Exercice 1

Dans un plan orienté, on considère un triangle équilatéral tel que

On désigne par le cercle de centre , de rayon et par le milieu de .

La demi droite coupe au point . Soit .

1) Montrer qu’il existe une rotation unique qui transforme en et en .Déterminer son centre et une mesure de son angle.

2) La droite recoupe au point . On pose et .

a) Montrer que .

b) Déterminer et .c) Déterminer la nature de , caractériserEn déduire que .

3) Soit l’image de par la translation du vecteur .

a) Montrer que . En déduire que .

b) Montrer que .

4) Soient et les milieux respectifs de et .

a) Montrer que .

b) Montrer qu’il existe un antidéplacement unique tel que et .c) Montrer que .d) Montrer que est une symétrie glissante et donner sa forme réduite.

Exercice 2

Dans le plan orienté est un triangle équilatéral tel que : .

Soit le symétrique de par rapport à .

1) Soit la rotation d’angle qui transforme en .

a) Montrer que est le centre de cette rotation.

b) Soit . Montrer que est le milieu du segment .

2) A tout point de distinct de et de on associe le point de tel que .

Montrer que le triangle est équilatéral.

3) On désigne par le milieu de et par le milieu de .

a) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement qui transforme en et en .b) Montrer que n’est pas une symétrie orthogonale.c) Montrer que ( on pourra utiliser la conservation de la distance par une isométrie )Déterminer alors la forme réduite de .

4) On pose .

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

*Exercice 3un triangle d’un plan orienté et .

Soient et les deux points du plan définis par et

On désigne par :  ;  ; et

On désigne par et les rotations d’angle et de centres respectifs et .

On pose .

1) a) Déterminer . Caractériser alors .b) En déduire que le triangle est isocèle et rectangle en .

2) a) Montrer qu’il existe un unique déplacement tel que et .b) Caractériser .

3) Soit l’antidéplacement qui envoie en et en .a) Montrer que est une symétrie glissante.b) Déterminer les éléments caractéristiques de .

4) Soit un point quelconque du plan.On pose et .

a) Montrer que et sont symétriques par rapport à une droite fixe que l’on déterminera.

b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de .

*Exercice 4 (Lycée Bourguiba 2001/2002)

Dans le plan orienté on considère un triangle équilatéral tel que

On désigne par le milieu de , et .

1) Soit la parallèle à passant par et la médiatrice de .

Caractériser et .

2) On pose .

a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .b) Déterminer .

3) On pose .

a) Montrer que est une rotation dont on précisera l’angle.b) Déterminer et .c) Soit le centre de . Montrer que appartient au cercle passant par , et .

4) a) Caractériser la transformation .

b) Pour tout du plan, on note et .

Montrer que la droite passe par un point fixe lorsque décrit le plan privé de .

***Exercice 5( Lycée Hadika ,Med Dhahri 2000/2001)

Dans un plan orienté, on considère un carré de centre tel que .

On désigne par et les milieux respectifs de et .

Soit le point de tel que le triangle est équilatéral de sens direct.1) On pose .

a) Déterminer et .

b) En déduire que est une symétrie glissante et déterminer ses éléments caractéristiques.2) a) Montrer qu’il existe un unique déplacement du plan qui transforme en et en .

b) Caractériser .

3) Soit l’application .

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

4) Soit la rotation de centre et d’angle , on pose .

Déterminer le point puis caractériser l’application .

5) Soit un point de , on pose et .

a) Quelle est la nature du quadrilatère  ?

b) Montrer qu’il existe un seul antidéplacement qui envoie sur et sur .

c) Comparer et , en déduire la nature et les éléments caractéristiques de dans chacun des cas

suivants : i) appartient à la droite .

ii) appartient à la parallèle à passant par .

6) Soit une droite variable passant par et distincte de . On désigne par et les projetés

orthogonaux respectifs de et sur .a) Soit la droite perpendiculaire à passant par . Déterminer les images par des droites et .En déduire l’image de par .

b) Montrer que le cercle de diamètre passe par un point fixe lorsque varie.

*Exercice 6( Lycée Hannibal Ariana 2001/2002)Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct.

On considère un losange tel que et .

On désigne par , , , et les milieux respectifs des segments , , , et .

On note la médiatrice du segment et la médiatrice du segment .

1) Soit l’isométrie du plan définie par  ; et .a) Prouver que est un antidéplacement.b) Montrer que s’il existe un point invariant par , alors est équidistant des points , , et .c) En déduire que n’a pas de point invariant.

2) Soit la symétrie orthogonale d’axe et la rotation de centre et d’angle .

a) Démontrer que .b) A-t-on  ?

3) Soit la symétrie orthogonale d’axe .

a) Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale telle que .

b) En déduire que peut s’écrire sous la forme où est une translation que l’on précisera.

4) Soit la translation de vecteur  ; on note sa réciproque et on pose .

a) Déterminer  ;  ; . En déduire la nature de la transformation .b) Démontrer que . A-t-on  ?

Exercice 7

Soit un carré de centre tel que .

On pose et

A°) Soit  ; .

On pose et .1) a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de et .

b) Soit un point du plan, on pose et .

Montrer que .

2) a) Caractériser l’application : .

b) En déduire que : .

où désigne la symétrie centrale de centre .B°) Soit le point de rencontre des bissectrices intérieure du triangle .

On note : la rotation de centre et d’angle

la rotation de centre et d’angle .

1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

2) a) Construire le point image de par .

b) Montrer que et que .

Exercice 8

Soit un triangle équilatéral tel que .

On pose , et .

1) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement tel que et .2) Caractériser .3) Soit l’unique déplacement tel que et .

a) Donner une mesure de l’angle de .b) En déduire que est une rotation et construire son centre .

4) Montrer que est équilatéral. Que représente le point pour ce triangle ?5) Montrer que le triangle est rectangle en .

6) Soit .

a) Déterminer et .b) En déduire la nature de et la caractériser.

7) Soit . Déterminer , caractériser .

Exercice 9Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral direct .

Soit la rotation de centre et d’angle .

Soit la rotation de centre et d’angle .

On pose et le centre de gravité de .

Pour tout point du segment , on considère les points et appartenant respectivement aux segments

et et tels que et .

1) Déterminer et . En déduire les éléments caractéristiques de .

2) a) Montrer que et .

b) En déduire que la médiatrice de passe par un point fixe que l’on précisera.

c) Montrer que .

3) Soit l’antidéplacement tel que et .a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

b) Montrer que .

c) En déduire que le milieu de est sur une droite fixe lorsque décrit .

ExerciceDans le plan orienté on considère un triangle isocèle de sommet tel que

Soit le point du plan tel que soit un triangle rectangle et isocèle avec

Soit et . désigne la rotation de centre qui transforme en et désigne la

rotation de centre et d’angle . On pose .

1) a) Déterminer et .

b) Montrer que est une rotation dont on précisera l’angle et dont on construira le centre .c) Montrer que est un losange.

2) On pose .

Déterminer . Déduire la nature et les éléments caractéristiques de .

3) a) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement tel que et .

b) Montrer que est une symétrie glissante