ce modèle est

déterminé par l’intermédiaire des équations d’états, déduites à partir de la

représentation Bond Graph du système, qui vont être mises sous forme d’une

formulation Hamiltonienne à ports. Ensuite, la méthode consiste à calculer les

rapports cycliques, en fonction des variables d’état et des paramètres du système, qui

permettent d’annuler l’écart entre la consigne et la mesure. Ces deux approches ont

été comparées avec une troisième technique de commande prédictive utilisant des

procédures d’optimisation [POT05] [DEF08] dans [BAJ07] et appliquées au

convertisseur à trois cellules de commutation associé à une charge passive de type RL.

D’autres techniques de commandes par mode de glissement ont été proposées

dans [PIN00] pour la commande des convertisseurs multicellulaires.

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à une technique de commande

prédictive. La commande prédictive est l’une des commandes les plus utilisées dans le

milieu industriel derrière les commandes classiques de type PID. L’idée directrice

étant de prédire ou d’anticiper le comportement ou l’état futur du système, au moins

sur un certain horizon, en s’appuyant sur un modèle dynamique. Cette idée a pour

objectif de minimiser l’écart entre une trajectoire à poursuivre ou une référence

donnée au préalable et l’estimation de l’état futur du sys tème, sur un horizon fini

appelé horizon de prédiction, en tenant compte de l’état actuel du système étudié (Fig.

18). Le résultat de la prédiction sera un vecteur de commande ou une séquence dont le

premier élément est injecté au système. Durant l’intervalle de temps suivan t, une

nouvelle séquence est calculée et l’ancienne séquence sera donc décalée. Ainsi, la

commande prédictive est également appelée commande à horizon glissant ou fuyant

[BOU96]. La première génération de la commande prédictive a été appliquée dans le

milieu industriel en 1978 [RIC78] sous la nomination de MPHC (Model Predictive

Heuristic Control). Le principe de cette technique est de poursuivre une référence

mais sans tenir compte des contraintes d’exploitation du système considéré. A partir

de cette technique, qui représente la base des techniques des commandes prédictives,

d’autres stratégies permettant la prise en compte des contraintes sur les entrées et les

sorties du système sont apparues à partir des années 80 comme la commande

prédictive généralisée connue sous le nom de GPC (Generalized Predictive Control)

[CLA87] et la commande prédictive fonctionnelle nommée PFC (Predictive

Functional Control) [RIC87] [RIC93]. Ces deux techniques se réunissent dans la

philosophie de ralliement de la sortie du processus vers une référence dans le futur. Ce

Page 75: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 54

principe repose sur l’utilisation d’un modèle numérique (modèle interne) qui va

permettre de calculer la sortie prédite. Ensuite, la minimisation d’un critère

quadratique d’erreur entre la sortie souhaitée et la sortie prédite va permettre au

régulateur prédictif de synthétiser une séquence de commande dont le premier élément

sera appliqué au processus. Cependant, la différence entre les deux méthodes réside

dans la mise en œuvre de cette philosophie. Par exemple, le critère quadratique à

minimiser dans le cas de GPC comprend un terme sur l’erreur entre la sortie prédite et

la sortie souhaitée calculée sur un horizon de prédiction de la sortie, et un autre terme

sur l’incrémentation de la commande. On peut aussi noter l’utilisation d’un facteur de

pondération qui permet de donner plus ou moins du poids de la commande par rapport

à la sortie dans le cas d’introduction de contraintes sur la commande . En revanche,

avec le technique PFC, il s’agit d’un critère quadratique de l’erreur entre la sortie

prédite et la sortie mesurée à des instants bien déterminés définis par les points de

coïncidence. Cette notion de points de coïncidence remplace la notion d’horizon de

prédiction de la technique GPC. Il est à noter que l’inconvénient principal de ces

techniques est le fait qu’ils demandent un temps calcul assez important même si

plusieurs opérations peuvent être effectuées hors ligne, comme lorsqu’il faut

déterminer le modèle numérique par identification. C’est pour cette raison que ces

techniques sont généralement appliquées dans le domaine de génie des procédés ou le

temps de calcul peut durer des secondes.

Toutefois, d’autres techniques de commande prédictive sont utilisées, souvent

pour le contrôle des systèmes électroniques de puissance. Elles ont été appliquées

pour la commande des moteurs [LIN07a], en tenant compte de la nature hybride du

modèle. Elles ont été aussi appliquées à une machine à induction, alimentée par un

convertisseur matriciel [VAR08].

Cette diversité dans les champs applicatifs part d’un principe unique du

phénomène de prédiction. Ce principe s’articule autour de quatre axes principaux

communs à toutes les approches :

La première étape consiste à trouver un modèle permettant de prédire le comportement

du système. Ce modèle est généralement dynamique (tient compte des variables

continues et discrètes du système électronique de puissance).

Minimisation d’un critère de choix sur un horizon fini. Ce critère est généralement une

fonction quadratique des erreurs entre la consigne ou la trajectoire de référence et la

sortie prédite.

Définition d’une séquence de commandes optimale à appliquer sur le système. Cette

étape n’est valable que si l’approche de commande adoptée nécessite plusieurs

configurations sur un pas de calcul ou un horizon fini.

Application de la première commande calculée à la prochaine période d’échantillonnage

et réitération des étapes précédentes.

Page 76: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 55

Régulateur Processus

Modèle

w:référence

+-

Régulateur

prédictif à

base de

modèle

Perturbations

u y:sorties mesurées

y

Sorties prédites

Fig. 18 Schéma de principe d’une commande prédictive à base de modèle [BOU96]

Cette commande présente des performances dynamiques intéressantes. Elle a

été appliquée récemment sur les convertisseurs multicellulaires [PAT08b]. Dans la

suite du chapitre, deux approches de commandes prédictives directes seront exposées

et appliquées sur un convertisseur multiniveaux à trois cellules de commutation

débitant sur une charge. Cette appellation de commande prédictive directe est due au

fait qu’une unique commande est toujours appliquée pour un écart donné en tre la

référence et la mesure. Ceci n’est pas toujours le cas des commandes classiques où on

peut avoir une multitude de solutions pour la commande pour une seule erreur entre la

mesure et la consigne.

3 Commande monocoup

Dans cette partie, une approche de commande à aspect prédictif est présentée. Dans la

suite du manuscrit, cette commande est appelée commande monocoup (CM). Cette

appellation est due au fait que, durant une période, une seule configuration est

appliquée au convertisseur, quel que soit l’écart entre la référence et la mesure.

3.1 Principe de la méthode

Le principe de la commande monocoup proposée est illustré par la Fig. 19. Cette

technique de commande a été utilisée dans [HOL99] pour la régulation et le suivi de

trajectoire. Elle peut être aussi appelée commande hybride [LIN07b]. L’aspect

hybride réside dans le fait que l’on ne dissocie plus le modulateur de puissance et le

système lors de la modélisation; on modélise l’ensemble modulateur de puissance -

système à commander. C'est-à-dire que la modélisation comporte à la fois des

variables continues et discrètes. Cette combinaison est illustrée par le modèle donné

en (52).

Page 77: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 56

Ce type de modélisation peut être réalisé sur plusieurs systèmes physiques

qui peuvent être considérés comme des SDH. Parmi ces systèmes, on peut citer :

Système relais – four :

Modulateur de puissance : relais à deux états

Système à commander : four électrique

Système distributeur – vérin pneumatique :

Modulateur de puissance : distributeur

Système à commander : vérin pneumatique

Système onduleur triphasé – moteur asynchrone triphasé

Modulateur de puissance : onduleur

Système à commander : moteur asynchrone

Commande

prédictive

directe

Modulateur de

puissance

Système

continu

Nombre fini de

configurations possibles

Système

dynamique

Hybride (SDH)

Grandeur de

sortie

Consigne

Fig. 19 Schéma de principe de la commande monocoup

Dans notre cas, l’actionneur correspond à l’onduleur multiniveau à trois

cellules de commutation et le système continu à commander est représenté par une

charge RL passive dans un premier temps et par le moteur à courant continu (MCC)

dans un deuxième temps.

3.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutation débitant sur une charge RL

Le système considéré est celui donné par (Fig. 12).

Les interrupteurs (Q1, Q’1), (Q2, Q’2), et (Q3, Q’3) sont commandés en opposition. Sur

un même bras, si Qi est fermé, Q’i est ouvert et réciproquement. La commande des

interrupteurs associé à chaque cellule de commutation (Qj, Q’j) est noté

0,1 , 1,2,3ju j . Lorsque 1ju , l’interrupteur en haut de la cellule j est fermé et

celui qui est en bas sera ouvert et réciproquement. Lors du changement d’état d’un bras

Page 78: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 57

de l’onduleur, il est impératif d’appliquer un temps mort de quelques centaines de

nanosecondes, durant lesquelles les deux interrupteurs Qi et Q’i sont ouverts, afin

d’éviter tout court-circuit. Ce temps mort est déporté de l’unité de calcul sur une

interface réalisée par un circuit FPGA.

Les condensateurs C1 et C2 sont des condensateurs polypropylènes.

L’alimentation continue est assurée par deux sources de tension continue reliées par un

point milieu.

Les diodes en antiparallèle sur les interrupteurs permettent le passage de courants

inverses.

Condition de fonctionnement: lorsque la condition donnée par (56) n’est pas respectée,

des courants inverses apparaissent au sein de la structure. Ils se rebouclent par

l’intermédiaire des diodes montées en antiparallèle sur les commutateurs de puissance.

1 20 'E E E E (56)

Les commandes uj déterminent les différents états de l’onduleur de manière à

avoir des niveaux de tension en sortie dépendant des valeurs de E1 et E2. Les 8

configurations possibles du convertisseur sont notées ( , ,..., )1 8iU t i . Chaque

configuration conduit à la charge, la décharge ou le maintien des tensions aux bornes

des condensateurs C1 et C2. Le tableau ci-dessous montre les sens de variations des

tensions E1 et E2 en fonction des huit configurations possibles de l’onduleur, pour un

courant I>0.

Les signes +/- correspondent respectivement à des dérivées positives ou

négatives des tensions E1 et E2. Le symbole 0 correspond à une dérivée nulle.

u3 u2 u1 C1 C2 .

1E .

2E

U1 0

0 0 Rien Rien 0 0

U2 0

0 1 Décharge

Rien

- 0

U3 0

1 0 Charge Décharge

+ -

U4 0

1 1 Rien Décharge 0 -

U5 1

0 0 Rien Charge 0 +

U6 1

0 1 Décharge Charge - +

U7 1

1 0 Charge

Rien

+ 0

U8 1

1 1 Rien Rien 0 0

Tableau 2 Evolution des tensions en fonction des commutations de l’onduleur (I > 0)

Page 79: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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L’ensemble convertisseur-charge est modélisé par un modèle englobant les

variables continues et discrètes. Ce modèle va être déduit du modèle donné par (52) en

remplaçant les variables de flux et de charge par les variables de tension et de courant.

En choisissant les deux tensions des condensateurs et le courant de charge comme

variables d’état notés 1 2( ) ( ) ( ) ( )T

X t E t E t I t et les états des interrupteurs comme

variables de commande notés 3 2 1( ) T

iU t u u u , le modèle d’état est donné par :

2 1

1 13 2

1 2

3 32 31 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1

( )

( )

( )

'

1i

i2

i

-

-= +

----

u u

CE (t,U ) E t

u uE (t,U ) E t

CI tI(t,U ) u uu uu u R E E

L LL L L

(57)

Le modèle de ce système hybride donné par (57) peut être exprimé par :

.

( , ) ( ). ( ) ( )i i iX t U A U X t B U (58)

Pour une configuration Ui donnée, les matrices A et B sont constantes. La

solution générale de l’équation d’état continue est donnée par :

0 0

( , )( )

( , ) ( , ) ( , ). . ( )

( , )

e

e i

i e

T

i e i i i

T UA U T

e i

X t U T U X U d B U

Avec T U e

Donc le modèle d’état discret pour des commandes constantes durant un pas

de calcul peut être donné par :

( 1, ) ( , ). ( ) ( , ). ( )i e i e i iX k U T U X k T U B U (59)

3.2.1 Modèle simplifié et domaine de validité

Comme la contrainte de calcul en temps réel est importante pour le système étudié, la

recherche d’un modèle simplifié s’impose.

En choisissant une période d’échantillonnage assez petite, la rectitude des

trajectoires dans l’espace d’état peut être vérifiée . Avec cette hypothèse, les 8 états

possibles à l’instant ( 1)k peuvent être approximés par le modèle simplifié donné

par :

.

( ) = ( ) + ( ).1, ,i i eX k U X k X t U T (60)

Page 80: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 59

3.2.1.1 Domaine de validité

Dans le but de valider le modèle simplifié utilisé, une étude en simulation a été menée

en comparant le modèle discret donné par (59) développé par l’approximation de

Taylor à l’ordre 5 et le modèle simplifié utilisé illustré par (60). La simulation a été

effectuée (Fig. 20), pour la configuration U3 et un courant de 0.5A, en utilisant les

paramètres suivants :

1 2( ') 300 , 33 , 33 , 50 , 100eE E V C C F R L mH T s (61)

Il est à noter que la trajectoire sur la période Te, dans le plan (E1, E2), partant

du point de mesure 1( ) 100E k V et 2 ( ) 200E k V , demeure pratiquement rectiligne et

le module de l’accroissement de l’état est proportionnel au temps d’application. En

revanche, le point d’arrivée, calculé à partir du modèle simplifié, est différent de celui

obtenu par le modèle discret. Cette erreur varie en fonction du courant de charge.

Donc pour valider le modèle simplifié, un calcul d’erreurs sur les différentes

variables d’état est effectué en faisant varier le courant de charge.

100 100.2 100.4 100.6 100.8 101 101.2 101.4 101.6198.4

198.6

198.8

199

199.2

199.4

199.6

199.8

200

E1

E2

modèle exact

modèle simplifié

Fig. 20 Evolution des tensions avec le modèle simplifié et le modèle discret

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

I

Err

eur

sur

E1

U3

7U

U6

U2

U4

U1 U

8

U5

Fig. 21 Erreur sur E1(V) en fonction de I(A)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

I

Err

eur

sur

E2

U3

U4

U1 U

8

U2 7

U

U6

U5

Fig. 22 Erreur sur E2(V) en fonction de I(A)

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 61

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

I

Err

eur

sur

I

U6

U3

7U

U5U

2

U1

U4

U8

Fig. 23 Erreur sur I(A) en fonction de I(A)

Pour un courant de 0.5A et en sélectionnant la configuration U3, l’erreur sur

la tension E1 peut être identifiée par la Fig. 20 et la Fig. 21 et elle vaut (0.2V).

Toutefois, dans ces mêmes conditions, l’erreur sur la tension E2 peut être calculée par

la Fig. 20 et la Fig. 22 et elle est de (-0.2V).

Nous pouvons noter aussi que ces erreurs sont proportionnelles à la variation

du courant. Cette proportionnalité peut être démontrée en analysant les expressions

algébriques des modèles simplifié et discret. Nous allons prendre l’exemple de la

valeur estimée de E1, à juste titre, calculée par les deux modèles. On note 1( , )e iUT la

première ligne de la matrice ( , )e iUT et 1( , )e iUT la première ligne de la matrice

( , )e iUT .

Les expressions sont données par :

1 1 1( 1, ) = ( , ). ( ) + ( , ). ( )i e i e i ik U U T U UE T X k B (62)

.

1 1 1( 1, ) ( ) ( ).i i eU UE k + E k E T (63)

En appliquant par exemple la configuration U3, on obtient les expressions

suivantes:

1 3 1 2 1 3 31, ( )e( U ) = ( ), ( ))+ + ( U ). UE k + β(E k E k δ.I(k) T , B (64)

1 3 11

( 1, ) ( ) . ( )eUT

E k + E k I kC

(65)

Il est à noter que β et δ sont des constantes qui dépendent de l’ordre de

développement de série de Taylor de 3( )( , ) eA U T

e 3T U e . Cette expansion doit être

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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suffisamment développée pour permettre de se rapprocher au maximum du modèle

réel. Pendant la simulation, cette expansion est développée à l’ordre 5. Dans ce cas la

valeur du coefficient δ sera différente de la constante calculée par le modèle

simplifiée qui est égale à Te/C1. Par conséquent, le coefficient de courant ne sera

pas nul dans l’expression de l’erreur sur E1 (66) et l’erreur sera proportionnelle au

courant de charge.

1 3 1 3 1 3

1 1 2 1 3 30

constante

1

( )

= ( ( ), ( )) - ( ).

( ) ( 1, ) +1,

( ) , ) . ( )

e

e

U U U

U U

ErrE E k + E k

E k E k E k Ψ T B( I k

avecC

(66)

Ainsi, pour conclure sur la validité du modèle simplifié, les erreurs moyennes

des variables d’état sont calculées (somme des valeurs absolues des erreurs divisée par

le nombre des erreurs). Les erreurs moyennes sur les tensions sont données par :

1ErrE (V) 2ErrE (V)

U2 0.4002 0

U3 0.4075 0.4075

U4 0 0.1495

U5 0 0.4002

U6 0.1557 0.1557

U7 0.1495 0

Tableau 3 Erreurs moyennes sur les tensions en fonction des configurations

Les erreurs moyennes sur le courant de charge sont données par :

ErrI (A)

U1 0.0150

U2 0.0015

U3 0.0064

U4 0.0052

U5 0.0015

U6 0.0126

U7 0.0052

U8 0.0045

Tableau 4 Erreurs moyennes sur le courant en fonction des configurations

D’après ces tableaux, le modèle simplifié peut être validé et adopté dans

l’algorithme de commande.

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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3.2.1.2 Utilisation du modèle simplifié

Pour un état mesuré X(k), en utilisant la relation (60), les 8 directions possibles dans

l’espace d’état à l’instant ( 1)k peuvent être déterminées. Un exemple de ces

directions est donné par la Fig. 24.

Pour les configurations 1U et 8U , les tensions aux bornes des capacités sont

constantes et seul le courant varie au niveau de la charge.

Pour les configurations de 2U à 7U , le courant de charge traverse une ou

deux capacités.

Donc, pour un état de commutation donné, c’est toujours le même

condensateur qui se charge et/ou qui se décharge. Par conséquent, l’orientation de s

vecteurs sur le plan (E1, E2) ne change pas (Fig. 25). Cette remarque conduit à ce que

l’amplitude des vecteurs varie linéairement avec la valeur du courant I; E1 et E2

varient beaucoup, pour des valeurs de courant élevées et peu, pour des valeurs de

courant faibles. Ceci s’explique physiquement : il transite plus de charges dans les

capacités à fort courant qu’à faible courant , pour un horizon de calcul constant.

102

103

104

105

106

107

187

188

189

190

191

192

193

194

7

8

9

10

E1 (Volt)

E2 (Volt)

I (A

) O

U8

U1U2

U6

U5

U3

U4

U7

Fig. 24 Exemple des directions possibles à un point de mesure donné

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97 98 99 100 101 102 103197

198

199

200

201

202

203

U1

U8

U7

U5U

6

U2

U4 U

3

Fig. 25 Projection des 8 vecteurs d’évolution possibles sur le plan (E1, E2), I=1A

Cette amplitude peut être calculée par :

1. .i

i

E I tC

(67)

3.2.2 Stratégie de commande

La stratégie de commande monocoup présentée repose sur trois étapes essentielles. En

fait, vu l’aspect prédictif de cette stratégie, ces étapes son t inspirées du principe de la

commande prédictive déjà présenté au début de ce chapitre. Ainsi, durant chaque

période d’échantillonnage, l’algorithme de commande procède comme suit :

Mesure des tensions des capacités 1( )E k , 2 ( )E k et du courant de charge ( )I k .

Prédiction du vecteur d’état

1 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) ( 1, )T

i i i iU U U UX k E k E k I k pour les 8 configurations

possibles en utilisant la relation (60).

Choix de la configuration minimisant la distance euclidienne entre ( 1, )iUX k et

1 2

T

c c ccX E E I .

Application de la configuration sélectionnée à la prochaine période d’échantillonnage.

Cet enchaînement d’actions est donné par :

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( )1, iX k U+ɶ

Fig. 26 Enchaînement des actions dans l’algorithme de commande monocoup

3.2.2.1 Choix des tensions de référence

Dans le cas classique, la combinaison 1 2( ') /3, 2( ') /3c cE E E E E E= + = + est choisie comme référence pour les tensions des capacités dans le but de répartir également les tensions aux bornes des cellules de commutation. Ce choix mène à quatre niveaux de tension à la sortie du convertisseur. Pour augmenter ce nombre, qui

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ne peut en aucun cas être supérieur à huit, plusieurs travaux ont démontré qu’il suffit

de choisir d’autres tensions de référence pour les condensateurs [KOU02]. Le choix

des tensions de référence dépendra essentiellement du type de l’application et des

objectifs fixés. Cependant, les références permettant d’obtenir quatre niveaux de

tension en sortie du convertisseur sont considérées dans les applications de commande

des moteurs [HUA06].

Dans le cas du système considéré, une étude a été menée dans le but de

trouver les tensions de référence qui offrent au système le maximum de degrés de

liberté [TRA08b]. Un degré de liberté est défini comme la possibilité d’augmentation

ou de diminution de la valeur d’une variable d’état.

Tout d’abord, les évolutions des différentes variables d’état doivent être

étudiées à partir du modèle (57). Ces évolutions sont données par le Tableau 5.

Le but de la commande étant d’asservir le courant de charge tout en

maintenant le plus possible constantes les tensions aux bornes des condensateurs, il

est important de choisir une référence qui permet le plus de degrés de liberté pour ce

courant. L’idée est donc d’analyser les sens de variations de courant dans le plan des

tensions pour un courant de 1A (Fig. 27) en se référant au Tableau 5.

Configuration

.

1E .

2E .

I

U1 0 0 (E E') 2.R.I

2.L

U2 1

IC

0 12.E (E E') 2.R.I

2L

U3 1

IC

2

IC

1 2(E E') 2.E 2.E 2.R.I

2L

U4 0 2

IC

2(E E') 2.E 2.R.I

2L

U5 0 2

IC

2(E E') 2.E 2.R.I

2L

U6 1

IC

2

IC

1 2(E E') 2.E 2.E 2.R.I

2L

U7 1

IC

0 1(E E') 2.E 2.R.I

2L

U8 0 0 (E E') 2.R.I

2.L

Tableau 5 Variations des variables d’état

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U2=001

E2

E1

0 100 200 3000

100

200

300U3=010

E2

E1

0 100 200 3000

100

200

300U4=011

E2

E1

0 100 200 3000

100

200

300

U5=100

E2

E1

0 100 200 3000

100

200

300U6=101

E2

E1

0 100 200 3000

100

200

300U7=110

E2

E1

0 100 200 3000

100

200

300

+_

+

_

_

_ _

_

+

+

++

zone interdite zone interdite zone interdite

zone interdite zone interdite zone interdite

Fig. 27 Iso accroissement du courant de charge

Sur la Fig. 27, les configurations U1 et U8 ne sont pas représentées parce que

les tensions sont constantes. La condition de fonctionnement précédemment définie

par (56) est représentée par le domaine appelé zone interdite. Les segments en bleu

délimitent les deux domaines de variations du courant de charge (équations

algébriques obtenues en posant .

0I données par Tableau 5). Cependant, les zones

indiquées par le signe (+) représentent une variation positive du courant tandis que

celles marquées par le signe (-) représentent une variation négative. A partir de la Fig.

27, on cherche à superposer les figures qui permettent d’avoir des variations de

tensions dans le même sens. Par exemple, pour avoir une variation positive de la

tension E2, le Tableau 5 montre qu’il faut superposer les figures d’iso-accroissement

de courant de la configuration U5 et celle de la configuration U6. Ces évolutions sont

données par la Fig. 28.

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0 100 200 3000

100

200

300

E1

DeltaE2>0

E2

0 100 200 3000

100

200

300

E1

DeltaE2<0

E2

0 100 200 3000

100

200

300

E1

DeltaE1<0

E2

0 100 200 3000

100

200

300

E1

DeltaE1>0

E2

U5U6

U4

U3

U2 U6

U7 U3

Fig. 28 Evolution des tensions

E2

E1

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

300

zone interdite1

2 3 4

5 6 7 8

109

Fig. 29 Délimitation du plan des tensions

Les zones indiquées en rouge signifient que les deux configurations

permettent d’augmenter la valeur de courant. Celles en vert signalent que les deux

configurations assurent une diminution du courant. Celles en bleu indiquent qu’une

configuration permet d’accroître le courant tandis que l’autre le fait décroître. La

concaténation de ces zones nous permet d’identifier sur la Fig. 29 dix zones sur le

plan des tensions.

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Maintenant, nous allons définir les degrés de liberté de chaque zone de la Fig.

29. Pour ce faire, la logique suivante est à suivre.

Tout d’abord, nous notons Ei+ (i=1,2) la direction qui illustre un

accroissement de la tension Ei et Ei- celle qui représente une diminution de Ei.

L’augmentation du courant quant à elle est notée par I+ et la diminution est notée par

I-. Ensuite, nous définissons pour chaque direction les configurations permettant

l’évolution du courant dans un sens donné en fonction du code couleur défini

précédemment. Cette évolution est donnée par le tableau suivant :

I+ I- I+ I- I+ I- I+ I-

Rouge

(R) U5U6 . U3U4 . U6U2 . U3U7 .

Bleu

(B) U6 U5 U4 U3 U6 U2 U7 U3

Vert

(V) . U5U6 . U3U4 . U6U2 . U3U7

E2+ E2

- E1- E1

+

Tableau 6 Evolution du courant en fonction du code couleur

Maintenant, nous prenons des exemples de ces zones et nous déterminons les

degrés de liberté possibles pour chaque zone.

Zone 10 : VE2+ + RE2

- + RE1+ + VE1

- = U5U6+U3U4+U3U7+U6U2.

Pour cette zone, l’évolution des variables d’état en fonction des

configurations est donnée par :

U5U6 U3U4 U3U7 U6U2

E1-

E2+

I-

E1+

E2-

I+

E1+

E2-

I+

E1-

E2+

I-

Tableau 7 Evolution des variables d’état en fonction des configurations

Donc pour cette partie du plan des tensions, seuls deux degrés de liberté sont

possibles.

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Zone 7 : BE2+ + BE2

- + BE1+ + BE1

- = U5+U6+U3+U4+U3+U7+U6+U2.

Pour cette zone, l’évolution des variables d’état en fonction des

configurations est donnée par :

U6 U5 U4 U3 U3 U7 U6 U2

E1-

E2+

I+

E2+

I-

E2-

I+

E1+

E2-

I-

E1+

E2-

I-

E1+

I+

E1-

E2+

I+

E1-

I-

Tableau 8 Evolution des variables d’état en fonction des configurations

Donc six degrés de liberté peuvent être identifiés pour cette zone du plan des

tensions.

Ainsi, nous identifions les degrés de liberté de chaque zone du domaine

physique des tensions aux bornes des condensateurs (voir Annexe B). Ces degrés sont

donnés par la Fig. 30.

Par conséquent, le meilleur choix des tensions de référence aux bornes des

condensateurs est celui qui maximise les degrés de liberté. Donc, en toute évidence,

pour une tension d’alimentation ' 300E E V , il faut prendre

1 2( /3 100 , 2( /3 200c cE E + E') V E E + E') V comme tensions de référence qui

permet d’avoir six degrés de liberté.

E2

E1

0 50 100 150 200 250 3000

50

100

150

200

250

300

zone interdite4°

4° 5° 3°

4° 5° 6° 4° 2°

Fig. 30 Degrés de liberté pour les tensions de référence

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3.2.2.2 Stratégie de choix

A chaque période d’échantillonnage, l’algorithme de commande calcule la distance

entre le point de référence et le point atteignable pour chaque configuration. La

configuration qui correspond à la distance minimale est sélectionnée. Cette distance

est calculée en fonction de l’écart entre les va leurs de courant mesuré et désiré et en

fonction de l’écart entre les tensions des condensateurs mesurées et celles de

référence. Donc, vu que les valeurs des composantes sont très différentes (des

centaines de Volt pour les tensions et quelques Ampère pour le courant), l’algorithme

de commande a tendance à privilégier les tensions des condensateurs (il choisit la

configuration qui permet de réduire, au maximum l’écart entres les valeurs mesurées

et celles de référence des tensions des condensateurs), alors que l’objectif principal est

d’asservir le courant dans la charge.

Pour remédier à cette contrainte, les variables d’état seront normées. Pour

effectuer cette normalisation, il est indispensable de calculer les variations maximales

que subissent les variables d’état sur un pas de calcul. Ces accroissements sont donnés

par :

1max 2max max1 2

2. 2. '. , . , .e e e

I I E EE T E T I T

C C L (68)

Ces excursions, autour d’un point de mesure ( )X k donné, forment un

parallélépipède (Fig. 31) dont la hauteur est définie par les configurations U1 et U8 qui

assurent la variation maximale du courant de charge.

La commande à l’instant k sera définie par la configuration assurant le

minimum de la distance Euclidienne dans l’espace d’état normalisé entre le point de

consigne et les extrémités des vecteurs correspondant aux 8 configurations du

convertisseur.

2 2 21 1 2 2

1max 2max max

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

.

c i c i c ii

E E U E E U I I Udist

E E I (69)

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E1 E2

deltaE1max

deltaE2max

deltaImax

I

Fig. 31 Volume d’évolution des variables d’état autour d’un point de mesure

On note µ un paramètre de réglage qui permet de pondérer entre la poursuite

de courant et le maintien des tensions aux bornes des condensateurs. En fait, les

variables d’état sont liées et l’évolution d’une variable dépend de la variation des

autres composantes du vecteur d’état. Donc si on donne plus de liberté à la poursuite

des tensions, la poursuite de courant sera meilleure. Une amélioration de la poursuite

des tensions E1 et E2 provoque plus d’oscillations sur le courant de charge. Donc il

faut trouver un compromis pour ajuster la valeur du facteur de pondération µ de façon

à réduire les oscillations sur le courant (objectif principal) tout en assurant une

évolution raisonnable des tensions. Cette valeur est déterminée expérimentalement et

sera maintenue constante, durant l’exécution de l’algorithme. Quand µ est petit, la

priorité est donnée à la poursuite de courant. Si µ augmente, la priorité est donnée à la

poursuite des tensions.

3.2.3 Etude comparative en simulation avec une méthode de commande

classique

Afin de montrer les avantages de la méthode proposée de commande monocoup, une

étude comparative en simulation a été effectuée avec une méthode classique de

commande de type (PI) avec une stratégie de MLI intersective.

Généralement, la stratégie MLI consiste à comparer une modulante à une

porteuse triangulaire. Cette approche de modulation nécessite autant de porteuses

triangulaires que des cellules de commutation à commander. Les trois grandeurs de

commande, dans le cas du convertisseur série à trois cellules de commutations, sont

donc générées en comparant directement un signal modulant sinusoïdal avec trois

Page 94: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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porteuses triangulaires déphasées entre elles d’un tiers de la période de modulation.

Ces déphasages entre les porteuses conduisent à avoir un courant moyen nul au niveau

des condensateurs ce qui permettra de maintenir les références des tensions aux bornes

de celles-ci.

Le signal modulant est généré à la sortie d’un correcteur de type PI et il

permet d’asservir le courant au niveau de la charge.

Les simulations ont été effectuées pour les deux types de commande à

comparer avec : 1 2 33 , 33 , 50 ,( ') 300C C F R L mH E E V . Les tensions de

références aux bornes des condensateurs ont été fixées à

1 2( ') /3, 2( ') /3c cE E E E E E avec une référence de courant sinusoïdale

d’amplitude 3A et de fréquence 50Hz. Pour la stratégie MLI, la période de modulation

est fixée à 1ms avec une période de calcul de 10 s. Pour la commande monocoup, la

période d’échantillonnage a été fixée à 70 s et un facteur de pondération égal à 0.1.

Correcteur

PI

I

MLI

intersective

#

I

E

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

I

E’

Fig. 32 Synoptique de la commande avec MLI appliquée au convertisseur

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

I

Ic

Fig. 33 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec MLI

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

I

I#

Fig. 34 Courant de charge (A) en fonction du temps (s) avec CM

Page 96: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 75

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0480

90

100

110

120

E1

E1c

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04180

190

200

210

220

E2

E2c

Fig. 35 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec MLI

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0480

90

100

110

120E1

E1#

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04180

190

200

210

220E2

E2#

Fig. 36 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) avec CM

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

Vo

Fig. 37 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

On note le déphasage entre la référence et la mesure de courant avec la

commande PI associée à une stratégie de MLI intersective (Fig. 33). Ce déphasage est

dû à l’action du correcteur PI qui induit un retard de phase. De plus, il est à noter que

le taux de distorsion harmonique du courant (THDi) est de 0.93% avec la commande

classique alors qu’il est de 0.53% avec la commande monocoup. On note aussi une

erreur de 10V sur les tensions aux bornes des condensateurs avec la méthode

classique (Fig. 35) alors qu’elle est de 4V pour la commande monocoup (Fig. 36).

Les niveaux de tension obtenus aux bornes de la charge obtenus par les deux

méthodes sont donnés par la Fig. 37. Chaque front montant ou descendant de la

tension de sortie est d’une amplitude égale à E/p avec p le nombre de cellules de

commutation du convertisseur. Dans notre cas, p=3, on peut distinguer quatre niveaux

de tension différents (E+E’)/2, (E+E’)/6, -(E+E’)/6, -(E+E’)/2.

Pour réaliser de manière expérimentale une commande faisant appel à une

stratégie de MLI, deux solutions sont possibles. La première solution, entièrement

analogique, consiste à utiliser trois comparateurs entre le signal modulant et les

porteuses triangulaires. La deuxième solution consiste à utiliser un signal modulant

numérique. Les trois porteuses triangulaires sont générées par trois compteurs-

décompteurs cadencés par une horloge. La précision sur l'amplitude et le déphasage

des porteuses est alors bien meilleure que dans le cas d’une réalisation analogique. Par

ailleurs, vu que la comparaison numérique entre les porteuses triangulaires et le signal

modulant nécessite une fréquence d'échantillonnage très élevée de ce dernier (100

KHz dans le cas de la commande à base de MLI présentée dans ce paragraphe), elle

sera effectuée à l'intérieur d'un FPGA, par exemple. Cependant, cette méthode de

comparaison peut induire un problème de coût.

Page 98: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 77

Pour ces deux solutions, des temps morts doivent être obligatoirement

introduits au niveau des signaux de commande afin d’éviter les courts -circuits des

sources de tensions dans le cas de fermeture des deux interrupteurs d’une cellule de

commutation.

3.2.4 Validation expérimentale

3.2.4.1 Description du banc expérimental

Le convertisseur utilisé (Fig. 38) comprend trois cellules de commutations qui

contiennent chacune les deux MOSFET et les deux diodes. Deux drivers sont utilisés

pour commander les transistors de chaque bras. Les condensateurs à potentiels

flottants sont de 33μF chacun alors que la charge est composée d’une résistance de

33Ω et d’une inductance d’une valeur de 50mH. Le bus continu est alimenté par deux

sources de tensions Xantrex réglée chacune à 150V.

Pour tous les résultats expérimentaux présentés dans ce document, les calculs

sont effectués à l’aide d’une carte d-Space dS1104. Elle inclut un processeur PPC

603e cadencé à 250MHz ainsi qu’un processeur esclave TMS320F240 à 20MHz. Les

algorithmes présentés ont été codés en langage C. Les durées d’exécution des

algorithmes sont mesurées grâce aux commandes RTLIB_TIC_START() et

RTLIB_TIC_READ() inclues dans les bibliothèques fournies par d-Space.

Le logiciel ControlDesk est utilisé comme panneau de contrôle, afin de

visualiser des valeurs mesurées ou calculées (courant de charge, tensions aux bornes

des condensateurs, tension au niveau de la charge, états des interrupteurs, rapports

cycliques…) et d’imposer des consignes (références pour le courant et les tensions aux

bornes des condensateurs).

La période d’échantillonnage a été fixée à 70μs pour un temps de calcul de la

commande de 32μs.

A chaque période de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la

loi de commande de déterminer l’état de commutation 3 2 1

TU t u u u à

appliquer en fonction de l’état mesuré et du point de consigne à suivre. Les sorties

utilisées sur la carte d-Space sont les sorties numériques. Ces sorties vont piloter une

carte FPGA (Fig. 41) qui permet de gérer les temps morts et de faire la liaison au

moyen des fibres optiques avec les drivers.

Les fibres optiques sont utilisées afin de réaliser une isolation galvanique

entre la partie commande et la partie puissance. Le schéma global de la maquette

expérimentale est donné par Fig. 42.

Page 99: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Fig. 38 Convertisseur à trois cellules de commutation utilisé

Fig. 39 Charge RL

Fig. 40 Interface de connexion de la carte d-Space dS1104

Page 100: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Fig. 41 Interface entre la carte d-Space et les drivers

Fig. 42 Schéma complet de la plate-forme expérimentale

3.2.4.2 Résultats expérimentaux et interprétations

Plusieurs tests ont été effectués pour montrer l’influence du facteur de pondération µ.

La valeur de ce facteur est fixée en ligne. Un premier essai a été effectué, pour une

consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 3A et de fréquence 50Hz, avec une valeur

Page 101: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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de µ fixée à 0.3. Durant cet essai, on peut noter une poursuite de la consigne de

courant avec une erreur moyenne de 48mA (Fig. 43), alors que les tensions des

références des condensateurs sont maintenues avec des erreurs moyennes de 1.4V sur

E1 et 1.3V sur E2 (Fig. 44)

Un deuxième test a été effectué avec la même consigne de courant, en

diminuant la valeur µ qui sera fixée à 0.1. Ce test a révélé une poursuite de courant

avec une erreur moyenne de 46mA (Fig. 45) alors que les tensions aux bornes des

condensateurs sont maintenues autour des valeurs de référence avec des erreurs

moyennes de 1.52V sur E1 et 1.4V sur E2 (Fig. 46). Ainsi, plusieurs essais ont été

effectués afin de trouver un compromis permettant d’assurer la poursuite convenable

des trois variables d’état.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ic

I

Fig. 43 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Page 102: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0490

95

100

105

110

E1c

E1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04190

195

200

205

210

E2c

E2

Fig. 44 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Ic

I

Fig. 45 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Page 103: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0490

95

100

105

110

E1c

E1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04190

195

200

205

210

E2c

E2

Fig. 46 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

Cette influence du facteur de pondération µ sur les différentes d’état peut être

illustrée par la Fig. 47. Il est à remarquer que l’erreur moyenne sur le courant de

charge varie peu en fonction de µ (15mA), ce qui explique la bonne stabilité de

courant pour différentes valeurs de µ.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7

mu

Err

eu

rs m

oy

en

ne

s (

V)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Err

eu

r m

oy

en

ne

(A

)

E1

E2

I

Fig. 47 Evolution des erreurs en fonction du facteur de pondération

Il est à noter aussi que les erreurs sur les tensions aux bornes des

condensateurs sont dépendantes du courant de charge. En effet, pour une valeur du

facteur de pondération fixée, plus que le courant circulant dans la charge est grand

plus que les erreurs sur ces tensions sont importantes (Fig. 48).

Page 104: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par la Fig. 49. On

peut distinguer quatre niveaux de tension différents (E+E’)/2, (E+E’)/6, -(E+E’)/6, -

(E+E’)/2.

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 1 0

0

1 0

e r r e u r E 1

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 1 0

0

1 0

e r r e u r E 2

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4- 0 . 5

0

0 . 5

e r r e u r I

1( )ErrE V

2 ( )ErrE V

( )ErrI A

( )I A

Fig. 48 Evolution des erreurs en fonction du courant de charge

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-150

-100

-50

0

50

100

150

Vao

Fig. 49 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

Le dernier essai a été effectué en appliquant une consigne de courant en

créneau d’amplitude avec 2.5A. La mesure de courant de charge atteint la référence

avec un temps de réponse lié à la constante de temps L/R (Fig. 50). Cette mesure

oscille en régime permanent autour de la référence avec une erreur moyenne de 70mA.

Page 105: application au convertisseur multicellulaire

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Les niveaux de tension de la charge sont donnés par Fig. 51. On peut toujours

distinguer les quatre niveaux atteints par la tension aux bornes de la charge. Il est

aussi à noter que les niveaux (E+E’)/2, -(E+E’)/2 sont atteints lorsque le courant de

consigne bascule sur l’une de ses valeurs limites. Ce phénomène correspond à la

sélection des configurations U1 et U8 qui permettent de varier le courant sans toucher

aux tensions aux bornes des condensateurs.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-3

-2

-1

0

1

2

3

Ic

I

Fig. 50 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Vao

Fig. 51 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

Page 106: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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3.3 Synthèse d’un observateur adaptatif basé sur la commande monocoup

L’implémentation numérique de la technique de commande monocoup présentée

nécessite les mesures de la tension d’entrée du convertisseur, des tensions aux bornes

des condensateurs à potentiels flottants et du courant qui circule dans la charge liée au

convertisseur considéré.

Cependant, la mesure la plus délicate à effectuer est celle des tensions

flottantes. Les capteurs utilisés mesurent la différence de potentiel aux bornes des

condensateurs. Ensuite, la grandeur de sortie est conditionnée et numérisée par un

convertisseur analogique/numérique. Ceci peut engendrer des contraintes

technologiques ou de coût qui peuvent être importants, si le nombre de cellules de

commutation du convertisseur augmente. Mais la connaissance de l’évolution de ces

grandeurs reste une information capitale pour élaborer les lois de commande.

Donc l’idée développée dans ce chapitre est de reconstruire l’évolution de ces

tensions flottantes par l’utilisation d’un observateur. Ce travail d’observation a été

effectué en collaboration avec Malek GHANES et Jean-Pierre BARBOT, chercheurs à

ECS (Equipe Commande de Systèmes) de l’ENSEA (Ecole Nationale Supérieure de

l’Electronique et de ses Applications).

3.3.1 Principe d’observation

Un observateur est un système bouclé qui permet de reconstruire en temps réel l'état à

partir des grandeurs de commandes appliquées sur le système et des mesures possibles

d'autres grandeurs (Fig. 52).

L’action d’observation nécessite la connaissance de deux informations

essentielles. La première information réside dans les grandeurs de commande

appliquées au système et la deuxième information est constituée de l’erreur entre les

grandeurs observées (variables d’état) et leurs mesures réelles. Cependant, on peut

souvent distinguer deux modules différents dans un observateur (Fig. 52). Le premier

module permet d'estimer les grandeurs d'états en fonction des grandeurs de commande

appliquées au système en se servant du modèle du système. Le deuxième module,

nommé gain d'observation, sert pour la mesure de l'erreur entre les grandeurs réelles

du système et celles reproduites par le modèle. Cette erreur sera d’une importance

primordiale pour la détermination du gain d’observateur afin de pouvoir injecter dans

le premier module les informations et les conditions nécessaires à la convergence du

modèle vers le système réel.

Page 107: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 86

Commande Système

Observateur

Grandeurs

mesurées

Grandeurs

observées

+

-

X

XConsigne

Gain

d’observation

Fig. 52 Schéma de principe d’un observateur

Actuellement, la théorie de l’observation d’état a atteint une grande maturité

dans les domaines des systèmes continus et des systèmes à événements discrets. En

revanche, beaucoup de points et de problématiques méritent d’être traités sur le

concept de l’observabilité et de la synthèse d’observateurs de l’état discret conjoint à

l’état continu.

En effet, les premiers travaux ayant comme objectif la caractérisation de

l’observabilité des systèmes dynamiques hybrides ont été publiés dans [EZZ89].

Depuis, plusieurs travaux ont été réalisés dans le but de concevoir des observateurs

pour ces systèmes [BAL02]. Ces systèmes, bien particuliers, qui font intervenir des

phénomènes continus et événementiels, suscitent un traitement spécial pour réaliser

des observateurs qui tiennent compte de la nature hybride de ces systèmes et de la

différence de dynamiques entre les différentes variables interagissant dans le système.

Cependant, les chercheurs se sont intéressés à plusieurs classes de SDH. Des travaux

ont traité de la problématique d’observation des systèmes commutés [DAA03]

[DAA04]. Alessandri s’est intéressé particulièrement aux systèmes linéaires

commutés à temps discret par la conception des observateurs pour ces systèmes dans

[ALE03] et par l’application du principe d’observation de Luenberger dans [ALE05]

D’autres chercheurs ont collaboré pour la conception d’un observateur pour les

systèmes linéaires par morceaux [BIR06a]. Des travaux de recherches doctorales ont

fait le point sur les théories d’observabilité et de synthèse d’observateurs pour trois

classes de SDH, à savoir les systèmes linéaires à saut, les systèmes affines par

morceaux et les systèmes linéaires à commutation [BIR06b].

3.3.2 Observation des convertisseurs multicellulaires

Pour les convertisseurs multicellulaires, l’action d’observation consiste généralement

à observer en temps réel les tensions des condensateurs à potentie ls flottants à partir

de la mesure du courant de charge et de la tension d’alimentation du bus continu. Le

contrôle de ces tensions est très important parce que d’une part il conditionne la survie

Page 108: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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du convertisseur en garantissant une répartition équilibrée des contraintes en tensions

pour éviter les surtensions aux bornes des semi-conducteurs de puissance de chaque

cellule de commutation, d’autre part il améliore la qualité spectrale de la tension à la

sortie du convertisseur. Ce contrôle nécessite donc la connaissance de ces tensions aux

bornes des condensateurs.

Plusieurs travaux ont été réalisés dans le but d’observer ces tensions. Deux

observateurs non linéaires discrets ont été exposés dans [BEN01] en l’occurrence un

observateur déterministe de Luenberger et un filtre de Kalman récursif. Une autre

technique d’observation à modes glissants a été présentée dans [BEN08].

Dans ce contexte, un observateur adaptatif interconnecté basé sur la

commande monocoup sera présenté et appliqué à un convertisseur série à trois cellules

de commutation, associé à une charge passive de type RL liée à la masse (Fig. 53). Le

schéma de principe de l’observateur appliqué sera donné par la Fig. 54.

E’’

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

Fig. 53 Convertisseur à 3 cellules de commutation avec charge liée à la masse

Page 109: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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E’’

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

Gain d’observation

Modèle du système

Algorithme de

commande

Consignes

u3 u2 u1

I observé

I mesuré

Injection des

variables observées

Observateur

Fig. 54 Schéma de principe d’un observateur appliqué au convertisseur série

3.3.3 Conception de l’observateur adaptatif

3.3.3.1 Rappel sur l’observateur adaptatif [HAM90] [GHA10]

Soit le système affine en l’état suivant :

.

( ) ( ( )) ( ) ( ( ), ( )):( ) ( )

SAx t A u t x t g u t y t

y t Cx t (70)

On note nx l’état du système,

mu la commande et py la sortie.

La matrice A est dépendante de la commande u et la fonction g(u(t), y(t)) est une

injection entrée-sortie.

Page 110: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Si l’entrée u est persistante, dans le sens qu’il existe 0, , 0 0T et t et tel

que pour toute condition initiale x0 on a :

0 0, ,( , ) ( , )

t TT Tu x u x

t

I t C C t d I (71)

avec Φu,x0 la matrice de transition du système :

.

( )

x A u x

y Cx (72)

Alors un observateur exponentiel pour le système affine est donné par :

.1

.

ˆ ˆ ˆ( ) ( ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ) ( ))

: ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) 2

ˆ ˆ( ) ( )

T

T TSA

x t A u t x t g u t y t P C y t y t

O P t P t A u t P t P t A u t C C

y t Cx t

(73)

On note que γ doit être positif constant et suffisamment large tel que pour

toute matrice symétrique positive P(0), la condition suivante est vérifiée :

0 0 0 0, 0, 0 : , ( )t t t I P t I (74)

Pour prouver la convergence exponentielle de l’observateur, on considère

l’erreur d’estimation ˆ( ) ( ) ( )t x t x t . Sa dynamique est donnée par :

.1( ( ( )) ) ( )TA u t P C C t (75)

Considérons maintenant la fonction candidate de Lyapunov

( ( )) ( ) ( )TV t t P t , sa dérivée tout au long de la dynamique d’erreur est donnée par :

.

( ( )) ( ( ))V t V t (76)

Alors on peut conclure que l’observateur considéré converge

exponentiellement.

3.3.3.2 Observateur adaptatif pour le convertisseur multicellulaire

Tout d’abord, il faut étudier l’observabilité du système considéré [BEJ10]. Pour ce

faire, on va se référer au modèle d’état donné par (57) qui va être adapté à la structure

du convertisseur donnée par la Fig. 53 de la façon suivante :

Page 111: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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1

1 11

22 2 1 2 1 2 3 2

2

1 2 3

1

2

0 0

0 0

0

0 ,

''

0 0 1

.

.= +

.

- --

r

E CE

rE E avec r u u r u u

CI E

I r r R uL

L L L

E

I E

I

(77)

Ce modèle peut être alors écrit sous la forme :

.

3( ) ( )X A r X G uy CX

(78)

Pour les différentes configurations, les condensateurs ne sont pas toujours

parcourus par le courant de charge. Le courant peut passer par un ou deux

condensateurs comme il peut ne parcourir aucun condensateur dans le cas où les

interrupteurs du haut de chaque cellule sont tous fermés ou tous ouverts. Donc,

certaines configurations posent un problème d’observabilité du système étudié. Ceci

peut être prouvé en effectuant le test de rang [HER77] suivant, dans les cas où, au

moins, un condensateur est parcouru par le courant de charge:

2

( ( )) 2 3

( ( ) )

T

T

T

C

rang CA q

CA q

(79)

Dans le cas où les tensions aux bornes des condensateurs restent constantes et

seul le courant de charge varie (configurations U1 et U8), le rang de la matrice

d’observabilité défini par (79) sera égal à 1 (r1=r2=0) et il ne sera pas possible

d’observer ces tensions à partir de la mesure du courant de charge et du calcul de ses

dérivées.

Donc le convertisseur n’est pas observable pour n’importe quelle

configuration de commandes. Cependant, afin d’étudier les conditions pour lesquelles

les tensions aux bornes des condensateurs sont observables à partir de la mesure de

courant de charge, il faut analyser le fonctionnement du convertisseur pour les

différentes configurations possibles.

1er cas : r1=1, r2=0

Pour cette configuration, le courant parcourt le condensateur C1 dans le sens de la

charge (Fig. 55).

Donc la tension E1 va varier, alors que la tension E2 reste constante (80).

Page 112: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 91

.

1

1

.

2

.

1

( )

( ) 0

1 ''( ) ( ) ( )

IE t

C

E t

R EI t I t E t

L L L

(80)

Donc la variable E1 est observable en mesurant le courant de charge et en

calculant sa dérivée alors que la tension E2 ne l’est pas.

2ème cas : r1=0, r2=1

Pour ce mode de fonctionnement, le courant parcoure le condensateur C2 en le

chargeant (Fig. 56).

Cette charge va provoquer la variation de la tension E2 alors que la tension E1

reste constante (81).

.

1

.

2

2

.

2

( ) 0

( )

1 ''( ) ( ) ( )

E t

IE t

C

R EI t I t E t

L L L

(81)

Donc en mesurant le courant de charge, la variable E2 est observable alors

que la tension E1 ne l’est pas.

3ème cas : r1= -1, r2= 1

Pour cette configuration, le courant parcoure les deux condensateurs en provocant la

charge de C2 et la décharge de C1 (Fig. 57).

Cette configuration va provoquer l’augmentation de la tension E2 alors que la

tension E1 va diminuer (82).

.

1

1

.

2

2

.

1 2

( )

( )

1 ''( ) ( ) ( ( ) ( ))

IE t

C

IE t

C

R EI t I t E t E t

L L L

(82)

Dans ce cas, seule la quantité E1-E2 est observable à partir de la mesure du

courant de charge et du calcul de sa dérivée.

4ème cas : r1= r2= 0

Page 113: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 92

Pour cette configuration, le courant ne parcoure aucun condensateur (Fig. 58). Ainsi,

les deux tensions E1 et E2 restent constantes (83)

.

1

.

2

.

( ) 0

( ) 0

''( ) ( )

E t

E t

R EI t I t

L L

(83)

Dans ce cas, aucune des tensions aux bornes des condensateurs n’est

observable.

Ainsi on peut déterminer l’observabilité des tensions aux bornes des

condensateurs pour les différentes configurations [BEJ10]

E’’

R

LE2

Q3E

1Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

Fig. 55 1er cas : Charge de C1 (configuration U7)

Page 114: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 93

E’’

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

Fig. 56 2ème cas : Charge de C2 (configuration U5)

E’’

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

Fig. 57 3ème cas : Charge de C2 et décharge de C1 (configuration U6)

Page 115: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 94

E’’

R

LE2

Q3

E1

Q2 Q1

Q’3 Q’2 Q’1

u3 u2 u1

I

Fig. 58 4ème cas : Le courant ne parcoure aucun condensateur (configuration U1)

En résumé, pour n’importe quelle configuration active (le courant de charge

parcoure au moins un condensateur) du système considéré, seule la quantité r1E1+r2E2

est observable.

a) Conception de l’observateur

Après l’analyse du fonctionnement du système pour différentes configurations, on

peut conclure que, sur une période d’échantillonnage, les deux tensions ne sont pas

observables en même temps. Pour que ça soit le cas, il faut raisonner, au moins, sur

deux périodes d’échantillonnage. Il n’est pas possible donc de construire un

observateur adaptatif sur la base du modèle du convertisseur donné par (77).

Pour remédier à ce problème, l’idée est de considérer deux modèles affines

d’ordre 2 interconnectés et construire l’observateur sur la base de ces modèles. Ceci

va nous ramener à écrire le modèle du système de la façon suivante :

Page 116: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 95

.

1 11

.1 2

1 3 2

.

2 22

.2 1

2 3 1

( )

( ) ( )''( ) ( )

( )

( ) ( )''( ) ( )

IE t r

C

E t E tR EI t r I t u r

L L L LI

E t rC

E t E tR EI t r I t u r

L L L L

(84)

Cependant, pour ces deux systèmes, on peut distinguer deux vecteurs d’états

notés X1(t) et X2(t) et la forme affine compacte du convertisseur à trois cellules de

commutations sera donnée par :

(3)

.

1 1 1 1 1 2 2

.

2 2 2 2 2 1 1

( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , )

: ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , )

( ) ( ), 1,2

H

i

X t A r X t B r u y H r X

X t A r X t B r u y H r X

y t CX t i

(85)

2 12 11 2 2 2 1 1

3

0( )

0 0

( , ) , ( , )0 0

''

( , , )

1 0

ii

i

i

i

ii

IX

E

r

A r L

E Er ravec H r X H r XL L

R EI u

L LB r u y

Ir

C

C

Pour construire l’observateur sur la base de ces modèles, il faut vérifier les

conditions suivantes :

La première étape consiste à vérifier que les entrées qi sont régulièrement

persistantes [BES99] [GHA10] pour le système donné par (85). Si une entrée est

régulièrement persistante, elle permet d’exciter suffisamment le système pour obtenir

les informations nécessaires à la reconstruction des variables non mesurées à l’aide de

l’observateur conçu. Ce nouveau concept de persistance régulière pour les systèmes

dynamiques hybrides est équivalent à la notion d’observabilité Z(TN) [KAN09].

Page 117: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 96

Cette notion de Z(TN) observabilité a été définie dans [BEN09] comme suit :

Considérons la classe de systèmes hybrides suivante :

( , , ), ,( , , )

nx f t x q q Q xy h t x q

(86)

où x est l’état continu, q est présenté par la séquence de commande prenant

uniquement des valeurs discrètes. Q est un ensemble fini, les fonctions f et h sont deux

champs de vecteurs suffisamment dérivables. Pour cette classe de système, la notion

d’observabilité est fortement liée à la séquence de commande q, nous avons alors

besoin de définir la notion suivante :

La fonction z=Z(t,x,u) est Z(TN) observable le long de la trajectoire de temps

hybride TN si pour toutes les trajectoires (t,xi(t),ui(t)), (i=1,2) définies dans l’intervalle

de temps [tini,tend], l’égalité h1(t,x1,u1)= h2(t,x2,u2) implique Z(t,x1)=Z(t,x2).

La deuxième étape revient à vérifier que les fonctions H1(q2,X2) et H2(q1,X1)

sont globalement Lipschitz par rapport à X2 et X1 respectivement. Cette condition est

vérifiée car ces deux fonctions sont linéaires.

L’observateur sera ensuite donné par:

(3)

.1

1 1 1 1 1 2 2 1 1

.

1 1 1 1 1 1 1 1

.1

2 2 2 2 2 1 1 2 2

.

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( )

( ) ( ) 2

:ˆ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( )

( ) ( ) 2

ˆ ( )

T

T T

TH

T T

i

Z t A r Z t B r u y H r Z r P C y y

P r P A r P P A r C C

OZ t A r Z t B r u y H r Z r P C y y

P r P A r P P A r C C

y CZ t

(87)

Page 118: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 97

2 12 11 2 2 2 1 1

3

1 2

ˆ

ˆ

0( )

0 0

ˆ ˆ( , ) , ( , )

0 0

''

( , , )

1, 0, 0

0

i

i

i

i

i

ii

T

IZ

E

r

A r L

r rE EH r Z H r Zavec L L

R EI u

L LB r u y

Ir

C

C

On note 11

TP C et 12

TP C les gains de l’observateur des deux systèmes

interconnectés (P1 et P2 sont deux matrices définies symétriques positives [GHA10]).

Ces gains sont multipliés par |r1| et |r2| comme le montre (87).

Remarque1

Donc, dans le cas où r1=0 (respectivement r2=0), la tension E1

(respectivement E2) est constante et par conséquence inobservable, l’observateur est

figé et fonctionne en estimateur (sans gains de correction).

Remarque2

Dans le cas où r1=r2=0, les deux tensions aux bornes des condensateurs sont

constantes et par conséquent non observables et les estimations de ces tensions

demeurent constantes, durant l’application de ces configurations (U1 et U8). Dans ce

cas, les deux entrées ne sont pas persistantes.

b) Analyse de convergence de l’observateur pour chacune des configurations

On considère e1=X1-Z1et e2=X2-Z2 les erreurs d’estimation entre le modèle du système

donné par (85) et l’observateur défini par (87).

Leurs dynamiques sont données par :

.1

1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2

.1

2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1

( ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

T

T

e A r r P C C e H r X H r Z

e A r r P C C e H r X H r Z

(88)

Page 119: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 98

2 2 21 2 2 1 2 2

1 1 12 1 1 2 1 1

ˆ( , ) ( , )

0

ˆ( , ) ( , )

0

r E EH r X H r Z

Lavec

r E EH r X H r Z

L

Proposition : soit une séquence d’intervalle t0….tN. Pour une séquence de commande

[Q0….QN] régulièrement persistante avec QN la valeur de Q=[r1,r2] dans l’intervalle de

temps [tN tN+1], l’observateur interconnecté donné par (87) est un observateur adaptatif

hybride du modèle interconnecté du convertisseur à 3 cellules de commutation donné

par (85) pour γ1 et γ2 positifs et suffisamment grands.

Preuve : pour chaque période d’échantillonnage [ti ti+1], il existe une séquence d’entrée

Qi=[r1,r2].

On considère la fonction de Lyapunov candidate suivante :

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2T TV r e Pe r e P e r V r V (89)

Hypothèse : pour chaque période d’échantillonnage, il faut vérifier que le temps de

convergence de l’observateur est plus petit que le temps de séjour dans un état donné.

1ère période d’échantillonnage : r1=1, r2=0

Dans cette première période d’échantillonnage, seule la tension E1 est observable.

Donc on reconstruit uniquement E1 et E2 reste constante. La fonction de Lyapunov

candidate sera donc donnée par :

1 1 1 1TV e Pe V (90)

Sa dynamique sur cette période sera donnée par :

.

11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1T T TV e Pe e Pe e Pe V (91)

La solution de V1 est donnée par :

1 0( )1 1 1( ) ( (0))

t tV t V e e (92)

Ensuite, puisque q1 est persistante, il sera facile de prouver que :

1 0( )1 1 1 0( ) ( )

t te t K e t e (93)

Donc pour γ1 suffisamment grand, il existe ti < τi < ti+1 tel que :

1( ) , ie t t (94)

où est une petite erreur (acceptable) après convergence.

Puisque q est constante durant une période d’échantillonnage, τi doit être plus

petite que ti+1. D’après (93), ce temps de convergence τi est donné par :

Page 120: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 99

1 1 0

11

( )i i i i

log K e t logt t t (95)

D’où en choisissant γ1 suffisamment grand, on peut vérifier que τi< ti+1

(hypothèse vérifiée).

Donc pendant cette période, la convergence exponentielle de la dynamique de

l’erreur d’estimation est prouvée. On doit choisir γ1 suffisamment grand pour faire

converger la tension E1 alors que la tension E2 reste constante puisque le courant ne

traverse pas le condensateur C2.

2ème période d’échantillonnage : r1=0, r2=1

Durant cette période, on ne peut observer que la tension E2 puisque le courant ne

traverse que le condensateur C2 et par la suite la tension E1 reste constante. La

fonction de Lyapunov candidate sera donc exprimée par :

2 2 2 2TV e P e V (96)

Sa dynamique sur cette période sera donnée par :

.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2T T TV e P e e P e e P e V (97)

La solution de V2 est donnée par :

2 0( )2 2 2( ) ( (0))

t tV t V e e (98)

Ensuite, puisque q2 est persistante, il sera facile de prouver que :

2 0( )2 2 2 0( ) ( )

t te t K e t e (99)

Donc pour γ2 suffisamment large, il existe ti < τi < ti+1 tel que :

2 ( ) , ie t t

(100)

où δ est une petite erreur (acceptable) après convergence.

Puisque q est constante durant une période d’échantillonnage, τi doit être plus

petite que ti+1. D’après (99), ce temps de convergence τi est donné par :

2 2 0

12

( )i i i i

log K e t logt t t (101)

D’où en choisissant γ2 suffisamment grand, on peut vérifier que τi< ti+1

(hypothèse vérifiée).

La convergence exponentielle de la dynamique de l’erreur d’estimation est

prouvée encore une fois et γ2 doit être choisi suffisamment grand pour faire converger

la tension E2 alors que la tension E1 ne varie pas puisque le courant ne traverse pas le

condensateur C1.

Page 121: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 100

3ème période d’échantillonnage : r1=-1, r2=1

Durant cette période, on ne peut estimer que la somme des deux tensions. La fonction

de Lyapunov candidate sera donnée par :

1 1 1 2 2 2 1 2T TV e Pe e P e V V (102)

Sa dynamique sur cette période sera donnée par :

.

1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 12 [ ( , ) ( , )] 2 [ ( , ) ( , )]T TV V V e P H r X H r Z e P H r X H r Z (103)

En raisonnant sur les normes et en tenant compte du fait que les fonctions Hi

sont globalement Lipschitz linéaires, on peut écrire :

1( , ) ( , ) , 1,2, 1,2, i j j i j j jH r X H r Z K e avec K i j i j

L (104)

Il en découle :

.

1 1 2 2 1 22 'V V V K e e (105)

1 2 ' ( )avec K K K K

Maintenant, on considère les inégalités suivantes :

2 2 2 2

min max( ) ( ) , 1,2i i

Ti i i i i i i i iP P

P e e P e avec e e Pe i (106)

avec λmin(Pi) et λmax(Pi) sont respectivement les valeurs propres minimales et

maximales de Pi.

En écrivant la relation (105) avec les termes des fonctions V1 et V2, il s’en

suit :

1.

min 1 max 11 1 2 2 1 2 1 2

2min 2 max 2

2 '

( ) ( )2( )

2 '

( ) ( )

K

P PV V V V V avec

K

P P

(107)

Ensuite en utilisant l’inégalité suivante :

1 2 1 2

1, 0,1

2 2V V V V (108)

On obtient alors :

.1 2

1 1 1 2 1 2 2 2

( )( )V V V V V (109)

Finalement, on définit :

Page 122: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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1 1 1 2

1 22 2

( ) 0

( )0

(110)

Il s’en suit:

.

1 2 1 2( ) min( , )V V V V avec (111)

Selon (111) et en suivant la même procédure dans (94) et (100), il existe un

temps τi> ti tel que :

1 2 1( ) ( ) , ie t e t t t (112)

où ∆ est une petite erreur (acceptable) après convergence.

Ainsi, γ1et γ2 doivent être choisis suffisamment grands pour vérifier

l’hypothèse sur le temps de convergence τi< ti+1.

La convergence exponentielle de la dynamique de l’erreur d’estimation est

prouvée encore une fois et γ1 et γ2 doivent être choisi suffisamment grand pour faire

converger les tensions E1 et E2. Comme cela était indiqué lors de l’analyse de

fonctionnement du système, durant cette configuration, seule la somme des deux

tensions est observable.

4ème période d’échantillonnage : r1=r2=0

Durant cette période, les deux tensions aux bornes des condensateurs ne sont pas

observables puisque le courant de charge ne passe par aucun condensateur. Donc les

tensions aux bornes des condensateurs restent constantes et l’observateur reste figé.

Donc après deux périodes d’échantillonnage (configurations actives), les

deux tensions aux bornes des condensateurs sont estimées à partir de la mesure du

courant de charge.

c) Observateur à temps discret

Pour implémenter l’observateur adaptatif conçu (87) sur un banc expérimental, nous

avons opté pour l’utilisation d’une représentation en temps discret de l’observateur.

Sachant que les entrées r1 et r2 sont constantes durant une période

d’échantillonnage, les fonctions A(r1), A(r2) et B(r,y) sont aussi constantes durant une

période. Toutefois, les matrices H1(r2,Z2) et H2(r1,Z1) sont variables en fonction de Z2

et Z1. Si on suppose que ces matrices varient peu en fonction de Z2 et Z1, les équations

de l’observateur interconnecté discrétisées avec une approximation de Taylor à l’ordre

2 avec une période d’échantillonnage Te fixe seront données par :

Page 123: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 102

11 1 1 1 1 2 2 1 1 1

12 2 2 2 2 1 1 2 2 2

ˆ(( 1) ) ( ) [ ( , ) ( , )] ( ) ( ( ) ( ))

ˆ(( 1) ) ( ) [ ( , ) ( , )] ( ) ( ( ) ( ))

ˆ( ) ( )

Te e e e e

Te e e e e

e i e

Z k T F Z kT G B r y H r Z G r P kT C y kT y kT

Z k T F Z kT G B r y H r Z G r P kT C y kT y kT

y kT CZ kT

(113)

2( ) 2

2 3( ) 2

0

( )* ( ) *2

( * ( )* ( ) * )2 6

ˆ( )

ˆ

i e

e

i

A r T ei i e i

TA r s e e

i e i i

i e

i

TF e I A r T A r

T Tavec G e dsB I T A r A r B

IZ kT

E

Pour discrétiser les matrices 1P et 2P , on a procédé comme suit. On pose une

matrice symétrique P1 de la façon suivante :

11 121

12 22

a aP

a a (114)

On considère maintenant le vecteur 1 11 12 22

Tw a a a constitué des

composants de la matrice P1 définie symétrique positive. En se référant à (87), la

dérivée par rapport au temps de w1 est donnée par :

1 11 1P Pw A w B (115)

1

1

11

1

1 11

1

11

( 2 ) 2 0

( )

0 2

2 0 0

P

T

P

rR

L C

r rRA

L L Cavec

r

L

B

Donc la représentation en temps discret de 1P est donnée par :

1 11 1

11 121 1

1 12 221 1

(( 1) ) ( )

(( 1) ) (( 1) )(( 1) )

(( 1) ) (( 1) )

e w e w

e ee

e e

w k T F w kT G

w k T w k TP k T

w k T w k T

(116)

Page 124: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 103

1

1 1 1

1

1 1 1 1 1

22

2 32

0

* *2

( * * * )2 6

P e

e

P

A T ew P e P

TA s e e

w P e P P P

TF e I A T A

avecT T

G e dsB I T A A B

On procède de la même manière pour donner la représentation en temps

discret de 2P .

2 22 2

11 122 2

2 12 222 2

(( 1) ) ( )

(( 1) ) (( 1) )(( 1) )

(( 1) ) (( 1) )

e w e w

e ee

e e

w k T F w kT G

w k T w k TP k T

w k T w k T

(117)

2

2

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2

22

2

2 22

2

22

22

2 32

0

( 2 ) 2 0

( )

0 2

2 0 0

* *2

( * * * )2 6

P e

e

P

P

T

P

A T ew P e P

TA s e e

w P e P P P

rR

L C

r rRA

L L C

r

Lavec

B

TF e I A T A

T TG e dsB I T A A B

d) Résultats de simulation

Les simulations ont été effectuées avec :

1 2 33 , 33 , 50 , '' 120C C F R L mH E V . Les tensions de références aux bornes

des condensateurs ont été fixées à 1 2/3, 2 /3c cE E E E avec une référence de

courant sinusoïdale d’amplitude 0.7A avec une composante continue de 1.1A et de

fréquence 50Hz. Les valeurs de γ1 et γ2 ont été fixés à 800 chacun pour un premier test

puis à 1500 chacun lors d’un deuxième test pour mettre en évidence leur influence sur

le temps de convergence de l’observateur. La valeur du facteur de pondération a été

fixée à 0.3.

Le courant de charge est estimé avec une erreur moyenne entre la mesure et

l’estimation de 19mA (Fig. 59).

Les tensions aux mesurées aux bornes des condensateurs et estimées sont

données par (Fig. 60 et Fig. 61) pour des valeurs de (γ1,γ2) différentes.

Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par Fig. 62.

Page 125: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 104

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

I

Ic

Iest

Fig. 59 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

10

20

30

40

50

E1

E1c

E1est

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

20

40

60

80

E2

E2c

E2est

Fig. 60 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=800)

Page 126: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 105

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

10

20

30

40

50

E1

E1c

E1est

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

20

40

60

80

E2

E2c

E2est

Fig. 61 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s) (γ1= γ2=1500)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90tension de sortie Vo

Fig. 62 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

e) Validation expérimentale

L’étude expérimentale de l’observateur interconnecté basé sur la commande

monocoup a été menée sur le convertisseur illustré par la Fig. 38 avec deux

condensateurs à potentiels flottants (C1=C2=33μF) associé à une charge passive de

type RL (R=33Ω, L=50mH, L/R=1.5ms). Le bus continu est alimenté par une source

de tension Xantrex réglée à 120V ( '' 120E V ). L’algorithme de l’ensemble

commande-observateur a été implémenté en langage C et les calculs sont toujours

Page 127: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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effectués à l’aide d’une carte d-Space dS1104. Le temps de calcul de l’ensemble

commande-observateur a été de 120μs. Cette nette augmentation par rapport au temps

de calcul de la commande monocoup (32μs) est due au calcul en temps réel des

matrices de discrétisation. Pour remédier à ce problème, nous avons procédé à un

calcul formel hors ligne de ces matrices et le temps de calcul de l’ensemble

commande-observateur a été réduit à 58μs (le temps de calcul de l’observateur a passé

de 88μs à 26μs). Ainsi, la période d’échantillonnage a été fixée à 85μs.

Comme lors des résultats expérimentaux de la commande monocoup, une

amélioration de la poursuite des valeurs désirées des tensions aux bornes des

condensateurs à potentiels flottants conduit à des oscillations plus importantes au

niveau du suivi de courant qui circule dans la charge. Pour améliorer cette poursuite,

on est contraint de diminuer la performance du suivi des tensions.

Plusieurs tests ont été effectués dans ce sens afin de pouvoir trouver un

compromis pour garder des suivis convenables. Ces tests ont permis de fixer la valeur

du facteur de pondération μ à 0.3.

Pour satisfaire les conditions de convergence de l’observateur conçu, les

paramètres γ1 et γ2 ont été fixés à 1500 chacun.

Les tests expérimentaux ont été effectués en considérant deux consignes de

courant de charge différentes.

Cas 1 : courant sinusoïdal

Dans ce cas, une consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 0.8A avec une

composante continue de 1A et de fréquence 50Hz a été appliquée (Fig. 63). Le courant

de charge est estimé avec une erreur moyenne entre la mesure et l’estimation de

29mA.

Les tensions aux bornes des condensateurs à potentiels flottants sont estimées

avec des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation de 1.54V sur E1 et 1.39V sur

E2 (Fig. 64).

Les niveaux de tensions à la sortie du convertisseur sont donnés par la Fig.

65. On peut remarquer que seulement trois niveaux de tensions sont distinguables

alors que normalement en considérant les valeurs de références des tensions aux

bornes des condensateurs prises lors de ce test expérimental, cette structure permet

d’en avoir quatre niveaux de tensions à la sortie du convertisseur. Ceci est du au fait

que la consigne de courant n’est pas suffisamment grande , donc elle peut être atteinte

sans que la configuration U8 (qui présente une dynamique de courant plus importante

que les autres configurations) ne soit appliquée.

Page 128: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 107

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Ic

I

Iest

Fig. 63 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0730

35

40

45

50

E1c

E1est

E1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0770

75

80

85

90

E2c

E2est

E2

Fig. 64 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

Page 129: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Vao

Fig. 65 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

Cas 1 : courant en créneaux

Lors de ce test, une consigne de courant en créneaux d’amplitude 0.8A avec

une composante continue de 1A et de fréquence 50Hz a été appliquée.

Il est à remarquer que le courant de charge mesuré et celui estimé atteignent

la consigne de courant en régime permanent après un retard de 1.5ms et avec une

erreur moyenne entre la mesure et l’estimation de 37mA (Fig. 66).

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Ic

I

Iest

Fig. 66 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Les tensions estimées aux bornes des condensateurs (Fig. 67) sont très

similaires à celles illustrées dans le premier cas et ils gardent presque les mêmes

Page 130: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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performances dynamiques, avec des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation

de 1.27V sur E1 et 1.18V sur E2.

Cependant, quatre niveaux de tensions peuvent être distingués (Fig. 68) à la

sortie du convertisseur à 3 cellules de commutation. Le niveau de tension E qui

manquait, dans le premier cas, est cette fois distinguable. Ceci est dù à un saut

instantané de courant d’une valeur de 0.2A à une valeur de 1.8A. Ce saut ne peut être

assuré que lorsque la configuration U8 est sélectionnée et par conséquent le courant au

niveau de la charge augmente sans passer par les condensateurs.

On note aussi que le temps de montée de courant est plus petit que celui de la

descente. Ceci est dù au fait que le convertisseur est en roue libre pendant le temps de

descente.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0730

35

40

45

50

E1c

E1est

E1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.0770

75

80

85

90

E2c

E2est

E2

Fig. 67 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07-20

0

20

40

60

80

100

120

Vao

temps (s)

(V)

Fig. 68 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

Cette variation des erreurs moyennes entre la mesure et l’estimation pour

chaque consigne est résumée par :

I sinusoïdal I en créneaux

1_ _Err est E (V) 1.54 1.27

2_ _Err est E (V) 1.39 1.18

_ _Err est I (A) 0.029 0.037

Tableau 9 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ

3.4 Application : convertisseur à trois cellules de commutation alimentant une MCC

L’approche de commande monocoup, présentée précédemment a été appliquée sur le

convertisseur à trois cellules de commutations alimentant un moteur à courant continu

(Fig. 14). Cette commande repose donc sur le modèle d’état hybride de l’ensemble

convertisseur-moteur donné par :

2 1

1 11

3 22 2

23 3

2 31 2

1

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 '

-.

. -= +

.- -k

--- L L L

L

u u

E CEE

u uE E E

CI u u

I u uu u R

L L

(118)

Page 132: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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L’objectif de la commande est toujours d’assurer l’asservissement de courant

et le maintien des tensions aux bornes des condensateurs autour de leurs valeurs de

référence. Au cours de la simulation, la constante de temps mécanique de la machine

(J/f) a été prise en compte pour calculer la vitesse de rotation du moteur à partir de la

valeur de couple. Donc dans la suite on va distinguer deux modèles différents de

l’ensemble convertisseur-machine. Un modèle de commande donné en (118) qui ne

prend pas en compte le mode mécanique de la machine à courant continu et un modèle

de simulation qui tiendra en comptes les deux modes mécaniques et électriques de la

MCC.

Les équations caractéristiques de la machine à courant continu, pour un

fonctionnement moteur, sont données par.

..

. .

.

E kCem k I

dIU R I L E

dtd

J Cem fdt

(119)

Avec k la constante de proportionnalité entre la f.e.m induite et la vitesse de

rotation du moteur qui dépend des paramètres de construction de la machine.

Ces équations peuvent être illustrées par le schéma bloc donné par la Fig. 69.

Donc on peut bien distinguer les deux modes mécanique et électrique de la

machine à courant continu. Vu que le mode électrique de la machine à courant continu

est pris en compte dans le modèle donné par (118), la synoptique du système de

simulation sera donnée par la Fig. 70.

Les tests de simulation ont été effectués en injectant une consigne de courant

nominal (10.5A) avec une valeur du facteur de pondération fixée à 0.1. Dans ces

conditions, le courant de mesure au niveau de la charge suit la consigne avec une

erreur moyenne de 0.33A (Fig. 71). Les tensions aux bornes des condensateurs sont

maintenues autour des références avec une erreur moyenne de 3.4V sur E1 et de 3V sur

E2 (Fig. 73).

k1

R+Lp

1

f+Jp

k

+

-

U

E

I Cem

Fig. 69 Schéma bloc de la MCC

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Commande

prédictive directe

Modèle de

commande

k1

f+Jp

Cem

E1#

E2#

I#

E1

E2

I

Modèle de simulation

k

E

u2

u1

u3

Fig. 70 Synoptique du système de simulation

La vitesse de rotation du moteur atteint en régime permanent la valeur

nominale avec une constante de temps mécanique de 175ms (Fig. 72).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

I

I#

Fig. 71 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

500

1000

1500

2000

2500vitesse de rotation omega

Fig. 72 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 170

80

90

100

110

E1

E1#

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1160

170

180

190

200

E2

E2#

Fig. 73 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

3.4.1 Validation expérimentale

3.4.1.1 Description du banc expérimental

Le convertisseur utilisé est celui donné par la Fig. 38. Le bus continu est alimenté par

deux sources de tension continue Xantrex réglée à 135V chacune.

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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La maquette d’essais (Fig. 74) se compose d’une machine à courant continu

de marque Parvex de 1.4kW (caractéristiques données par Tableau 10) accouplée à une

machine synchrone à aimants permanents de marque Leroy Somer de 1.6kW. La MCC

est commandée par le convertisseur à trois cellules de commutations. La MSAP sert

de charge, elle débite dans un pont de diodes connecté à une résistance de dissipation.

Fig. 74 Machine à courant continu associée à sa charge

Courant nominal(A) 10.5

Tension nominale(V) 134

Vitesse nominale

(tr/min)

2400

K(Nm/A) 0.49

R(Ω) 0.49

L(H) 4.3 10-3

J(kg.m2) 350 10-5

Tableau 10 Caractéristiques de la machine à courant continu

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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A chaque période de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la

loi de commande de déterminer l’état de commutation 3 2 1

TU t u u u à

appliquer en fonction de l’état mesuré et du point de consigne à suivre. Les sorties

utilisées sur la carte d-Space sont toujours les sorties numériques.

Le schéma global de la maquette expérimentale est donné par Fig. 75.

La mesure de vitesse de rotation des machines a été effectuée, en utilisant un

codeur incrémental 4096 points placé en bout d’arbre de la machine synchrone à

aimants permanents qui permet de mesurer la position du rotor.

Gestion des temps

morts et interface

fibres optiques

Carte d-Space

dS1104

Ordinateur

Logiciel ControlDesk

Drivers

MCC

Mes

ure

de

vit

esse

MSAP

Mesures du courant

et des tensions

Convertisseur

Fig. 75 Schéma complet de la plate-forme expérimentale

3.4.1.2 Résultats expérimentaux et interprétations

L’essai expérimental a été effectué en considérant une consigne de courant constante

(Fig. 77). Pour des contraintes expérimentales, cette consigne de courant ne peut pas

atteindre la valeur de courant nominal qui est de 10.5A. En fait, le problème réside

dans la réversibilité de l’alimentation du bus continu (alimentation Xantrex). Durant

l’étude expérimentale, on a été contraints à brancher des résistances en parallèle avec

l’une des sources d’alimentation afin de dissiper l’énergie qu’envoie le système sur la

source (Fig. 76).

Cependant, la valeur maximale de consigne de courant qui permet d’assurer

un fonctionnement normal du système était de l’ordre de 6.5A (Fig. 77). Dans ces

conditions, la MCC tourne à une vitesse qui avoisine 1000tr/min (Fig. 78).

Page 137: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Pour une valeur du facteur de pondération fixée à 0.3, le courant oscille

autour de cette valeur de consigne avec une erreur moyenne de 0.75A et les références

des tensions sont maintenues avec une erreur moyenne de 1.92V sur E1 et 2.39V sur E2

(Fig. 79).

Courant alternatif

Redressement

Fig. 76 Dissipation de l’énergie réinjectée à l’alimentation

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ic

I

Fig. 77 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

500

1000

1500

Vitesse

Fig. 78 Vitesse de rotation (tr/min) en fonction du temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470

80

90

100

110

E1c

E1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04160

170

180

190

200

E2c

E2

Fig. 79 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

Un deuxième test a été effectué avec la même consigne de courant en

diminuant la valeur de µ à 0.1 dans le but d’améliorer la poursuite de courant qui

représente l’objectif principal de cette application . Plusieurs essais ont été effectués

afin de trouver un compromis permettant d’assurer des poursuites acceptables des

trois variables d’état. Avec la nouvelle valeur de µ, une amélioration de la poursuite

de courant est notée (Fig. 80) avec une erreur moyenne de 0.62A alors qu’une

remarquable détérioration est notée pour le maintien des références de tensions aux

Page 139: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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bornes des condensateurs avec des erreurs moyennes de 4.55V sur E1et 4.84V sur E2

(Fig. 81)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ic

I

Fig. 80 Courant (A) en fonction du temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470

80

90

100

110

E1c

E1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04160

170

180

190

200

E2c

E2

Fig. 81 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

Cette influence du facteur de pondération µ sur les différentes poursuites des

variables d’état peut être résumée par :

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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µ=0.3 µ=0.1

1_Err E (V) 1.92 4.55

2_Err E (V) 2.39 4.84

_Err I (A) 0.75 0.62

Tableau 11 Variation des erreurs moyennes en fonction de µ

4 Commande à base d’inversion de modèle

Dans l’approche de la commande monocoup précédemment exposée, l’algorithme de

commande détermine, à chaque pas de calcul, le point d’arrivée pour chaque

configuration à partir d’un point de mesure . Ensuite il choisit la configuration qui

permet de se rapprocher le plus d’un point de référence donné dans l’espace d’état à

trois dimensions. Cette configuration sera, par la suite, appliquée au prochain pas de

calcul.

Cependant, cette approche de commande ne permet pas d’atteindre

parfaitement un point de référence donné sur chaque période d’échantillonnage (Fig.

82). D’autre part, ce type de commande implique des périodes de commutations

variables qui peuvent conduisent à des oscillations indésirables. Par conséquent, l’idée

qui sera développée dans cette partie sera de trouver une loi de commande qui permet

d’atteindre exactement la consigne à chaque instant de calcul avec une fréquence de

commutation fixe.

0 Te 2Te 3Te 4Te

MesureRéférence

Fig. 82 Évolution de la mesure par rapport à la référence (CM)

Page 141: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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4.1 Principe de la commande

Le principe de cette approche de commande (Fig. 84) est de déterminer les valeurs des

rapports cycliques qui permettent d’annuler l’écart entre la consigne et la mesure (Fig.

83).

Mesure

Référence

0 Te 2Te 3Te

ρ1

ρ2

ρ3

Fig. 83 Évolution de la mesure par rapport à la référence (commande à base d’inversion de modèle)

D’une façon plus explicite, pour toute condition initiale des variables d’état,

il est possible de trouver une séquence de commande à longueur finie qui permet au

système d’atteindre l’état désiré. Ce principe est donné généralement sous le nom de

« Deadbeat control ». Cette approche a été utilisée pour déterminer les tensions

appliquées à la charge permettant d’atteindre les consignes de courant. Ensuite, une

stratégie de modulation est utilisée pour traduire ce vecteur de tensions en

configurations de l’onduleur. Ce principe a été appliqué pour une machine

asynchrone à aimants permanents [MOO03].

Le terme « Deadbeat controllability » est utilisé pour définir la faisabilité de

cette stratégie sur une période finie.

La technique de commande présentée dans cette partie repose sur un modèle

d’état affine en la commande (120).

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Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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.

. .X A X B X U D (120)

A partir de ce modèle, les rapports cycliques peuvent être déterminés en

effectuant une opération d’inversion sur la matrice de commande et ils seront donnés

par :

.1U B X X AX D (121)

Commande

inverse

Modulateur de

puissance

Système

continu

Système

dynamique

Hybride (SDH)

Grandeur de

sortie

Consigne

Interface

de

commande

Rapports

cycliques

Nombre fini de

configurations

possibles

Fig. 84 Principe de la commande prédictive inverse

Il est à noter que le passage entre (120) et (121) n’est possible qu’après une

vérification de la condition de non singularité de la matrice de commande.

4.2 Application : convertisseur à trois cellules de commutations débitant sur une charge RL

L’approche de commande inverse est appliquée sur le convertisseur à trois cellules de

commutation donné par la Fig. 53. Le modèle simplifié correspondant est donné par :

2 1

11

3 22

2

2 31 2 3

0 0

( ) = ( ) + 0 0

( ) ( )

0( )( ) ( )

1 ( ) 0 .

( ) ''( ) ( )( ) ( ) ( )

e +

-

u k u k

CE k

u k u kX k X k E k T

CI k E

u k u ku k u k R u kL

L L L

(122)

4.2.1 Stratégie de commande

Pour la structure considérée, l’objectif de la loi de commande est d’asservir le

courant de charge. L’algorithme de commande doit donc déterminer à chaque pas de

calcul les rapports cycliques permettant d’atteindre un état de référence. Pour

Page 143: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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déterminer ces grandeurs, on va considérer un modèle prédictif valide pour une

commande définie par sa moyenne.

On note ( )R k la valeur moyenne calculée entre les instants d’échantillonnage

(k) et (k+1) de la grandeur fonction du temps ( )R t donnée par :

( 1)1( ) ( )

e

e

k T

kTe

R k R t dtT

(123)

On peut donc considérer que la valeur moyenne d’un état d’interrupteur ui(t)

est égale au rapport cyclique noté ρi(k) (i=1,2,3).

Ainsi, on peut écrire les équations différentielles reliant les variables d’état

aux valeurs des rapports cycliques. Par conséquent, le modèle simplifié donné par

(122) peut être écrit sous la forme suivante :

2 1

11

3 22

2

2 31 2 3

0 0

( ) = ( ) + 0 0

( ) ( )

0( )( ) ( )

1 ( ) 0 .

( ) ''( ) ( )( ) ( ) ( )

e +

-

k k

CE k

k kX k X k E k T

CI k E

k kk k R kL

L L L

(124)

En écrivant (124) sous la forme d’un modèle affine en la commande et en se

référant au modèle donné par (120), on obtient le modèle suivant :

1 11 1

2 22 2

3

1 2 1 2

( ) = ( ) +

( ) ( )0

0 0 0 ( ) ( )( ) ( )

1 0 0 0 ( ) . 0 ( )

( ) ( )0 0 ( ) ( ) ( ) '' ( )

( ( ))

e

I k I k

C CE k k

I k I kX k X k E k T k

C CR I k k

E k E k E k E E kL X(k)

L L LA

B X k

.

( )

eT

U k

(125)

U(k) représente le vecteur d’entrée regroupant les valeurs des rapports

cycliques des trois cellules de commutation. A est une matrice à coefficients constants

et B(X) est une matrice dont les coefficients dépendent à la fois des composantes du

vecteur d’état et de la tension d’alimentation E du bus continu.

L’objectif est de déterminer les rapports cycliques qui permettent d’atteindre

l’état de référence cX à l’instant (k+1). Donc cet état de référence doit être égal à

l’état du système à l’instant (k+1). Ainsi, le vecteur d’entrée qui regroupe les rapports

cycliques est donné, lorsque la matrice B(X) est inversible (pour des valeurs de

courant de charge non nulles), par :

1 1( ) ( ) ( ( 1) ( )) ( )

e

U k B X k X k X k AX kT

(126)

Page 144: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 123

4.2.2 Profils des commutations

Afin de valider le modèle donné par (124), l’idée est de comparer, sur une période

d’échantillonnage, le vecteur d’état X(k+1) calculé à partir de (124) et celui calculé

par (122). Pour ce faire, une stratégie de modulation va être appliquée aux rapports

cycliques calculés afin d’obtenir les états des interrupteurs des trois cellules de

commutations pour chaque période. Cependant, trois cas peuvent se présenter. Les

profils de commutations peuvent être centrés, à gauche ou à droite sur une période de

modulation. Par exemple, pour 3 2 10.25, 0.5 et 0.75 , ces profils sont donnés

par la Fig. 85.

Ces trois cas ont été étudiés en simulation. Pour chaque profil, on compare

les variations du courant de charge et des tensions aux bornes des condensateurs avec

celles obtenues avec l’application directe des rapports cycliques sur le modèle de

l’ensemble convertisseur-charge (Fig. 86 à Fig. 88). Les courbes en rouge

correspondent à l’évolution des variables d’état donnée par (124) et celles en bleu

représentent leurs évolutions calculées à partir de (122) avec les trois profils de

commutation.

Tmod

Tmod

Tmod

1

0

1

0

1

0

u3 u3 u3

u2u2u2

u1 u1 u1

Tmod Tmod

TmodTmod

Tmod Tmod

Impulsions

centrés

Impulsions à

gauche

Impulsions à

droite

U1 U2 U4 U8 U4 U2 U1 U8 U4 U2 U1 U1 U2 U4 U8

Fig. 85 Grandeurs de commande sur une période de modulation

Page 145: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

39.96

39.98

40

E1

E1centre

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

79.97

79.98

79.99

80

E2

E2centre

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

0

0.05

0.1

I

Icentre

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

0

1

2

u3

u2

u1

Fig. 86 Evolution des variables d’état avec des commandes centrées

Page 146: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 125

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

39.92

39.94

39.96

39.98

40

E1

E1gauche

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

79.97

79.98

79.99

80

E2

E2gauche

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

0

0.05

0.1

I

Igauche

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

0

1

2

u3

u2

u1

Fig. 87 Evolution des variables d’état avec des commandes à gauche

Page 147: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

39.96

39.98

40

E1

E1droite

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

79.97

79.98

79.99

80

E2

E2droite

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

0

0.05

0.1

I

Idroite

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-5

0

1

2

u3

u2

u1

Fig. 88 Evolution des variables d’état avec des commandes à droite

Il est à remarquer que les trois profils permettent au courant de charge de

rejoindre la valeur obtenue avec le modèle (124), alors que seules les impulsions

centrées permettent aux tensions aux bornes des condensateurs de rejoindre les valeurs

calculées par le même modèle.

Ceci peut être expliqué par le fait que seul le courant varie linéairement sur

une période de modulation. Donc pour n’importe quelle position des rapports

cycliques, le modèle considéré est prédictif pour le courant de charge.

Par contre, pour les tensions données par l’intégrale du courant, l’évolution

n’est pas linéaire et le modèle ne sera prédictif , pour ces tensions, que si les

impulsions sont centrées.

Par conséquent, cette stratégie centrée sera ensuite adoptée pour la générat ion

des profils de commutations.

4.2.3 Normalisation des rapports cycliques

Le problème majeur rencontré en simulation réside dans la détermination des

rapports cycliques permettant d’annuler l’écart entre la mesure et le vecteur de

consigne. Ces rapports doivent satisfaire la condition ( ) 0 1 , 1,2,3i k i . Cette

Page 148: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 127

condition est vérifiée si la distance entre le point de référence et le point de mesure est

dans un intervalle bien précis.

Comme cela a été évoqué dans l’équation (68) de la section de la commande

monocoup, les variations des variables d’état dépendent de la période

d’échantillonnage. Cependant, les variations maximales que subissent les variables

d’état entre deux instants d’échantillonnage peuvent ne pas être suffisantes pour

atteindre le point objectif. Dans ce cas, l’algorithme de commande va calculer les

rapports qui vont permettre d’atteindre le point de référence et ces rapports cycliques

ne seront plus compris entre 0 et 1 ce qui n’est pas réalisable physiquement.

Pour remédier à ce problème, deux solutions s’imposent. Soit on applique

deux rampes de consignes lentes pour les tensions aux bornes des condensateurs en

respectant les variations maximales possibles de ces tensions sur une période

d’échantillonnage, soit on cherche une stratégie de normalisation des rapports

cycliques. Dans le cadre de cette thèse, la deuxième solution a été choisie et appliquée

lors de l’implémentation expérimentale. Cette stratégie de normalisation doit assurer

une évolution des variables d’état vers leurs valeurs de référence tout en respectant la

condition posée sur les rapports cycliques.

Cette stratégie (Fig. 89) consiste à effectuer des tests sur les valeurs des

rapports cycliques et d’appliquer des opérations mathématiques pour que les rapports

soient dans le domaine physique défini par ( ) 0 1 , 1,2,3i k i . Cette technique a

été testée en simulation afin de juger de sa validité. La simulation consiste à

comparer, pour des valeurs de référence données, l’évolution des variables d’état avec

ou sans application de la stratégie de normalisation. Le test a été effectué avec les

conditions suivantes : 1 2 33 , 33 , 50 , '' 120 , 200modC C F R L mH E V T s .

Ce test de simulation montre que la normalisation des rapports cycliques

permet, d’une part, à partir d’un point de mesure donné, au courant de charge

d’évoluer dans le même sens de son évolution normale (sans application de stratégie

de normalisation sur les rapports cycliques) (Fig. 90), et d’autre part aux tensions aux

bornes des condensateurs d’évoluer dans la même direction et dans le même sens,

dans le plan des tensions, de leurs évolutions normales et de se rapprocher des valeurs

de références (Fig. 91) tout en garantissant la satisfaction de la condition sur ces

rapports. Par contre, dans plan d’état à trois dimensions, le vecteur d’état calculé avec

la stratégie de normalisation n’évolue pas dans la même direction de celui calculé sans

appliquer la normalisation des rapports cycliques (Fig. 92).

Toutefois, l’écart entre la mesure et la référence est lié à la période

d’échantillonnage. Plus cette période est grande plus les valeurs de mesure des

variables d’état se rapprochent de leurs valeurs de référence vu que le taux

d’accroissement de ces variables est proportionnel à la période d’échantillonnage.

Cette stratégie de normalisation sera testée, par la suite, en simulation afin de pouvoir

l’appliquer lors de l’implémentation de cette loi de commande à base d’inversion de

modèle.

Page 149: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 128

( )U k

( ) 0

1,2,3i k

i

ρ >=

max( ( ))U k

max( ( )) 1U k <

( )( )

max( ( ))i

ik

kU k

ρρ =

min( ( ))U k

( ) ( ) min( ( ))i ik k U kρ ρ= −

( )U k

Fig. 89 Principe de normalisation des rapports cycliques

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.688

0.69

0.692

0.694

0.696

0.698

0.7

0.702

I

sans normalisation

avec normalisation

Fig. 90 Evolution du courant en (A)

Page 150: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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40 40.5 41 41.5 42 42.5 43 43.5 44 44.5 4575

75.5

76

76.5

77

77.5

78

78.5

79

79.5

80

E1

E2

avec normalisation

sans normalisation

Fig. 91 Evolution des tensions en (V)

4041

4243

4445

74

76

78

800.685

0.69

0.695

0.7

E1E2

I

X(k+1) avec

normalisation

X(k)

X(k+1) sans

normalisation

Fig. 92 Evolution des variables d’état dans l’espace à trois dimensions

La synoptique complète de cette stratégie de commande à base d’inversion de

modèle est donnée donc par la Fig. 93.

Page 151: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Fig. 93 Synoptique de la commande prédictive par inversion de modèle

Ainsi, les différentes étapes de l’algorithme de commande peuvent être résumées par :

Mesurer E1(k), E2(k), I(k)

Calculer B(X(k))

Calculer les rapports

cycliques

( )i kρ

Appliquer les

configurations Ui à

l’instant (k+1)

Moduler les rapports

cycliques (profil centré)

( ) [0 1]i kρ ∈

Normaliser les rapports

cycliques

Non

Oui

Fig. 94 Principe de commande par inversion de modèle

Page 152: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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4.2.4 Résultats de simulation

Les tests de simulation ont été effectués avec les conditions suivantes :

1 2 33 , 33 , 50 , '' 120 , 70modC C F R L mH E V T s . Les références des

tensions aux bornes des condensateurs ont été fixées à ''/3E pour E1 et 2 ''/ 3E pour E2.

Pour contourner le problème de singularité de la matrice de commande, la

consigne de courant appliquée doit assurer des valeurs non nulles. Une consigne de

courant sinusoïdal d’amplitude 0.6A avec une composante continue de 0.8A et de

fréquence 50Hz (Fig. 95) a été appliquée.

Par ailleurs, un autre problème a été rencontré lors du test de simulation. En

fait, une fois les références des tensions sont atteintes par les mesures, l’objectif de

courant peut être atteint en appliquant les configurations U1 et U8 qui permettent de

varier le courant au niveau de la charge sans toucher aux tensions aux bornes des

condensateurs. Dans ce cas, le convertisseur considéré revient à un onduleur à deux

niveaux de tensions aux bornes de la charge.

Donc, pour conserver les propriétés du convertisseur multiniveau, l’idée est

de rajouter des signaux de bruit sur les tensions mesurées et par conséquence d’assurer

des charges et des décharges sur les condensateurs (Fig. 96). Ainsi, le courant au

niveau de la charge suit la référence (Fig. 95) avec une erreur moyenne de 9.8mA et un

THDi de 0.02%. Trois niveaux de tensions sont distingués au niveau de la charge (Fig.

97). Le quatrième niveau de tension possible ''E n’est atteint que lorsqu’on augmente

la consigne de courant.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.5

1

1.5

I

Ic

Fig. 95 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Page 153: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0438

39

40

41

42

E1

E1c

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0478

79

80

81

82

E2

E2c

Fig. 96 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90tension de sortie Vo

Fig. 97 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

4.3 Validation expérimentale

L’étude expérimentale a été menée pour le convertisseur illustré par la Fig. 53.

Page 154: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 133

4.3.1 Présentation du banc expérimental

Le convertisseur utilisé est celui donné par la Fig. 38. Le bus continu est alimenté par

une source de tension Xantrex réglée à 120V.

L’algorithme de commande proposé est implémenté en langage C sur la carte

d-Space d-S1104. La période d’échantillonnage a été fixée à 70μs. A chaque période

de calcul, une interruption est déclenchée permettant à la loi de commande de

déterminer les rapports cycliques à appliquer en fonction de l’état mesuré et des

valeurs de référence à suivre. Par la suite, la stratégie de normalisation (résultats

satisfaisants en simulation) sera appliquée à ces rapports. Enfin , la mise en œuvre des

profils de commutations est assurée grâce aux sorties MLI de la carte d-Space. Ces

sorties vont piloter une carte de commande (Fig. 98) qui permet de commander les

drivers à partir des fibres optiques.

Fig. 98 Interface de commande entre les sorties MLI et les drivers

4.3.2 Résultats expérimentaux et interprétations

L’essai expérimental a été effectué, en considérant une consigne de courant sinusoïdal

(Fig. 99) avec les mêmes caractéristiques que celle appliquée lors de la simulation. Le

courant mesuré suit la consigne avec une erreur moyenne de 11mA. Il est à noter

qu’une mesure de précaution supplémentaire a été prise dans l’algorithme de

commande qui consiste à rajouter des constantes très petites (de l’ordre de 10 -6) sur les

composantes de courant de la matrice de commande. Cette mesure permet d’assurer la

non singularité de cette matrice. Dans ces conditions, les références des tensions sont

maintenues autour des valeurs de référence avec des erreurs moyennes de 0.21V sur E1

et 0.13V sur E2 (Fig. 100).

Page 155: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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Les niveaux de tension aux bornes de la charge sont donnés par la Fig. 101.

Chaque front montant ou descendant de la tension de sortie est d’une amplitude égale

à ''/ 3E . Il est à noter que ces niveaux sont atteints sans une intervention sur les

références des tensions aux bornes des condensateurs vu qu’il y a toujours des

perturbations sur ces tensions qui empêchent un fonctionnement à deux niveaux de

tensions.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.5

1

1.5

Ic

I

Fig. 99 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0438

39

40

41

42

E1c

E1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0478

79

80

81

82

E2c

E2

Fig. 100 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

Page 156: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Vao

Fig. 101 Niveaux de tension aux bornes de la charge (V) en fonction du temps (s)

5 Conclusion

Dans ce chapitre, deux approches de commande à aspect prédictif ont été présentées ,

dans le but de contrôler deux dispositifs à topologie variable composés d’un processus

continu (charge passive de type RL puis une machine à courant continu) associé à un

modulateur de puissance (convertisseur série à trois cellules de commutation) ayant un

nombre fini de configurations.

Après une introduction aux différents aspects des commandes utilisées pour

contrôler les convertisseurs multicellulaires, les différentes étapes des deux approches

utilisées ont été exposées.

Le principe de la commande monocoup est le suivant : pour chaque période

de calcul, l’évolution dans l’espace d’état pour les différentes configurations possibles

du système est prédite, à partir d’un modèle simplifié hybride qui a été validé en

simulation. Ensuite, un critère de choix minimisant la distance entre le point de

mesure et le point de référence permet de sélectionner la configuration qui sera

appliquée durant la prochaine période d’échantillonnage. Cette approche a été

implémentée sur un banc expérimental pour commander un convertisseur à trois

cellules de commutation lié à une charge passive de type RL après avoir effectué une

étude comparative en simulation avec une commande PI classique associée à une

stratégie de MLI intersective. Cette étude a révélé une meilleure poursuite du courant

de charge (objectif principal) avec un THDi de 0.53% pour la CM contre un THDi de

0.93% pour la commande classique. Cette commande PI faisant appel à la stratégie

MLI pose un problème d’implémentation numérique (fréquence d’échantillonnage très

Page 157: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 136

élevée du signal modulant). Par la suite, une technique adaptative d’observation a été

appliquée sur le système considéré en se basant sur la stratégie de CM, dont le

principe est de reconstruire les tensions aux bornes des condensateurs à partir des

mesures de courant de charge et de la tension d’alimentation du bus continu. Cette

technique a été testée en simulation puis validée sur le banc expérimental et elle a

présenté des erreurs moyennes d’estimation inférieures à 2V pour deux consignes de

courant différentes. Enfin, la stratégie monocoup a été utilisée pour contrôler le

convertisseur série alimentant une MCC. Ce contrôle a été aussi testé en simulation et

validé sur le banc expérimental. Toutefois, tous les tests effectués avec cette stratégie

ont montré l’utilité du facteur de pondération, constante introduite dans la fonction

coût, pour améliorer le suivi de courant qui est l’objectif principal dans les

applications considérées,

Pour la deuxième méthode de commande prédictive inverse présentée, aucune

sélection de configuration n’est faite. Ceci permet d’éviter de calculer les différentes

évolutions possibles du vecteur d’état (risque d’explosion combinatoire quand le

nombre de configurations augmente comme dans le cas de 512 configurations possible

pour le convertisseur triphasé). Les rapports cycliques sont déterminés directement en

fonction de l’écart entre l’état mesuré et l’état de référence. Ceci est possible en

reformulant le modèle d’état considéré avec la stratégie monocoup et en le présentant

sous forme d’un modèle, affine en la commande, qui permet de calculer l’état du

système en fonction des rapports cycliques. Toutefois, l’écart entre la mesure et la

référence peut nécessiter l’application des rapports cycliques non réalisables

physiquement (état de référence trop loin de l’état mesuré) . Pour remédier à ce

problème, une normalisation du vecteur de commande a été proposée. Ensuite, ces

rapports cycliques sont appliqués suivant un profil de modulation précis qui garantit

que le modèle d’état soit prédictif pour les différentes variables d’état. Les tests de

simulation sont venus par la suite pour prouver l’intérêt de cette normalisation pour

assurer les suites désirées. En effet, la mesure de courant de charge a présenté un suivi

de la consigne appliquée avec un THDi de 0.02% pour cette technique de commande

contre un THDi de 1.59% pour la commande monocoup avec une valeur de µ de 0.1

(voir résultats pour la commande monocoup avec différentes valeurs de µ en Annexe

C).

Donc l’avantage principal de cette méthode est le fait qu’elle calcule

directement les rapports cycliques qui permettront d’atteindre la référence. Une fois

cet objectif atteint, le convertisseur considéré bascule sur une structure à deux niveaux

de tensions. Ceci est dù au fait que les références des tensions sont constantes alors

que le courant de consigne varie en fonction du temps. Pour garder l’aspect

multiniveau, les résultats expérimentaux ont permis de quantifier le bruit sur les

tensions aux bornes des condensateurs qui assure des actions de charge et de décharge

de ces condensateurs. Ce taux d’oscillation des tensions permet ainsi de régler le taux

d’ondulation du courant plus facilement. Ce réglage se faisait, dans le cadre de la

Page 158: application au convertisseur multicellulaire

Commande prédictive directe d’un onduleur monophasé Chapitre3

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 137

commande monocoup, par le biais du facteur de pondération dont la valeur varie

suivant la poursuite désirée.

Page 159: application au convertisseur multicellulaire
Page 160: application au convertisseur multicellulaire

Bilan et perspectives

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 139

Bilan et perspectives

Le travail présenté dans ce mémoire constitue une étude d’une classe des systèmes

dynamiques hybrides. Cette étude s’est intéressée , principalement, à la modélisation et

la commande d’un système physique à topologie variable , sous classe des SDH. Le

système en question est un convertisseur multicellulaire à potentiels flottants, dont la

caractéristique principale est la délivrance de plusieurs niveaux de tensions à sa sortie

en fonction des potentiels aux bornes des condensateurs qui séparent les cellules de

commutation. Pour ce convertisseur, la topologie d’interconnexion entre ses différents

constituants varie en fonction des états des interrupteurs de puissances présents sur

chaque bras de la structure. Le deuxième volet de l’étude a traité de la problématique

d’observation des tensions aux bornes des condensateurs à potentiels flottants

Dans la communauté automaticienne, les systèmes dynamiques hybrides

suscitent un intérêt de plus en plus grandissant. Cet intérêt est provoqué par

l’existence de nombreux systèmes physiques dans lesquels les deux aspects continu et

discret interagissent. Toutefois, ces systèmes bien particuliers nécessitent un

traitement bien spécifique. Dans ce contexte, après une présentation générale des

systèmes dynamiques hybrides et de ses principales classes, le premier chapitre a

porté sur la présentation de deux méthodes de modélisation des SDH. Il s’agissait de

la modélisation par graphes d’interconnexion et celle par la méthode des Bond Graph

commutés. Ces deux méthodes graphiques, de topologies différentes, se réunissent sur

le principe de synthétiser un modèle d’état dit hybride qui englobe les variables

continues et discrètes qui interagissent dans le système. La première méthode,

modélisation par graphes d’interconnexion des ports, est basée sur l’utilisation des

théories des graphes linéaires qui seront, par la suite, illustrés par des représentations

mathématiques qui mèneront à l’élaboration du modèle du système étudié. Cette

méthode a été utilisée en appliquant deux notions différentes, une appelée notion

d’arbre et coarbre qui permet d’obtenir un modèle explicite paramétré qui représente

tous les modes de fonctionnement du système, et une deuxième par matrices

Page 161: application au convertisseur multicellulaire

Bilan et perspectives

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 140

d’incidences paramétrées qui mène à une représentation paramétrée dite structure de

Dirac qui est non minimale et qui le devient en remplaçant les états des interrupteurs

dans la structure par leurs valeurs. La deuxième méthode de modélisation présentée

dans ce chapitre a été celle des Bond Graph commutés. Cette partie a constitué une

brève introduction à la méthode et ces deux approches à topologie fixe et à topologie

variable.

Le deuxième chapitre est venu pour appliquer l’approche à topologie variable

des Bond Graph commutés aux systèmes considérés dans cette thèse, à savoir le

convertisseur série à trois cellules de commutation qui a été associé à une charge

passive de type RL en premier temps puis alimentant une machine à courant cont inu

en deuxième temps. Comme dans le premier chapitre, l’application de cette méthode a

été illustrée par deux démarches différentes. La première technique, appelée

modélisation explicite par mode de configuration, utilise le formalisme Bond Graph

dans lequel les éléments de commutation sont représentés par des sources d’effort ou

de flux selon l’état de l’interrupteur de puissance en question. Cette technique, comme

son nom l’indique, permet d’établir un modèle explicite non paramétré par mode de

fonctionnement. La deuxième technique présentée dans cette partie a été celle appelée

modélisation implicite standard. Cette démarche part du même principe de

représentation des éléments en commutation et mène à une forme standard implicite.

A partir de cette forme, l’équation d’état paramétrée peut être calculée à chaque

commutation pour en déduire le modèle d’état explicite correspondant . Donc cette

méthode ne permet pas, elle aussi, d’avoir un modèle d’état explicite paramétré en

fonction des états des éléments de commutation. Pour remédier à cette imperfection,

une extension de cette méthode a été présentée à la fin du chapitre. Le résultat est un

modèle dit hybride qui englobe les variables continues et celles discrètes qui

caractérisent le système étudié.

En se référant à ce modèle dit hybride, deux approches de commandes

prédictives directes ont été exposées et détaillées dans le troisième chapitre. Après un

rappel sur les approches de commandes des convertisseurs multicellulaires les plus

utilisées, une première méthode à aspect prédictif, en l’occurrence la commande

monocoup, a été présentée. Pour des raisons de contraintes temps réel, cette technique

de commande a reposé sur un modèle simplifié qui a été validé en simulation en le

comparant au modèle discret. Le principe de cette technique est de prédire pour

chaque période d’échantillonnage, l’évolution des variables d’état, dans l’espace à

trois dimensions, pour les différents modes de fonctionnement possibles du

convertisseur considéré. Ensuite, en fixant un critère de choix, l’algorithme de

commande sélectionne la configuration qui minimise la distance entre le point prédit

et le point de référence. Enfin, la configuration sélectionnée sera appliquée pendant la

prochaine période d’échantillonnage. Cette technique , appliquée sur le convertisseur à

Page 162: application au convertisseur multicellulaire

Bilan et perspectives

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 141

trois cellules de commutation associé à une charge RL a été comparée en simulation

avec une méthode classique de commande PI faisant appel à une stratégie MLI puis

elle a été testée sur un banc expérimental. Les résultats expérimentaux exposés sont

venus pour confirmer l’utilité de la normalisation des variables d’état et de

l’introduction de la notion du facteur de pondération dans la fonction coût à

minimiser. Toutefois, l’implémentation numérique de cette approche de commande a

nécessité l’utilisation d’un certain nombre de capteurs , afin de contrôler l’évolution

des différentes variables d’état. Parmi ces capteurs, deux capteurs ont été utilisés afin

d’effectuer le contrôle des tensions aux bornes des condensateurs à potentiels

flottants. Ce contrôle, primordial pour conditionner la survie du convertisseur, peut

être très coûteux, si le nombre de cellules de commutation augmente. Donc pour

remédier à ce problème, un observateur adaptatif interconnecté, basé sur la stratégie

de commande monocoup développée, permet l’observation de ces tensions à partir de

la mesure du courant qui circule dans la charge et de la mesure de la tension

d’alimentation du bus continu, a été conçu et appliqué au système considéré (travail

effectué en collaboration avec les chercheurs de l’équipe ECS de l’ENSEA). Un

premier travail a consisté à analyser l’observabilité de ces tensions pour les différentes

configurations possibles du système. Puis, la conception de l’observateur en temps

continu a été exposée. Ensuite, après avoir analysé la convergence des valeurs

estimées vers leurs valeurs de mesure, les équations de l’observateur ont été

discrétisés pour respecter les contraintes temps réels imposées lors de

l’implémentation numérique. Enfin, l’observateur a été validé sur un banc

expérimental. De plus le convertisseur à trois cellules alimentant une MCC a constitué

une dernière application de la commande monocoup dans ce chapitre.

Une autre technique de commande à base d’inversion de modèle a été

également exposée et appliquée au convertisseur à trois cellules de commutation

associé à une charge RL. L’application de cette stratégie a nécessité la recherche d’un

modèle d’état affine en la commande qui va permettre, après avoir effectué un test de

non singularité de la matrice de commande, d’exprimer les rapports cycliques en

fonction de la distance à parcourir pendant une période d’échantillonnage entre la

mesure et la consigne. Donc, contrairement à la commande monocoup, plusieurs

configurations peuvent être appliquées durant une période d’échantillonnage. Pour

remédier au problème de saturation de la grandeur de commande, une normalisation

de ces rapports a été proposée et effectuée, avant d’appliquer la stratégie de

modulation adéquate qui permet d’atteindre l’objectif à chaque période . Les résultats

de simulation sont venus, par la suite, montrer l’intérêt de cette commande par rapport

à la commande monocoup, pour mieux suivre la consigne de courant de charge. Cette

technique a été par la suite validée sur le banc expérimental et elle a montré de bonnes

performances dynamiques.

Page 163: application au convertisseur multicellulaire

Bilan et perspectives

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 142

Donc au cours de cette thèse, on s’est intéressé aux méthodes de

modélisation, à l’élaboration des lois de commande et au traitement de la

problématique d’observation d’un système physique baptisé à topologie variable.

Toutefois, plusieurs idées et travaux de recherche peuvent venir compléter ce

travail.

Pour la modélisation, une mise en œuvre logicielle peut être envisagée, afin

de mettre en valeur et d’automatiser l’idée, développée dans le cadre de cette thèse, de

déterminer les éléments de la forme structurelle. Cette mise en œuvre peut être

effectuée sur des logiciels de simulation qui utilisent l’outil Bond Graph comme MS1

et 20Sim, en introduisant l’ensemble des règles décrites dans le chapitre2

(Détermination des éléments de la forme structurelle). Le développement à effectuer

devra permettre au logiciel d’établir les liens entre les variables mises en jeu , après

avoir effectué des tests de faisabilité (existence de chemin causal entre deux

variables).

Dans le volet de la commande, la commande à base d’inversion de modèle

peut être appliquée au convertisseur alimentant la machine à courant continu . Cette

stratégie de commande pourrait être aussi envisagée pour une application à un

onduleur triphasé alimentant une machine synchrone à aimants permanents, par

exemple, dans le but de piloter le couple du moteur. Dans ce cas, il y a 8 variables

d’état à gérer à chaque période d’échantillonnage (6 tensions aux bornes des

condensateurs et deux courants dans le repère diphasé) en fonction de 9 états des

interrupteurs de puissance présents dans la structure. En s’appuyant sur le principe de

la méthode, la première étape consiste à mettre le modèle d’état sous une forme affine

en la commande. Donc la matrice de commande sera une matrice rectangulaire ce qui

posera une contrainte sur l’inversibilité de cette matrice. L’ajout d’une heuristique

dans le modèle d’état peut être une piste à explorer pour résoudre ce problème.

Toutefois, cette application peut présenter un grand intérêt par rapport à l’application

d’une commande monocoup au même système (il y a 512 configurations à explorer

avant de sélectionner celle qui doit être appliquée pour se rapprocher de l’état de

référence dans le cas de la commande monocoup).

Par ailleurs, la recherche d’une autre stratégie de normalisation des rappor ts

cycliques, qui permet d’assurer une évolution des vecteurs d’état (calculés avec

normalisation et sans normalisation) dans la même direction, peut améliorer les

performances de cette stratégie de commande.

En ce qui concerne l’observation, une perspective envisagée, à court terme,

consiste à démontrer la convergence globale commande-observateur. De plus, l’idée

développée dans ce mémoire peut être étendue à la reconstruction de la vitesse en

présence de la force électromotrice induite dans le cas où le convertisseur alimente

une machine à courant continu. Cette estimation sera réalisable à partir de la mesure

du courant continu et de la tension d’alimentation du bus continu . Une autre

perspective, qui peut être envisageable, réside dans l’adaptation de l’observateur

Page 164: application au convertisseur multicellulaire

Bilan et perspectives

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 143

adaptatif interconnecté synthétisé à la commande prédictive à base d’inversion de

modèle.

Page 165: application au convertisseur multicellulaire
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[STR94] STRÖMBERG J.E. A mode Switching Modelling Philosophy. Thèse

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[VAL05] VALENTIN C., MAGOS M., MASCHKE B. Physical switching

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[ZAY01] ZAYTOON J. Systèmes dynamiques hybrides. Ouvrage collectif du

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Page 177: application au convertisseur multicellulaire
Page 178: application au convertisseur multicellulaire

Annexes

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 157

Annexes

Page 179: application au convertisseur multicellulaire
Page 180: application au convertisseur multicellulaire

Annexe A

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 159

Annexe A : modélisation explicite par mode de configuration

Configuration : 1 20, 1u u

Pour cette configuration, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 102.

1Se:E O 1

Q2:1 Q1:0

1Se:E' O 1

Q'2=0 Q'1=1

1 C:C 0 1

R:R

I:L

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Fig. 102 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration

On note que les interrupteurs Q2 et Q’1 sont modélisés par des sources

d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q1 et Q’2 sont modélisés par des

sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ qui présente des modifications par

rapport à la première configuration est le champ outmS . Le nouveau vecteur est défini

par :

Page 181: application au convertisseur multicellulaire

Annexe A

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 160

2

4

12

13

outm

e

fS

f

e

Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par :

18

9

17

18 2

9 4

17 12

13

0 -1 -1 1 0 0 1 1 0

1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 .

1 0 0 0 0 0 0 0 0

'

f

e

e

e e

f f

f f

e

E

E

(127)

En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le

modèle d’état suivant :

10

0 0

1 1 0

.

.

q q EL

R E'- -C L

(128)

Configuration : 1 20, 0u u

Pour cette configuration, le Bond Graph du système est donné par la Fig. 103.

Page 182: application au convertisseur multicellulaire

Annexe A

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 161

1Se:E O 1

Q2:0 Q1:0

1Se:E' O 1

Q'2=1 Q'1=1

1 C:C 0 1

R:R

I:L

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Fig. 103 Représentation Bond Graph de la nouvelle configuration

On note que les interrupteurs Q’2 et Q’1 sont modélisés par des sources

d’efforts nuls (état fermé) alors que les interrupteurs Q1 et Q2 sont modélisés par des

sources de flux nuls (état ouvert). Le seul champ qui présente des modifications par

rapport à la première configuration est le champ outmS . Le nouveau vecteur est défini

par :

2

4

12

13

outm

f

eS

f

e

Pour cette configuration, la relation structurelle est donnée par :

18

9

17

18 2

9 4

17 12

13

0 0 -1 0 1 0 1 0 -1

0 0 0 1 0 -1 0 0 0 .

1 0 0 0 0 0 0 0 0

'

f

e

e

e f

f e

f f

e

E

E

(129)

En appliquant la même démarche pour cette configuration, on obtient le

modèle d’état suivant :

Page 183: application au convertisseur multicellulaire

Annexe A

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 162

0 00 0

0 10

.

.

q q ER

- E'-L

(130)

Page 184: application au convertisseur multicellulaire

Annexe B

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 163

Annexe B : degrés de liberté dans le plan des tensions

Zone 1 : 1 2 2 1 6 2 6 5 4 3 3 7U URE BE BE VE U U U U U U

U6U2 U6 5U 4U U3 3 7U U

E1-

E2+

I+

E1-

E2+

I+

E2+

I-

E2-

I+

E1+

E2-

I-

E1+

E2-

I-

Zone 2 : 2 2 1 1 6 5 3 4 6 2 3 7BE VE BE VE U U U U U U U U

6U 5U U3U4 U6 2U U3U7

E1-

E2+

I+

E2+

I-

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I+

E1-

I-

E1+

E2-

I-

Zone 3 : 2 2 1 1 6 5 4 3 2 6 3 7BE BE BE VE U U U U U U U U

U6 U5 U4 U3 U2 U6 U3U7

E1-

E2+

I+

E2+

I-

E2-

I+

E1+

E2-

I-

E1-

I-

E1-

E2+

I+

E1+

E2-

I-

Page 185: application au convertisseur multicellulaire

Annexe B

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 164

Zone 4 : 2 2 1 1 5 6 4 3 6 2 3 7VE BE VE VE U U U U U U U U

5 6U U 4U 3U U6U2 U3U7

E1-

E2+

I-

E2-

I+

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I-

E1+

E2-

I-

Zone 5 : 2 2 1 1 5 6 3 4 6 2 7 3RE VE BE BE U U U U U U U U

5 6U U U3U4 U6 2U 7U 3U

E1-

E2+

I+

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I+

E1-

I-

E1+

I+

E1+

E2-

I-

Zone 6 : 2 2 1 1 6 5 3 4 6 2 7 3BE VE BE BE U U U U U U U U

6U 5U 3 4U U U6 2U 7U U3

E1-

E2+

I+

E2+

I-

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I+

E1-

I-

E1+

I+

E1+

E2-

I-

Zone 7 : 2 2 1 1 6 5 4 3 6 2 7 3BE BE BE BE U U U U U U U U

6U 5U 4U 3U U6 2U 7U U3

E1-

E2+

I+

E2+

I-

E2-

I+

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I+

E1-

I-

E1+

I+

E1+

E2-

I-

Zone 8 : 2 2 1 1 5 6 4 3 6 2 7 3VE BE VE BE U U U U U U U U

5 6U U 4U 3U U6U2 7U U3

E1-

E2+

I-

E2-

I+

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I-

E1+

I+

E1+

E2-

I-

Page 186: application au convertisseur multicellulaire

Annexe B

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 165

Zone 9 : 2 2 1 1 5 6 3 4 6 2 7 3VE VE VE BE U U U U U U U U

5 6U U 3 4U U U6U2 7U U3

E1-

E2+

I-

E1+

E2-

I-

E1-

E2+

I-

E1+

I+

E1+

E2-

I-

Zone 10 : 2 2 1 1 5 6 3 4 6 2 7 3VE RE VE RE U U U U U U U U

U5U6 U3U4 U3U7 U6U2

E1-

E2+

I-

E1+

E2-

I+

E1+

E2-

I+

E1-

E2+

I-

Page 187: application au convertisseur multicellulaire
Page 188: application au convertisseur multicellulaire

Annexe C

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 167

Annexe C : résultats de simulation CM

Une consigne de courant sinusoïdal d’amplitude 0.6A avec une composante continue de

0.8A et de fréquence 50Hz a été appliquée alors que les références des tensions sont

fixées à ''/3E pour E1 et 2 ''/3E pour E2. Plusieurs tests ont été effectués pour des

valeurs de µ différentes.

1ère test : µ =0.1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.5

1

1.5

I

I#

Fig. 104 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Page 189: application au convertisseur multicellulaire

Annexe C

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 168

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0430

35

40

45

50

E1

E1#

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470

75

80

85

90

E2

E2#

Fig. 105 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

2ème test : µ =0.3

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.5

1

1.5

I

I#

Fig. 106 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Page 190: application au convertisseur multicellulaire

Annexe C

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 169

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0430

35

40

45

50

E1

E1#

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470

75

80

85

90

E2

E2#

Fig. 107 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

3ème test : µ =0.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

0.5

1

1.5

I

I#

Fig. 108 Courant de charge (A) en fonction du temps (s)

Page 191: application au convertisseur multicellulaire

Annexe C

Mohamed TRABELSI / Thèse en commande des systèmes / 2009 / Institut national des sciences appliquées de Lyon 170

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0430

35

40

45

50

E1

E1#

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.0470

75

80

85

90

E2

E2#

Fig. 109 Tensions des condensateurs (V) en fonction du temps (s)

THDi

µ =0.1 1.59

µ =0.3 1.63

µ =0.5 1.83

Tableau 12 Variation du THDi en fonction de µ

Page 192: application au convertisseur multicellulaire

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES

DE LYON

NOM : TRABELSI DATE de SOUTENANCE : 16 Décembre 2009

(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)

Prénoms : Mohamed Abdallah TITRE : MODELISATION ET COMMANDE DES SYSTEMES PHYSIQUES A TOPOLOGIE VARIABLE : APPLICATION AU CONVERTISSEUR MULTICELLULAIRE

NATURE : DOCTORAT Numéro d'ordre : 2009 ISAL 0117

Ecole doctorale : EEA Spécialité : Energie et Systèmes Cote B.I.U. - Lyon : et bis CLASSE :

RESUME : L’automatique est une science qui traite de la modélisation et la commande des systèmes dynamiques. Ces dernières années ont été marquées par l’essor d’une communauté étudiante les systèmes dynamiques hybrides (SDH). Un convertisseur statique (présentant un nombre fini de configurations) associé à une charge (procédé continu) est un exemple de (SDH). Pour étudier le comportement dynamique de ces systèmes, il est nécessaire de mettre en évidence l’aspect hybride (interaction entre les variables continues et les variables discrètes). Dans ce contexte, nous présentons dans le cadre de cette thèse, deux approches systématiques de modélisation, appliquées à un convertisseur série associé à une charge, dans le but d’établir un modèle hybride qui englobe les variables continues et discrètes. La première approche est la méthode des graphes d’interconnexion des ports qui repose sur des interprétations mathématiques des graphes linéaires en vue d’établir une formulation Hamiltonienne paramétrée en fonction des états des interrupteurs de puissance. La deuxième approche est l’approche à topologie variable des Bond Graph commutés qui permet de modéliser les interrupteurs de puissance (éléments en commutation) par des sources nulles suivant leurs états. Nous proposons ensuite deux lois de commande à aspect prédictif qui déterminent directement les configurations du convertisseur qui permettent de poursuivre, le plus rapidement possible, les références du courant dans la charge (objectif principal) et des tensions aux bornes des condensateurs. Les contraintes de temps de calcul étant sévères (quelques dizaines de microsecondes), un modèle simplifié, validé en simulation sur une période d’échantillonnage, est utilisé en temps réel. La première stratégie permet de prédire sur l’horizon d’une période d’échantillonnage l’évolution du système pour chaque configuration et de sélectionner celle qui minimise la distance entre l’état prédit et l’état de référence. Les résultats de simulation montrent l’intérêt de cette stratégie par rapport à une commande classique. Cette stratégie est associée ensuite à un observateur adaptatif dans le but d’estimer les tensions aux bornes des condensateurs. La deuxième méthode calcule directement les rapports cycliques permettant d’atteindre la référence en effectuant une inversion de la matrice de commande. Les commandes proposées sont validées expérimentalement. Les résultats

obtenus montrent les performances et l’efficacité de ces méthodes. MOTS-CLES : Systèmes dynamiques hybrides, systèmes physiques à topologie variable, graphes d’interconnexion de ports, Bond Graph commutés, commande prédictive directe, observateur adaptatif interconnecté. Laboratoire (s) de recherche : AMPERE UMR CNRS 5005 Directeur de thèse: Jean-Marie RETIF Président de jury : Jean BUISSON Composition du jury : Jean BUISSON, Mohamed DJEMAI, Claire VALENTIN, Malek GHANES, Jean-Marie RETIF, Xavier BRUN, Xuefang LIN-SHI.

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